Escuela Superior Politécnica del LitoralInstituto de Ciencias Matemáticas 

CÁLCULO DIFERENCIAL Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010 

10 de julio de 2009  

SOLUCIÓN Y RÚBRICA DEL EXAMEN 

 

NOTA: En  los ejercicios que  involucren el cálculo de  límites, NO ESTA PERMITIDO  la aplicación de  la regla de L’Hopital 

Tema 1  

Califique cada una de las siguientes proposiciones como Verdaderas o Falsas. Justifique su afirmación. 

a. (4 puntos) Si     es una función de variable real con regla de correspondencia   , entonces   tal que | |  

1 0 

1 1 

| | 1 

Por lo tanto la proposición es VERDADERA  1. 

 

Se puede observar que: 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a 

determinar la cota o califica correctamente la proposición sin 

justificar 

Grafica parcialmente la función (o intenta 

realizar un acotamiento a la función) 

Realiza la gráfica de la función correctamente 

(o realiza un acotamiento de la misma por procesos algebraicos) y no 

concluye 

Califica correctamente la proposición 

mostrando procesos correctos y completos, e indicando un valor de 

M válido 

0  1  2‐3  4  

b. (4 puntos)  lim

1 

Considere   por lo que: 

lim 1

1  

lim

 

0 

Por lo tanto la proposición es FALSA. 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No de esos 

dete e o 

Realiza io de v  

est  a 

Eval nte 

em  

Calific ente 

mo os c

sarrolla proccoherentes que conduzcan a rminar el límit

califica correctamente la proposición sin 

justificar 

 un cambariable pertinente quepermita transformar la función original a otra con límite conocido en 

el punto dado (o ablece alguna cota

la función g(x)=sen(x)) pero no es consistente con la tendencia de la 

nueva variable. 

úa correctameel límite de la función por simple inspección 

(o  aplicando el teorema del paredado) y noconcluye 

a correctamla proposición strando proces

orrectos y completos 

0  2‐3  4 1 

 

c. (4 puntos) lim 0 1

1 1, 1 00, 1 0 

1, 1 1 0, 0 1 1 

1, 20, 1 2 

lim 1 1 

lim 1 0 

Por lo tanto: 

lim 1  no existe 

 

Desempeño 

Por definición: 

Por lo que: 

Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente No de esos 

dete e o 

Realiza  de la 

def n 

r  

Aplic  de 

co  

Calific ente 

c

sarrolla proccoherentes que conduzcan a rminar el límit

califica correctamente la proposición sin 

justificar 

 la gráficafunción interna o intenta aplicar la inición de la funció

escalón unitario pero se equivoca en la esolución de lasdesigualdades. 

a la definiciónla función escalón 

unitario (o por medio gráfico) y evalúa los limites unilaterales rrectamente pero no

concluye 

a correctamla proposición 

mostrando procesos orrectos y completos 

0  2‐3  4 1 

 

 

 

d. (4  puntos)  Sea  una  función  continua  en  todos  los  reales  cuya  regla  de  correspondencia  se expresa como: 

, ,  

, 0 , 0  

La función   es continua en  0, sin embargo no es derivable en  0. 

Desempeño 

entonces   es derivable en  . 

La proposición es FALSA.  

Contraejemplo: 

Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente No de esos 

deter ción 

co  

Muest ca de 

con os 

f   

c  (de x)) 

co s 

m  

Calific ente 

m  

(def ) y 

sarrolla proccoherentes que conduzcan a minar si la fun

es continua en el punto x=0 o califica rrectamente la

proposición sin justificar 

ra la gráfialguna función pero la misma no cumple con 

la hipótesis de tinuidad en tod

los reales, o no define expresamente las unciones g(x) y h(x)

Establece un ontraejemplo

finiendo g(x) y h(la misma que es ntinua en todos lo

reales pero no justifica completamente si la isma es derivable en

x=a. 

a correctamla proposición ostrando algúncontraejemplo iniendo g(x)y h(x)

estableciendo la validez del mismo. 

0  1  4 2‐3  

Tema 2  

Calcule cada uno de los siguientes límites 

a. (5 puntos) lim  

 

lim1

1 5 5  

lim1

1 5 5  

lim1

5 1 55 5 5

5

 

lim1

5 1 55 5 5

5

 

lim

Se conoce que: 

0 , lim 1 , lim 0 , lim 1

lim1

1 5 5

  

Por lo tanto: 

15 

 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No de esos 

det ite 

Agrupa  mente 

de el 

Proce ción 

ad  y 

deno  una 

estab  

si  

Evalúa ente sarrolla proccoherentes que conduzcan a erminar el lím

adecuadalos términos, pero no muestra procesos adicionales que conlleva a la terminación d

límite. 

de a la agrupade términos ecuadamentedivide tanto al numerador y minador, para

expresión que conduce a límites de funciones 

conocidas, leciendo su valor,

pero se equivoca al mplificar la expresión

resultante. 

 correctamel límite dado 

0  1‐2  5 3‐4 

 

b. (5 puntos) lim √  

lim√ 1 1

2 

lim√ 1 1

2

√ 1 1√ 1 1

 

lim1 1

2 √ 1 1  

lim2

2 √ 1 1  

lim1

√ 1 1  

Por lo tanto: 

lim√ 1 1

212 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No de esos 

de  

Mul nto d  

num fica 

d  

sim  la e  c  

Calcul ente 

pr y 

sarrolla proccoherentes que conduzcan a la terminación de lo

solicitado 

tiplica, taenominador comonumerador, por la conjugada del erador y simpli

términos semejantes, pero no simplifica los 

factores del enominador ynumerador. 

Procede a la plificación de

xpresión resultante yalcula el límite, pero se

equivoca en la evaluación 

a correctamel límite mostrado ocesos coherentes 

correctos 

0  3‐4  5 1‐2 

 

 

 

c. (5 puntos) lim | | 

Se conoce que:  

| 4| 4, 4 4, 4  

| 4| 4 4

lim| 4| 1

3

Observe que, debido a que se solicita el límite de la función cuando x tiende a 3, entonces para valores cercanos a 3  se tiene que: 

 

Por lo que: 

 

lim4 1

3 

lim3

3 

Por lo tanto: 

lim| 4| 1

31 

 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No de esos 

det ite 

Aplica  ón de 

abs er 

corre de la 

compo  de la 

p  

Evalúa ente sarrolla proccoherentes que conduzcan a erminar el lím

la definicila función valor oluto para obten

la regla de spondencia 

función por la derecha y la izquierda del punto x=2, pero se equivoca al escoger la expresión 

resultante. 

Analiza el rtamiento

función por la derecha y por la izquierda del unto x=2  y calcula loslímites, pero no 

concluye 

 correctamel límite solicitado 

0  3‐4  5 1‐2 

 

d. (5 puntos) lim √ 8 9 √ 8 9  

 

lim

8 9 8 9  

lim

8 9 8 98 9√ √ 8 9

√ 8 9 √ 8 9 

lim

8 9 8 9√ 8 9 √ 8 9

 

lim

16√ 8 9 √ 8 9

 

lim

16

√ 8 9 √ 8 9 

lim

16

√ 8 9 √ 8 9 

lim

16

8 9 8 9 

lim

16

1 8 9 1 8 9 

Por lo tanto: 

lim

8 9 8 9 8 

 

 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a la 

dete  lo 

Multiplica y divide por la conjugada y procede a la simplificación expres

p  

Procede a dividir tanto numerador como 

minador para la  x 

e  

Determina el límite solicitado 

correctamente mos  el rminación de

solicitado 

de la  

denomáxión resultante

ero no realiza artificiosadicionales que permita 

calcular el límite solicitado. 

ima potencia desimplificando la 

expresión resultante (máximo 3 puntos) y calcula el límite (4 puntos), pero se 

quivoca en los cálculos

trando todoproceso. 

0  5 1‐2  3‐4 

 

Tema 3 

a. (5 puntos) Sea  la función   con regla de correspondencia , 0

, 0. De ser 

posible hallar el valor de   para que   sea continua en  0.  

lim

1 3

 

Considere: 

1  

1  

13

1  

Por lo que: 

lim

1 3

 

lim 1

3 1 

lim

31

1 

lim

3

11 

3

lim

11  

Por lo tanto: 

lim

1 3

3 

3 

 

Desempeño 

Por lo que: 

Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente No desarrolla procesos 

coherentes que conduzcan a la 

determinación de lo 

Aplica el cambio de variable pertinente que permita transformar la función original encon lím punto x  

v  

n

Realiza manipulaciones algebraicas a la función transformada con el fin 

tener el límite en el p  se 

Determina correctamente lo 

solicitado mostrado el desarrollo completo y correc cicio. solicitado 

 otra  de obite en el 

=0 conocido, pero seequivoca en la 

tendencia de la nueva variable, o determina el alor de A calculando ellímite directamente sin 

ingún proceso. 

unto x=0, peroequivoca en algún 

cálculo (por ejemplo no evalúa el logaritmo natural a la expresión 

resultante) 

to  del ejer

0  5 1‐2  3‐4  

 

 

 

 

 

 

b. (5  puntos)  Utilizar  la  definición  formal  de  límites  para  demostrar  que  lim √ 1 1 

 Determinemos un   tal que 

0 | 2| √ 1 1  

 que:   Puesto

| 2| | 1 1| 

√ 1 

1 √ 1 1  

 como  

√ 1Y

1 1 Entonces: 

| 2| √ 1 1 √ 1 1  

 

√ 1 1  

Reescribiendo lo anterior se tiene que: 

√ 1 

1 | 2| √ 1 1  

Por lo tanto:  

esempeño DInsuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No desarrolla procesos coherentes que co

determinación de lo solicitado 

Establece la definición de límite para la 

función dada e intenta establecer la relación entre delta y épsilon. 

Realiza un acotamiento  que permite 

establecer la relación entre el antecedente y el consecuente de la 

nición de límite, pero n el 

Demuestra correctamente el límite 

de la función dada estableciendo 

claramente la relación entre delta y épsilon 

nduzcan a la lo

defi se equivoca eacotamiento. 

0  1‐2  3‐4  5         

c.   puntos)  En  el  diagrama  mostrado  a  continuación,  bosqueje  la  región  ,  siendo                     

, /0 3

(4

,  

 

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No desarrolla procesos coherentes que 

Identifica la gráfica  de alguna de las 

conduzcan a la determinación de lo 

solicitado 

ecuaciones pero se equivoca 

significativamentelos pa  de la 

esta  de l  radio  recta 

Bosqueja correctamente la 

gráfica de la circunferencia, así 

 la de las rectas, per  la reg a. 

Sombrea correctamente la región 

solicitada, 

 en  comorámetros

misma (por ejemplo, no blece el centro

a circunferencia ni elo coloca la 

en una posición incorrecta) 

o no sombreaión solicitad

0  4 1  2‐3      

 

    

Tema 4

a.  puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la gráfica de una función que umpla con las siguientes condiciones: 

0 0 0 | | | 3|   

0 0 0 3   

0 0 0 3   

1 |   

0 0 | |   

 

(5c

0 0 |

  

Desempeño Insuficiente  Regular  Satisfactorio  Excelente 

No desarrolla procesos coherentes que conduzcan a la 

deter inación de lo licitado 

Interpreta correctamente las 

definiciones formales de límites dadas, pero 

no realiza la interpretación gráfica 

de las mismas

Grafica las asíntotas oblicuas y verticales y a lo mucho 2 de las otras condiciones de límites 

propuestas 

Grafica correctamente la función solicitada, mostrando claramente las asíntotas verticales y oblicuas así como las otras condiciones establecidas. 

mso

 0  1‐2  3‐4  5 

   

b. (5 puntos) Cons 

ider con n

i.

e la gráfica mostrada a  tinuación de una funció  de variable real   

estime, de ser posible:  

 

 

12

∆∆

 

0,60,2

 

3 

ii.

 

1∆∆

1    

 

 

30.4

 

7,5 

iii.  

 

  

12

∆∆

 

10,8

 

1,25 

iv.   

  

1∆∆

1

 

11 

1 

v. 2  No es derivable en  2  

o s  aplica en cada literal del ejercicio. 

Desempeño 

 

Est   e

Insuficiente  Regular  Excelente No desarrolla procesos 

coherentes que conduzcan a la determinación de lo solicitado 

Grafica de manera coherente la recta 

tangente a la curva en cada punto dado (excepto en el quinto literal en el 

cual la derivada no existe), pero se equivoca 

significativamente en la estimación de la 

pendiente de la recta tangente (por ejemplo, no considera el signo de la pendiente, o escoge 

valores que no se ajusta a la recta graficada por el 

estudiante) 

Grafica y estima adecuadamente el valor de la pendiente de la recta tangente (excepto en el quinto literal en el cual la derivada no existe) 

0  0,5  1