Examen: Solucion Numerica de Ecuaciones

Diferenciales Parciales

Noviembre de 2014

Tiempo de examen tres horas. Resolver dos de los siguientes tres problemas.

1. Considere el esquema de Crank-Nicolson para la ecuacion de difusionut = uxx, dado por

run+1i1 + (1 + 2r)un+1i run+1i+1 = runi1 + (1 2r)uni + runi+1

donde r = k/2h2, k el paso de tiempo y h el parametro de malla.Obtenga el orden de consistencia del metodo y utilize el analisis deestabilidad de von Neumann para demostrar que el metodo es incodi-cionalmente estable. Obtenga explicitamente el factor de amplificacion.

2. Dada le ecuacion cuasilineal

ut + h(u)ux = 0

sujeta a las condiciones de Cauchy dadas por

u(x, 0) = u0(x)

2.1.- Demuestre como se obtiene la solucion implcita de este pro-blema.

2.2.- Demuestre que si h > 0, y u0(x) < 0 en algun punto x IR, existen dos puntos x1 < x2 para los cuales las caractersticas seintersectan en un tiempo finito. Determine explcitamente el tiempode interseccion.

3. Considere la ley de conservacion

ut + f(x)x = 0

con f convexo, sujeta a las condiciones de Cauchy dadas por

u(x, 0) = u0(x)

El esquema de Nessyahu-Tadmor esta dado por: wn+ 1

2j = w

nj 2f

(wnj )wj

wn+1j+ 1

2

= 12

[wnj + w

nj+1

]+ 1

8

[wj w

j+1

]

[f(w

n+ 12

j+ 12

) f(wn+12

j )]

Diga como se obtiene este esquema y explique porque la definicion dela pendiente wj mediante el limitador MiniMod reduce las oscilacionesde la solucion numerica.