Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Exmenes resuel t os Fsica I y Fsica II Curso 2010/ 2011 Grado en Tecnol ogas Indust rial es Fsi ca I 1Apellidos,Nombre GrupoCUESTIONES1.Untren,apartirdelreposo,aceleraalolargodelaestacindemanerauniformearaznde0,6 m/s2. Un pasajero en la estacin a 5 metros de la puerta del tren corre tras l con unaaceleracinde1,2m/s2conelpropsitodealcanzarlo.Cuntotiempotardaelpasajeroparallegaralapuerta?A)3.0sB)17sC)7.1sD)5.6sE)4.1sSolucinTomando como origen de coordenadas la posicin inicial del pasajero, las ecuaciones quedescribenlapasicindelpasajeroydelapuertadeltrenson:2210 0 1, 2215 0 0, 62papux t tx t t= + += + +Enelinstanteenqueelpasajeroalcanalapuerta:2 21 1 101, 2 5 0 0, 6 ; 4,12 2 0, 6pa pux x t t t t s = = + + = = 2.Unmorterolanza,desdeelsuelounagranadaconunavelocidadde200m/s.conunngulode 45 Calcula la aceleracin tangencial y normal de la granada a) En el instante dellanzamiento.b)Cuandolagranadaalcanzasualturamxima.SolucinDelafiguraparaelapartadoa)2 29, 8 45 6, 93; 9, 8cos 45 6, 93 t na sen ms a ms = = = = Yparaelapartadob)20; 9, 8 t na a ms= = Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Primer ParcialFSICA I n nt9,8ms29,8ms2t 23.Unproyectilesdisparadoconunavelocidadinicialde1000m/senunngulode370sobrelahorizontal. Si se desprecia la resistencia del aire, la velocidad del proyectil en el punto msaltodelatrayectoriavaleaproximadamente: A)600m/sB)800m/sC)640m/sD)0m/sE)160m/sSolucinEnestetipodemovimientos,aldespreciarlaresistenciadelairela cosx ox oV cte V V u = = = .Enelpuntomsaltodelatrayectoriala 0yV = ,porconsiguientelavelocidadenelpuntomsaltovienedadapor:1 11000( ) cos37 0 800( ) V ms i j ms i = + = LuegolarespuestacorrectaeslaB)4.CuldelassiguientesafirmacionesincluyetodosloselementosesencialesdelaprimeraleydeNewton?,A)Un cuerpo en reposo persiste en su estado, excepto que acte una fuerza externa nonula.B)Un cuerpo persiste en su estado de reposo o de movimiento uniforme en una lnearectaenlamedidaenquelafuerzaexternanetapermanececonstante.C)Paracadaaccinhayunareaccinigualyopuesta.D)Un cuerpo persiste en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniformeexceptoqueacteunafuerzaexternanetadistintadecero.E)Laaceleracindeuncuerpoesproporcionalalafuerzaexterna neta queactasobreelmismoyalamasadelcuerpo.5.Culdelossiguientesdiagramasdecuerpolibrerepresentaelcochequevacuestaabajosinaceleracin?A)(1)B)(2)C)(3)D)(4)E)(5)Solucin:Si el coche se mueve sin aceleracin la fuerza total en la direccin X tiene que ser nula, porconsiguiente tiene que existir una fuerza de rozamiento que contrarreste la componente delpesoenladireccinX,luegolarespuestacorrectaeslaC. 36.Deunbloquedemasamsetiraenladireccinquesemuestra en la figura a travs de una superficie rugosaconunaaceleracinconstante.Lamagnituddelafuerzaderozamientoes, A)kmgB)TcosumaC)k(Tmg)D)kTsenuE)k(mg+senu)SolucinSiescribimoslasegundaleydeNewtonenelejexsecumple:cos ; cosr rT F ma F T ma u u = = PortantolarespuestacorrectaeslaB)7.Una masa de 4 kg en el extremo de una cuerda gira en un movimiento circular sobre unamesahorizontalsinrozamiento.Lamasatieneunavelocidadconstantede2m/syelradiodelcrculoesde0,80m.Culeslamagnituddelafuerzaresultantequeactasobrelamasa?A)39NB)0NC)20ND)30NE)44NSolucinSidescribeunmovimientocircularsetienequecumplir:Elpesoylanormalseanulan,siendolatensindelacuerdaTlaresultantequeactasobrelamasa,yalaplicarlasegundaleydeNewton:2 224 200, 8nVT ma m NR= = = = LuegolarespuestacorrectaeslaC)8.Para un observador situado en una guagua que movindose hacia la derecha y frenabruscamente con una aceleracin uniforme a , el diagrama de fuerzas sobre una esfera quecuelgadeltechoes: DadoqueelobservadosituadoenlaguaguaesunO.N.I.eneldiagramadefuerzastienequetenerencuentalafuerzadeinerciadevalor ma ysentidocontrarioasuaceleracin,portantolarespuestacorrectaeslaB)Tmgma(ATmgma(BTmgma(CTmgma(D 4150N100N200N100 Nm0,6m 0,4m 0,5m 0,5m0,2m60GPROBLEMAS1.ReducirelsistemadefuerzasqueactasobrelavigaaunsistemafuerzaparequivalenteenelpuntoGDado el sistema de referencia de la figura, escribiremos la expresin vectorial de todos losvectores que van desde el punto G ( origen de coordenadas) al punto de aplicacin de cadaunadelasfuerzas,asmismoexpresaremosestasensuscomponentesxey. 10, 5 0,1 r i j = + 1100100 3 F i j = + ( )1, 1 196, 6GM r F Nmk = = 20, 4 0,1 r i j = + 10150 F i j = ( )2, 2 260GM r F Nmk = = 30 r = 30100 F i j = 3, 3 30GM r F = = 100 76, 8 R i j = ( )1, 2, 3,156, 6total G G GM M M M Nmk = + + = Por consiguiente el sistemafuerzaparequivalenteenelpuntoGes:;ijkF1F2F3iriFiM10076, 8 R i j = ( ) ( ) ( ) 100 156, 6 56, 6 M Nmk Nmk Nmk = = 52.Losdosbloquesquesemuestranenlafiguraseencuentranoriginalmenteenreposo.Sisedesprecian las masas de las poleas y el efecto de rozamiento en stas y se supone que loscoeficientes de rozamiento entre el bloque A y la superficie horizontal son 0, 20s = y0,15k = , a) Dibuje el diagrama de fuerzas para cada bloque y justifique que inicia elmovimiento.Determine:b)laaceleracindecadabloque,c)latensinenelcable.Solucin Para que el sistema inicie el movimiento se tiene que cumplir que la tensin T seasuperioralafuerzaderozamientomximaentreelbloqueAylasuperficie.Dado que el bloque A se mantiene siempre sobre la superficie horizontal (,0yAa = ) la fuerzanormal N que ejerce la superficie tiene que ser; en este caso; igual a el peso, y la fuerza derozamientomximaseobtienemediantelaexpresin,max r sF N = ,luego,maxN 294; 0, 2 294 58,8rN F N = = = Planteamoslassiguientesecuaciones:ParaqueelbloqueAsedesplacehacialaderecha: 58,8 0 T > ElbloqueBsetienequedesplazarhaciaabajo,luego 245 3 0 T > ( ) 3 58, 8 0245 3 0245 176, 4 0TT > > >Inecuacinqueevidentementeesverdadera,luegoelsistemasemueve.TANmg=294NFrB3Tmg=245NTT TTxAYBCondicindeligadura:xA+3yB=cte+ 6Volvemos a escribir la segunda ley de Newton para cada bloque pero ahora la fuerza derozamientoqueinterviene,eslafuerzaderozamientodinmica 0,15 294 44,1rF N = = .44,1 30245 3 25ABT aT a = =Delacondicindeligadura 3A Ba a = ,resolviendoelsistema,seobtiene:2 20, 38; 1,15; 78, 48B Aa ms a ms T N = = = 73.Calcularlatensindelacuerdaylaaceleracinconlaquesemuevenrespectodelcarritoyrespectoalsuelolosbloquesdelafigurasiaqulsedesplaza:a)convelocidadconstante.b)conaceleracinconstantede2m/s2hacialaderecha.Solucina)Resolveremoselproblema,desde elpuntodevistadeunobservadorsituadoenel carrito,para este acaso al moverse con velocidad constante es un O.I. (observador inercial) eldiagramadefuerzasparaelsistemaeselquemuestralafigura.Consideramos que tanto la cuerdacomo la polea son ideales, lo cualimplica que la tensin en cadatramo de la cuerda es el mismo yque la tensin igual a ambos ladosde la polea, por tanto la tensinqueejercelacuerdaalbloqueAesla misma que la ejercida al bloqueB.EscribimoslasegundaleydeNewtonparacadaunodelosbloques:ParaelbloqueA0; N 9, 8 ; 0, 2 9, 8 1, 961, 96 1y A rx x AF mg N F NF ma T a= = = = == =ParaelbloqueB19, 6 2BT a = Condicin de ligadura (A Bx y cte + = ) se tiene queA Ba a = , resolviendo el sistema seobtiene:25,88;7,84A Ba a ms T N= = = Las aceleraciones de cada bloque respecto del suelo, teniendo en cuenta que en este caso laaceleracindearrastreescero,lasaceleracionesrespectoalcarritoyrespectoalsuelosonlasmismas.Podemosescribirlasenformavectorial:2 25,88 ( ) ; 5,88 ( )A Ba ms i a ms j = = ABT T 19,6N9,8N N Fr=1,96N=9,8NO.I 8Cuando el carrito acelera hacia la derecha, el observador situado en el mismo es un O.N.I.(observador no inercial) por tanto adems de las fuerzas reales tiene que aadir una fuerzaficticia, la fuerza de inercia, cuyo valor es la masa de la partcula por la aceleracin delobservador, y de sentido el contrario a su aceleracin.:I oF ma = , en el digrama de fuerzasdelafigurasemuestraloanterior.Aligualqueenelapartadoa),escribimoslasecuacionesparacadaunodelosbloques:ParaelbloqueA0; N 9, 8 ; 0, 2 9, 8 1, 961, 96 2 1y A rx x AF mg N F NF ma T a= = = = =' = =ParaelbloqueB(ahoraelbloqueBrozaconlasuperficievertical 0, 2N 0, 8rF N ' ' = = )19, 6 0, 8 2BT a' = Condicindeligadura:A Ba a ' ' = ,resolviendoelsistemaseobtiene:25, 21;9,17A Ba a ms T N' ' = = = Las aceleraciones de cada bloque respecto del suelo, teniendo en cuenta que en este caso laaceleracin de arrastre es 2oa i = , las aceleraciones respecto al carrito y respecto al suelovienendadaspor:2 2 202 202 ( ) 5, 21 ( ) 7, 21 ( )2( ) 5, 21 ( )A AB ba a a i ms ms i ms ia a a ms i ms j ' = + = + =' = + = ABT T 19,6N9,8N N Fr=1,96N =9,8NO.N.IFI=2 N FI=4 N N=4 N Fr=0,8 N 1 Apellidos, Nombre Grupo Cuestin 1.- El momento de inercia de un cuerpo irregular de 20 kg, respectodeunejequepasaporsucentrodemasasesiguala2,8 kgm2 El momento de inercia de este objeto respecto a un eje paralelo al anterior y que dista 0,2 m de l es: a) 2,8 kg m2 c) 2 kg m2 b) 3,6 kg m2d) 3,2kg m2 Cuestin2.-UnsistemaestformadopordospartculasAyB.La partculaAtieneunamasamA=2,0kgysemuevehacialaderecha,sentidoque consideraremos positivo, a una velocidad respecto al centro de masas * 1Av 12ms= . La otra partcula B tiene una masa mB = 3,0 kg. La velocidad respecto al centro de masas de la partcula B es: a) 12 m/sb) -12mJsc) 8,0 m/sd)-8,0 m/s Cuestin 3.- -Un cilindro de masa m y radio R (212I mR = ) tiene una cuerda enrollada en su periferia. El otro extremo de la cuerda est sujeto al techo. Se suelta el cilindro desde el reposo. Cuando el centro de masas del cilindro ha descendido una altura h, la velocidad angular del cilindro es igual a: a) 23gh b)23mghc) 1 43ghR d) 12ghR Cuestin4.--UncilindroderadioRruedasindeslizarconvelocidadangulare por una superficie plana; la velocidad lineal de los puntos A y B tienen un valor: a);A BV Ri V Ri e e = = b)0;A BV V Ri e = =

c)0; 2A BV V Ri e = = d); 2A BV Ri V Ri e e = = Cuestin5.-Elsiguientediagramamuestracincocilindros,cadaunodeloscuales giraconunavelocidadangularconstantealrededordesuejecentral.Semuestrala magnitud de la velocidad tangencial de un punto de cada cilindro, junto con la radio y la masa de cada cilindro. Qu cilindro tiene el momento angular ms grande? Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Final 2PARCIALFSICA I CDM 0,2 m A B a)b)c)d) 2 Cuestin6.-Ungasseexpandecomosemuestra enelgrfico.Sielcalortomadoduranteeste proceso es 61, 02 10 J y 1 atm = 1,01 x105 N/m2, la variacin de la energa interna del gas es a)62, 42 10 J b) 61, 40 10 J c)61, 02 10 J d) 61, 02 10 J Cuestin 7.- En el diagrama PV de la figura, para un gas ideal, podemos afirmar: a)EltrabajoenelprocesoABCesel mismo que en el proceso ADC. b)Lavariacindeenergainternaenel procesoABCeslamismaqueenel proceso ADC. c)El trabajo en el proceso AB es 40 kJ. d)El trabajo en el proceso ADC es 40 kJ Cuestin 8.- La figura representa un diagrama PV para un proceso adiabtico y para unprocesoisotrmico.Ungasideal experimentaunaexpansinypasadeun volumenViaunvolumenVf.Delafigura podemos decir que el trabajo de expansin: a)Es mayor en el proceso isotrmico. b) Es mayor en el proceso adiabtico. c) Es igual en ambos procesos. d) Nopodemoscompararlostrabajos enestosprocesossinoconocemos los datos numricos.BACDV(m3) P(Pa) 200 100 0,20 0,40 Adiabtica V(m3) P(Pa) ViVf Isoterma AB6543211 2 3 4 5 6 7 8P(atm)V(m3)3 Problema1.-Losextremosdeunavarillauniforme ABde20kgestnunidosacollarinesdemasa despreciablequesedeslizansinrozamientoalo largodebarrasfijas.Silavarillasesueltadesdeel reposocuantoelngulo37 u = ,determinar inmediatamentedespusdelaliberacina)La aceleracinangulardelavarilla.b)Lareaccinen A. c) La reaccin en B Solucin: Ecuaciones cinemticas: 2B A BA B BAAa a k r o e = + BAr (1,1) Sitenemosencuentalasligadurasdelsistema,( ;B B A Aa a j a ai = = )yque 1, 2cos 25 1, 2sin 25BAr i j = + la ecuacin (1,1) toma la forma: (2cos37 2sin37 )B A BAa j ai k i j o = + + (1,2) Desarrollando y ordenando los trminos en la ecuacin (1,2)se tiene: 221, 6 1, 2 B BAA BAa msa msoo== Escribimos ahora la expresin de la aceleracin del centro de masas: 2G A GA G BAAa a k r o e = + GAr 1, 2 (1cos37 1sin37 )Ga i k i j o o = + (1,3) En donde se ha tenido en cuenta que BA GAo o o = = . Desarrollandoy ordenando (1,3): 20, 6 0, 8 Ga i j ms o o= + (1,4) Ecuaciones dinmicas:

G GGM IF mao == l=2 m Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Final 2PARCIALFSICA I G NA NB 196,2 N 2 m4 Dinmica de rotacin: 211cos37 1sin37 0 1cos37 1sin37 0120 0 0 0A Bi j k i j kml kN No| | | | || + = || ||\ . \ . 0, 8 0, 6 6, 67A BN N o = Dinmica de traslacin: 20( 0, 6 )196, 2 20(0,8 )BANNoo = = Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 2102, 04 N ; 70, 623N ; 5, 88 A BN N rads o= = = En forma vectorial: 2102, 04 N; 70, 62 N; 5, 88 A BN j N i rads k o= = = 5 Problema 2.- Los extremos de una barra AB de 10 kgestnrestringidosamoversealolargode ranurascortadasenunaplacavertical.Unresorte deconstanteK=20N/msefijaalextremoAde formainicialcero).Calcularlavelocidadangularde la barra y la velocidad del extremo B cuando =30 De las figuras anteriores se observa que el resorte se ha estirado 9 cm y que el centro de masas ha descendido una altura de 17,5 cm.Suponiendo que no existe rozamiento, la energa mecnica en la situacin inicial es igual a la energa mecnica final.0 gP P cE E E cte + + =Enlasituacininicial,dadoquehemostomadocomoorigenparalaenerga potencial,estaposicin,ydadoquenosdicenqueelresortenoest deformado se tiene que la energa total es cero. 2 2 2 21 1 1 102 2 2 12Gmgh k mV ml o e + + + =Comosejustificarmsadelante, 2GlV e = .Sustituyendoestevalorenla ecuacin anterior y simplificando se obtiene que:2 216 3 6 9, 81 0,175 3 20 0, 094, 47 0, 7gh kradsloe = = = 14, 47 0, 71, 56 2 2GlV ms e= = = 70 cm 70 cm Situacin inicial Situacin final 70 cm 61 cm35 cm0gPE =0,175gPE mg = G6 Vamos a justificar ahora que 2GlV e =y calcular la velocidad del punto B. De las condiciones de ligadura se cumple: A AV V i = y que B BV Vj = . Dado que: G A G B GA BV V k r V k r e e = + = + [1] cos sin ; cos sin2 2 2 2G GA Bl l l lr i j r i j u u u u = = + [2] ( cos sin ) ( cos sin )2 2 2 2A Bl l l lVi k i j Vj k i j e u u e u u + = + + [3] Despus de operar y ordenar se tiene: sin cos sin ( cos )2 2 2 2sin sin ; sin2 2cos cos ; cos2 2A BA AB Bl l l lV i j i V jl lV V ll lV V le u e u e u e ue u e u e ue u e u e u| |+ + = + |\ .+ = = = = Sustituyendo en la ecuacin [1] obtenemos que: sin cos sin sin cos2 2 2 2G A GAl l l lV V k r l i k i j i j e e u e u u e u e u| |= + = + = + |\ . Por consiguiente: 2GlV e = ;1cos 4, 47 0, 7cos 30 2, 71 BV l ms e u= = = A estos mismos resultados habramos llegado, ms rpidamente,mediante el concepto de centro instantneo derotacin. 70 cm VG P CIR 7 El conjunto gira en torno al centro instantneo de rotacin con velocidad angular tal que 2Glv PG e e = = (por simetra PG es la mitad de la diagonal del rectngulo de vrtices opuestos A y B. Su valor es 2l ) De la misma formacosBv PB l e e u = =8 Problema3.-Unsistemaformadopor0,32molesdeungasidealmonoatmicocon 32 Vc R = , ocupa un volumen de 2,2 l a una presin de 2,4 atm (punto A de la figura ). Elsistemadescribeuncicloformadoportres procesos: 1. El gas se calienta a presin constante hasta que su volumen es 4,4 l en el punto B.2. El gas se enfra a volumen constante hasta que la presin disminuye a 1,2 atm (punto C). 3.Elgasexperimentaunacompresinisotermay vuelve al punto A. a)Cul es la temperatura en los puntos A, B y C? b)Determinar,paracadaprocesoyparael ciclo completo,W, Q , U, S.c)Rendimiento del ciclo Solucin: Enprimerlugarconstruimosuncuadrodondeordenamostodaslosvariables termodinmicas. La temperatura del punto A se obtiene mediante la aplicacin de la ecuacin de los gases ideales, ecuacin de Clapeyron: 2, 4 2, 2; 201, 220, 32 0, 082PVPV nRT T KnR= = = = 2 402, 44;=201,22KB A C AT T K T T = = = P(atm)V(l)T(K) A2,42,2201,22 B2,44,4402,44 C1,24,4201,22 ProcesoQWU A S AA B 1337, 7J 534, 86J 802, 84J14, 608 JK B C 802, 63J 0 802, 63J 12, 765 JKC A 370, 89J 370, 89J 0 11,843 JKCiclo completo164J 164J 00 1640,12;12%1337, 7netoabsWQq = = = 1 Apellidos, Nombre Grupo Cuestin1.-Aldispararunarmadefuegostaretrocede.Delassiguientes afirmaciones sealar cul es la incorrecta: a)Traseldisparoelmomentolinealdelarmaesigualydesentidocontrarioal del proyectil. b)Las velocidades del arma y del proyectil dependen de las masas de cada uno c)Comoelarmatieneunamasamayorqueelproyectil,retrocedeconuna velocidad menor que la velocidad del proyectil. d)El momento lineal total aumenta al disparar. Cuestin 2.- El bloque de la figura desliza sin rozamiento a lo largo de un plano inclinado cuya pendiente tiene un ngulo constante u . Se cumple:a)La aceleracin depende de la masa. b)La componente tangencial del peso noacelera al bloque. c)La aceleracin depende del ngulo. d)Ninguna de las anteriores es correcta Cuestin3.-Sielmomentodeinerciadeuncuerpoirregularde 20 kg , respecto de un eje que pasa por su centro de masas es igual a 22, 8 kg m ,elmomentodeinerciadeesteobjetorespectoauneje paralelo al anterior y que dista 0,2 m de l ser: a) 22,8 kgmc) 22 kgmb) 23, 6 kg m d) 23, 2 kgm Cuestin4.-UnsistemaestformadopordospartculasAyB.LapartculaAtiene unamasamA=2,0kgysemuevehacialaderecha,sentidoqueconsideraremos positivo, a una velocidad respecto al centro de masas * 1Av 12ms= . La otra partcula B tiene una masa mB = 3,0 kg. La velocidad respecto al centro de masas de la partcula B es: a) 12 m/sb) -12m/sc) 8,0 m/sd)-8,0 m/s Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Final FSICA I uCDM 0,2 m 2 Cuestin5.--UncilindroderadioRruedasindeslizarcon velocidadangulare porunasuperficieplana;lavelocidad lineal de los puntos A y B tienen un valor: a);A BV Ri V Ri e e = = b)0;A BV V Ri e = =

c)0; 2A BV V Ri e = = d); 2A BV Ri V Ri e e = = Cuestin6.-Elsiguientediagramamuestracuatrocilindros,cadaunodeloscuales gira con una velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por su centro. Se muestra la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de cada cilindro, junto con el radio y masa de cada cilindro. Qu cilindro tiene el momento angular mayor? Cuestin7.-UngasseexpandedesdeAhastaB comosemuestraenelgrfico.Sielcalortomado duranteesteprocesoes 61, 02 10 J y1atm=1,01 x105N/m2,lavariacindelaenergainternadelgas es aproximadamente a)62, 42 10 J b) 61, 40 10 J c)63, 44 10 J d) 61, 40 10 J Cuestin 8.- En el diagrama PV de la figura, para un gas ideal, podemos afirmar: a)El trabajo en el proceso ABC es el mismo que en el proceso ADC. b)Lavariacindeenergainternaenel procesoABCeslamismaqueenel proceso ADC. c)El trabajo en el proceso AB es 40 kJ. d)El trabajo en el proceso ADC es 40 kJ BACDV(m3) P(Pa) 200 100 0,20 0,40 A B AB6543211 2 3 4 5 6 7 8P(atm)V(m3)a)b)c)d) 3 Problema1.-EntreelbloqueAylasuperficie horizontal de la figura existe rozamiento, cuyos coeficientesestticoydinmicotienenunos valoresrespectivosde:E =0,10; D =0,08.Si tanto las poleas como la cuerda son ideales,a)Dibujareldiagramadelcuerpolibre para cada una de las masas. b)Demostrarqueelsistemainiciael movimiento.c) Aceleracindecadaunadelas masas. d)Tensinencadaunodelostramos de cuerda. Paraqueelsistemainicieelmovimiento,setieneque cumplir: max; 98,12943 2rT F TT> >> Inecuacin que evidentemente se verifica ya que2943 2 98,1 > Dadas las ligaduras del sistema, se cumple que: ; 2 ; 2C B A C A Ba a a a a a = = =AplicamoslasegundaleydeNewtonacadaunadelas masas,tenemosencuenta,adems,quealmoversela 0, 08 981 78, 48Nr DF N = = ,78, 48 1002943 2 300ABT aT a = = y de las ligaduras del sistema2A Ba a =Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 2 2876, 49 N; 7, 96; 3, 98 A BT a ms a ms = = =Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Final FSICA I T981N N mg = 981N mg rFmax0,1 981 98,1NrF = =T T2T2T2943N Mg 4 Problema2.-Unagratieneunamasade1000 kg y es usada para sostener una masa de2400 kg. Est sujeta en A por una articulacin y enBporuntope.Elcentrodegravedadest en G. Determine las reacciones en el punto A y B Primero dibujamos todas las fuerza que se ejercen sobre la gra. Para que exista equilibrio, se tiene que cumplir:00FM== De la primera ecuacin se obienen dos ecuaciones escalares, 09810 23544 0xyA BAF FF+ = = TomandomomentosrespectoalpuntoAdelafigura,obtenemoslaterceraecuacin que necesitamos: 1, 5 9810 2 23544 6 0BF =Resolviendo el sistema, se obtiene: 10726N ;33354N ; 10726Ny xB A AF F F = = = El signo negativo de xAF , significa que el sentido, es contrario al inicialmente supuesto. xAFyAFBF9810N23544N5 Problema3.-Losextremosdeunavarillauniforme ABde20kgestnunidosacollarinesdemasa despreciablequesedeslizansinrozamientoalo largodebarrasfijas.Silavarillasesueltadesdeel reposocuantoelngulo37 u = ,determinar inmediatamentedespusdelaliberacina)La aceleracinangulardelavarilla.b)Lareaccinen A. c) La reaccin en B Solucin: Ecuaciones cinemticas: 2B A BA B BAAa a k r o e = + BAr (1,1) Sitenemosencuentalasligadurasdelsistema,( ;B B A Aa a j a ai = = )yque 1, 2cos 25 1, 2sin 25BAr i j = + la ecuacin (1,1) toma la forma: (2cos37 2sin37 )B A BAa j ai k i j o = + + (1,2) Desarrollando y ordenando los trminos en la ecuacin (1,2)se tiene: 221, 6 1, 2 B BAA BAa msa msoo== Escribimos ahora la expresin de la aceleracin del centro de masas: 2G A GA G BAAa a k r o e = + GAr 1, 2 (1cos37 1sin37 )Ga i k i j o o = + (1,3) En donde se ha tenido en cuenta que BA GAo o o = = . Desarrollandoy ordenando (1,3): 20, 6 0, 8 Ga i j ms o o= + (1,4) Ecuaciones dinmicas:

G GGM IF mao == l=2 m G NA NB 196,2 N 2 m6 Dinmica de rotacin: 211cos37 1sin37 0 1cos37 1sin37 0120 0 0 0A Bi j k i j kml kN No| | | | || + = || ||\ . \ . 0, 8 0, 6 6, 67A BN N o = Dinmica de traslacin: 20( 0, 6 )196, 2 20(0,8 )BANNoo = = Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 2102, 04 N ; 70, 623N ; 5, 88 A BN N rads o= = = En forma vectorial: 2102, 04 N; 70, 62 N; 5, 88 A BN j N i rads k o= = =

7 Problema4.-Unsistemaformadopor0,32molesdeungasidealmonoatmicocon 32 Vc R = , ocupa un volumen de 2,2 l a una presin de 2,4 atm (punto A de la figura ). Elsistemadescribeuncicloformadoportres procesos: 1. El gas se calienta a presin constante hasta que su volumen es 4,4 l en el punto B.2. El gas se enfra a volumen constante hasta que la presin disminuye a 1,2 atm (punto C). 3.Elgasexperimentaunacompresinisotermay vuelve al punto A. a)Cul es la temperatura en los puntos A, B y C? b)Determinar,paracadaprocesoyparael ciclo completo,W, Q , U, S.c)Rendimiento del ciclo Solucin: Enprimerlugarconstruimosuncuadrodondeordenamostodaslosvariables termodinmicas. La temperatura del punto A se obtiene mediante la aplicacin de la ecuacin de los gases ideales, ecuacin de Clapeyron: 2, 4 2, 2; 201, 220, 32 0, 082PVPV nRT T KnR= = = = 2 402, 44;=201,22KB A C AT T K T T = = = P(atm)V(l)T(K) A2,42,2201,22 B2,44,4402,44 C1,24,4201,22 ProcesoQWU A S AA B 1337, 7J 534, 86J 802, 84J14, 608 JK B C 802, 63J 0 802, 63J 12, 765 JKC A 370, 89J 370, 89J 0 11,843 JKCiclo completo164J 164J 00 1640,12;12%1337, 7netoabsWQq = = = Apellidos, Nombre Grupo CUESTIONES: 1.Deformarazonadasealalasproposicionescorrectas.a)Es posible encontrar una partcula que se mueva con vector aceleracin constantedistintodeceroquemantengaelvectorvelocidadconstante.Nob)Es posible encontrar una partcula que se mueva con mdulo de la aceleracinconstantedistintodeceroyquemantengaelmdulodesuvelocidadconstante.Noc)Si el mdulo de la aceleracin de una partcula es constante la direccin de lavelocidadnopuedecambiar.Nod)Una partcula que en un instante determinado tiene velocidad nula, de formanecesariatieneaceleracinnula.Noe)Si las aceleraciones tangencial y normal de una partcula son ambas nulas, dichapartculallevaunmovimientorectilneoyuniforme.S2.Lapartculadescribeunmovimientoparablicoenelsenodelcampogravitatorioterrestre(g=9,8m/s2) Enelpunto Alavelocidadesde10 m/syelnguloqueforma conlahorizontal30.Cul es la aceleracin tangencial y normal en esepunto? La aceleracin tangencial es la proyeccinde la aceleracin sobre la direccin tangente a latrayectoria ( direccin del vector velocidad) , porconsiguiente,delafigurasededuceque:0 20 21sin30 9, 8 4, 9 23cos30 9, 8 4, 9 3 2a g msa g mstq= = == = =3. Una noria de feria de 20 m de radio gira en el plano vertical a razn de dos vueltas porminuto.Obtenerelpesoaparentedeunpasajerode60kgenlossiguientescasos:a)Enelpuntomsaltodelanoriab)EnelpuntomsbajoEnlosladosdelanoria,cundoparecequepesamselpasajero?:c)Alsubir,albajar,oigualEscuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Convocat oria j ul io2011 FSICA I tqa g = aqat30Nmg22 2;vmg N m m R N mg m RRe e = = = 22 2;vN mg m m R N mg m RRe e = = = +Nmg12 260 15radst te= =1 Se ha aplicado la 2 ley de Newton en las dos posiciones: F ma =, en este caso laaceleracin que tiene el pasajero es una aceleracin normal , dirigida hacia el centro de latrayectoria. Sustituyendolosvaloresnumricosseobtieneque: Enelpuntomsalto260 9, 8 60 20 535, 6 N15Nt | |= = |\ . Enelpuntomsbajo260 9, 8 60 20 640, 64 N15Nt | |= + = |\ .4. A un disco circular de radio R y masa M se le hace untaladro tambin circular y radio R/2 tal como indica lafigura.Hallarlaposicindesucentrodemasas.Eldiscoproblema,sepuedesuponercomolasuperposicinde un disco de masa M y radio R con otro de masam negativa y radio2R, como el disco de radio R su rea2R t escuatroveceselreadelhueco,lamasa4Mm = ,entonces,lacoordenada0 0 04 4 20 ; 64 4cdm cd mM M RM MRX YM MM M = = = = + +EndondesehatenidoencuentaquelascoordenadasdelcdmdeldiscodemasaMes ( ) 0, 0 ylasdeldiscomasa4Mm = ; 0,2R | | |\ .Dadalasimetraexistente,eslgicoquelacoordenada 0cdmX = 5 Una rueda de radio R y masa M rueda sin deslizar con una velocidad angular por unasuperficie plana. Cul es el valor de la velocidad lineal de un punto A de la superficie de laruedasituadoenlapartedecontactoconelplano?CuleslavelocidadlinealdeunpuntoBdelaruedadiametralmenteopuestoaA?Se ha tenido en cuenta que la velocidad de un punto cualquiera respecto al centro C vienedadopor:/ A C ACV V V = + yquesiruedasindeslizarelcentrodemasassemueveconvelocidadCV Ri e = y/ /( ) ( ) ( )AC ACV r k Rj Rk j Ri e e e e = = = = AB0AV Ri Ri e e = = 2BV Ri Ri Ri e e e = + = C2 6UncilindroyunarotienenlamismamasaMyelmismoradioR.Susmomentosdeinerciarespectoalejeson212 MR paraelcilindroy2MR paraelaro.Sisecolocanambosenloaltodelmismoplanoinclinado(alturah)ylosdosruedansindeslizaralolargodelplano.Determinarlarelacin(cociente)entrelasvelocidadesdelcentrodemasasdelosdosobjetosalllegaralapartebajadelplano.AplicandoconservacindelaenergaentreelpuntoAyelpuntoBsetiene:EnelpuntoA:0;c pE E Mgh = = EnelpuntoBhayenergacinticadetraslacinyderotacin,siendolaenergapotencialcero,estoes:2 21 12 2MV Ie + Enlosdoscasossetiene:2 21 1 ; =2 2VMgh MV IRe e| |= + |\ .Paraelcilindrosustituimos212I MR = yseobtiene:43cilghV = Yparaelaros2I MR = yseobtiene:aroV gh = ,luego:42 2333 3cilaroghVV gh= = = 7 Un disco gira con velocidad angular en torno a un ejevertical. Un segundo disco, idntico, situado en el mismo ejeque pasa por el centro de los dos, tal como indica la figura,est inicialmente en reposo. Se deja caer sobre el primeroquedandolosdosgirandoconlamismavelocidad.Culeslavelocidadangularfinal,comnalosdosdiscosacoplados?AlicaremosqueenesteprocesoAntes DespuesL L = ;0 ( )fI I I I e e + = + ;2fee = A B 3 8Paranmolesdeungaslavariacindeenergainternaenunprocesoavolumenconstanteabesa)Explicaporquenelprocesoapresinconstanteacnosecumpleac pU nC T A = A b)HallarjustificadamenteacU A Laenergainternadeungasidealslodependedelatemperatura,porconsiguientelavariacindeenergainternaenelprocesode a c eslamismaquedesde a b ,alserlastemperaturasigualesenlosdospuntos,luego:Deestaformatambinquedajustificadaquelaexpresinac pU nC T A = A esincorrecta,dadoque ; ( )p V p VC C C C R = = + 2 1( )ab VU nC T T A = 2 1( )ac ab VU U nC T T A = A = 4 EJERCICIOS PRCTICOS 1. Si la manivela AB gira alrededor del punto A en el sentido de lasagujasdelrelojavelocidadangularconstantede900rpmdeterminarlavelocidadylaaceleracindelpuntoPcuandoelngulo=901 1900 2=-30;060BA BAkrads kradste t o = = B AV V = ( )30 0, 05 1, 6BA BAr k i j e t t + = = 0AV = ,porserunpuntofijo.DebidoalasligaduraslavelocidaddelpuntoP,tendrnicamentecomponentevertical,estoesP pV Vj = ylavelocidadangularPB PBk e e =, y como:P B PB PBV V r e = + Sustituimoslosvaloresanteriores,yobtenemoslasiguienteecuacin:( )1, 5 0, 05 0,14P PBVj j k i j t e = + + Ecuacinvectorialqueequivaleadosecuacionesescalares:10 0,14 ; 01, 5 0, 05 4, 7 PB PBP PBV mse et e= == Aceleraciones: B Aa a = BAo +( )22 230 (0, 05 ) 444,1 B BA BA Ar r i ms i e t = = 2P B PB P PB PB Ba a r r o e = + 444,1( 0, 05 0,14 ) 0P PBa j i k i j o = + + Despusderealizarlasoperacionesyordenarlaecuacinvectorial,seobtienenlas dos ecuaciones escalares: 220 444,1 0,14 ; 3172,1 0, 05 ; 158, 61 PB PBP PB Prad sa a mso oo= = = = xyzP~DBA0,05m0,15m0,14m5 2. Tres nios se encuentran parados en la balsa de 5x5metros. Los pesos respectivos de los nios que estn enA B y C son: 375N, 260 N y 400 N. Si un cuarto nio depeso 425 N se sube a la balsa, determinar dnde debesituarseparaqueelsistemadefuerzassereduzcaaunanica fuerza cuya resultante pase por el centro de labalsa.Setienequecumplir:Re tan, , , , ,sul teO A O B O C O D OM M M M M = + + + Laresultantedelostrespesoses:( 375 260 400 425) 1460 R j j = = ElmomentodelaresultanterespectoaO,sabiendoquepasaporelcentrodelabalsaes:Re2, 5 0 2, 5 3650( )0 1460 0sui j kM i k = = = 1 0 3 1, 5 0 0, 5 4, 75 0 4, 75 00 375 0 0 260 0 0 400 0 0 475 0i j k i j k i j k i j kx z + + + = 375(3 ) 260(0, 5 1, 5 ) 400(4, 75 4, 75 ) 475( ) i k i k i k zi xk + + + = ( ) ( ) 3155 475 2655 475 z i x k + + Seobtienendosecuacionesescalares:3650 3155 4753650 2655 475zx= += +Sistemacuyasolucines:3650 31551, 04 4753650 26552, 09 475z mx m= == =6 3 Los extremos de una barra AB de 4 kg, estnrestringidos a moverse por las ranuras cortadas enuna placa vertical en la forma que se indica. Unresorte de constante elstica 520 N/m se fija en elextremoAdeformaquesutensinescerocuando=0.Silabarrasesueltadesdeelreposo(v=0)cuando=0determinelavelocidadangulardelabarraylavelocidaddelextremoBcuando=30 Delasfigurasanterioresseobservaqueelresortesehaestirado8cmyqueelcentrodemasashadescendidounaalturade1,5cm. Suponiendoquenoexisterozamiento,laenergamecnicaenlasituacininicialesigualalaenergamecnicafinal.0 gP P cE E E cte + + = En la situacin inicial, dado que hemos tomado como origen para la energa potencial, estaposicin,ydadoquenosdicenqueelresortenoestdeformadosetienequelaenergatotalescero.2 2 2 21 1 1 102 2 2 12Gmgh k mV ml o e + + + = Comosejustificarmsadelante,2GlV e = .Sustituyendoestevalorenlaecuacinanteriorysimplificandoseobtieneque:2 215206 3 6 9, 81 0,15 3 0, 0844,19 0, 6kghmradsloe = = = 14,19 0, 61, 26 2 2GlV ms e= = =l=60 cm 60 cm Situacin inicial Situacin final 60 cm 52 cm30 cm0gPE =0,15gPE mg = G7 Vamosajustificarahoraque2GlV e = ycalcularlavelocidaddelpuntoB.Delascondicionesdeligadurasecumple:A AV Vi = yqueB BV Vj = .Dadoque:G A G B GA BV V k r V k r e e = + = + [1]cos sin ; cos sin2 2 2 2G GA Bl l l lr i j r i j u u u u = = + [2]( cos sin ) ( cos sin )2 2 2 2A Bl l l lVi k i j Vj k i j e u u e u u + = + + [3]Despusdeoperaryordenarsetiene:sin cos sin ( cos )2 2 2 2sin sin ; sin2 2cos cos ; cos2 2A BA AB Bl l l lV i j i V jl lV V ll lV V le u e u e u e ue u e u e ue u e u e u| |+ + = + |\ .+ = = = = Sustituyendoenlaecuacin[1]obtenemosque:sin cos sin sin cos2 2 2 2G A GAl l l lV V k r l i k i j i j e e u e u u e u e u| |= + = + = + |\ . Porconsiguiente:2GlV e =;1cos 4,19 0, 6cos 30 2,18 BV l ms e u= = =A estos mismos resultados habramos llegado, ms rpidamente, mediante el concepto decentroinstantneoderotacin.60 cm VG P CIR 8 Elconjuntogiraentornoalcentroinstantneoderotacinconvelocidadangulartalque2Glv PG e e = =(porsimetraPGeslamitaddeladiagonaldelrectngulodevrticesopuestosAyB.Suvalores2l)DelamismaformacosBv PB l e e u = =9 4Consideremosciertacantidaddeungasidealmonoatmico(32VC R = )enelqueapartirdesuestadoinicialA,PA=105Pa,VA=102m3yTA=300K,sellevanacabolassiguientestransformaciones:A B TransformacinisotermareversiblesiendoVB=2x102m3B C Transformacinisocrica(V=cte)reversiblesiendoTC=189KC A Transformacinadiabticareversible,quedevuelvealgasasuscondicionesiniciales.a)Determinarelnmerodemolesdegas,confeccionarunatablaenlaqueaparezcanlosvaloresP,VyTenlostresestadosA,ByC,ydibujarelcicloeneldiagramaPV.b)CalculareltrabajoW,elcalorQ,ylavariacindeenergainternaU,delgasparacadauno de los procesos de forma directa (siempre que sea posible), en unidades delsistemainternacional.c)HallarelrendimientodeesteciclocomomotortrmicoycompararelresultadoconeldeunmotordeCarnotquefuncioneentrelasdostemperaturasextremasdelciclo.Dato:R=8.33J/(molK)Aplicandolaecuacindelosgasesideales:5 210 10; 0, 04 300 8, 33A AAPVPV nRT n molesRT= = = =ComolatransformacindeAalpuntoBesunaisoterma,secumple:5410; 5 102A A B B BPaPV PV P Pa = = = DeBaCesunprocesoisocoro,porconsiguiente:445 10 189; 3,15 10300C BCB CP P Pa KP PaT T K = = = Enlasiguientetablasemuestrantodoslosresultados:A B C P V 10 A B CP510Pa 45 10Pa 43,15 10Pa V2 310 m2 32 10 m 2 32 10 m T 300 K 300 K 189 K 3 512, 495; 20, 8252 2V PJ JC R C RKmol Kmol= = = = A B Transformacinisotermareversible.0; ln 69, 29BA BAVU Q W nRT JVA = = = = ;B C Transformacinisocora.0, 04 12, 495(189 300) 55, 4778 ;0; 55, 4778B C V B CU nC T J W Q U J A = A = = = = A = C A Transformacinadiabticareversible.0, 04 12, 495(300 189) 55, 4778 ;0; 55, 4778C A V C AU nC T J Q W U J A = A = = = = A = Cuadroresumen Q W U A A B 69, 29J 69, 29J 0 B C 55, 4778J 0 55, 4778J C A 0 55, 4778J 55, 4778J Ciclo 13, 8122J 13, 8122J 0 13, 81220,199; 19, 9%69, 29netoAbsWQq = = = 1891 1 0, 37; 37%300c f fCarnotc cT T TT Tq= = = = 11 Fsi ca II Apellidos, Nombre Grupo CUESTIONES: 1.La cuarta parte de un arco de circunferencia de radio Rtiene una densidad lineal de carga 0 > . Calcularrazonadamenteelcampoelctricoenelcentrodecurvatura.Solucin: Enlafigurasemuestraelcampocreadoporelelementoinfinitesimal dl elcualcontieneunacargatambininfinitesimal dq dl = .cos cossin sinxydE dE k dRdE dE k dRu u uu u u= == = Por consiguiente si queremos calcular el campo total creado por toda la distribucin,integramoslasexpresionesanterioreshaciendovariaru desde0hasta2t .| || |2 2200 02 2200 0cos cos sinsin sin cosxyE k d k d k kR R R RE k d k d k kR R R Rt ttt tt u u u u u u u u u u= = = == = = = } }} }Portantosuexpresinenformavectorialvienedadapor:( )E k i jR= 2.Justificarrazonadamentequecuandoexistesimetraesfrica:24SE dS E r t =}} Siendo S lasuperficiedeunaesferaderadio r Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Primer Parcial FSICA II R0 >Ruudl Rdu =2 2dq dl RdE k k kR R = = =2dRu dkR u=duxdEydE Solucin:Siexistesimetraesfricaelcampo Etienequeserradial,silosuponemoshaciaelexteriordelasuperficie, Ey dSsernparalelos,portanto cos 0 E dS EdS EdS = = .Luego:S SE dS EdS =}} }} Tambinsetienequecumplirqueelmdulo E tienequetomarelmismovalorparacualquierpuntodelasuperficie(slopuededependerde r );entonces,alserconstanteatravsdetodalasuperficiesepuedesacarfueradelaintegral:S SEdS E dS =}} }} Portanto:24S S SE dS EdS E dS ES E r t = = = =}} }} }} 3.A partir de la energa de un condensador cargado, obtener que la densidad de energa porunidaddevolumen,delcampoelectrostticoenelvacoes:212E ou E c = Solucin:Laenergadeuncondensadorvienedadapor:12U QV = Enuncondensadorplanoderea Ayunaseparacin d entresusplacasseverifica:000;; ; Q A V Ed E EQ E Aoo o ccc= = = ==Yalsustituirenlaexpresindelaenergaseobtiene:2 20 0 01 1 1 1;2 2 2 2UU QV E AEd E Ad EAdc c c = = = = Dado que Ad es el volumen ocupado entre las placas del condensador el cocienteUAd representalaenergaporunidaddevolumen,oloqueeslomismoladensidaddeenerga212E ou E c = 4.Dadoelcircuitodeunasolamalla,obtenerlaintensidadquecirculamedianteconservacindelaenerga. Solucin: Laenergaporunidaddetiempoqueelgeneradoraportaal circuito viene dada por I c y la consumida en lasresistencias,tantoexterna R comolainterna r es:2 2I R I r + ,entonceslaconservacindelaenergaimplica:2 2; ( ); I I R I r IR Ir I R r IR rcc c = + = + = + =+ 5.En una regin de espacio existe un campo elctrico cuyo potencial viene dado por:2( , , ) V x y z xy z = .Calcular:a)Intensidaddelcampoelctrico Eenelpunto(1,1,1)b)Trabajo realizado por el campo cuando una carga 2 q C = se traslada del puntoA(1,1,1)alpuntoB(3,5,4).Decirsidichoprocesoesespontneooforzado.Solucin:Teniendoencuentaque2 2( , , ) 2 E x y z V y zi xzj xy k = V = (1,1,1) 1 2 1 E i j k = Eltrabajorealizadoporelcampocuandounacarga q setrasladadesdeunpuntoAaotroB,alserelcampoelctricouncampoconservativo:( ) ( )A B B A A BW U U U q V V = A = = 2 21 1 1 1 V;3 5 4=300 VA BV V = = = -42 (1 300)V=-5,98 10A BW C J = Alsernegativoeltrabajorealizadoporelcampo,elprocesoesforzado.6.De las siguientes afirmaciones razonar sobre la veracidad o falsedad de las mismas. En elinteriordeunconductorcargadoqueseencuentraenequilibrioelectrosttico:a)Elcampoyelpotencialsonnulos.Fb)Elcampoesnonuloyelpotencialesuniforme.Fc)Elcampoesnuloyelpotencialesuniforme.Vd)Elcampoesuniformeyelpotencialesnulo.Fe)Ladensidadsuperficialdecargaesconstanteentodoslospuntosdelasuperficie.FR , r cI 7. Dado el campo elctrico 2 E xi = , Calcular el flujo a travs del cubo de la figura. Ascomolacargaencerradaendichocubo.Solucin:ComoelcampoelctricollevadireccindelejeX,sloexisteflujoenlasdoscarasparalelasalplano YZ en la primera cara (cara 1) cos 8 E dS EdS dS t = = y en la otra cara (cara 2),paralelaalaanteriorcos 0 12 E dS EdS dS = = ,porconsiguienteelflujoatravsdedelcubovienedadopor:2 1 21 2 1 28 12 8 12 4 4 2 16cubo cara cara cara caraE dS dS dS dS dS S NC mu = = + = + = = =}} }} }} }} }} Paracalcularlacargaencerradaenelcubo,aplicamoslaleydeGauss:12 10 intint 00; 16 8,85 10 1, 42 10qq C cc u = = u = = 8. Calcular el trabajo necesario para formar la distribucin de cargas de la figura, suponiendoqueinicialmenteestabaninfinitamenteseparadas. Solucin: Eltrabajonecesarioparaformarladistribucineslaenergapotencialelectrostticadelamisma:1,2 1,3 2,3U U U U = + + Siendo,,i ji ji jq qU kr= Luego:22 ( ) 2 ( ) Q Q QQ Q Q QU k k k kL L L L = + + = y x4m2mz2 E xi = QQ 2QLLLdSdS EJERCICIOS PRCTICOS 1.En la figura 1 se muestran dos cortezas esfricasconductoras; la primera de radio interno R y radioexterno 2R tiene una carga Q, la segunda est cargadanegativamente con una carga Q siendo sus radiosinternoyexterno3Ry4Rrespectivamente.Calcular:a)Densidad superficial de carga en todas lassuperficiesdelosconductores.b)Campo elctrico en todos los puntos delespacio.Representarlogrficamente.c)Potencial elctrico en todos los puntos delespacio.Representacingrfica.d)Diferencia de potencial entre los dosconductores.e)Capacidad del condensador que constituyenlosdosconductores.f)Energapotencialelectrostticadeladistribucin. Solucin:En un conductor en equilibrio electrosttico, la carga se encuentra en la superficie delconductor.Dadoquenuestrosconductorestienendossuperficies,enprincipiopodrasituarsetanto en la superficie interna como en la superficie externa; en nuestro caso, en la superficieinternadelacortezaderadioRy2Rnohaycarga,dadoquelacavidadestvaca,portantolacargaQsecolocaenlasuperficieexterna.Enlacortezaderadios3Ry4R,lacargaQsecolocaenlasuperficieinternadelamisma(tienequeexistirlamismacargaqueenlacavidad,paraqueelcampoelctricoenelinteriordelacortezaseacero)siendocerolacargaenlasuperficieexterna.Lasdensidadessuperficialesdecargaseran:1 2 3 4 2 2 2 20; ; ; 04 (2 ) 16 4 (3 ) 36Q Q Q QR R R Ro o o ot t t t = = = = = = b) De todas las regiones en las cuales podemos dividir el espacio, slo va ha existir campoelctrico en la regin comprendida entre 2 3 R r R < < , ya que cualquier superficie esfricagaussianaqueconsideremos,lacarganetaqueencierravaasercero.AspuesaplicandolaleydeGaussaunaesferaderadio 2 3 R r R < < setiene:0 SQE dSc=}} comoyavimosenlacuestin224S S SE dS EdS E dS ES E r t = = = =}} }} }} Porconsiguiente:22 20 04 ;4Q Q QE r E kr rtc tc= = = Endondesehatenidoencuentaque014ktc= R2R3R4RFi gur a 1 Representacingrfica:c)Elpotenciallocalculamosapartirdelcampoelctricomediantelarelacin:( ) V r E dr = }Calculandolaintegralanteriorsetiene:Teniendoencuentaqueenelinfinitoelpotencialescero,seobtienequelaconstante30 C = ,ydadoqueelpotencialescontinuo:2 23 3lim ( ) lim ( ); 0 ,3 3r R r RQ QV r V r k C C kR R+ = = + = 1 12 2lim ( ) lim ( ); ,2 3 6r R r RQ Q QV r V r k k C C kR R R+ = = = EsdecirRepresentacingrfica:2R3R rE si 26si 2R 330si4Qk r RRQ Qk k r Rr Rr Rs s s>( ) V r =123 si 2si 2R 3si4C r RQk C r RrC r Rs+ s s>( ) V r =2R3R r( ) V r6QkR d)Ladiferenciadepotencialentrelosdosconductoresesfcildeobteneratravsdelagrficaanterior:(2 ) (3 )6QV R V R kR = Quetambinpodramosobtenerapartirde:33 322 2 2(2 ) (3 )6RR RR R RQ Q QV R V R E dr k dr k kr r R ( = = = = ( } }e)La capacidad del conjunto formado por los dos conductores, la calculamos aplicandoladefinicindecapacidad:06246Q Q RC RQV kkRtc = = = =AEndondesehatenidoencuentaque014ktc= f)Laenergapotencialelectrostticalapodemoscalculardedosformasdistintas:1.Mediantelaexpresinquenosdalaenergadeunsistemadeconductores:201 1( )02 2 6 48i iiQ QU qV Qk QR R tc| |= = + = |\ .2.Medianteladensidaddeenergadelcampoelectrosttico.Dadoqueelcampoelctricoestconfinadoentrelosdosconductores,laenergasecalcula:23 220 20 2142 48REtodoelespacio RQ QU u dv k r drr Rc ttc| |= = = |\ .}}} } 2.Un condensador plano de rea A y distancia entre placas d sin dielctrico se conecta aunadiferenciadepotencialoV ,a)Demostrarquelacapacidades0 0ACdc = b)Hallarladensidaddecargaenlasplacasyc)laenergaalmacenada.Si desconectamos el condensador de la fuente de tensin y llenamos el espacio entre lasarmadurasdeundielctricodeconstantedielctrica 3 k = ,hallar:d)Elcampoelctrico.e)Ladiferenciadepotencialentrelasplacas.f)Lacargalibre.g)Lacapacidad.h)Lacargainducida.Si el dielctrico introducido una vez cargado aoV y desconectado el condensador es unalminadeespesor b d < ;demodoquedejaunhuecosinrellenarse,calcular:i)Elcampoelctricoenelespacionoocupadoporeldielctrico.j)Campoelctricoeneldielctrico.k)Diferenciadepotencialentrelasplacas.l)Capacidad.m)Densidaddecargalibre.n)DensidaddecargainducidaDatos:260 A mm = , 0, 6 d mm = , 0, 2 b mm = ,12 18, 85 10oFm c = y 300 VoV = SolucinEl campo elctrico en el espacio comprendido entre las placas vienedado por el creado por los dos planos supuestos indefinidos( d A ),unocargadopositivamenteyelotronegativo.0E ioc= Ladiferenciadepotencialentrelasplacas,vienedadapor:0dV Edx Ed A = =},yaque Eesconstante,0V docA = La capacidad se obtiene calculando el cociente entre la carga de unadelasplacasyladiferenciadepotencialentreellas:QCVo= =AAo00Addcc= b)Lacapacidaddenuestrocondensadorlaobtenemosalsustituirlosvaloresnumricosdelasdistintasmagnitudesdelascualesdependelacapacidad:612 130 0 413 100106 2660 108, 85 10 8, 85 106 108, 85 10 300 2, 65 102, 65 104, 42 1060 10AC FdQ C V F V CQ CCmAco = = = = = = = = = A A d 0E ioc= 10 81 12, 65 10 300 3, 98 102 2U QV J = = = Cuandonosehaintroducidoeldielctricoelvalordelcampoelctricoes:0Eoc= ;obienmsrpido;5 143005 106 10VE Vmd= = =Cuando se introduce el dielctrico el campo disminuye en un factor k , entonces en nuestrocaso5 15 15 101, 67 103VmE Vm= = Ylanuevadiferenciadepotencialser:5 145 106 10 100 3VmV Ed m V' = = = La carga libre en las placas ser la misma que antes de desconectar el condensador de lafuente, dado que la carga tiene que permanecer constante (el condensador estdesconectado),porconsiguiente:10 10 101 22, 65 10 ; 1 2, 65 10 1, 77 103l p lQ C Q Q C Ck | |= = = = |\ .Lanuevacapacidad,dadoqueeldielctricoocupatodoelespacio,vienedadapor:13 1203 8, 85 10 2, 65 10 C C F F k ' = = = Cuandoeldielctriconoocupatodoelespacio,existendosvaloresparaelcampoelctrico:Enelespacionoocupadoporeldielctricoelvalordelcampoes5 105 10 E E Vm= = Yenelinteriordeldielctrico5 15 1 05 101, 67 103E VmE Vmk' = = = La nueva diferencia de potencial la calculamos teniendo en cuenta que hay dos regionesdistintas; la primera sin dielctrico, en donde5 105 10 E E Vm= = y la segundo condielctrico en la cual5 105 103E VmEk' = = , por tanto, la diferencia de potencial entre lasplacasvienedadapor:55 4 4 005 10 700( ) 5 10 4 10 2 10 2333 3EV E d b b Vk '' = + = + = = Siendolacapacidad:10122, 65 101,14 10233 lQ CC FV V'' = = = ''Lasdensidadessuperficialesdecargasonlasmismasqueenlosapartadosanteriores:6 2 6 2 6 21 24, 42 10 ; 1 4, 42 10 2, 94 103l p lCm Cm Cm o o ok | |= = = = |\ . 3.Dado el circuito de la figura 2, en la cual el condensador est inicialmente descargado.Calcular:a)Intensidadquecircularporlaresistenciade 20 OjustoenelinstantequesecierraelinterruptorI. Unavezalcanzadoelestadoestacionario(elcondensadoryasehacargado)calcular:b)Intensidadporcadaramadelcircuito.c)Potencialenlospuntos:b,c,d,eyf.d)Cargaalmacenadaporelcondensador.e)Comprobarquelapotenciasuministradaesigualaladisipada.SolucinJustoenelinstantequesecierraelinterruptorelcondensadorequivaleauncortocircuito,porconsiguienteelcircuitoesequivalentealdelafigura3 Escribimoslasecuacionescorrespondientesacadaunadelasmallas:1 21 240 21 1021 52 25I II I+ = + = 5 V, 1O 15O 20O 24O 6 F 15 V, 1O1O ,10 VI3O 6O ab c de f Fi gur a 25 V, 1O 15O 20O 24O 6 F 15 V, 1O1O ,10 VI3O 6O ab c de f I1 I2Fi gur a 3 Lasolucindedichosistemaes:1 20, 003 ;0, 482I A I A = = Luegoporlaresistenciade 20 Opasaunaintensidad1 20, 479 I I I A = + = esdecir0,479Aenelsentidodefhaciac.Cuandosehaalcanzadoelrgimenestacionario,porelcondensadornocirculaintensidad,elcondensador equivale a un corto, no circulando intensidad por la rama central. El circuito esequivalentealdelafigura4:SetieneunasolamallaqueresolvemosmediantelaleydeOhmgeneralizada:5 100, 31 1 3 6 24 15ii iI Ar Rc+= =+ + + + + +Calculodepotenciales:07, 2 15 7, 2 15 7, 8 0, 3 15 0, 3 1 5 7, 2 4, 8 5 7 0, 3 3 7 0, 9 7, 9 0, 3 6 7, 9 1, 8 9, 7 aef ed ec db cVV VV V VV V VV V VV V V=== = + = + == + = + = = = = = = = Lacargadelcondensadorseobtienecalculandoladiferenciadepotencialentrelasarmaduras:15, 7 c fV V V V A = = ymultiplicardichadiferenciadepotencialporlacapacidad:6 56 10 15, 79, 42 10 Q F V C = = Lapotenciasuministradaes:min5 0, 3 10 0, 3 4, 5 su istradaP W = + = Ylaconsumida;comoportodaslasresistenciaspasalamismaintensidad,20, 3 50 4, 5 disipadaP W = = 5 V, 1O 15O 20O 24O 15 V, 1O1O ,10 VI3O 6O ab c de f Fi gur a 4 Apellidos, Nombre Grupo 1. Una carga puntual Q est situada en el centro geomtrico de un cubode arista a tal como indica la figura. Calcular razonadamente el flujo delcampoelctricoatravsdelacarasuperiorsombreada.SegnlaleydeGauss0 sQEdScu = =}} ,dadoquelacargaseencuentraenelcentrodelcubo,porcadaunadelascaraselflujoserelmismo,porconsiguientesielflujoatravsdelasseiscarasdelcuboes0Qcu = ,elflujoatravsdecualquiercaraser:06caraQcu = 2. La figura muestra un cuadrado de lado L cuyos vrtices se indicancomo puntos 1, 2, 3 y 4. La carga Q3se traslada desde el vrtice 3hastael4y,posteriormente,laQ2desde2hasta3.Calculareltrabajonecesario,eindicarsitalesdesplazamientossonforzadosono.Datos:Q1=Q3=Q;Q2=QDel enunciado del ejercicio se desprende que se tiene una distribucin de cargas en tressituaciones distintas A, B, C. Vamos a calcular la energa potencial electrosttica en cadasituacin:2 2 2 2 222 2AQ Q Q kQ QU k k k kL L L L L = + + = + 2 2 2 22 2BQ Q Q QU k k k kL L L L = + + = 2 2 2 22 2CQ Q Q QU k k k kL L L L = + + = Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Convocat oria de j unioFSICA II Parte 1 C 3Q 2Q3Q A B 1 08/06/2011 Se ha tenido en cuenta que la energa potencial de una distribucin discreta de cargas vienedadapor:1,2 1,3 2,3U U U U = + + ;siendo,,i ji ji jq qU kr= Eltrabajorealizadoporelcampoencadaprocesovienedadopor:2 2 22 2 2 112 2A B A BkQ kQ kQW U UL L L(= = + = ( 0B C B CW U U = = El mismo resultado puede obtenerse a partir de la expresin ( )i f i fW q V V = siendo q lacargaquesetrasladayiV yfV elpotencialinicialyfinalrespectivamente.3. Dos esferas conductoras de radios R y 2R suficientemente alejadas estn cargadas concargasigualesQ.Posteriormenteseunenmedianteunalambreque es la situacin que se muestra en la figura. Una vezalcanzado el equilibrio razonar sobre la veracidad o no de cadaunadelassiguientesafirmaciones:a) El campo elctrico y la carga en el interior de cada una escero.Verdaderab) El potencial y la carga en la superficie de cada esfera soniguales.Falsac)Elpotencialylacargadelaesferamayoreseldoblequelaotra.Falsad)Elcampoyelpotencialenlasuperficiedecadaunadelasesferassoniguales.Falsae)Elpotencialdecadaesferaesigualylacargadelaesferamayoresdoble.Verdaderaf) El campo elctrico y la densidad de carga de la esfera menor es doble que la de la mayor.Verdadera4. Se tiene un condensador plano cuyas armaduras de rea A se encuentranseparadasunadistanciadenelvaco.a)Deducirrazonadamentesucapacidad.En el espacio entre las armaduras se introduce una lmina de espesor d/2,calcularsunuevacapacidadsilalminaes:b)conductorac)aislantedepermitividadrelativa 2 k = . Aplicaremos la definicin de capacidad:A B A BQ SCV V V Vo= = , en elapartado a)0BA BAV V Edr Ed doc = = =}, y al sustituir en la definicin decapacidad:0A B A BQ SCV V V Vo o= = = So00Sddcc= 2 08/06/2011 Enelapartadob)alsercamponuloenlalminaconductora02 2BA BAd dV V Edr Eoc = = =}A B A BQ SCV V V Vo o= = = So0 002 22SCd dcc= = Yparaelapartadoc)alexistirdosregionesconcamposdistintos,setiene:0 0 0 01 112 2 2 2BA BAd d d dV V Edro o o o kc kc c k c k+(( = = + = + = (( }Porconsiguiente:A B A BQ SCV V V Vo o= = = So ( )0021 12Sd dkck kc k=+ +( ( Sustituyendo 2 k = ,setieneque0 04 43 3SC Cdc = = Apartirdelresultadodelapartadoc)sepuedeobtenerelresultadodelb)yaqueunconductorsepuedeconsiderarquesuconstantedielctricaes.Entonces:( )0 0lim 2 21S SCd dkkc ck= =+Quecoincideconelobtenidocuandolalminaesconductora.3 08/06/2011 5.- DeterminarelcampomagnticoenelpuntoPgeneradoporlacorriente I quecirculaporelconductormostradoenlafigura.ElcampomagnticoenelpuntoPsedebenicamentealtramohorizontal,yaqueenlosotrosdos tramos dly rson paralelos, y al sustituir en la expresin de la ley de Biot y Savart304oIdl rdBrt= = (recordarqueelproductovectorialdedosvectoresparalelosescero).Paraobtenerelcampocreadoporelsegmentohorizontal,tenemosencuentalaexpresinquesemuestraenelpidepgina,yteniendoencuentaque1 245 u u = = Al aplicar la regla de la mano derecha del producto vectorial, el campo es perpendicular alpapelyentrando:Nota: Puede serle til, recordar que el mdulo del campo magntico creado por un segmento de corriente en el punto P de lafiguravienedadopor: a a IP ( )0 01 2sen sen 24 4I IBa a u ut t= + =02 4IB kat= ( )01 2sen sen4IBau ut= +a u2 u1 P I4 08/06/2011 6.a)La espira de la figura est atravesada por un campo magntico variable 4T B t k = deducirrazonadamenteelsentidodelacorrienteinducidaendichaespira.Al ser Bproporcional al tiempo, y este siempre aumenta, el flujo del campo magntico estaumentando,porconsiguienteelsentidodelacorrienteinducidaestalqueelcampomagnticoquecreaesdesentidocontrarioalexistente,portantosusentidoesenelsentidodelrecorridodelaagujasdelreloj(sentidohorario)b)EscribayexpliqueelsignificadofsicodelaecuacindeAmpreMaxwell. 7.Un circuitoserieRLCconstadeunaresistencia 5R = O,unaautoinduccincuyareactanciatiene un valor de 16 LX= O y un condensador de reactancia 4 CX= O. Si el generadorproduce una tensin 39 2 cos t c e = calcule la potencia promedio suministrada por elgenerador.( ) ( )2 22 25 16 4 13L CZ R X X = + = + = OefefIZc= ,siendo 392mefVcc = = ;luego39 3 13 efVI A = =O2 23 5 45 efP I R W = = = Tambinpodemoscalcularlapotenciapromediomediante:cosef efP I c = ,endonde5cos13RZ = = 5cos 39 3 45 13ef efP I W c = = = 4T B t k = 5 08/06/2011 8.Una onda electromagntica tiene una frecuencia de 100 MHz y se propaga en el vaco. Elcampo magntico viene dado por:8( , ) 10 cos( ) Bz t T z ti k e= (a) Calcular la longitud deonda y la direccin de propagacin de la onda. b) Expresin del campo elctrico ( , ) Ez t c)DeterminarelvectordePoyntingylaintensidaddeestaonda. La direccin de propagacin es la del eje Z en sentido positivo.8 18 13 103 10c mscT mf s= = = =1 8 1 8 8 10 02 2; 2 2 10 ; 3 10 10 3 3m f rad s E cB Vmt tk e t t = = = = = = =1 82( , ) 3cos( 2 10 )3Ez t Vm z t jtt= (tenerencuentaque j i k = )82 2701 3 10 0, 3cos ( ) cos ( )4 10 4S E B z t k z t k k e k e t t= = = LaintensidadinstantneaeselmdulodelvectordePoynting:2 20, 3cos ( ) 4I z t Wm k et= ;siendosuvalorpromedio: 2 20, 3 0, 3 1 0, 3cos ( ) 0, 012 4 4 2 8I z t Wm k et t t= = = =6 08/06/2011 EJERCICIOS PRCTICOS1.En la figura 1 se muestra una corteza esfricaconductora; de radio interno R y radio externo 2R conuna carga Q . En el centro de dicha corteza seencuentracolocadaunacargapuntual 2Q .Calcular:a)Densidad superficial de carga en las dossuperficiesdelacortezaconductora.b)Campo elctrico en todos los puntos delespacio.Representarlogrficamente.c)Potencial elctrico en todos los puntos delespacio.Representacingrfica.d)Energa potencial electrosttica en el espaciocomprendidoentreRyelinfinito. En la superficie interna de la corteza se induce una carga 2Q , por tanto en la superficieexternatienequedistribuirseunacarga Q + ( 2Q Q Q + = eslacargadelacorteza)( )int 2 2 2 22;4 2 164 2extQ Q Q QR R RRo ot t tt = = = =b)AplicamoslaleydeGaussalasuperficieesfricaderadio r R < 220 02 2 2; 4 = ;SQ Q kQEdS E r Ertc c = =}} 22rkQE ur=siendoruel vector unitario en la direccin que une el centro de lacortezaconelpuntodondesecalculaelcampo.Se ha tenido en cuenta que al existir simetra esfrica E y dS sonparalelos y que E tiene el mismo valor en cualquier punto de lasuperficie,entonces:24S S SEdS EdS E dS ES E r t = = = =}} }} }} Si 2 R r R < < el campo elctrico es cero, pues estamos en elinteriordeunconductor.En el caso de ser 2 r R > , volvemos a aplicar la ley de Gauss, peroahora la carga neta que encierra la superficie gaussiana es Q,luego:220 02; 4 = ;SQ Q Q kQEdS E r Ertc c = =}} 2 rkQE ur=Representacingrfica:R2RFi gur a 1 2QR2RFi gu2Q R2RFi gu2kQR 7 08/06/2011 Paraelclculodelpotencialempleamoslarelacin: V Edr = }Comoelpotencialenelinfinitoescero,secumpleque10 C = ;alserelpotencialunafuncincontinua:2(2 )2QV R C kR= = ;yen r R = severificaque:2 32( ) ;2Q QVR C k k CR R= = = + yportanto32 32 2Q Q kQC k kR R R= = 22QkR24QkRR2R rE22Qkr2Qkr2R R1 2Q QV k dr k Cr r= = +}3 22 2 Q QV k dr k Cr r= = +}2V C =( ) Vr =2 32Q kQkr RQkr2QkRr R LeydeAmpre:lacirculacindelcampomagnticoalolargodecualquiertrayectoriacerrada,es igual a la permitividad magntica por la suma de las intensidades que atraviesan lasuperficielimitadaporlacurvadeintegracinC.ParadeterminarelsignodelasintensidadesseaplicalaregladeMaxwelloregladelamanoderecha.0CBdl I =} b1) vamos a aplicar dicha ley, considerando como curva de integracin una circunferencia deradio r R < 2 200 0 2 2 2; 2 ;2CI r rBdl I B r I B rR R R t t t t = = =} Se ha tenido en cuenta que debido a la simetra B y dlsonparalelos en toda la trayectoria circular y que B B = tiene elmismovalorelcualquierpuntodelatrayectoria,yaquesolopuededepender de la distancia r. Por consiguiente la circulacin secalculafcilmente:2C C CBdl Bdl B dl Bl B r t = = = =} } } b2)Ahoraseconsideralacircunferenciaderadio 3 R r R < < 00 0; 2 ;2CIBdl I B r I Br t t = = =} IIFi gur a 5 IR3RIR3RIR3R11 08/06/2011 b3)Seconsideraahoralacircunferenciaderadio 3 r R > ,dadoquelasumadeintensidadesescero(Iviniendoporelhilocilndrico+Ientrandoenlacorteza)lacirculacinserceroyporconsiguientetambinloserelcampomagntico.Representacingrfica:IR3R02IRtR3RrB022IrRt02Irt06IRt12 08/06/2011 4.Unhiloconductorlargoyrectilneotransportaunacorriente 3 I A = . Una espira rectangular condos lados paralelos al hilo, siendo d la distanciaentre el lado ms prximo y el hilo, como semuestra en la figura 6. Suponiendo que por laespira circula una intensidad de 2 A en sentidoantihorario. a)Calcularlafuerzamagnticaejercidaporel hilo indefinido sobre cada lado de laespira. Silaintensidadquecirculaporelhiloesvariable,con23tI e A = .Calcular:b)Flujodelcampomagnticoatravsdelaespira. Suponiendoquelaespiratieneunaresistenciade5,obtener: c)Corrienteinducidaenlaespiraent=2s,indicandodeformarazonadasusentido. Elcampomagnticocreadoporelhiloindefinidovienedadopor:2oIB kxt= Endondex esladistanciaalhilodeunpuntosituadoaladerechadeeste,e I laintensidadquelorecorre.Paralosladosparalelosalhiloladistanciaesconstantepara el ms cercano x=d=0,01 m y para el ms lejanox==d+a=0,03 m. La fuerza sobre estos lados se calculamediantelaexpresin:2F I l B = ( Besuniforme)En donde2I es la intensidad que circula por la espiraelvector 0, 04 l bj j = = paraelladomscercanoy0, 04 l bj j = = ,para el ms alejado. La fuerza sobrecadaladoes:( )7614 10 32 0, 04 4, 8 102 0, 01F j k Nitt| | = = |\ . ( )7624 10 32 0, 04 1, 6 102 0, 03F j k Nitt| | = = |\ . Sobre los lados horizontales es un poco ms complicado ya que en este caso el campomagnticosobrecadapuntodelladoesdistinto.TomandoenelladohorizontalunelementoFi gur a 6 d=1 cm b=4 cma=2 cm Fi gur a 7 1F2F4F3F13 08/06/2011 infinitesimal de corriente situado a una distancia x ; dl dxi = (lado inferior) la fuerzainfinitesimaltienelaexpresin:7624 10 32 1, 2 102dxdF I dl B dxi k jx xtt | | = = = |\ . Por consiguiente la fuerza total es la integral, donde la x la hacemos variar desde d hastad a + ,estoes:0,036 6 630,011, 2 10 1, 2ln3 10 1, 32 10dxF j N j N jx (= = = ( ( } En el lado superior lo nico que cambia respecto a lo calculado anteriormente es que ahoradl dxi = ,porconsiguientelafuerzaqueseobtieneeslamismaperoensentidocontrario64 31, 32 10 F F Nj= = Lafuerzatotalsobrelaespiraseobtienesumandolasfuerzassobrecadaunodeloslados:61 2 3 43, 2 10totalF F F F F Ni= + + + = El flujo infinitesimal del campo magntico a travsdel elemento infinitesimal de superficie0, 04 dS bdx dx = = vienedadopor:9 00, 04 8 102I dxd dx Ix xtu = = Siendo por tanto el flujo magntico total a travsdetodalaespira:0,039 90,018 10 8ln3 10dxI Ix u = = }El valor absoluto de la f.e.m. inducida en la espirase obtiene derivando respecto al tiempo laexpresinanterior:( )9 9 28ln3 10 8ln3 10 6td dIe Vdt dtc u= = = 9 478ln3 10 6(2 ) 5, 76 105indei s A ARc= = = El sentido de la corriente inducida es tal que el campo magntico que cree tiene que ser ensentido opuesto al creado por el hilo (ya que este est aumentando) por consiguiente susentidoeselcontrarioaldelmovimientodelasagujasdelreloj(antihorario).dxx23tI e =2oIB kxt= da d +14 08/06/2011 Apellidos, Nombre Grupo CUESTIONES: 1.Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en un segmento rectilneo delongitud L .CalcularelcampoelctricoenelpuntoPdelafigura.Lacargainfinitesimal dq contenidaenelelemento dx vienedadapor:2Qdq dx dxL= = Sabemos que el campo que crea una carga puntual q en un punto P se calcula mediante laexpresin:En donde r es la distancia de la carga al punto (en nuestro caso (3 ) L x ) yru el vectorunitarioenladireccinysentidodelvectorquevadelacarga q alpuntoP(ennuestrocasoi. Aplicando la expresin anterior a la carga dq (que la podemos considerar como puntual),setiene:2 2(3 ) 2 (3 )dx Q dxdE k i k iL x L L x= = ElcampototalenelpuntoPloobtendremossumandolosinfinitoscamposinfinitesimales,esdecirintegrandolaexpresinanteriordesdex=0hastax=2L.222001 1 12 (3 ) 2 (3 ) 2 (3 2 ) (3 . 0)LLQ dx Q QE k i k i k iL L x L L x L L L L (( | |= = = = (|( \ . } 23kQE iL= Escuel a de Ingenieras Indust rial es y Civil es Grado en Tecnol ogas Indust rial es Examen Convocat oria j ul io2011 FSICA II 2L LP2LLPxdx3L x qPr2 rqE k ur=ru1 2.Calculareltrabajorealizadoporelcampoelctricocuandounacarga Q se traslada desde el punto A al punto B de la figura.Razonarsielprocesoesespontneooforzado.EltrabajorealizadoporelcampoelctricocuandounacargaQsetraslada desde un punto A a otro B se calcula mediante laexpresin:( )A B A BW Q V V = Calcularemos,portanto,elpotencialenlospuntoAyBquecreanlasloscargas:2AQ Q QV k k kL L L= + = 2 22 2BQ Q QV k k kL LL= + = Porconsiguiente:2( ) 2A B A BQ Q kQW Q V V Qk kL L L| |= = = |\ .3.Dadoelcampoelctrico, 3 E y j = Calcular:a)Flujodelcampoelctricoatravsdelcubodelafigura.b)Cargaencerradaendichocubo.Dado que el campo slo tiene componente y slo existir flujo a travs de la cara superior einferior:1 212 6 12 4 6 4 24CaraArriba CaraAbajo CaraArriba CaraAbajoEdS EdS dS dS NC mu = + = + = =}} }} }} }} Hemostenidoencuentaqueenlacaradearriba112 E NC j= y dS dS j = yqueenlacaradeabajo16 E NC j= y dS dS j = .Paracalcularlacargaencerradaenelinteriordelcubo,aplicamoslaleydeGauss:12 10 intint 00; 8, 85 10 242,12 10qEdS q C C cc u = = = u = = }}AQ 2QLLLByx2m2mz3 E y j = dSdS2 4. Una esfera maciza de radio R est uniformemente cargada con una densidad decarga3 0(C/m ) rR = , cunto valdr la carga contenida por una esfera interior deradiorRel flujo del campo es: EdS u = }} Comoexistesimetraesfrica,elcampoEesparaleloal vectordS, y su mdulo es constante a travs de cualquier punto de la superficie ( E slo depende der ), por tanto: 24 EdS EdS E dS E r t u = = = =}} }} }} 24 E r t u = comolacargaencerradaporestasuperficie,eslaquecontienelaesferaderadioR,(ver cuestion 4) 3 32 int 0 020 0 044q R RE r Er t tc c cu = = =[Ec.1] Para puntos interiores, tomamos como superficie gaussiana una esfera de radio r30204rRurc 3004Rrc Representacin grfica: 004R cRrE2004rRc30204Rrc7 Laenergapotencialelectrosttica,seobtienemediantelaexpresin:todo el espacioEU udv =}}};endonde212E ou E c = ,esladensidaddeenergadelcampoelctrico.Dadoquetenemosdosregiones,dividimoselespaciodesde0hastaRydesdeRhastael infinito (espacio interior a la esfera, y espacio exterior a la esfera) . Como existe simetraesfrica el elemento infinitesimal de volumen se toma como:24 dv rdr t = , entonces laexpresindelaenergaelectrostticaqueda: 2 22 3 5 2 5 2 5 22 2 0 0 0 0 00 0 20 0 0 0 0 01 14 42 4 2 4 56 8 7RRr R R R RU rdr rdrR r t t t c t c tc c c c c| | | |= + = + = ||\ . \ .} } 2004R cRrV3 30 00 03 12R rR c c3004Rrc2003R c8 2. En el circuito de la figura 2 el condensador est cargado (rgimen estacionario). En estascondiciones,determine:a)Laintensidadquecirculaporcadarama.b)Elpotencialenlospuntosindicadosenlafigura.c)Lapotenciasuministradaporlosgeneradoresindicandosiabsorbeocedeenerga.d)Lacargaqueadquiereelcondensadorylaenergaquealmacena.En el estado estacionario no circula intensidad por la rama donde se encuentra elcondensador,porconsiguienteelcircuitoesequivalentealdelafigura3: Mediante el mtodo de las corrientes cclicas de Maxwell planteamos dos ecuaciones: Malla 11 211 3 13 I I + =Malla 21 23 10 24 I I + = 6 V3 V 3 O 2 V 9 V a bc d e 2 F2 O 6 O Fi gur a 2 4 O 6 O 3 O fg22 V 6 V3 V 3 O 2 V 9 V a bc d e 2 O 6 O Fi gur a 3 4 O 3 O fg22 V I1 I2 9 La solucin de este sistema de ecuaciones es: 1 22 ; 3 I A I A = = Elsignonegativode 3I nosindicaqueelsentidoescontrarioalsupuestoinicialmente,las intensidades que circulan por cada elemento se reflejan en la figura 4 El potencial en cada uno de los puntos es: 0dV =6 2 2 2 a dV V V = + =2 6 10 b aV V V = = 9 1 c bV V V = + = 2 2 e dV V V = + =22 22 f dV V V = = 3 4 10 g fV V V = + = Como la diferencia de potencial a que se encuentra conectado el condensador es0b gV V =el condensador no almacena carga ni, por consiguiente, energa. Como se observa en la figura 4, todos los generadores aportan energa: 6 V3 V 3 O 2 V 9 V a bc d e 2 O 6 O Fi gur a 4 4 O 3 O fg22 V 2 A 1 A 3 A 3 A 2 A 2 A 3 A 10 9 2 2 1 6 2 22 3 98P W =+ + + =Podemos comprobar que este valor obtenido coincide con la potencia consumida en todas las resistencias; en efecto: 2 2 2 2 22 2 2 6 1 3 3 3 3 4 98 consumidaP W = + + + + =3.Tres alambres conductores muy largos y paralelos se hacen pasar por los vrtices de uncuadrado, segn se muestra en la figura 5. Por los tres alambres circula una corriente deintensidad I . Calcular el campo magntico Ben el vrtice no ocupado cuando (a) El sentidode todas las intensidades es hacia dentro del papel, (b)1I e3I circulan en el sentido haciadentroe2I haciafuera. a)En la figura 6 se muestran los campos magnticos que crean los alambre en el vrticesuperiorderecho,elmdulosecalculamediantelaexpresin:02IBdt=Endonde d esladistanciadelhiloalpuntodondesecalculaelcampo Paracalcular2Bsehatenidoencuenta,queladistanciadelalambrealhiloesladiagonaldelcuadrado 2 L yquesudireccinforma45conelejex.0 0 02 2 2;cos 45 ; sin 452 2 2 2 2 2x yI I IB B BL L L t t t= = = Figura 5012IB jLt= 032IB iLt= 0 024 4I IB i jL L t t= 11 Elcampototalseobtienemediantelasumadeloscamposindividualesquecreancadaunodelosalambres:( )01 2 334totalIB B B B i jLt= + + = b) En este apartado lo nico que cambia respecto al anterior es que ahora 2B forma 135conelejex,yportanto:0 0 02 2 2;cos 45 ; sin 452 2 2 2 2 2x yI I IB B BL L L t t t= = =( )01 2 314totalIB B B B i jLt= + + = 012IB jLt= 032IB iLt= 0 024 4I IB i jL L t t= + 12 4.-En la figura 6 0,8B T =,1v 10 ms= , 20l cm = y 2R = O . Hallar (a) la f.e.m.inducida en el circuito, (b) la corriente en el circuito y (c) la fuerza necesaria para mover lavarilla con velocidad constante suponiendo despreciable el rozamiento. (d) Hallar la potenciasuministrada por la fuerza calculada en el apartado (c) y (e) La potencia disipada por efectoJouleenlaresistencia. Dado que la varilla se desplaza hacia la derecha, el flujo magntico que atraviesa elcircuitoformadoporlascarriles,laresistenciaRylavarillaaumenta,porconsiguientesecreaunacorrienteen unsentidotalquese oponeala causaquelaproduce,enestecasosentidoantihorario, para as crear campo magntico hacia fuera, para oponerse al aumento de flujo. (verfigura7)Como el campo magnticoBesconstante y perpendicular a la superficie de laespiraelflujomagnticoseexpresa: Blx u =( )d d dxBlx Bl Blvdt dt dtcu= = = =Sustituyendolosvaloresnumricos;0, 8 0, 2 10 1, 6Blv V c = = =b) 1, 6 0, 8 2 indVI ARc= = =O c)Al existir una corriente elctrica en el seno de un campo magntico, aparece una fuerzamagnticacuyovalorvienedado:Fi gur a 6 xindIFi gur a 7 13 ( )0, 8 0, 2 ( 0,8 ) 0,128 0,128mF Il B j k N j k Ni = = = = Para que la varilla se desplace con velocidad constante, hay que aplicar, una fuerza igual y desentidocontrario(2leydeNewton 0totalv cte F = = )Lafuerzaquetenemosqueaplicares:0,128apF Ni = d)Lapotenciaquerealizaunafuerzaconstantevienedadapor:0,128 10 1, 28 insdW Fdr drP F Fv Wdt dt dt= = = = = = e)En este apartado podemos comprobar que la potencia desarrollada por la fuerza aplicadacoincideconlapotenciadisipadaporefectojouleenlaresistencia,enefecto:2 20, 8 2 1, 28 indP I R W = = = 14