7/23/2019 Examen Noviembre 2005

http://slidepdf.com/reader/full/examen-noviembre-2005 1/2

 

ESCUELA UNIV. DE CIENCIAS EMPRESARIALES.

Examen Extraordinario de Matemáticas para la Empresa.

21 de Noviembre de 2005. Tipo A 

NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________

D.N.I.:___________________________________________

1. a) Dadas las funciones1( )   x  f x e   += , ( )g y y = , calcule, aplicando la regla de la

cadena, la derivada de g f   en el punto x  = −1.

b) Analice si la función1( )   x  f x e   −= es creciente o decreciente y cóncava o convexa

en su dominio.

2. Dada la matriz:

1 0 0

0 1 1

0 1 1

A

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜   ⎟⎜   ⎟⎜   ⎟= ⎜   ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜   ⎟⎜⎝ ⎠

 

a)  Calcular los autovalores.

b)  Clasificar la forma cuadrática cuya matriz asociada es A.

c)  Calcular ahora la forma cuadrática restringida a: x  – z  = 0.

3. Dada la función:3 27

( , , ) ,  x y z 

 f x y z x z e y 

−⎛ ⎞⎟⎜= − − +   ⎟⎜   ⎟⎝ ⎠, calcule:

a)  La derivada direccional en el punto ( )0 1,1,1x   =  

 según la dirección (1,1, 2)v   =  

.

b) 

La matriz hessiana de la primera componente de dicha función en el punto

( )0 1, 1, 1x   =  

:

3 21

7( , , ) f x y z x z 

y = − − +  

c) 

( )(1, 1, 1)

g f 

z 

∂−

∂

 siendo3

( , )2 5

u v g u v   = −  

4. Sea el siguiente problema de programación matemática:

2

2 2

3 2

. . 1

4

0, 0

Opt x y  

s a y x  

x y 

x y 

+

− ≤

+ ≤

≥ ≥

 

a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿Se puede asegurar que todos los óptimos que se

obtengan son globales?

b) Resuélvalo gráficamente, indicando el conjunto de oportunidades, las curvas de nivel y

la dirección de máximo crecimiento, así como dónde se sitúan los óptimos.

c) Resuelva, mediante la función de Lagrange el problema:

2 2

3 2

. . 4

Opt x y  

s a x y  

+

+ = 

¿se encuentran relacionadas las soluciones de este problema con las del apartado b?

7/23/2019 Examen Noviembre 2005

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ESCUELA UNIV. DE CIENCIAS EMPRESARIALES.

Examen Extraordinario de Matemáticas para la Empresa.

21 de Noviembre de 2005. Tipo B  

NOMBRE DEL ALUMNO:_______________________________

D.N.I.:___________________________________________

1.  a) Dadas las funciones 2( ) 5 f x x = +   y ( ) Ln( 3)g y y = + , calcule ( )'(2)g f   

utilizando la regla de la cadena.

b) Sea la función: ( ) Ln( 1) f x x = + . Obtenga su dominio y compruebe que es creciente y

cóncava en él.

2. a) Calcule los valores propios de la siguiente matriz:

1 1 0

1 0 1

0 1 1

A

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜   ⎟⎜   ⎟⎜   ⎟= −⎜   ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜   −   ⎟⎜⎝ ⎠

 

b) Clasifique la forma cuadrática ( ) , ( , , )t x x Ax x x y z  φ   = =   

.

c) Clasifique la anterior forma cuadrática restringida si x  – y  = 0

3. Dada la función: ( )2 3 2( , , ) ,

  x y z  f x y z x y e 

z 

− += − + + , calcule:

a)  La derivada direccional en el punto ( )0 1,1,1x   =  

 según la dirección (2,1, 5)v   =  

.

b)  La matriz hessiana de la primera componente de dicha función en el punto

( )0 1,1,1x   =

  

:2 3

12

( , , ) f x y z x y z 

= − + +  

c) 

( )( 1,1, 1)

g f 

x 

∂− −

∂

 siendo

2

( , )4 3

u v g u v   = −  

4. Sea el siguiente problema de programación matemática:

2 2

2

2 3

. . 9

10, 0

Opt x y  

s a x y  

x y x y 

+

+ ≤

− ≤≥ ≥

 

a) ¿Se puede asegurar que tiene solución? ¿Se puede asegurar que todos los óptimos que se

obtengan son globales?

b) Resuélvalo gráficamente, indicando el conjunto de oportunidades, las curvas de nivel y

la dirección de máximo crecimiento, así como dónde se sitúan los óptimos.

c) Resuelva, mediante la función de Lagrange el problema:

2 2

2 3

. . 9

Opt x y  

s a x y  

+

+ =  

¿se encuentran relacionadas las soluciones de este problema con las del apartado b?