Parcial de Mecánica de fluidos- Teoría

� Escriba las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento (en forma diferencial)

para un movimiento de un líquido de densidad y viscosidad constantes. Simplifíquelas

primero en el caso de que el movimiento sea unidireccional y después si además es

estacionario.

� Expresa la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en forma diferencial

para un fluido incompresible de viscosidad constante. Indique el significado de cada

término.

Si queremos conocer únicamente el campo de velocidades para este tipo de fluido,

¿hace falta resolver el sistema completo de ecuaciones de Navier-Stokes?

� Defina el tensor gradiente de velocidades, desconpóngalo en su parte simétrica y

antisimétrica e indique cual es el sentido físico y la información contenida en cada

parte.

� Explica porque el movimiento de un volumen de fluido sometido a una aceleración

lineal constante o una velocidad de rotación constante en condiciones estacionarias se

puede resolver mediante las ecuaciones de la fluidostática. Como se llama este tipo de

movimiento fluido?

� Explica el significado físico de una senda, una traza y una línea de corriente en un flujo

de un fluido. En qué caso las tres coinciden?

� Un campo de velocidades viene dado por la siguiente ley:

kxyjyixyvrrrr +−= 3

312

Indique si se trata de un campo bidimensional, ¿por qué?. Demuestre que esta ley

puede describir el movimiento de un fluido incompresible. Calcule el campo de

aceleraciones.

� El movimiento no estacionario bidimensional de un fluido tiene las siguientes

componentes de velocidad:

� � �

��� � �

��

Determine la ecuación de las líneas de corriente y la de la senda de la partícula fluida

que en t=0 ocupa la posición (x0, y0).

� El campo de velocidades de un fluido viene dado por la expresión:

�� � �3� � ���� � ��� � ����

Calcular el campo de aceleraciones.

� Considera el campo de velocidad dado por ��� � ��� � ���� para determinar la ecuación

de la línea de corriente que pasa por el punto (2,1). ¿Qué tiempo le lleva a una partícula

fluida moverse desde este punto hasta el punto donde x=4?

� �

� , � � 0.25 �

� En cada uno de los casos siguientes, indica si el movimiento fluido es:

- estacionario o no estacionario

- uniforme o no uniforme (se desprecia la existencia de capas limites para e-f-g)

- 1D, 2D o 3D (solo para a-b-c-d).

Justifique brevemente sus respuestas.

a. u=10xt+3x2, v=5t, w=0

b. u=20, v=0, w=0

c. u=yt+3x2, v=x, w=2y

d. u=0, v=t, w=10

e. Flujo de caudal constante en un codo

f. Flujo en un conducto convergente, en donde el caudal de fluido aumenta

progresivamente

g. Flujo en un conducto de sección constante en donde el caudal aumenta

progresivamente.

� El cilindro circular de la figura tiene una densidad relativa de 0,9. Si el sistema está en

equilibrio estático, encuentre la densidad relativa del fluido desconocido.

� !"#$% � 0.85

2 m

1 m Agua Fluido desconocido

� Un hidrómetro es un instrumento que permite medir la densidad de líquidos; se utiliza

por ejemplo para evaluar la cantidad de anti-congelante en el radiador de un coche, o la

carga de una batería, ya que la densidad del agua cambia cuando está sujeta a una carga

eléctrica.

Este instrumento consiste en un tubo que flota en el líquido. La parte superior de

diámetro d sobresale del líquido, mientras que la parte inferior contiene una sustancia

pesada que permite mantener el hidrómetro en equilibrio. En agua, la superficie libre

coincide con la graduación 1 en el tubo superior, y el volumen sumergido del

hidrómetro es V; con un líquido diferente, el tubo se desplaza verticalmente una

distancia ∆h respecto de la graduación 1.

Expresa la diferencia de altura ∆h en función de la densidad específica del líquido

incógnito (γ=ρ/ρagua) y de parámetros ligados a la geometría del hidrómetro.

� Un cojinete de aire se construye con un disco circular que emite aire desde múltiples

agujeros pequeños en su superficie inferior.

- Encuentra una expresión para la velocidad radial bajo el cojinete, suponiendo que el

flujo es uniforme, estacionario e incompresible (en función del radio, r, de la

velocidad media de salida del aire, v, y de la separación entre el cojinete y la

superficie solida, h).

- El cojinete flota 1.5 mm sobre una superficie y el aire fluye a través del cojinete con

una velocidad promedio v=2 m/s. Si el cojinete tiene 1 m de diámetro, encuentra la

magnitud y ubicación de la aceleración radial máxima que experimenta una partícula

de fluido en la separación.

Se recuerda que en coordenadas cilíndricas, la componente radial de la aceleración

se expresa de la forma siguiente:

1

Agua

Substancia

pesada

1 ∆h Liquido

�' � �

'

(

)' � �'*+,

*'�

-.

/(. 0 � 2,22. 103 4/� para 0 �$

� 0.5 4

� Un acelerómetro sencillo puede ser hecho con un tubo en U lleno de liquido como lo

muestra la figura. Encuentra una expresión del vector aceleración en función de la

diferencia de altura del líquido entre los dos ramos, y las propiedades del fluido.

)� � 6(

7

� Un depósito abierto por su parte superior a la atmósfera contiene un líquido en su

interior. A una profundidad h por debajo de la superficie libre, el líquido sale con una

velocidad a través de un orificio de diámetro muy pequeño comparado con el del

depósito. Calcule la ecuación de la trayectoria del chorro libre que se forma en función

de su velocidad de salida vs.

h

h

L

ax

d

v h vr

r

vs

� � �6�.

+8.

� Consideramos un flujo de agua estacionario en un codo de 90° de sección decreciente.

A la entrada al codo, la presión absoluta del agua es de 221 kPa y el área de la sección es

de 0.01 m2. A la salida, el área de la sección es de 0.0025 m

2 y el agua sale con una

velocidad de 16 m/s. La presión a la salida es la atmosférica. Determinar la fuerza

necesaria para mantener el codo en su sitio.

� En el seno de un fluido, que tipo de fuerza es la presión? Explicar la diferencia entre la

presión absoluta de un fluido y su presión manométrica. Refiriéndose al caso de la

pregunta anterior, cual es el valor de la presión manométrica del agua a la entrada del

conducto en kPa y en bares?

� Un chorro bidimensional horizontal de un líquido ideal choca con una pared sólida con

una inclinación α. El chorro tiene un espesor A y la velocidad del líquido es V. Sabiendo

que no existen fuerzas másicas, determine los espesores A1 y A2 de cada una de las dos

capas paralelas a la pared en que se divide el chorro.

9� �9

2�1 � :;�<�, 9 �

9

2�1 � :;�<�

� Un chorro libre de agua de 4cm de diámetro se mueve con una velocidad V1=30 m/s y es

reflectado un ángulo θ=30° por un álabe, tal y como se muestra en la figura. Debido a la

A

A1

A2

V

V1

V2 α

x

y

fricción, la velocidad de salida tiene un valor V2=28 m/s. Calcule la fuerza necesaria para

mantener el álabe inmóvil.

Fx=-217 N, Fy=528 N

D1

D2 V2

V1

θ

PREGUNTAS TÍPICAS DE TEORIA (EXAMEN FINAL)

� La velocidad de propagación C de una onda capilar en aguas profundas es función

exclusivamente de la densidad ρ, de la longitud de onda λ y de la tensión superficial σ. Aplique

el análisis dimensional para determinar cuáles son los parámetros que de forma más simple

determinan completamente el problema. ¿Cómo variará la velocidad de propagación si se

duplica el valor de la tensión superficial conservando constantes la densidad y la tensión

superficial?

����� � ��

� Un viscosímetro de cono y placa consta de un cono con un ángulo muy pequeño, α, el cuál gira

sobre una superficie plana, como muestra la figura. El par necesario para girar el cono a una

velocidad constante es una medida directa de la resistencia viscosa, que es la forma en que este

aparato se puede usar para encontrar la viscosidad del fluido. Así, el par τ es una función del

radio, R, del ángulo del cono, α, de la viscosidad del fluido, µ, y de la velocidad angular ω.

- Considera el análisis dimensional para expresar esta información como una dependencia

funcional entre grupos adimensionales.

- Si α y R se mantienen constantes, ¿cuánto cambiará el par si se duplican la viscosidad y la

velocidad?

�� � , �� � ����� , � multiplicado por 4

� Un avión de combate de longitud 10 metros está diseñado para volar a una velocidad de crucero

de 200 m/s en condiciones atmosféricas estándar (donde la velocidad del sonido en el aire se

puede aproximar a 340 m/s). Se tiene que evaluar la fuerza de arrastro del avión a partir de

medidas en túneles de viento.

Dos túneles de viento están disponibles:

- Uno con aire en condiciones estándar

- Uno criogénico que utiliza nitrógeno a una temperatura de -90°C y una presión de 500 kPa.

En estas condiciones, la densidad del nitrógeno es de 7.7 kg/m3, su viscosidad cinemática es

de 1.56.10-6

m2/s, y la velocidad del sonido es 295 m/s.

ω

τ

R

α Fluido de viscosidad µ

¿Cuál es el parámetro adimensional correspondiente a la fuerza de arrastre? Identifique los

parámetros adimensionales que tienen que quedarse constantes para una similitud dinámica

completa.

¿Es posible conseguir una similitud dinámica completa en el túnel de aire? Si es el caso, indique

la longitud del modelo y la velocidad del aire necesarios.

Misma pregunta para el túnel criogénico.

�� � ��������� , � � ��

� , �� � ��� (o el Mach)

No se puede conseguir una similitud dinámica completa en el túnel de aire.

En el túnel criogénico: !" � 173.5 (/*, +" � 1.2 (

� La fuerza de arrastre FD sobre un cuerpo en el seno de un fluido depende del tamaño

característico del cuerpo, de la velocidad del fluido incidente V, de la densidad ρ y de la

viscosidad µ del fluido. Determinar los parámetros adimensionales que caracterizan el arrastre,

en el caso de que el cuerpo sea una esféra de diámetro D.

Se ha de predecir la fuerza de arrastre sufrida por un sónar, basado en los datos obtenidos en un

túnel de viento. El prototipo real (una esfera de diámetro 300 mm) se arrastra a 9 km/h en agua

de mar (ρ =1025 kg/m3, ν=1,4.10

-6 m

2/s). El modelo de ensayo en el túnel de viento tiene un

diámetro de 150 mm. Determinar la velocidad requerida en el túnel de viento para cumplir la

similitud con el prototipo (viscosidad del aire ν =1,45.10-5

m2/s). Si se mide una fuerza de

arrastre sobre el modelo de ensayo de 25 N, estimar FD sobre el prototipo.

�� � -.�/

� 012 � �314 5 !314 � 51.6 (/*

�� 012 � �� 314 5 7� 012 � 200 9

� Se considera la caída libre de una esfera pequeña en un líquido de viscosidad µ alta. En estas

condiciones, las fuerzas inerciales son despreciables frente a las viscosas, y por lo tanto la

densidad no es factor importante.

En consecuencia, la fuerza de arrastre F experimentada por la esfera durante su caída

depende únicamente de la viscosidad dinámica del fluido µ, del diámetro de la esfera D y de

su velocidad de caída U.

• Encuentre el/los parámetros adimensionales que rigen el proceso.

• En caso de que no se haga la hipótesis de fuerzas inerciales despreciables, encuentre los

parámetros adimensionales que rigen el fenómeno.

• Indicar la condición (en términos de un número adimensional) que se ha de cumplir para

que la inercia pueda ser considerada despreciable frente a las fuerzas viscosas.

• Se considera una esfera de aluminium de 1 cm de diámetro, caíendose en glicerina pura

(ρ =1200 kg/m3, µ =1.4 Pa.s). Utilizando una camára de vídeo, se mide su velocidad

terminal, la cuál es igual a U=6 cm/s. En este caso particular, se cumple la condición de

la pregunta c?

� Una copépoda es un crustáceo de aproximadamente 1 mm de diámetro. Queremos conocer la

fuerza de arrastre sobre la copépoda cuando se mueve despacio en agua pura. Se ha construido

un modelo a una escala 100 veces superior al tamaño del animal y se prueba en glicerina a una

velocidad V=30 cm/s. La fuerza de arrastre medida sobre el modelo es de 1,3 N. En condiciones

similares, ¿cuál es la velocidad y la fuerza de arrastre de la copépoda real en agua?

Agua: µ=1 mPa.s, ρ=1000 kg/m3 - Glicerina: µ=1,5 Pa.s, ρ=1250 kg/m3

� A través de un tubo circular de diámetro D fluye aire en regimen permanente y densidad

constante ρa, el cual está aguas abajo de una tobera sin fricción de diámetro d, como muestra la

figura. Suponiendo que el flujo es unidimensional y que el manómetro mide una deflexión h,

encuentra la velocidad V a la salida de la tobera en funcion de h, D, d, ρa y la densidad del fluido

manométrico ρm.

D d V Pa

Fin de la tobera

h ρm

� Un chorro de aire axisimétrico con un diámetro de 10 mm choca contra un disco vertical fijo de

200 mm de diámetro. La velocidad del aire es de 50 m/s a la salida de la boquilla. En el centro

del disco se encuentra una toma de presión conectada a un manómetro en U. Calcular la

deflexión h si la densidad del líquido en el manómetro es de 1750 kg/m3. Calcular la fuerza

ejercida por el chorro sobre el disco.

: � 87 ((

� Enunciar la ecuación de Bernouilli y todas las condiciones necesarias para que se puedan aplicar

a un flujo de fluido dado.

� Un Airbus A320 está volando en la tropósfera a una altitud de 10000 metros. Su velocidad

relativa al aire es V=800 km/h. En estas condiciones, ¿el aire alrededor del avión se puede

considerar como incompresible o compresible?

¿Que instrumento del avión permite al piloto obtener la velocidad de la aeronave con respecto

al aire?

N.B.: Hemos visto en clase que en la tropósfera, la temperatura del aire se obtiene con la

formula:

<.=/ � <> ? �=

donde z es la altitud en km, T0 = 288 K y c =6.5 K/km.

� Con respecto al flujo sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido, ¿qué significan

los términos “arrastre de presión” (o arrastre de forma) y “arrastre viscoso” (o arrastre de

fricción)? Explica muy brevemente como se puede obtener el valor de cada uno. ¿Cuál de los 2

suele ser el más importante en el valor del arrastre total?

� El efecto de rotación juega un papel importante en la trayectoria de las balas de golf, de ping

pong o de tenis.

• En términos de fuerzas aerodinámicas, ¿cómo afecta la rotación a la trayectoria de

objetos esféricos?

h

V=50 m/s

Es importante conocer la tasa de disminución de la velocidad de rotación de una bola en vuelo.

El par aerodinámico T actuando sobre la bola depende de su velocidad de avance V, de la

densidad ρ del aire y de su viscosidad µ, del diámetro D de la bola, de su velocidad angular ω, y

también del diámetro d de las abolladuras en la superficie de la bala.

• Determinar los parámetros adimensionales que intervienen en ese problema.

<@ABCD , � � @ACB

E , AC! , F

C

� Definir y explicar el sentido físico del espesor convencional de capa límite, de su espesor de

desplazamiento y de cantidad de movimiento.

� En un conducto bidimensional de altura constante h, entra aire con una velocidad uniforme U1.

En las superficies superior e inferior se desarrollan capas limites idénticas. Se supone que estas

últimas son turbulentas desde la entrada, de tal forma que el perfil de velocidades se puede

aproximar con la expresión:

�GB

� HIJKL/M

donde U2 es la velocidad central en una sección 2 del conducto, situada a una distancia x de la

entrada. El flujo es estacionario e incompresible. Además, se considera que en esta sección 2, la

velocidad u alcanza los 99% de U2 a una distancia de 8 cm de la pared.

Expresa la relación entre las velocidades centrales U1/U2 en función de h.

Solución: Conservación del caudal entre la sección 1 y la 2 : GL: � GB.: ? 2JN/

Espesor de desplazamiento: JN � O H1 ? P��K FIQ

> � J O R1 ? SL/MTFSL> � Q

U con S � VQ

J � 0.08( ya que es la posición en donde P

�� � 0.99 (definición del espesor convencional)

Entonces JN � 0.01 ( y ���� � 1 ? >.>B

X

� Comenta las principales diferencias cualitativas entre el perfil de velocidades dentro de una capa

límite laminar y de una capa límite turbulenta.

Cuando se trata de generar sustentación en las alas de un avión, o empuje en una turbina, ¿por

qué es preferible tener una capa límite turbulenta en lugar de laminar a lo largo del perfil

aerodinámico?

Si el número de Reynolds del flujo corresponde al de una capa límite laminar (por ejemplo

cuando Re<5x105 sobre una placa plana), ¿cómo se puede provocar artificialmente la transición

turbulenta en la capa límite, guardando todos los parámetros del flujo constantes?

� Para cada afirmación, indica la o las respuestas correctas:

- El espesor de una capa límite laminar sobre una placa plana aumenta como:

(a) x (b) x4/5 (c) x1/7

(d) x1/2 (e) ninguno

- La transición de una capa límite laminar a turbulenta sobre una placa plana ocurre a un

numero de Reynolds de

(a) 1 (b) 100 (c) 2300 (d) 500000

- En una capa límite sobre una placa plana

(a) δ, δ* y θ son iguales

(b) δ < δ* < θ

(c) θ < δ* < δ

(d) δ < θ < δ*

- El desprendimiento de la capa límite ocurre cuando

(a) El espesor de la capa límite se reduce a cero

(b) La velocidad a la pared sólida es nula

(c) Cuando el gradiente de presión ∂p/∂x en y=0 es igual a 0.

(d) Cuando el gradiente de velocidad trasversal ∂u/∂y se hace infinito.

� Se transporta aire (condiciones estandares) en un conducto liso de 500m de longitud con

sección rectangular de 30x20 cm. Para un caudal de 0.24 m3/s, calcula la caida de presion a lo

largo del conducto.

Viscosidad cinemática del aire en condiciones estándar: ν=1,6.10-5

m2/s

� Se trata de dimensionar un conducto para transportar un caudal de 7 litros/s de petróleo crudo

de densidad 900 kg/m3 y de viscosidad dinámica µ=0.184 m

2/s. La pérdida de carga máxima

admisible en el conducto es de 2 m para una longitud de 100 m. En este caso, ¿qué diámetro ha

de tener el conducto si se supone que el flujo es laminar a lo largo del tubo?

Se ha de verificar la hipótesis de flujo laminar a posteriori.

C � 0.13 (

� Debido a la corrosión y a las incrustaciones, la altura de la rugosidad equivalente, k, de una

tubería aumenta con los años de servicio, t, variando según la ecuación:

Y � Y> Z [�

Donde k0 es la rugosidad de la tubería nueva. Para una tubería de hierro fundido, k0=0.26 mm y

ε=0.00001 m por año. Calcula la descarga (flujo volumétrico) de agua a través de una tubería de

hierro fundido con diámetro de 20 cm, 500 m de longitud:

- cuando la tubería está nueva

- después de 20 años de servicio

Suponga que la caída de presión es constante e igual a 150 kPa.

� Considera un tanque grande lleno de agua que se vacía a través de una tubería horizontal de

diámetro D y longitud L=100D, situada cerca del fondo del tanque. La entrada a la tubería es de

bordes vivos (coeficiente de pérdida de carga K1=0,5) y hay una válvula de bola para controlar el

flujo. La válvula está completamente abierta, y en este caso su coeficiente K2 es igual a 0,1.

Encuentra una expresión para la velocidad promedio de salida !\ en función de la altura de agua

H en el tanque, considerando el flujo cuasi estacionario. El número de Reynolds en la tubería es

4500, y el conducto es hidráulicamente liso.

Comenta el resultado, comparándolo con el que se obtiene considerando el flujo como ideal (sin

fricción).

D

L=100D

V

!\ � ]0.3125^_

� Un viscosímetro sencillo y preciso está constituido simplemente por un trozo de tubo capilar. Si

el caudal volumétrico y la caída de presión a lo largo del tubo están medidos, y si la geometría

del tubo está conocida, la viscosidad de un fluido newtoniano circulando en él se puede calcular

fácilmente. Una prueba con un líquido de densidad igual a la del agua y de viscosidad incógnita

da los datos siguientes:

Caudal volumétrico: Q=880 mm3/s

Diámetro del tubo capilar: D=0.5 mm

Longitud del tubo: L= 1m

Caída de presión: ∆p= 1 MPa

Determinar la viscosidad dinámica del líquido. Se supondrá que el flujo este completamente

desarrollado en el tubo.

E � 1,74. 10a" bc. *