Universidad Fermín ToroVice-rectorado Académico

Decanato de IngenieríaDepartamento de mantenimiento mecánico

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

Para la solución de los ítems a, b y c debemos derivar la función y tantas veces nos indique

la ecuación diferencial, a continuación se sustituyen los valores obtenidos en la misma y si

se cumple la igualdad entonces la función y es solución de la ecuación diferencial en caso

contrario no es solución.

y = y =

y” =

Entonces:

y” = + 4y =

=

y”+ 4y =

La función es solución de la ecuación diferencial

y =

Entonces:

y’ +y =

y’ +y = senx

La función es solución de la ecuación diferencial

y’ =

y” =

y’’’ =

y(4) =

Entonces:

y(4) - 5 y” +4y =

=

= +

=

=

=

y(4) - 5 y” +4y =0

La función es solución de la ecuación diferencial.

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

La siguiente ED la resolveremos utilizando el método de variables separables de esta manea:

Usando variables separables

Integrando tenemos que:

Solución general

La ED es homogénea de orden 2 verifiquemos si es homogénea.

Con lo cual:

Como la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual

podemos hacer el cambio de variable Así:

Sustituyendo en :

Integrando:

Ln = +c

Devolviendo el cambio de variable:

Ln = +c

Ln = +c solución general

Al parecer la ED es exacta comprobemos:

Verifiquemos si es exacta:

Como no es exacta, veamos si podemos encontrar un factor integrante

usando:

=e

Entonces

Es el factor inteligente, multipliquemos ± por (y) = y3

Y5 cosx dx + (4 y3 + 5 y4 senx) dy = 0

La cual debe ser ahora exacta

M = y5 cosx = 5 y4 cosx

N = 4 y3 + 5 y4 senx = 5 y4 cosx

Como = es exacto y resolvemos usando

b5senx

b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0

y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4

y´ - y = x2 .cosx

La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual

Q(x) = x2 cosx

P(x) = -

Así la solución es de la forma

Y = e

Sustituyendo , tenemos

y = e

y = e

y = x2

y = x2

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método

correspondiente.

y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x

Usaremos el método del anulador, entonces

R(x) = 3e-x -10cos3x

L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)

A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)

Entonces la ecuación I se puede escribir como

(D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x

Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)

(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)

(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinomios característicos

D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0

D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3

La solución tiene forma

Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x

Sustituyendo en II

(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x

Desarrollando tenemos que

2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x

II

I

-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)

+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x

3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex

- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x

6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x

Igualando coeficientes

6 c3 = 3 c3 = ½

-7 c4 9 c5 = 0 c4 = 9/7 c5

9 c4 + 7 c5 = 10 9 c5 + 7 c5 = 10 130 c5 = 70

c5 = 7/13 c4 = 9/13

Por lo tanto la solución es

y = c, ex + c2 e2x e-x + sen 3x + cos 3x

y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0

es una ecuación homogénea, la cual le escribimos como

(D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). y = 0

Entonces

D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). Y = 0, polinomio característico

Usando Ruffini

32 = {± 1, ±2, ±4, ±8, ±16}

1 0 -5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0 0 = 1

-1 0 4 -16 -32

1 0 -4 16 32 0 D = -1

-2 4 0 -32

1 -2 0 16 0 D = -2

-2 8 -16

1 -4 8 3 D = -1

D =

La solución es

y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x

D = 2 + 26

D = 2 - 26

1

-1

-2

-2