Calculo Vectorial Este Pre-examen se debe de entregar en un folder tamaño carta, el cual fue

señalado en la clase además del color, recuerda que en no entregarlo, no

tendrás derecho a presentar examen el día señalado de su aplicación.

2 Departamental

[CALCULO VECTORIAL] 2 Departamental

Pre-Examen Página 1

Instrucciones. Resuelva los siguientes ejercicios propuestos.

1. Trace el punto cuyas coordenadas esféricas se dan: después encuentre sus coordenadas

rectangulares

a. 2, / 4, / 3

b. 5, , / 2

2. Trace el sólido descrito por las desigualdades dadas

a. 2 32r z r

b. 0 / 3, 2

3. Halle el límite.

a. 11lim tan

1

t

t o

te i j tk

t

b. 0

lim cos , , lnt

t sent t t

4. Trace la curva con la ecuación vectorial dada. Indique con una flecha la dirección en la que

aumenta t

a. ( ) 2 cosr t senti sentj tk

b. ( ) ,3,cosr t sent t

5. Realice lo siguiente:

a. Trace la curva plana con la ecuación vectorial dada.

b. Halle (́ )r t

c. Trace el vector posición ( )r t y el vector tangente '( )r t para el valor dado t .

i. ( ) sec tan , / 4r t ti tj t

ii. ( ) 2 3cos , / 3r t senti tj t

6. Halle el vector tangente unitario ( )T t en el punto correspondiente al valor dado el

parámetro t .

a. 2 2 2( ) cos , / 2t t tr t e ti e sentj e k t

b. 2 3Si ( ) , , , encuentre r'(t), T(1), r''(t), y r'(t) r''(t)r t t t t

7. Determine si la curva es suave.

a. 3 4 5( ) , ,r t t t t t

b. 3 3( ) cos ,r t t sen t

8. Evalué la integral

a. 4

2

1

1tti te j dtt

b. 2

2 4 2

1

1 4 1t i t j t k dt

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Pre-Examen Página 2

9. Encuentre la longitud de la curva

a. 2( ) 2 ln ,1r t t i tj tk t e

b. 2( ) , cos ,cos ,0r t t sent t t t tsent t

10. Reparametrice la curva

a. 2 2

2 2( ) 1

1 1

tr t i j

t t

Con respecto a la longitud de arco medida desde el punto (1,0) en la dirección que

crece t . Exprese la reparemetrización en su forma más sencilla. ¿Qué se puede

concluir acerca de la curva?

11. Halle los vectores , y T N B en el punto dado.

a. 2 32 2( ) , , , 1, ,1

3 3r t t t t

b. , , cos , 1,0,1t t te e sent e t

12. Encuentre y trace el dominio de la función

a. ( , )f x y x y

b. ( , )f x y x y

13. Encuentre las primeras derivadas parciales de la función.

a. /y zu x

b. 2 3 4( , , , )f x y z t xy z t

14. Halle la derivada parcial indicada

a. 6

2 3;a b c u

u x y zx y z

b. 3

2 3ln 2 3 ;u

u x y zx y z

15. Utilice la regla de la cadena para hallar /z s y /z t

a. tan , ,xye y x s t y st

b. tan , 3 , sen s t s t

16. Evalué la integral iterada

a.

3

es la región triangular con vértices 0, 2 , 1,1 3,2

D

y dA

D y

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Pre-Examen Página 3

b.

,

es la región triangular con vértices 0,0 , 2,4 y 6,0

x

D

ye dA

D