República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Cátedra: Matemáticas. Examen (Corte I)

Evaluación: 30% del Semestre

Valor de examen: 20 ptos

Periodo 2015-2

Matemática II

Resultados del Examen

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total

Nota

Fecha de Aplicación: _______________________________________

Nombre y Apellido: _________________________________________

Cédula de Identidad del Participante: ___________________________

Código de la Carrera en la que Participa: ________________________

INSTRUCCIONES GENERALES.

SEMESTRE II

INGENIERÍA

Con la aplicación del siguiente examen correspondiente al corte I, se estarán

evaluando las unidades 1 y 2 del programa de la asignatura matemática II del Instituto

Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.

El examen está estructurado en cuatro (4) partes: Verdadero y falso, completación,

selección múltiple y desarrollo. El total de preguntas es de catorce (14)

Al iniciar cada parte del examen; usted debe leer detenidamente las instrucciones y

responder de acuerdo a ellas. Traté de Responder primeramente los ejercicios de menor

grado de dificultad para usted.

Para responder el examen, usted dispone de 3 horas, culminado este tiempo, usted

deberá regresar al profesor el examen respondido y con todos los datos llenos solicitados

en la carátula.

Solo estará permitido el uso de calculadoras científicas no programables, las tablas

que sirven de apoyo a la materia las cuales serán revisadas antes de dar inicio al examen,

lápices de grafito, saca puntas, borrador, juego de escuadras y compás

Antes de dar inicio a la aplicación del examen, usted deberá apagar su teléfono

celular eso evitará la distracción suya y la de sus compañeros.

Para el logro de la pregunta usted deberá responder correctamente todo lo

solicitado en cada una de ellas.

“Éxito”

I PARTE (VERDADERO O FALSO)

Instrucciones: A continuación se presentan varias afirmaciones. Analiza si cada una de

ellas es verdadera o falsa. Explique su respuesta. Cada respuesta correcta tiene el valor de un

punto (1 Pto.)

1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación....................... ( )

2) Dada la formula ∫cos udu=cosu+c entonces es............................................ ( )

3) La identidad trigonométrica sen2 x=cos2−1 es…………………....................... ( )

4) La integral de ∫ x5dx=5 x+cse dice que es…………...................................... ( )

II PARTE: COMPLETACIÓN Instrucciones: en cada una de las siguientes preguntas escribe el término que le dé

lógicamente un significado verdadero a la proposición. Cada respuesta correcta tiene el valor un

punto (1 Pto.)

5) Dada ∫ senudu= _________________________________________________________

6) La integración de expresiones de la forma ∫ P (x)Q(x )

dx donde el polinomio Q(x) ha

de ser:

____________________________________________________________________

7) La integral por partes ∫udv = _______________________________________________

III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE

Instrucciones: En cada uno de los siguientes ítems selecciona la alternativa que consideres

correcta. Cada respuesta bien respondida tiene el valor de un punto (1 Pto.).

8) La integral = ∫ dxX 4

=¿

a) x3

3+C b) 5 x+C

c) x−3

5+C d)−x

−3

3+C

9) La integral ∫ (x2+5 )3 xdx=¿¿

a) 14

(x3+5 )4+C b) 14

(x3+5 )3+C

c) 18

(x2+5 )4+C d) 18

(x3+25 )3+C

10) La integral ∫ x sec2 ( x )dx=¿

a) x3 tan ( x )−ln|sec ( x )|+C b) tan ( x )+ ln|sec ( x )|+C

c) tan ( x )−ln|sec ( x )|+C d) xtan ( x )−ln|sec ( x )|+C

11) La integral ∫ dx√ x2−64

=¿¿

a) sec ( x )+ tan ( x )+C b) ln|x3+√ x−64|+C

c) ln|sec2 ( x )+ tan2 ( x )|+C d) ln|x+√ x2−64|+C

IV Parte: DESARROLLO

Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada y detallada. Cada

respuesta correcta tiene un valor de tres puntos (3 Pts.).

12) ∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx

13) ∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx

14) ∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x )dx

Ver patrón de corrección

PATRÓN DE CORRECCIÓN

I PARTE: VERDADERO O FALSO

1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación..................................... (V)

Respuesta: verdadero, porque la integración es lo inverso de la derivación.

2) Dada la formula ∫cos udu=cosu+c entonces es...................................................... (F)

Respuesta: falso, porque la integral anterior es una integral directa definida en las

tablas de integrales así: ∫cos udu=senu+C

3) La identidad trigonométrica sen2 x=cos2−1 es.......................................................... (F)

Respuesta: falso, porque la identidad trigonométrica correcta es: sen2 (x )+cos2 ( x )=1

4) La integral de∫ x5dx=5 x+c es................................................................................. (F)

Respuesta: falso, porque es una Integral directa que según las tablas de integrales la

definen como ∫undu= un+1

n+1+C ,conn≠−1, luego la solución es ∫ x5dx=¿ x

6

6+C ¿

II PARTE: COMPLETACIÓN

5) Dada ∫ senudu= −cos (u )+C_ Integral directa que se define en las tablas de

integrales_

6) La integración de expresiones de la forma ∫ P (x)Q(x )

dx donde el polinomio Q(x) ha

de ser: _Q ( x )≠0__De no ser así, no estaría definida en el campo de los números

reales__________________________________________________________________

7) La integral por partes ∫udv = uv−∫ vdu__Fórmula que se aplica para determinar las

integrales por partes_______________________________________________________

III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE

8) La integral = ∫ dxX 4

=¿ , Al subir el denominador el exponente cambia de signo de esta

forma ∫ dxx4

=∫ x−4dx ; se integra usando la fórmula ∫undu= un+1

n+1+C ,conn≠−1

luego la integral resultante es ∫ x−4dx= x (−4+1)

(−4+1 )=−x−3

3+C , por lo tanto la opción

correcta, es la opción (d)

9) La integral ∫ (x2+5 )3 xdx=¿¿ , Aquí aplica un cambio de variable de la siguiente

forma:

u=x2+5 , du=2 xdx y du2

=xdx ; luego, aplicando este cambio de variable en la

integral original quedaría de esta forma: ∫ (x2+5 )3dx=∫u3 du2 =12∫u

3du

Al proceder a resolver la integral, utilizando la fórmula ∫undu= un+1

n+1+C ,conn≠−1

resulta 12∫ u

3du=¿( 12 )( u4

4 )+C=u4

8+C ¿ , posteriormente se procede a devolver el

cambio de esta forma u4

8+C=

(x2+5 )4

8+C=1

8(x2+5 )4+C , por lo tanto la opción

correcta, es la opción (c)

10) La integral ∫ x sec2 ( x )dx=¿ , para resolver esta integral se aplica el método de

integración por parte cuya formula ∫udv = uv−∫ vdu ; se procede a realizar los

siguientes cambios u=x , du=dx y dv=sec2 ( x )dx , integrando esta última en

ambos términos ∫ dv=∫sec2 ( x )dx, arroja como resultado lo siguiente: v=tan ( x ) ,

luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales por parte resulta lo

siguiente ∫ x sec2 ( x )dx= xtan ( x )−∫ tan ( x )dx .

Resolviendo la integral ∫ tan ( x )dx por medio de la fórmula directa de integración

∫ tan xdx=ln|sec ( x )|+C

Queda finalmente como resultado que: ∫ x sec2 ( x )dx= xtan ( x )−ln|sec (x )|+C , por lo

tanto la opción correcta, es la opción (d)

11) La integral ∫ dx√ x2−64

=¿ , para resolver esta integral se aplica el método de sustitución

trigonométrica así:

Sea x=8 sec (u); donde

0<u< π2, Si x>8 y π<u<(3 π2 ) , si x←8. Entonces dx=8 sec u tan udu , luego

aplicando los cambios en la integral original resulta algo como lo que se muestra a

continuación: ∫ dx√ x2−64

=∫ 8 sec(u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82; ahora bien ∫ 8 sec (u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82

se

puede simplificar así:

∫ 8 sec (u) tan(u)du√82 sec2 (u )−82=88∫

sec (u ) tan (u )du

√sec2−1=∫ sec (u ) tan (u )du

√ tan2 (u )=∫ sec (u ) tan (u )du

tan (u ),

finalmente ∫ dx√ x2−64

=∫ sec (u )du=ln|sec (u )+ tan (u )|+C , seguidamente se

devuelve el cambio a la variable X. para ello hay que apoyarse en las siguientes figuras.

y

x

√ x2−64

8

x

Figura 1 (X>8)

y

x

−√ x2−64

-8

-x

Figura 2 (X<-8)

En ambas figuras, se puede apreciar que sec (u )= x8 y tan (u )=√x2−64

8 , aplicando a:

∫ dx√ x2−64

=∫ sec (u )du=ln|sec (u )+ tan (u )|+C , Resulta:

∫ dx√ x2−64

=ln|x8+ √ x2−648 | Luego;

∫ dx√ x2−64

=ln|x+√x2−64|−ln (8 )+C.

Nota: el Ln (8) es una constante, por lo tanto se le suma a la constante C, finalmente el

resultado queda así: ∫ dx√ x2−64

=ln|x+√x2−64|+C , esto implica que la opción

correcta, es la opción (d)

IV Parte: DESARROLLO

12) ∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx , para resolver esta integral, hay que apoyarse en el método de las

fracciones parciales a saber:

∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx=∫ ( x−1 )x (x2−x−2 )

dx=∫ [ Ax + B( x−2 )

+ C( x+1 ) ]dx

Factorización:

Ecuación N° 1 [ ( x−1 )

(x3−x2−2x )¿=¿]

Regla del método:

Ecuación N° 2 [ ( x−1 )x ( x−2 ) (x+1 ) ]=[ Ax + B

( x−2 )+ c

( x+1 ) ] Nota: x≠0 ,2 ,−1

{Hasta aquí considere un punto}

Resolviendo:

De la ecuación II se obtiene:

Ecuación N° 3 ( x−1 )= [ (A+B+C ) X2+(−A+B−2C ) X−2 A ], esta ecuación es una

identidad, la cual es cierta para todos los valores de x incluyendo 0,2 y –1. Deseamos

encontrar las constantes, A, B, y C. De aquí se desprende lo siguiente:

A+B+C = 0 A =12

-A+B-2C = 1 B = 16

-2A= -1 C = −23

{Hasta aquí considere dos puntos}

Ahora se sustituyen los valores de las variables A , B , y C en la integral y queda de esta

forma:

∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx=∫ [ AX + B(X−2 )

+ C(X+1 ) ]dx=∫ [( 12x )+( 1

6( x−2 ) )+( −2

3(x+1 ) )] dx

Se aplica propiedades de las integrales y resultan:

∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx= 12∫

dxx

+ 16∫

dx( x−2 )

−23∫

dx( x+1 )

Nos apoyamos en la integral inmediata ∫ duu =ln|u|+C , y se hacen los cambios de

variables necesarios para obtener los resultados de cada una de las integrales

resultantes, así:

a) 12∫

dxx

=12ln|x|+C

b) 16∫

dx( x−2 )

=16∫

duu

=16ln|u|+C=1

6ln|x−2|+C , haciendo u= (x-2) y du=dx

c) −23 ∫ dx

(x+1 )=−23 ∫ duu =−2

3ln|u|+C=−2

3ln|x+1|+C , haciendo u= (x+1) y

du=dx. Por lo tanto:

∫ ( x−1 )(x3−x2−2 x )

dx= 12ln|x|+ 1

6ln|x−2|−2

3ln|x+1|+C

{Hasta aquí considere tres puntos}

13) ∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx , para resolver esta integral nos apoyaremos en el álgebra de

integrales mediante la siguiente fórmula ∫ [ f (u )+g (u ) ] du=¿∫ f (u )du+∫ g (u )du ,¿

{Hasta aquí considere un punto}

Ahora aplicando la fórmula respectiva y haciendo los arreglos pertinentes se tiene:

∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=5∫ x3dx+6∫ x2dx+3∫ x dx+5∫ dx

Para resolver se utiliza ∫undu= un+1

n+1+C ,conn≠−1

{Hasta aquí considere dos puntos}

Finalmente:

∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=5∫ x3dx+6∫ x2dx+3∫ x dx+5∫ dx=54 x4+2 x3+ 3

2x2+5 x+C

∫ (5 x3+6 x2+3x+5 )dx=54x4+2x3+3

2x2+5 x+C

{Hasta aquí considere tres puntos}

14) ∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x ) dx, para resolver esta integral se aplica el método de integración

por parte cuya formula ∫udv = uv−∫ vdu ; se procede a realizar los siguientes

cambios u=(x2+7 x−5 ) , du=(2 x+7 )dx y dv=cos (2x ) dx , integrando esta última

en ambos términos ∫ dv=∫cos (2 x )dx , arroja como resultado lo siguiente:

v= sen (2 x )2

, luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales resulta

∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x )dx=12 [ (x2+7x−5 ) (sen (2x ) ) ]−12∫ ( sen (2 x ) ) (2 x+7 )dx .

{Hasta aquí considere un punto}

Aplicamos el método de integración por partes a la última integral, teniendo en cuenta

que:

u= (2 x+7 )2

, du=dx , dv=se n (2x )dx , y v=−cos (2x )2

, luego

∫ [ (2 x+7 )2 ] [ sen (2x ) ]dx=−1

4(2 x+7 ) [cos (2x ) ]+ 12∫ cos (2 x )dx

∫ [ (2 x+7 )2 ] [ sen (2x ) ]dx=−1

4(2 x+7 ) [cos (2 x ) ]+ 14 sen (2x )+C

{Hasta aquí considere dos puntos}

Finalmente:

∫ (x2+7 x−5 )cos (2 x ) dx=12 [ (x2+7x−5 ) (sen (2x ) ) ]+ 14 [ (2 x+7 ) ( cos (2x ) ) ]−14 [sen (2 x ) ]+C

{Hasta aquí considere tres puntos}