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UNIVERSIDAD NACIONAL DE I N G E N I E RÍA Facultad de Ingeniería Ambiental Departamento Académico de Ciencias y Estudios Específicos Básicos

EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA 2 – AA 234 (E, F y G)

Profesores : Manuel Estrada, Sheila Malpartida y César Diez Fecha : 10 de octubre 2019 Indicaciones: No se permite el uso de copias ni apuntes. Está prohibido el préstamo de calculadoras,

correctores y el uso de celulares

Pregunta 1: ( 5 puntos)

Durante una prueba de ensayo de materiales, se somete a tracción una barra metálica de 1.1 cm de diámetro

y 30.5 cm de largo, cuya variación entre el esfuerzo y la deformación unitaria se muestra en la gráfica 1.

En la tabla 1 se muestran los datos del ensayo realizado.

Si la barra presenta un esfuerzo elástico límite de 50.0 MN/m2, siendo el módulo de elasticidad del material

344.7 GN/m2 y con coeficiente de Poisson de 0.30.

Tabla 1: ensayo de tracción

Esfuerzo ( x106 N/m2)

Deformación unitaria (x10-3)

23.4 0.07

50.0 1 70.0 0.25

80.0 2 72.0 3

Gráfica 1


(a) ¿Cuál es la variación de la longitud que se produce cuando la barra alcanza su límite elástico.?

(b) ¿Qué sucede con la barra cuando actúa sobre ella un esfuerzo de 70.0 MN/m2? ¿Cuál es la variación de

longitud en la barra?

(c) ¿Cuál es el esfuerzo que produce la rotura de la barra? ¿Cuál es la variación de longitud que se produce

en la barra?

Si se aplica una carga de 2 224N sobre la barra. Determine:

(d) El esfuerzo sobre la barra. ¿La barra se mantiene dentro del régimen elástico?, justifique su respuesta.

(e) La deformación unitaria final sobre la barra.

(f) La longitud final de la barra.

(g) El diámetro final de la barra.

Pregunta 2: (10 puntos)

Se coloca un resorte en forma vertical, de manera que, de un extremo libre se cuelga un bloque de masa m,

provocando que el resorte se estire una longitud y0, para luego permanecer en estado de equilibrio. Si el

resorte tiene longitud natural L0, constante de elasticidad k y masa muy pequeña:

(a) Realice un diagrama de cuerpo libre para el resorte y el bloque

(b) Establezca una relación de equilibrio entre los elementos del sistema.

En el sistema anterior, el bloque se desplaza una distancia pequeña desde su posición de equilibrio y se suelta,

observándose que ingresa en un régimen oscilatorio sin rozamiento alguno. Determine:

(c) El módulo de la fuerza neta sobre el bloque

(d) La ecuación diferencial del movimiento oscilatorio

(e) La frecuencia angular y el periodo del movimiento

Si en el sistema anterior, el valor de la constante del resorte 60 N/m, además la gráfica 2a representa la

posición del bloque (cm) vs tiempo (s) y considerando el desfasaje inicial 0 rad. Determine:

(f) La amplitud del movimiento en cm.

(g) El periodo y la frecuencia angular del movimiento

(h) La masa del bloque


Ahora, las oscilaciones anteriores se desarrollan sobre un medio con resistencia, dicho medio está

caracterizado por la constante de amortiguamiento b. La gráfica 2b representa la posición del bloque (cm) vs

el tiempo (s) en este movimiento. Determine:

(i) El periodo y la frecuencia angular del movimiento en este nuevo régimen de oscilación

(j) La constante de amortiguamiento b

(k) ¿Cuál sería el valor de la constante de amortiguamiento para producir una sobreamortiguación?

(l) Si se desea evitar que las oscilaciones se detengan, se aplica una fuerza externa sobre el sistema ¿qué

frecuencia angular debe tener esta fuerza externa para que el sistema entre en resonancia?


Una cuerda tensa se perturba, de tal forma que se generan ondas armónicas en ella. Los perfiles de onda

generados en los tiempos 0.0 s, 0.05 s y 0.10 s se muestran en las gráficas 3a, 3b y 3c respectivamente. Con

esta información, determine:

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3 0.325 0.35 0.375 0.4 0.425 0.45 0.475 0.5 0.525 0.55 0.575 0.6 0.625 0.65 0.675 0.7 0.725 0.75

Gráfica 2a

tiempo (s)

Posición (cm)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Posición (cm)

tiempo (s) Gráfica 2b


(a) El periodo, la frecuencia, el número de onda, la velocidad de la onda y la amplitud del movimiento.

(b) La función de onda

(c) La función posición dependiente del tiempo para un elemento de la cuerda ubicado a 50 cm del origen.

Grafique dicha función.

(d) La velocidad máxima de dicho elemento y el tiempo que alcanza dicho valor.

Gráfica 3a

Gráfica 3b

Gráfica 3c


EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA 2 – AA 234 (E, F y G)

Profesores : Manuel Estrada, Sheila Malpartida y César Diez Fecha : 10 de octubre 2019 Indicaciones: No se permite el uso de copias ni apuntes. Está prohibido el préstamo de calculadoras,

correctores y el uso de celulares


Durante una prueba de ensayo de materiales, se somete a tracción una barra metálica de 1.1 cm de diámetro

y 30.5 cm de largo, cuya variación entre el esfuerzo y la deformación unitaria se muestra en la gráfica 1.

En la tabla 1 se muestran los datos del ensayo realizado.

Esfuerzo ( x106 N/m2)

Deformación unitaria (x10-3)

23.4 0.07

50.0 1 70.0 0.25

80.0 2 72.0 3

Tabla 1: ensayo de tracción

Gráfica 1


Si la barra presenta un esfuerzo elástico límite de 50.0 MN/m2, siendo el módulo de elasticidad del material

344.7 GN/m2 y con coeficiente de Poisson de 0.30.

𝜙 = 1.1 𝑐𝑚 𝐿0 = 30.5 𝑐𝑚

(a) ¿Cuál es la variación de la longitud que se produce cuando la barra alcanza su límite elástico?

∆𝐿𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

De la gráfica 1 - 𝑆𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 50 × 106 𝑁 𝑚2⁄

⇒ 𝜀𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 =∆𝐿𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

𝐿0

= 0.15 × 10−3

⇒ ∆𝐿𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 = 𝐿0 ∙ 0.15 × 10−3 = 30.5 (𝑐𝑚) ∙ 0.15 × 10−3 = 4.6 × 10−3 𝑐𝑚

(b) ¿Qué sucede con la barra cuando actúa sobre ella un esfuerzo de 70.0 𝑀𝑁/𝑚2? ¿Cuál es la variación

de longitud en la barra?

𝑆 = 70 × 106 𝑁𝑚2⁄ , la barra no presenta un comportamiento elástico, puesto que 𝑆 > 𝑆𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒.

𝜀 = 0.25 × 10−3 =∆𝐿

𝐿0

⇒ ∆𝐿 = 0.25 × 10−3 ∙ 𝐿0

Luego: ∆𝐿 = 0.25 × 10−3 ∙ 𝐿0 = 0.25 × 10−3 ∙ 30.5 𝑐𝑚 = 17.6 × 10−3𝑐𝑚

(c) ¿Cuál es el esfuerzo que produce la rotura de la barra? ¿Cuál es la variación de longitud que se

produce en la barra?

De la gráfica 1 y tabla 1: 𝑆𝑟𝑜𝑡𝑢𝑟𝑎 = 72 × 106 𝑁𝑚2⁄

𝜀 = 0.54 × 10−3 =∆𝐿𝑟𝑜𝑡𝑢𝑟𝑎

𝐿0

⇒ ∆𝐿 = 0.54 × 10−3 ∙ 𝐿0

Luego: ∆𝐿 = 0.54 × 10−3 ∙ 𝐿0 = 0.54 × 10−3 ∙ 30.5 𝑐𝑚 = 16.5 × 10−3𝑐𝑚

Si se aplica una carga de 2 224N sobre la barra. Determine:

𝐹 = 2224 𝑁 𝛾 = 344.7 𝐺𝑁/𝑚2 𝜎 = 0.30

(d) El esfuerzo sobre la barra. ¿La barra se mantiene dentro del régimen elástico?, justifique su respuesta.

𝑆 =𝐹

𝐴=

2224 𝑁𝜋4

∙ (𝜙)2=

8896 𝑁

𝜋 ∙ (0.011𝑚)2= 23.4 × 106 𝑁

𝑚2⁄

Este esfuerzo es menor al esfuerzo límite, por lo tanto, se encuentra dentro del límite elástico.

(e) La deformación unitaria final sobre la barra.

𝜀 =𝑆

𝛾=

2340234.05 𝑃𝑎

344.7 𝐺𝑁/𝑚2= 0.068 × 10−3


(f) La longitud final de la barra.

𝜀 = 0.06789 × 10−3 =∆𝐿

𝐿0

⇒ ∆𝐿 = 0.06789 × 10−3 ∙ 𝐿0

Luego: ∆𝐿 = 0.256789 × 10−3 ∙ 𝐿0 = 0.06789 × 10−3 ∙ 30.5 𝑐𝑚 = 2.071 × 10−3𝑐𝑚

𝐿𝑓 = ∆𝐿 + 𝐿0 = 30.5 + 2.071 × 10−3𝑐𝑚 = 30.502 𝑐𝑚

(g) El diámetro final de la barra.

∆𝜙

𝜙= −𝜎 ∙

∆𝐿

𝐿0

⇒ ∆𝜙 = −𝜙 ∙ 𝜎 ∙∆𝐿

𝐿0

= −0.30 ∗ 1.1 𝑐𝑚 ∗ 0.06789 × 10−3

∆𝜙 = −0.0224 × 10−3 𝑐𝑚

𝜙𝑓 = ∆𝜙 + 𝜙0 = 1.1 − 0.0224 × 10−3𝑐𝑚 = 1.099 𝑐𝑚

Pregunta 2: (10 puntos)

Se coloca un resorte en forma vertical, de manera que, de un extremo libre se cuelga un bloque de masa m,

provocando que el resorte se estire una longitud y0, para luego permanecer en estado de equilibrio. Si el

resorte tiene longitud natural L0, constante de elasticidad k y masa muy pequeña:

(a) Realice un diagrama de cuerpo libre para el resorte y el bloque.

DCL del resorte y del bloque

Donde �⃗� es una fuerza de reacción, 𝐹𝑟⃗⃗ ⃗ es la fuerza restitutiva asociada al resorte y �⃗⃗⃗� es el peso del bloque.

(b) Establezca una relación de equilibrio entre los elementos del sistema.

Del DCL del bloque se observa que: 𝐹𝑟⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗⃗� = 0⃗ , así:

�⃗�

𝐹𝑟⃗⃗ ⃗

𝐹𝑟⃗⃗ ⃗

�⃗⃗⃗�

L0+y0


−𝑘𝑦0 + 𝑚𝑔 = 0 (ec. 1)

En el sistema anterior, el bloque se desplaza una distancia pequeña desde su posición de equilibrio y se suelta,

observándose que ingresa en un régimen oscilatorio sin rozamiento alguno. Determine:

(c) El módulo de la fuerza neta sobre el bloque.

Cuando el sistema está oscilando:

𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹𝑟⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗⃗� = (𝑘∆𝐿 − 𝑚𝑔)𝑗̂

Por lo tanto:

𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑘(𝐿𝑓 − 𝐿0) − 𝑚𝑔

𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑘(𝐿0 + 𝑦0 + 𝑦 − 𝐿0) − 𝑚𝑔

𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑘(𝑦0 + 𝑦) − 𝑚𝑔

De le ecuación 1:

𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑘(𝑦0 + 𝑦) − 𝑚𝑔 = 𝑘𝑦 (ec. 2)

(d) La ecuación diferencial del movimiento oscilatorio.

Aplicando la segunda ley de Newton y de la ecuación 2, la ecuación diferencial será:

�̈� + (𝑘

𝑚) 𝑦 = 0 (ec. 3)

(e) La frecuencia angular y el periodo del movimiento.

De la ecuación 3, la frecuencia angular natural del sistema (𝜔0) y el periodo (T) será:

𝜔0 = √𝑘

𝑚 y 𝑇 =

2𝜋

𝜔0= 2𝜋√

𝑚

𝑘 (ec. 4)

Si en el sistema anterior, el valor de la constante del resorte 60 N/m, además la gráfica 2a representa la

posición del bloque (cm) vs tiempo (s) y considerando el desfasaje inicial 0 rad. Determine:

(f) La amplitud del movimiento en cm.

De la gráfica 2a, la amplitud de la oscilación es 3.5 cm

(g) El periodo y la frecuencia angular del movimiento.

L0+y0

y

𝐹𝑟⃗⃗ ⃗

�⃗⃗⃗�


De la gráfica 2a:

2𝑇 = 0.725,

luego 𝑇 = 0.37 𝑠

(h) La masa del bloque.

Reemplazando en la ecuación 4:

𝑇 =2𝜋

𝜔0

= 2𝜋√𝑚

𝑘

𝑚 = 𝑘(𝑇

2𝜋)2 = 60 ∗ (

0.37

2𝜋)2

= 0.21 𝑘𝑔

Ahora, las oscilaciones anteriores se desarrollan sobre un medio con resistencia, dicho medio está

caracterizado por la constante de amortiguamiento b. La gráfica 2b representa la posición del bloque (cm) vs

el tiempo (s) en este movimiento. Determine:

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3 0.325 0.35 0.375 0.4 0.425 0.45 0.475 0.5 0.525 0.55 0.575 0.6 0.625 0.65 0.675 0.7 0.725 0.75

Gráfica 2a

tiempo (s)

Posición (cm)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Posición (cm)

tiempo (s) Gráfica 2b


El periodo y la frecuencia angular del movimiento en este nuevo régimen de oscilación

De la gráfica 2b:

𝑇′

4= 0.1

Luego, el periodo T’:

𝑇′ = 0.4 𝑠 y 𝜔′ =2𝜋

𝑇′ = 15.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠

(i) La constante de amortiguamiento b.

𝜔′ = √𝜔02 − (

𝑏

2𝑚)2 (ec. 5)

𝑏 = 2𝑚√𝜔02 − (𝜔′)2

Reemplazando:

𝑏 = 2 ∗ 0.21 ∗ √(17.097)2 − (15.708)2 = 3.3 𝑘𝑔/𝑠

(j) ¿Cuál sería el valor de la constante de amortiguamiento para producir una sobreamortiguación?

Para producir sobreamortiguamiento en la oscilación se debe cumplir:

𝜔02 − (

𝑏

2𝑚)2

< 0

Así:

𝑏 > 𝜔0 ∗ (2𝑚)

Reemplazando:

𝑏 > 2 ∗ 0.21 ∗ 17.097

𝑏 > 7.0 𝑘𝑔/𝑠

(k) Si se desea evitar que las oscilaciones se detengan, se aplica una fuerza externa sobre el sistema

¿qué frecuencia angular debe tener esta fuerza externa para que el sistema entre en resonancia?

La condición de resonancia en una oscilación es que la frecuencia angular de la fuerza externa (𝜔𝑑) sea igual

a la frecuencia angular natural del sistema, así:

(𝜔𝑑) = 𝜔0 = 17.1 𝑟𝑎𝑑/𝑠


Una cuerda tensa se perturba, de tal forma que se generan ondas armónicas en ella. Los perfiles de onda

generados en los tiempos 0.0 s, 0.05 s y 0.10 s se muestran en las gráficas 3a, 3b y 3c respectivamente. Con

esta información, determine:


(a) El periodo, la frecuencia, el número de onda, la velocidad de la onda y la amplitud del movimiento.

De las gráficas 3a, 3b y 3c se observa que la amplitud del movimiento de los elementos de la cuerda es 2 cm,

también se observa que la longitud de onda () es 80 cm.

El número de onda (k) será:

𝑘 =2𝜋

=

2𝜋

0.80= 7.8 𝑚−1

De las mismas gráficas, se observa que la partícula ubicada en la posición x = 0 cm, se ha alcanzado su

amplitud positiva en 0.10s, por lo tanto, el periodo será 0.40 s y la frecuencia (f) será:

𝑓 =1

𝑇=

1

0.40= 2.5 𝐻𝑧.

La velocidad de la onda (v):

λ = v ∗ T

𝑣 =λ

𝑇=

0.80𝑚

0.40𝑠= 2 𝑚/𝑠

(b) La función de onda.

En general, la función de onda es:

𝑦(𝑥; 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Calculando la frecuencia angular (𝜔):

𝜔 =2𝜋

𝑇=

2𝜋

0.40= 15.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Reemplazando en la función de onda:

𝑦(𝑥; 𝑡) = 0.02 𝑠𝑒𝑛 (7.8𝑥 − 15.7𝑡)𝑚 (ec. 6)

(c) La función posición dependiente del tiempo para un elemento de la cuerda ubicado a 50 cm del origen.

Grafique dicha función.

Para la partícula en mención x = 0.50 m, reemplazando en la ecuación 6:

𝑦(𝑥; 𝑡) = 0.02 𝑠𝑒𝑛 (7.8 ∗ 0.50 − 15.7𝑡) = −0.02 𝑠𝑒𝑛(15.7𝑡 − 3.9) (ec. 7)

De esta función de onda se observa que esta partícula tiene un desfasaje, es decir que el movimiento

oscilatorio que realiza lo inicia (en t = 0 s) en una posición diferente a y = 0, así:

𝑦(0.50; 0) = −0.02 𝑠𝑒𝑛(−3.9) = −0.014 𝑚


(d) La velocidad máxima de dicho elemento y el tiempo que alcanza dicho valor.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto del tiempo de la función de onda (ecuación 7):

𝑣𝑦 =𝜕𝑦

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡(−0.02 𝑠𝑒𝑛(15.7𝑡 − 3.9)) = 0.31 cos(15.7𝑡 − 3.9)𝑚/𝑠

Así, la velocidad máxima es 0.31 m/s

El tiempo en el que alcanza este valor será cuando:

cos(15.7𝑡 − 3.9) = 0

Así, la primera vez que alcanza el valor máximo la velocidad será en t = 0.25 s

-0.030

-0.020

-0.010

0.000

0.010

0.020

0.030

0 1 2 3 4 5 6 7 8

po

sici

ón

(m

)

Tiempo (s)

Gráfica 3a

Gráfica 3b


Gráfica 3c

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