7/24/2019 Examen Final 2011-2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT OLICA DEL PER U

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

C ALCULO 2

Solucionario del 2do Examen de Calculo 2

Semestre academico 2011-2

1. Sea R la region limitada por las gracas de C1 : y = x y C2 : y = 2 x x 2 . Halle elvolumen del s olido generado cuando R gira alrededor de la recta tangente a C2 en elorigen de coordenadas. (4.0 ptos.)

Solucion:

+3

3

f (x) = 2x x2

g(x) = x

X

Y

Area de la regi on:

A = 3

0 x2 + 2 x (x ) dx = 92 .

Centro de masa:x =

1A

3

0x x

2 + 2 x (x ) dx = 32

.

y = 1A

3

0

12 x

2 + 2 x2

x2

dx = 35

.

Recta de giro L : 2x y = 0.Distancia de la recta L al centro de masa:

d =2 3

2 35

5 = 185 5 .

Volumen:

V = 2 d A

= 2 185 5

92

= 1625 5 u

3 .

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2. Sea R la region plana que es interior a la curva r = 2 cos y exterior a la curvar = 2 cos(2).

X

Y

a) Halle el area de R. (3.0 ptos.)Solucion:

2

3

4

3

X

Y

A = 12

4/ 3

2 / 3(2 cos )

2

(2 cos(2))2 d

=

2 / 3

52 cos(2)

12 cos(4) 4cos() d

=58

sen(2) 18

sen(4) 4sen( )

2 / 3=

5116

3

b) Plantee , no calcule, la integral que conduce al c alculo del permetro de R.(1.0 pto.)

Solucion:

L =

4/ 3

2 / 3(2

cos )2 + (sen )2 d +

4/ 3

2 / 3(2

cos(2)) 2 + (2 sen(2 )) 2 d

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3. a) Halle la longitud de la curva denida por f (x ) = ln(cos x ), 6 x

4

. (2.0 ptos.)

Solucion:

L =

/ 4

/ 6 1 + (

tan x )2 dx

= / 4

/ 6sec x dx = ln |sec x + tan x|

/ 4

/ 6

= ln( 2 + 1) ln 3

b) Resuelva la ecuacion diferencial 1y

dydx

2x

ln y = 1x

12 ln x , x > 0, si y(1) = 1e

.

(2.0 ptos.)

Sugerencia : Use el cambio de variable u = ln y, y reescriba la EDO como unaEDO lineal.

Solucion:

Si u = ln y entonces dudx

= 1y

dydx

.

y obtenemosdudx

2x

u = 1x

(1 2 ln x ) .El factor integrante es

e 2

xdx = e 2 ln x = e ln x

2 = 1x

2 .

Luego,d

dxu

1x 2

= 1x 3

1 ln x2 .

Integrando:

u = x 2 1x 3 1 ln x 2 dx = x 2 dxx 3 ln x2

x 3 dx

= x 2 12x 2

+ 12x 2

ln(x 2 ) + 1 + C

= 12

ln x 2 + Cx 2 = ln x + Cx 2 .

Usando y = eu , obtenemos y(x ) = xe Cx2

.

As, debido a la condicion inicial obtenemos y(x ) = xe x2

.

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4. a) Halle el area de la regi on plana limitada por la curva C : x = sen 2 t , y = sen 2 t tan t ,0 t 1.

b) Resuelva la ecuacion diferencial: y y 2y = 4 x2

. (2.0 ptos.)Solucion:

Solucion de la EDO homogenea: y y 2y = 0, es:yh (x ) = C 1 e

2 x + C 2 e x .

Solucion partcular: y p(x ) = Ax 2 + B x + C , luego: y p(x ) = 2 Ax + B y y p(x ) = 2 A .

Reemplazando en: y p y p 2y p = 4x 2 , se tiene A = 2, B = 2, C = 3.Finalmente, la soluci on de la EDO es:

y(x ) = C 1 e2 x + C 2 e x 2x 2 + 2 x 3

6. Considere un sistema masa-resorte al cual se le agrega un dispositivo mec anico (amor-tiguador) que tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema seencuentra vibrando (vease la gura). De acuerdo con la segunda ley de Newton, elmovimiento del cuerpo se rige mediante la siguiente ecuaci on:

mx (t ) + bx (t ) + kx (t ) = 0 ,

donde x(t) es la deformaci on del resorte en el instante t, m es la masa del cuerpo, b laconstante de amortiguamiento y k la constante de elasticidad del resorte.

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