Examen Calculo Vectorial
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8/16/2019 Examen Calculo Vectorial
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1.- Resolver∂u
∂ r ;
∂u
∂ t por 2 métodos
u= x2+ y
2 x=cosh r cost y=sinh r sin t
Por regla de la cadena:
Usamos la siguiente formula:∂u
∂ r=
∂u
∂ x
∂ x
∂r+
∂ u
∂ y
∂ y
∂r
Entonces derivamos u con respecto de x y y
∂ u
∂ x=2 x ;
∂ u
∂ y=2 y
Derivamos ahora x y y respecto de r :
∂ x
∂ r=sinh r cost ;
∂ y
∂r=cosh r sin t
ustituimos x y y !unto con las derivadas en la f"rmula original:
∂u
∂ r= (2 x ) (sinhr cost )+(2 y ) (cosh r sin t )
∂u∂ r
= [2 (cosh r cos t ) ] (sinh r cost )+ [2 (sinh r sin t ) ] (cosh rsin t )
∂u
∂ r=2cosh r sinh r cos
2t +2coshr sinh r sin
2t
∂u
∂ r=2cosh r sinh r (cos2 t +sin2t )
∂u
∂ r
=2cosh r sinh r
#hora resolvemos para∂u
∂ t y seguimos esta f"rmula:∂u
∂ t =
∂u
∂ x
∂ x
∂ t +
∂ u
∂ y
∂ y
∂ t
Pasamos directamente a derivar x y y respecto de t puesto $ue ya
tenemos las dem%s derivadas:
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∂ x
∂ t =−coshr sin t ;
∂ y
∂ t =sinh r cos t
ustituimos x
y y
!unto con las derivadas en la f"rmula original:
∂u
∂ t = (2 x ) (−cosh r sin t )+(2 y ) (sinh r cost )
∂u
∂ t = [2 (cosh r cos t ) ] (−coshr sin t )+ [2(sinh r sin t ) ] (sinh r cost )
∂u
∂ t =−2cosh
2r cost sin t +2sinh
2r cost sin t
∂u
∂ t =−2cos t sin t (cosh2r−sinh2 r )
∂u
∂ t =−2cos t sin t
Por sustituci"n:
ustituimos x y y en u y derivamos con respecto de r
u= x2
+ y2
=(cosh r cos t )2
+(sinh r sin t )2
u=cosh2
r cos2
t +sinh2r sin
2t
∂u
∂ r=2cosh r sinh r cos
2t +2coshr sinh r sin
2t
∂u
∂ r=2cosh r sinh r (cos2 t +sin2t )
∂u∂ r
=2cosh r sinh r
#hora sustituimos x y y en u y derivamos con respecto de t
u= x2+ y
2=(cosh r cos t )2+(sinh r sin t )2
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u=cosh2
r cos2
t +sinh2r sin
2t
∂u
∂ t =−2cosh
2r cost sin t +2sinh
2r cost sin t
∂u∂ t =−2cos t sin t (cosh2r−sinh2 r )
∂u
∂ t =−2cos t sin t
&.- Encontrar la derivada total (du= ∂ u∂ x dx+ ∂ u∂ y dy ) de u= ye x+ xe y
x=cos t ; y=sin t
Derivamos u con respecto de x y y
∂ u
∂ x= ye
x+e
y;
∂ u
∂ y=e
x+ xe
y
Derivamos ahora x y y respecto de t :
dx
dt =−sin t ;
dy
dt =cos t
' sustituimos en la f"rmula:
du=( ye x+e y ) (−sin t )+ (e x+ xe y) (cos t )
du=((sin t )ecos t +esin t ) (−sint )+(ecos t +( cost ) esint ) (cost )
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du=−sin2t e
cos t −sin t e
sin t +cos
2t e
sin t +cost e
cos t
(.- )alcule:∂2u
∂ r2 de la funci"n u=3 xy−4 y
2
con x=2 s er
; y=r e−t
a* Regla de la cadena
+* E,prese u en términos de r y s
a* Usamos la siguiente f"rmula:
∂u
∂ r=
∂u
∂ x
∂ x
∂r+
∂ u
∂ y
∂ y
∂r
Pero nos pide la segunda derivada entonces:
∂2
u∂ r
2= ∂
∂ r ( ∂u∂ x ∂ x∂ r + ∂u∂ y ∂ y∂ r )Primero empeamos derivando u con respecto de x y y
∂ u
∂ x=3 y ;
∂ u
∂ y=3 x−8 y
Derivamos ahora x y y respecto de r :
∂ x∂ r
=2s er ; ∂ y∂ r
=e−t
ustituimos x y y !unto con las derivadas en la f"rmula original:
∂u
∂ r= (3 y ) (2s er )+(3 x−8 y ) ( e−t )
∂u
∂ r= [3( r e−t ) ] (2 s er )+[3 (2 s er )−8 (r e−t ) ] (e−t )
∂u
∂ r=6rs e
r−t +e
−t (6s er−8 r e−t )
∂u
∂ r=6rs e
r−t +6s e
r−t −8r e
−2 t
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Derivamos u con respecto de r para o+tener la segunda derivada:
∂2u
∂ r2=
∂
∂ r(6 rs er−t +6 s er−t −8r e−2t )
∂2u
∂ r2=[ (6rs) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]+[ (6 s ) ( er−t ) ]−[0+( e−2 t ) (8) ]
∂2u
∂ r2=6rs e
r−t +6 s e
r−t +6s e
r−t −8 e
−2 t
∂2u
∂ r2=6rs e
r−t +12s e
r−t −8e
−2 t
+* sustituimos x y y en u y derivamos con respecto de r
u=3 (2 s er ) (r e−t )−4 (r e−t )2
u=6 rs er−t −4 r
2e−2 t
∂u
∂ r= [ (6rs ) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]−[0+( e−2 t ) (8r ) ]
∂u
∂ r=6
rs e
r−t +6
s e
r−t −8
r e
−2 t
olvemos a derivar u con respecto de r para o+tener la segunda derivada:
∂2u
∂ r2=
∂
∂ r(6 rs er−t +6 s er−t −8r e−2t )
∂2u
∂ r2=[ (6rs) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]+[ (6 s ) ( er−t ) ]−[0+( e−2 t ) (8) ]
∂2u
∂ r2=6rs e
r−t +6 s e
r−t +6s e
r−t −8 e
−2 t
∂2u
∂ r2=6rs e
r−t +12s e
r−t −8e
−2 t
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/.- 0a ecuaci"n∂2
f
∂ x2+
∂2
f
∂ y2+
∂2
f
∂ z2=0 es la ecuaci"n de 0aplace. Demuestre $ue
f ( x , y )=ln √ x2+ y2 satisface la ecuaci"n de 0aplace.
)omo en la funci"n no est% la varia+le z en la ecuaci"n nos $ueda:
∂2
f
∂ x2+
∂2
f
∂ y2=0
Entonces derivamos parcialmente con respecto a x dos veces:
∂ f
∂ x=( 1√ x2+ y2 )(
2 x
2√ x2
+ y2 )= x x2+ y2
∂2 f
∂ x2=
( x2+ y2 ) (1 )−( x ) (2 x )( x2+ y2)
2 =
− x2+ y2
( x2+ y2 )2
#hora derivamos parcialmente con respecto a y dos veces:
∂ f
∂ y=( 1√ x2+ y2 )(
2 y
2√ x2+ y2 )= y
x2+ y
2
∂2
f
∂ y2=
( x2+ y2) (1 )− ( y ) (2 y )
( x2+ y2 )2 =
x2− y
2
( x2+ y2 )2
ustituimos las derivadas en la ecuaci"n de 0aplace.
− x2+ y
2
( x2+ y2 )2+
x2− y
2
( x2+ y2 )2=0
− x2+ y
2+ x
2− y
2
( x2+ y2 )2 =
0
( x2+ y2 )2=0
f ( x , y )=ln √ x2+ y
2
satisface la ecuaci"n de 0aplace.
.- i z= x2 y
2− y
3+3 x
4+5 encuentre:
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a*∂2 z
∂ x2 +*
∂2 z
∂ y2
a* Derivamos z con respecto de x dos veces:
∂ f
∂ x=2 x y
2+12 x
3; ∂2 f
∂ x2=2 y
2+36 x
2
+* Derivamos z con respecto de y dos veces:
∂ f
∂ y=2 x
2 y−3 y
2; ∂
2f
∂ y2=2 x
2+6 y