Examenes Li

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Exámenes Lógica Informática

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  • Soluciones de exmenes deLgica informtica

    Jos A. Alonso Jimnez

    Grupo de Lgica ComputacionalDpto. de Ciencias de la Computacin e Inteligencia ArtificialUniversidad de SevillaSevilla, 10 de Junio del 2004 (Versin del 8 de febrero de 2009)

  • 2 Jos A. Alonso: Soluciones de exmenes de Lgica informtica

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  • ndice general

    Curso 200607 5Examen de Abril de 2007 (primer parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Examen de Junio de 2007 (segundo parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Examen de Junio de 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Examen de Septiembre de 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Examen de Diciembre de 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Curso 200506 27Examen de Abril de 2006 (primer parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Examen de Junio de 2006 (segundo parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Examen de Junio de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Examen de Septiembre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    Curso 200405 55Examen de Abril de 2005 (primer parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Examen de Junio de 2005 (segundo parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Examen de Junio de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Examen de Septiembre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Examen de Diciembre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    Curso 200304 85Examen de Junio de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Examen de Septiembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    Curso 200203 101Examen de Junio de 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Examen de Septiembre de 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Examen de Diciembre de 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    Curso 200102 123Examen de Junio de 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Examen de Septiembre de 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    3

  • 4 Jos A. Alonso: Soluciones de exmenes de Lgica informtica

    Curso 200001 141Examen de Junio de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Examen de Septiembre de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Examen de Diciembre de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

  • Curso 200607

    5

  • 6 Jos A. Alonso: Soluciones de exmenes de Lgica informtica

    Examen de Abril de 2007 (primer parcial)

    Ejercicio 1 Demostrar o refutar las siguientes afirmaciones:

    1. F es satisfacible si y slo si toda consecuencia lgica de F es satisfacible.

    2. Todo conjunto de frmulas inconsistente tiene al menos un subconjunto consistente.

    3. Sea T un tablero de S1, I un modelo de una hoja abierta de T y S2 S1. Entonces,I |= S2.

    Solucin:Apartado 1: La proposicin es verdadera. Veamos una prueba:

    1. Si F es satisfacible, entonces toda consecuencia lgica de F es satisfacible.

    Si F es satisfacible, entonces tiene algn modelo. Sea I un modelo de F (I |= F).Tenemos que probar que para toda G tal que {F} |= G, G es satisfacible.Sea G tal que {F} |= G. Por definicin de consecuencia lgica, todo modelo de F estambin modelo de G. Por tanto, I |= G, de donde se deduce que G es satisfacible.

    2. Si toda consecuencia lgica de F es satisfacible, entonces F es satisfacible.

    Basta tener en cuenta que {F} |= F.Apartado 2: Si consideramos slo conjuntos no vacos, la proposicin es falsa. Como

    ejemplo, podemos considerar el conjunto S = {p p} que es inconsistente y no tieneningn subconjunto no vaco consistente. Ahora bien, si consideramos el conjunto vaco,la propusicin es cierta, puesto que es un conjunto consistente de frmulas, que essubconjunto de cualquier conjunto de frmulas inconsistente.

    Apartado 3: La proposicin es verdadera. En efecto, si T es un tablero de S1, e I esun modelo de una hoja abierta de T , entonces I |= S1. Como S2 S1, se tiene tambinque I |= S2.

    Ejercicio 2 Decidir, mediante tableros semnticos, si la frmulaF : (p q r s) (r q p)

    es tautologa. Si no lo es, calcular a partir del tablero, un modelo de F, una forma normalconjuntiva de F y una forma clausal de F.

    Solucin:Un tablero para la frmula F es

  • Examen de Abril de 2007 (primer parcial) 7

    1. ((p q r s) (r q p))2. p q r s (1)3. (r q p) (1)4. r q (3)5. p (3)6. r (4)7. q (4)

    8. (p q) (2)

    10. p (8)Cerrada(10 y 5)

    11. q (8)Cerrada(11 y 7)

    9. r s (2)

    12. r (9)Cerrada(12 y 6)

    13. s (9)Abierta

    {p,r, q,s}Como el tablero tiene una rama abierta, la frmula F no es insatisfacible y, por

    tanto, la frmula F no es tautologa. Un modelo de F es la interpretacin I tal queI(p) = I(q) = 1 e I(r) = I(s) = 0.

    Por otra parte, de las ramas abiertas del tablero obtenemos una forma normal dis-yuntiva de F, FND(F) = pr qs. Por tanto, una forma normal conjuntiva deF ser la frmula p r q s. De aqu, una forma clausal de F es {{p, r,q, s}}.

    Ejercicio 3 Usando resolucin proposicional, comprobar la consistencia del siguiente conjuntode frmulas: {p q, q p, r q, q r p,(q r) p}Solucin:

    En primer lugar, calculamos las formas clausales de cada frmula del conjunto:

    p q (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) {{p,q}, {p, q}}

    q p q p {{q, p}}

    r q r q {{r, q}}

    q r p q (r p) (q r) (q p)) {{q, r}, {q, p}}

  • 8 Jos A. Alonso: Soluciones de exmenes de Lgica informtica

    (q r) p (q r) p (q r) p (q p) (r p) {{q, p}, {r, p}}

    Aplicando resolucin proposicional al conjunto de clusulas

    {{p,q}, {p, q}, {q, p}, {r, q}, {q, r}, {r, p}}se obtiene el siguiente grafo:

    Obsrvese que el grafo es saturado y que las clusulas no subsumidas son {p}, {q}y {r}. Por tanto, el conjunto de frmulas es consistente. Un modelo del mismo es unainterpretacin I tal que I(p) = 1 e I(q) = I(r) = 0.

  • Examen de Junio de 2007 (segundo parcial) 9

    Examen de Junio de 2007 (segundo parcial)

    Ejercicio 4 Se considera la siguiente sentencia: Existe una persona tal que si dicha personapaga, entonces todas las personas pagan.

    1. Formalizar la sentencia usando el smbolos P(x) para representar que x es una personaque paga.

    2. Decidir, mediante tableros semnticos, la validez de la sentencia.

    3. Decidir, mediante resolucin, la validez de la sentencia.

    Solucin:Apartado 1: Una formalizacin de la sentencia esx(P(x) yP(y)).

    Apartado 2: Para decidir la sentencia calculamos un tablero semntico de su nega-cin

    1 x(P(x) yP(y))2 (P(a) yP(y)) (1a)3 P(a) (2)4 yP(y) (2)5 P(b) (4)6 (P(b) yP(y)) (1b)7 P(b) (6)8 yP(y) (6)

    Cerrada (7 y 5)

    Como el tablero es cerrado, la sentencia es vlida.Apartado 2: Para decidir la sentencia calculamos una forma clausal de su negacin

    x(P(x) yP(y)) x(P(x) yP(y)) x(P(x) yP(y)) x(P(x) yP(y)) xy(P(x) P(y))sat x(P(x) P( f (x))) {{P(x)}, {P( f (x))}}

    Se obtienen dos clusulas C1 = {P(x)} y C2 = {P( f (x))}. Para resolverlas, le aplica-mos a la C1 el renombramiento = [x/x1] obteniendo C1 = C1 = {P(x1)} y al resolvercon C2, utilizando el unificador [x1/ f (x)] se obtiene la clusula vaca. Por tanto, la sen-tencia es vlida.

    Ejercicio 5 Se considera la siguiente argumentacin: Hay estudiantes inteligentes y hayestudiantes trabajadores. Por tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.

  • 10 Jos A. Alonso: Soluciones de exmenes de Lgica informtica

    1. Formalizar la argumentacin usando los siguientes smbolos:

    P(x) para representar que x es un estudiante inteligente y

    Q(x) para representar que x es un estudiante trabajador.

    2. Decidir, mediante resolucin, la validez de la argumentacin mostrando una prueba o uncontraejemplo de Herbrand obtenido a partir de la resolucin.

    Solucin:Apartado 1: La formalizacin de la argumentacin es

    xP(x) xQ(x) |= x(P(x) Q(x)).Apartado 2: En primer lugar calculamos una forma clausal de la premisa

    xP(x) xQ(x) xP(x) yQ(y) xy(P(x) Q(y))sat y(P(a) Q(y))sat (P(a) Q(b)) {{P(a)}, {Q(b)}}

    En segundo lugar, calculamos una forma clausal de la negacin de la conclusin

    x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x)) {{P(x),Q(x)}}

    Finalmente calculamos las resolventes de las clusula obtenidas

    Al no obtenerse la clusula vaca, la argumentacin no es vlida. Un contramodelo deHerbrand es la interpretacin I = (U, I) con U = {a, b}, I(P) = {a} e I(Q)