Examen de bioestadística Licenciatura de Biología. 21-02-2011. IKB

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EXAMEN DE BIOESTADÍSTICA- LDO. EN BIOLOGÍA. PROBLEMAS (21-02-2011)1. (2,5 PTOS) LA DEMANDA ALEATORIA (EN MILES DE UNIDADES) DE UN ARTÍCULO QUE PRODUCE UNAEMPRESA, VIENE EXPLICADA POR UNA V.A. X, QUE SIGUE UNA NORMAL DE MEDIA 10 Y VARIANZA 4. LAEMPRESA DECIDE QUE SOLO SEGUIRÁ PRODUCIENDO EL ARTÍCULO EN EL FUTURO SI LA DEMANDA ESMAYOR DE 9000 UNIDADES.

A) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE NO SIGA PRODUCIENDO EL ARTÍCULO.

Trabajo previo a las tres cuestiones:X es un V.A. que sigue una ley N(10,4). Para trabajar con las tablas de la ley N(0,1),

antes tendremos que tipificar.Diremos que si X es un V.A. que sigue una ley ( , ) ,

entonces la V.A. = √ ↝ (0,1)Nota: los datos de número de productos, se colocan en unidades de millar, es decir, si

tengo 11500 unidades, trabajare con 11,5 unidades de millar.

Una vez aclarado esto, pasamos a resolver las cuestiones.Probabilidad de no producir. La empresa solo produce si la demanda es mayor a 9

unidades de millar, por lo tanto no producirá si X≤9( ≤ 9) = ≤ 9 −√ = ≤ 9 − 10√4 = ( ≤ −0,5) = 0,3085B) SI HASTA EL MOMENTO LA DEMANDA HA SIDO COMO MÍNIMO DE 8000 UNIDADES, ¿CUALES LA PROBABILIDAD DE QUE NO SUPERE LAS 11000 UNIDADES?

Esto es una probabilidad condicionada.

( < 11| ≥ 8) = ( ≥ 8) ∩ ( < 11)( ≥ 8) = (8 ≤ ≤ 11)1 − ( ≤ 8) =( ≤ 11) − ( ≤ 8)1 − ( ≤ 8) = ≤ 11 − 10√4 − ≤ 8 − 10√41 − ≤ 8 − 10√4 =( ≤ 0,5) − ( ≤ −1)1 − ( ≤ −1) = 0,6915 − 0,15871 − 0,1587 = 0,6333

Nota: la distribución normal es continua→ ( < ) = ( ≤ )C) HALLAR CUANTAS UNIDADES HAN DE FABRICARSE PARA TENER UNA PROBABILIDAD DEL 80%DE SATISFACER LA DEMANDA.

Lo que me piden es que calcule Z0 que cumpla ( ≤ ) = 0,8.Busco en tablas y obtengo que Z0=0,85.Lo que busco es X0, y como= √ → = √ → = ∗ √ + = 0,85 ∗ 2 + 10 = 11,7 →Necesitare fabricar 11700 unidades.

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2. (2,5 PTOS) EN UNA POBLACIÓN DE ROEDORES, CUYO PELAJE SOLO PUEDE SER NEGRO, GRIS YBLANCO, SE HA REALIZADO UN ESTUDIO SOBRE LA POSIBLE INFLUENCIA DE LA ZONA DONDE VIVEN EN ELCOLOR DEL PELAJE, CON LOS SIGUIENTES RESULTADOS: EL 30% DE LOS INDIVIDUOS DE ESTA ESPECIEVIVEN EN EL VALLE, EL RESTO EN LA MONTAÑA; EL 20% DE ESTOS ROEDORES SON NEGROS Y EL 50%GRISES; ENTRE LOS NEGROS, EL 35% HABITAN EN EL VALLE ENTRE LOS GRISES, EL 70% HABITAN EN LAMONTAÑA.

A) CONSTRUYA UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA CON LOS PORCENTAJES ANTERIORES,COMPLETANDO LOS PORCENTAJES QUE FALTAN.

En rojo están los datos suministrados (en %), en negro los obtenidos.

Negro Gris BlancoValle 35*(20/100)=7 50-35=15 30-(15+7)=8 30Montaña 20-7=13 70*(50/100)=35 30-8=22 70

20 50 30 100

B) SI SE ELIGE UN ROEDOR DE ESTA ESPECIE AL AZAR: ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEABLANCO? ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NI SEA GRIS, NI VIVA EN LA MONTAÑA?( ) = 0,3 → 30%( ∩ ñ ) = ( ∪ ñ ) =1 − ( ∪ ñ ) =1 − ( ) + ( ñ ) − ( ∩ ñ )1 − (0,5 + 0,7 − 0,35) = 0,15 → 15%C) DETERMINE SI EXISTE INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA ENTRE ALGUNO DE LOS COLORES DELPELAJE Y LA ZONA EN LA QUE HABITAN.

Dos sucesos son independientes estocásticamente si:( | ) = ( ) ( | ) = ( )( | ) = ( ∩ )( ) = 0,070,3 = 0,233 ≠ 0,2 = ( )

No hay independencia

( | ) = ( ∩ )( ) = 0,150,3 = 0,5 = ( )( | ) = ( ∩ )( ) = 0,150,5 = 0,3 = ( )Si hay independencia.

( | ) = ( ∩ )( ) = 0,080,3 = 0,267 ≠ 0,3 = ( )No hay independencia.

Hay independencia estocástica entre los de pelaje gris y la zona en la que habitan.

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Estos no hacen falta hacerlos.

( | ñ ) = ( ∩ ñ )( ñ ) = 0,130,7 = 0,186 ≠ 0,2 = ( )No hay independencia

( | ñ ) = ( ∩ ñ )( ñ ) = 0,350,7 = 0,5 = ( )( ñ | ) = ( ñ ∩ )( ) = 0,350,5 = 0,7 = ( ñ )Si hay independencia.

( | ñ ) = ( ∩ ñ )( ñ ) = 0,220,7 = 0,31 ≠ 0,3 = ( )No hay independencia.

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3. (2,5 PTOS) UNA EMPRESA DEDICADA A LA FABRICACIÓN DE VIDRIO QUIERE INCLUIR, ENTRE LOSPRODUCTOS QUE FABRICA, LUNAS QUE PIENSA COMERCIALIZAR EN LA INDUSTRIA DEL AUTOMÓVIL. LASESPECIFICACIONES DE ESTOS PRODUCTOS EXIGEN UNA RESISTENCIA MEDIA AL IMPACTO DE 8KG/CM2;PARA COMPROBAR SI SE CUMPLEN, HA REALIZADO PRUEBAS DE FABRICACIÓN, OBTENIENDO LOSSIGUIENTES RESULTADOS DE RESISTENCIA AL IMPACTO:

7,2 4,3 8,7 9 6,7 10,2 5,4 7,2 8,3 7,8 7,1 8,7 6,8 9,2 10,1

CONSIDERANDO QUE LA RESISTENCIA AL IMPACTO SE DISTRIBUYE NORMALMENTE, SE PIDE:

Nota: los percentiles necesarios para responder a los apartados b y c están entre lossiguientes:, = 1,28 , = 1,645 , = 1,96, , = 1,345 , , = 1,761 , , = 2,145 , , = 1,341 , , = 1,753 , , = 2,131

A) ESTIME LA RESISTENCIA MEDIA AL IMPACTO EN KG/CM2, CALCULE EL ERROR TÍPICO DEESTIMACIÓN E INTERPRETE EL RESULTADO.

Para V.A. que se distribuyen normalmente (siguen una distribución normal)La media muestral es el estimador centrado más preciso para la media μ.Datos:n=15Xi= en la tabla. = 1 = 7,78El error típico de la estimación, cuando se desconoce la varianza es:̂ = = 0,424Donde = 1− 1 − . = 2,696

El error típico es la desviación típica de unos valores que son las medias de todas lasposibles muestras que se pueden obtener. Como el error es muy pequeño, las mediasde todas las posibles muestras son muy parecidas.

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B) CALCULE UN INTERVALO DE CONFIANZA AL 95% PARA LA RESISTENCIA MEDIA OBTENIDA,INTERPRETANDO EL RESULTADO.

Tengo que calcular un I.C. al 95% (100*(1-α)→α=0,05) para la media de una muestraque sigue una normal de varianza desconocida y tamaño muestral n<30

− . , ; + . , = − . , , ; + . , ,(7,78 − 0,424 ∗ 2,154; 7,78 + 0,424 ∗ 2,154) = (6,867; 8,693)Tengo una confianza del 95 % de que la media μ se encuentre en ese intervalo.

C) A UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN DEL 10% ¿CUMPLEN LAS LUNAS FABRICADAS LASESPECIFICACIONES REQUERIDAS?

Voy a hacer un contraste paramétrico bilateral sobre la media de una ley normal convarianza desconocida y tamaño muestral n<30. α=0,1: =: ≠ = 8

Estadístico de contraste:= − , −1 0Valor observado del estadístico= − = 7,78 − 80,424 = −0,5189Criterio de decisión a nivel α:ℎ | | ≥ , → ℎ 0,5189 ≥ , , = 1,753Como no se cumple, no rechazo la hipótesis de que las fábricas cumplen las

especificaciones a nivel α=0,1. El contraste no es significativo a ese nivel.

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4. (2,5 PTOS) UNA EMPRESA DESEA SABER SI EL ABSENTISMO LABORAL ESTÁ RELACIONADO CON ELTAMAÑO DEL DEPARTAMENTO Y LA ANTIGÜEDAD. PARA EL ESTUDIO SE DISPONE DE UNA MUESTRAALEATORIA DE 60 EMPLEADOS, DE LA QUE SE CONOCEN EL NÚMERO DE DÍAS QUE NO ACUDIERON ALPUESTO DE TRABAJO EN LOS ÚLTIMOS TRES AÑOS. EL TAMAÑO DEL DEPARTAMENTO SE CLASIFICA ENPEQUEÑO, MEDIANO Y GRANDE, Y LA ANTIGÜEDAD EN MÁS DE 5 AÑOS Y MENOS DE 5 AÑOS. ALGUNODE LOS DATOS OBTENIDOS EN EL DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES Y 10 RÉPLICAS SE INDICAN EN LASIGUIENTE TABLA:

TABLA ADEVAfuente devariación

Sumas decuadrados

Grados delibertad

Medias decuadrados Valor de Fe P-valor

Antigüedad 0,010Tamaño 380,2 0,000

Interacción 109 0,162Residual 1564,8

Total 2643,3

A) PLANTEE LAS HIPÓTESIS NULAS Y ALTERNATIVAS ADECUADAS AL PROPÓSITO DE ESTEESTUDIO.

Las hipótesis adecuadas al estudio serán las que se contrastan en el ADEVA de dosfactores (factor A Antigüedad y factor B Tamaño) con efectos fijos y 10 replicas.

Es decir, diseñaremos un experimento donde plantearemos como hipótesis nula quela antigüedad de los empleados no afecta al absentismo, que el tamaño deldepartamento no afecta al absentismo y que no hay relación entre la antigüedad delos empleados y el tamaño del departamento, con el absentismo laboral

HIPÓTESIS NULAS: .: = 0 ∀ ; = = ⋯ = =′: .′: = 0 ∀ ; = = ⋯ = =: ℎ ó ; .: ( ) = 0 ∀ ; = + + ∀HIPÓTESIS ALTERNATIVAS: ∃ ≠ 0′: ∃ ≠ 0: ∃ ( ) ≠ 0

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B) COMPLETAR LA TABLA DEL ADEVA.

TABLA ADEVAfuente devariación

Sumas decuadrados

Grados delibertad

Medias decuadrados Valor de Fe P-valor

Entregrupos 1078,50 5 ----------

Antigüedad 209,10 1 209,10 7,22 0,010Tamaño 760,40 2 380,20 13,12 0,000

Interacción 109,00 2 54,50 1,88 0,162Residual 1564,80 54 28,98

Total 2643,30 59 -----------

Factor A: Antigüedad. → I=2Factor B: Tamaño. → J=3Nº de réplicas: 10. → K=10Introduzco la Fila "ENTRE GRUPOS", para poder identificar más claramente. (NO

HACE FALTA HACERLO ASÍ).Identifico y voy completando.Por ejemplo:MCB=389,2=SCB/(J-1)→SCB=760,4

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C) PARA UN NIVEL DE SIGNIFICACIÓN DEL 5%, ¿LOS CONTRASTES F PARA EL EFECTO DE LAANTIGÜEDAD Y EL TAMAÑO DEL DEPARTAMENTO INDICAN QUE HAY QUE RECHAZAR LAHIPÓTESIS NULA CORRESPONDIENTES? ¿ Y EL CONTRASTE PARA LA INTERACCIÓN? INTERPRETELOS RESULTADOS, INDICANDO QUE PARÁMETROS DEBEN ESTIMARSE.

Un contraste rechaza la hipótesis nula, es decir, es estadísticamente significativa anivel α, si P-valor≤α .

Para un α=0,05, no rechazo la hipótesis nula en los factores Antigüedad y Tamaño.Sin embargo, el contraste es significativo a nivel α=0,05 para la interacción de los

efectos → rechazo la hipótesis nula de que no hay un efecto combinado.

Nos encontramos en el caso en el que se rechaza la hipótesis de falta de interacción,se admite que existen interacciones entre sus distintos niveles, lo que indica unadependencia entre los dos factores, por lo que no tiene sentido estudiar por separadolos efectos de cada factor. En este caso deben estimarse:

La varianza de los errores, = = 28,98Las medias de los tratamientos,Los efectos de las interacciones, (αβ)