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Colegio San Alberto Magno SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

BACHILLERATO II

EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 14 – 10 – 16 Ejercicio 1. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías, F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1,5 €/kg, las manzanas 1 €/kg, y las naranjas 2 €/kg. En F2, las peras cuestan 1,8 €/kg, las manzanas 0,8 €/kg, y las naranjas 2 €/kg.

a) [0’5 puntos] Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).

b) [0’5 puntos] Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.

c) [1 punto] Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

Ejercicio 2. Considera las matrices

=

00a

aA

a) [1 punto] Calcula 2A y 4A

b) [1 punto] Calcula nA

Ejercicio 3.- Dada la matriz

−−=3055

03

λλ

λA

a) [1 punto] Calcula los valores de λ para los que A – 2I no tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) [1 punto] Calcula la inversa de A – 2I para λ = – 2. Ejercicio 4.- [2 puntos]

Halla una matriz X, tal que AX = B , siendo

=

111101012

A

=

222111153

B

Ejercicio 5.- Sabiendo que 2==rqpcbazyx

A , calcula, indicando las propiedades que utilices, los

siguientes determinantes:

a) [1 punto]

rqpcbazcybxa

222−−−

b) [1 punto]

prqpracbacxzyxz

333

++++++


BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES 21 – 11 – 16 Ejercicio 1. [2 puntos]

Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación: F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C. F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C. F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.

Ejercicio 2. Sea I la matriz identidad de orden 2 y A = �1 m1 1�

a) [1 punto] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A – I)2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2

b) [1 punto] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX – 2AT = O, donde AT denota la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3.- Sea A una matriz de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0,5 puntos] El determinante de A3 b) [0,5 puntos] El determinante de A-1 c) [0,5 puntos] El determinante de 2A d) [0,5 puntos] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera,

segunda y tercera son respectivamente 3C1 – C3, 2C3 y C2. Siendo C1, C2 y C3 las columnas de A

Ejercicio 4.- [2 puntos]

Sean las matrices

−

=1101

A ,

−−=210110

001B y

−

=210

213C .

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C

Ejercicio 5.- Considera las matrices A = �0 0 10 1 01 0 0

� y B = �0 0 1x 1 0y 0 0

�

a) [1 punto] Calcula A127 y A128 b) [1punto] Determina x e y tal que AB = BA


BACHILLERATO II

EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 7 – 11 – 16

Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales

=−−=++

=−+

04023

03

zyxkzyxzyx

(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro k. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que sea compatible indeterminado Ejercicio 2. Considera el sistema de ecuaciones

=−=+=−

2343

2

yxyax

ayx

(a) [1’75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro a (b) [0’75 puntos] Resuelve para a = 1 Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

�1 2 −11 1 + 𝑏𝑏 −𝑏𝑏1 𝑏𝑏 1 + 𝑏𝑏

� ∙ �𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧� = �

22𝑏𝑏1�

(a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro b. (b) [1 punto] Resuelve para b = - 1 Ejercicio 4. [2'5 puntos] Un individuo compra 34 litros de aguamiel de tres calidades distintas por 214 euros. Los precios de cada tipo son de 7, 6 y 5 € respectivamente. Sabiendo que la que la cantidad de aguamiel de mejor calidad es el doble que la de peor calidad, ¿cuántos litros de cada tipo ha comprado?


BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales

=+++=++

=+−

42

1

mzyxmzyxzmyx

(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que m = 0 Ejercicio 2. Considera el sistema de ecuaciones

=+−+=+−

=++

01212)2(02132

03

zyxazyx

zyx

(a) [1 puntos] Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial (b) [1’5 puntos] Resuélvelo para dicho valor de a. Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

=+−=−+=−+

bazyxzyxzyx

323241523

(a) [1’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones. (b) [1 punto] Resuelve para dichos valores Ejercicio 4. [2'5 puntos] En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:

- El precio de la empresa A es 0’6 € menos que la media de los precios establecidos por B y C.

- El precio dado por B es la media de los precios de A y C. - El precio de la empresa C es igual a 2 € más 2/5 del precio dado por A más

1/3 del precio dado por B.


BACHILLERATO II

EXAMEN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS

Ejercicio 1 Sean los vectores 𝑢𝑢�⃗ = (1, - 1, 3), �⃗�𝑣 = (1, 0, - 1) y 𝑤𝑤��⃗ = (λ, 1, 0) a) [0’5 puntos] Calcula los valores de λ que hacen que 𝑢𝑢�⃗ y 𝑤𝑤��⃗ sean ortogonales. b) [0’75 puntos] Calcula los valores de λ que hacen que 𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣 y 𝑤𝑤��⃗ sean coplanarios. c) [0’75 puntos] Para λ = 1 escribe el vector 𝑟𝑟 = (3, 0, 7) como combinación lineal de 𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣 y 𝑤𝑤��⃗ Ejercicio 2 Considera los puntos A(1,2,1) y B(−1,0,3) . a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. b) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. Ejercicio 3 Sean A(−3,4,0), B(3,6,3) y C(−1,2,1) los vértices de un triángulo. a) [1 punto] Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. Ejercicio 4 Sean los puntos A(0,1,1) , B(2,1, 3) , C(−1,2,0) y D(2,1,m) a) [1 punto] Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano. b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que contiene al segmento BC Ejercicio 5 Considera el plano π de ecuación 2x + y + 3z − 6 = 0 . a) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.


BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS

Ejercicio 1. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C (−1, 2, 1) los vértices de un triángulo. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triangulo. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC.

Ejercicio 2.- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r:

=+=+

01

zyzx

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P. Ejercicio 3.- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1). (a) [1,25 puntos] ¿Existe algún valor de k para que A, B, C y D sean coplanarios? (b) [1,25puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1. Ejercicio 4.- Considera los vectores 𝑢𝑢�⃗ = (1,1, m), �⃗�𝑣 = (0,m, 1) y 𝑤𝑤��⃗ = (1, 2m,0) a) [1,25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores 𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣 y 𝑤𝑤��⃗ sean linealmente dependientes. b) [1,25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector 𝑤𝑤��⃗ como combinación lineal de los vectores 𝑢𝑢�⃗ y �⃗�𝑣


BACHILLERATO II

EXAMEN DE LA UNIDAD 4: PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Ejercicio 1.- Considera el plano π: x - 2y + 1 = 0 y la recta

=++−=+−

≡02

03azyx

zyxr .

(a) [1'25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.

(b) [1'25 puntos] Calcula el ángulo formado por el plano π y la recta

=++−=+−

≡02

03zyx

zyxs

Ejercicio 2. [2'5 puntos] Considera los puntos A (1,-1,2), B (1, 3,0) y C (0, 0,1).

Halla el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por B y C.

Ejercicio 3. Considera un plano π: x + y + mz = 3 y la recta 2

21 −=−=≡

zyxr

a) [0,75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos. b) [0,75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π ? Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones

−=−

=≡

231

0zy

xs que equidistan del plano π: x + z = 1 y del plano π ’: y – z = 3.


BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Calcula el punto simétrico de A (1, 2, 3) respecto al plano

02 =+−≡ zxπ Ejercicio 2. [2'5 puntos] Considera el plano de ecuación 02 =+−+≡ zyxπ y la

recta de ecuación 36

25

−−

==−−

≡zyxr

(a) [1'25 puntos] Halla la posición relativa de π y r. (b) [1'25 puntos] Calcula el ángulo que forman

Ejercicio 3. Determina un punto P de la recta 3

43

52

3 +=

+=

+≡

zyxr que

equidista del origen de coordenadas y del punto A(3, 2, 1) . Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta

r :

=−−=−

03432

zyxyx


BACHILLERATO II

EXAMEN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA

1. Calcula los siguientes límites:

a) [1’25 puntos] 96

9lim 2

2

3 +−−

→ xxx

x

b) [1’25 puntos] xx

xx −−+→ 11lim

0 2. calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) [1’25 puntos]

−

= 23)(

xxarctgxf

b) [1’25 puntos] ( )4)( 2 −= xLnxg

3. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = 0. 12

2)( += xxf

4. Se sabe que la función f : [0, 5] → R definida por

−+−+

=14

)(2

xbxax

xf 5220

≤≤<≤

xx

es derivable en el intervalo (0, 5). (a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el

punto de abscisa x = 2.


BACHILLERATO II

RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA

5. Calcula los siguientes límites:

a) [1’25 puntos] 9157

93523

23

3 +++−++

−→ xxxxxxlim

x

b) [1’25 puntos] 4

11lim2

−−+

∞→ xx

x 6. calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) [1’25 puntos] 4 cos)( xxf = b) [1’25 puntos] ( )2)( xarcsenxf =

7. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = 2

( )3)( 2 −= xLnxg

8. Considera la función derivable f : R→ R definida por

+

−=

−

baxxee

xfxx

2)( 0

0

≥

<

x

x

(c) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b. (d) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x

= -1.

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EXAMEN DE LA UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por cbxaxxxf +++= 23)( . Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f tiene tangente horizontal abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (-1, 5). Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que el límite es finito. Calcula dicho límite

+−+

→ 20

)3cos()1ln(limx

xxasenxxx

Ejercicio 3. [2'5 puntos] Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Ejercicio 4. Considera la función f : R → R definida por 1

)( 2 +=

xxxf

(a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de las asíntotas con la gráfica de f(x) (b) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EXAMEN DE LA UNIDAD 7: INTEGRALES

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula ∫ ⋅π

0

2 )( dxxsenx

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula realizando el cambio de variable 12 += xt

∫ ++++4

0 121212 dxxx

x

Ejercicio 3. Sea f : (0,+∞)→ la función dada por f (x) = ln x.

a) [0'75 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

b) [1'75 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, y = x − 1 y la recta x = 3. Calcula su área.

Ejercicio 4. [2'5 puntos] De la función f :R → R definida por xbeaxf x ⋅−⋅=)( , se sabe que su

gráfica tiene tangente horizontal en x = 0, y que 23)(

1

0−=∫ edxxf . Halla los valores de a y b.

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