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  • 7/25/2019 Exercicios algera

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    1 0 1 P R O B L E M S I N A L G E B R A

    F R O M T H E T R A I N I N G O F T H E U S A I M O T E A M

    T A N D R E E S C U t Z F E N D

    A M T P U B L I S H I N G

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    1 0 1 P R O B L E M S I N A L G E B R A

    R O M T H E T R A I N I N G O F T H E U S A 1 M O T E A M

    T A N D R U S C U F t Z F F N G

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    P u b l i s h e d b y

    A M T P U B L I S H I N G

    A u s t r a l i a n M a t h e m a t i c s T r u s t

    U n i v e r s i t y o f C a n b e r r a A C T 2 6 0 1

    A U S T R A L I A

    C o p y r i g h t 2 0 0 1 A M T P u b l i s h i n g

    T e l e p h o n e : + 6 1 2 6 2 0 1 5 1 3 7

    A M T T L i m i t e d A C N 0 8 3 9 5 0 3 4 1

    N a t i o n a l L i b r a r y o f A u s t r a l i a C a r d N u m b e r a n d I S S N

    A u s t r a l i a n M a t h e m a t i c s T r u s t E n r i c h m e n t S e r i e s I S S N 1 3 2 6 - 0 1 7 0

    1 0 1 P r o b l e m s i n A l g e b r a I S B N 1 8 7 6 4 2 0 1 2 X

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    T H E A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C S T R U S T

    E N R I C H M E N T S E R I E S

    E D I T O R I A L C O M M I T T E E

    C h a i r m a n

    G R A H A M H P O L L A R D , C a n b e r r a A U S T R A L I A

    E d i t o r

    P E T E R J T A Y L O R , C a n b e r r a A U S T R A L I A

    W A R R E N J A T K I N S , C a n b e r r a A U S T R A L I A

    E D J B A R B E A U , T o r o n t o C A N A D A

    G E O R G E B E R Z S E N Y I , T e r r a H a u t e U S A

    R O N D U N K L E Y , W a t e r l o o C A N A D A

    W A L T E R E M I E N T K A , L i n c o l n U S A

    N I K O L A Y K O N S T A N T 1 N O V , M o s c o w R U S S I A

    A N D Y L i u , E d m o n t o n C A N A D A

    J O R D A N B T A B O V , S o f i a B U L G A R I A

    J O H N W E B B , C a p e T o w n S O U T H A F R I C A

    T h e b o o k s i n t h i s s e r i e s a r e s e l e c t e d f o r t h e i r m o t i v a t i n g , i n t e r e s t i n g

    a n d s t i m u l a t i n g s e t s o f q u a l i t y p r o b l e m s , w i t h a l u c i d e x p o s i t o r y s t y l e

    i n t h e i r s o l u t i o n s . T y p i c a l l y , t h e p r o b l e m s h a v e o c c u r r e d i n e i t h e r

    n a t i o n a l o r i n t e r n a t i o n a l c o n t e s t s a t t h e s e c o n d a r y s c h o o l l e v e l .

    T h e y a r e i n t e n d e d t o b e s u f f i c i e n t l y d e t a i l e d a t a n e l e m e n t a r y l e v e l

    f o r t h e m a t h e m a t i c a l l y i n c l i n e d o r i n t e r e s t e d t o u n d e r s t a n d b u t , a t

    t h e s a m e t i m e , b e i n t e r e s t i n g a n d s o m e t i m e s c h a l l e n g i n g t o t h e

    u n d e r g r a d u a t e a n d t h e m o r e a d v a n c e d m a t h e m a t i c i a n . I t i s b e l i e v e d

    t h a t t h e s e m a t h e m a t i c s c o m p e t i t i o n p r o b l e m s

    a r e

    a p o s i t i v e

    i n f l u e n c e o n t h e l e a r n i n g a n d e n r i c h m e n t o f m a t h e m a t i c s .

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    T H E A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C S T R U S T

    E N R I C H M E N T S E R I E S

    B o o K s I N T H E S E R I E S

    1 A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C S C O M P E T I T I O N B O O K 1 1 9 7 8 - 1 9 8 4

    J D E d w a r d s , D J K i n g E t P J O ' H a l l o r a n

    2

    M A T H E M A T I C A L T O O L C H E S T

    A W P l a n k E t N H W i l l i a m s

    3

    T O U R N A M E N T O F T O W N S Q U E S T I O N S A N D S O L U T I O N S 1 9 8 4 - 1 9 8 9

    P J T a y l o r

    4

    A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C S C O M P E T I T I O N B O O K 2 1 9 8 5 - 1 9 9 1

    P J O ' H a l l o r a n , G P o l l a r d E t P J T a y l o r

    5 P R O B L E M S O L V I N G V I A T H E A M C

    W A t k i n s

    6

    T O U R N A M E N T O F T O W N S Q U E S T I O N S A N D S O L U T I O N S 1 9 8 0 - 1 9 8 4

    P J T a y l o r

    7

    T O U R N A M E N T O F T O W N S Q U E S T I O N S A N D S O L U T I O N S 1 9 8 9 - 1 9 9 3

    P J T a y l o r

    1 8

    A S I A N P A C I F I C M A T H E M A T I C S O L Y M P I A D S 1 9 8 9 - 2 0 0 0

    H L a u s c h E t C B o s c h G i r a l

    9 M E T H O D S O F P R O B L E M S O L V I N G B O O K 1

    J B T a b o v F t P J T a y l o r

    1 0 C H A L L E N G E 1 9 9 1 - 1 9 9 5

    J B H e n r y , J D o w s e y , A R E d w a r d s , U M o t t e r s h e a d ,

    A N a k o s E t G V a r d a r o

    i i

    U S S R M A T H E M A T I C A L O L Y M P I A D S 1 9 8 9 - 1 9 9 2

    A M S l i n k o

    1 1 2

    A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C A L O L Y M P I A D S 1 9 7 9 - 1 9 9 5

    H L a u s c h E t P J T a y l o r

    1 3

    C H I N E S E M A T H E M A T I C S C O M P E T I T I O N S A N D O L Y M P I A D S 1 9 8 1 - 1 9 9 3

    A L i u

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    1 1 4 P O L I S H E t A U S T R I A N M A T H E M A T I C A L O L Y M P I A D S 1 9 8 1 - 1 9 9 5

    M E K u c z m a E t E W i n d i s c h b a c h e r

    1 1 5

    T O U R N A M E N T O F T O W N S Q U E S 1 1 O N S A N D S O L U T I O N S 1 9 9 3 - 1 9 9 7

    P J T a y l o r E t A M S t o r o z h e v

    1 1 6 A U S T R A L I A N M A T H E M A T I C S C O M P E T I T I O N B O O K 3 1 9 9 2 - 1 9 9 8

    W J A t k i n s , J E M u n r o E t P J T a y l o r

    1 7

    S E E K I N G S O L U T I O N S

    J C B u r n s

    1 8

    1 0 1 P R O B L E M S I N A L G E B R A

    T A n d r e e s c u E t Z F e n g

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    P R E F A C E

    T h i s b o o k c o n t a i n s o n e h u n d r e d h i g h l y r a t e d p r o b l e m s u s e d i n t h e t r a i n -

    i n g a n d t e s t i n g o f t h e U S A I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ( I M O )

    t e a m . I t i s n o t a c o l l e c t i o n o f o n e h u n d r e d v e r y d i f f i c u l t , i m p e n e t r a b l e

    q u e s t i o n s . I n s t e a d , t h e b o o k g r a d u a l l y b u i l d s s t u d e n t s ' a l g e b r a i c s k i l l s

    a n d t e c h n i q u e s . T h i s w o r k a i m s t o b r o a d e n s t u d e n t s ' v i e w o f m a t h e m a t -

    i c s a n d b e t t e r p r e p a r e t h e m f o r p o s s i b l e p a r t i c i p a t i o n i n v a r i o u s m a t h e -

    m a t i c a l c o m p e t i t i o n s . I t p r o v i d e s i n - d e p t h e n r i c h m e n t i n i m p o r t a n t a r e a s

    o f a l g e b r a b y r e o r g a n i z i n g a n d e n h a n c i n g s t u d e n t s ' p r o b l e m - s o l v i n g t a c -

    t i c s a n d s t r a t e g i e s . T h e b o o k f u r t h e r s t i m u l a t e s s t u d e n t s ' i n t e r e s t f o r

    f u t u r e s t u d y o f m a t h e m a t i c s .

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    I N T R O D U C T I O N

    I n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a , t h e s e l e c t i o n p r o c e s s l e a d i n g t o p a r -

    t i c i p a t i o n i n t h e I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ( I M O ) c o n s i s t s

    o f a s e r i e s o f n a t i o n a l c o n t e s t s c a l l e d t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c s C o n -

    t e s t 1 0 ( A M C 1 0 ) , t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c s C o n t e s t 1 2 ( A M C 1 2 ) ,

    t h e A m e r i c a n I n v i t a t i o n a l M a t h e m a t i c s E x a m i n a t i o n ( A I M E ) , a n d t h e

    U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ( U S A M O ) . P a r t i c i -

    p a t i o n i n t h e A I M E a n d t h e U S A M O i s b y i n v i t a t i o n o n l y , b a s e d o n

    p e r f o r m a n c e i n t h e p r e c e d i n g e x a m s o f t h e s e q u e n c e . T h e M a t h e m a t i -

    c a l O l y m p i a d S u m m e r P r o g r a m ( M O S P ) i s a f o u r - w e e k , i n t e n s e t r a i n -

    i n g o f 2 4 - 3 0 v e r y p r o m i s i n g s t u d e n t s w h o h a v e r i s e n t o t h e t o p o f t h e

    A m e r i c a n M a t h e m a t i c s C o m p e t i t i o n s . T h e s i x s t u d e n t s r e p r e s e n t i n g t h e

    U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a i n t h e I M O a r e s e l e c t e d o n t h e b a s i s o f t h e i r

    U S A M O s c o r e s a n d f u r t h e r I M O - t y p e t e s t i n g t h a t t a k e s p l a c e d u r i n g

    M O S P . T h r o u g h o u t M O S P , f u l l d a y s o f c l a s s e s a n d e x t e n s i v e p r o b l e m

    s e t s g i v e s t u d e n t s t h o r o u g h p r e p a r a t i o n i n s e v e r a l i m p o r t a n t a r e a s o f

    m a t h e m a t i c s . T h e s e t o p i c s i n c l u d e c o m b i n a t o r i a l a r g u m e n t s a n d i d e n t i -

    t i e s , g e n e r a t i n g f u n c t i o n s , g r a p h t h e o r y , r e c u r s i v e r e l a t i o n s , t e l e s c o p i n g

    s u m s a n d p r o d u c t s , p r o b a b i l i t y , n u m b e r t h e o r y , p o l y n o m i a l s , t h e o r y o f

    e q u a t i o n s , c o m p l e x n u m b e r s i n g e o m e t r y , a l g o r i t h m i c p r o o f s , c o m b i n a t o -

    r i a l a n d a d v a n c e d g e o m e t r y , f u n c t i o n a l e q u a t i o n s a n d c l a s s i c a l i n e q u a l i -

    t i e s .

    O l y m p i a d - s t y l e e x a m s c o n s i s t o f s e v e r a l c h a l l e n g i n g e s s a y p r o b l e m s . C o r -

    r e c t s o l u t i o n s o f t e n r e q u i r e d e e p a n a l y s i s a n d c a r e f u l a r g u m e n t . O l y m -

    p i a d q u e s t i o n s c a n s e e m i m p e n e t r a b l e t o t h e n o v i c e , y e t m o s t c a n b e

    s o l v e d w i t h e l e m e n t a r y h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s t e c h n i q u e s , c l e v e r l y a p -

    p l i e d .

    H e r e i s s o m e a d v i c e f o r s t u d e n t s w h o a t t e m p t t h e p r o b l e m s t h a t f o l l o w .

    T a k e y o u r t i m e V e r y f e w c o n t e s t a n t s c a n s o l v e a l l t h e g i v e n p r o b -

    l e m s .

    T r y t o m a k e c o n n e c t i o n s b e t w e e n p r o b l e m s . A v e r y i m p o r t a n t

    t h e m e o f t h i s w o r k i s : a l l i m p o r t a n t t e c h n i q u e s a n d i d e a s f e a t u r e d

    i n t h e b o o k a p p e a r m o r e t h a n o n c e

    O l y m p i a d p r o b l e m s d o n ' t " c r a c k " i m m e d i a t e l y . B e p a t i e n t . T r y

    d i f f e r e n t a p p r o a c h e s . E x p e r i m e n t w i t h s i m p l e c a s e s . I n s o m e c a s e s ,

    w o r k i n g b a c k w a r d f r o m t h e d e s i r e d r e s u l t i s h e l p f u l .

    E v e n i f y o u c a n s o l v e a p r o b l e m , d o r e a d t h e s o l u t i o n s . T h e y m a y

    c o n t a i n s o m e i d e a s t h a t d i d n o t o c c u r i n y o u r s o l u t i o n s , a n d t h e y

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    v i i i

    I n t r o d u c t i o n

    m a y d i s c u s s s t r a t e g i c a n d t a c t i c a l a p p r o a c h e s t h a t c a n b e u s e d e l s e -

    w h e r e . T h e f o r m a l s o l u t i o n s a r e a l s o m o d e l s o f e l e g a n t p r e s e n t a -

    t i o n t h a t y o u s h o u l d e m u l a t e , b u t t h e y o f t e n o b s c u r e t h e t o r t u r o u s

    p r o c e s s o f i n v e s t i g a t i o n , f a l s e s t a r t s , i n s p i r a t i o n a n d a t t e n t i o n t o

    d e t a i l t h a t l e d t o t h e m . W h e n y o u r e a d t h e s o l u t i o n s , t r y t o r e -

    c o n s t r u c t t h e t h i n k i n g t h a t w e n t i n t o t h e m . A s k y o u r s e l f , " W h a t

    w e r e t h e k e y i d e a s ? " " H o w c a n I a p p l y t h e s e i d e a s f u r t h e r ? "

    G o b a c k t o t h e o r i g i n a l p r o b l e m l a t e r , a n d s e e i f y o u c a n s o l v e i t

    i n a d i f f e r e n t w a y . M a n y o f t h e p r o b l e m s h a v e m u l t i p l e s o l u t i o n s ,

    b u t n o t a l l a r e o u t l i n e d h e r e .

    A l l t e r m s i n b o l d f a c e a r e d e f i n e d i n t h e G l o s s a r y . U s e t h e g l o s s a r y

    a n d t h e r e a d i n g l i s t t o f u r t h e r y o u r m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n .

    M e a n i n g f u l p r o b l e m s o l v i n g t a k e s p r a c t i c e . D o n ' t g e t d i s c o u r a g e d

    i f y o u h a v e t r o u b l e a t f i r s t . F o r a d d i t i o n a l p r a c t i c e , u s e t h e b o o k s

    o n t h e r e a d i n g l i s t .

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    A C K N O W L E D G E M E N T S

    T h a n k s t o T i a n k a i L i u w h o h e l p e d i n p r o o f r e a d i n g a n d p r e p a r i n g s o l u -

    t i o n s .

    M a n y p r o b l e m s a r e e i t h e r i n s p i r e d b y o r f i x e d f r o m m a t h e m a t i c a l c o n t e s t s

    i n d i f f e r e n t c o u n t r i e s a n d f r o m t h e f o l l o w i n g j o u r n a l s :

    H i g h - S c h o o l M a t h e m a t i c s , C h i n a

    R e v i s t a M a t e m a t i c a T i m i o a r a , R o m a n i a

    K v a n t , R u s s i a

    W e d i d o u r b e s t t o c i t e a l l t h e o r i g i n a l s o u r c e s o f t h e p r o b l e m s i n t h e s o l u -

    t i o n p a r t . W e e x p r e s s o u r d e e p e s t a p p r e c i a t i o n t o t h e o r i g i n a l p r o p o s e r s

    o f t h e p r o b l e m s .

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    14/160

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    15/160

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    16/160

    C O N T E N T S

    P R E F A C E

    v i i

    I N T R O D U C T I O N

    i x

    A C K N O W L E D G E M E N T S

    x i

    A B B R E V I A T I O N S A N D N O T A T I O N S

    x i i i

    1 . I N T R O D U C T O R Y P R O B L E M S

    1

    2 . A D V A N C E D P R O B L E M S

    1 3

    3 . S O L U T I O N S T O I N T R O D U C T O R Y P R O B L E M S 2 7

    4 . S O L U T I O N S T O A D V A N C E D P R O B L E M S

    6 5

    G L O S S A R Y

    1 3 1

    F U R T H E R R E A D I N G

    1 3 7

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    17/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    18/160

    I N T R O D U C T O R Y P R O B L E M S

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    19/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    20/160

    1 . I N T R O D U C T O R Y P R O B L E M S

    P r o b l e m 1

    L e t a , b , a n d c b e r e a l a n d p o s i t i v e p a r a m e t e r s . S o l v e t h e e q u a t i o n

    a + b x + b + c x + c + a x =

    b - a x + c - b x + a - c x .

    P r o b l e m 2

    F i n d t h e g e n e r a l t e r m o f t h e s e q u e n c e d e f i n e d b y x 0 = 3 , x 1 = 4 a n d

    a

    x n + 1 = x n _ 1 - n x n

    f o r a l l ' n E N .

    P r o b l e m 3

    L e t x 1 , x 2 i . . . , X . b e a s e q u e n c e o f i n t e g e r s s u c h t h a t

    ( i ) - 1 < x , < 2 , f o r z = 1 , 2 . . . . , n ;

    ( i i ) x 1 + x 2 +

    + x n

    1 9 ;

    ( i i i )

    D e t e r m i n e t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m p o s s i b l e v a l u e s o f

    x i + x 2 + + x n .

    P r o b l e m 4

    T h e f u n c t i o n f , d e f i n e d b y

    f ( x ) =

    a x + b

    c x + d '

    w h e r e a , b , c , a n d d a r e n o n z e r o r e a l n u m b e r s , h a s t h e p r o p e r t i e s

    f ( 1 9 ) = 1 9 , f ( 9 7 ) = 9 7 ,

    a n d f ( f ( x ) ) = x ,

    f o r a l l v a l u e s o f x , e x c e p t -

    d

    c

    F i n d t h e r a n g e o f f .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    21/160

    2

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 5

    P r o v e t h a t

    ( a - b ) 2

    b > 0 .

    P r o b l e m 6

    S e v e r a l ( a t l e a s t t w o ) n o n z e r o n u m b e r s a r e w r i t t e n o n a b o a r d . O n e m a y

    e r a s e a n y t w o n u m b e r s , s a y a a n d b , a n d t h e n w r i t e t h e n u m b e r s a + 2

    a n d b - a i n s t e a d .

    2

    P r o v e t h a t t h e s e t o f n u m b e r s o n t h e b o a r d , a f t e r a n y n u m b e r o f t h e

    p r e c e d i n g o p e r a t i o n s , c a n n o t c o i n c i d e w i t h t h e i n i t i a l s e t .

    P r o b l e m 7

    T h e p o l y n o m i a l

    1 - x + x 2 - x 3 + . . . + x 1 6 _ x 1 7

    m a y b e w r i t t e n i n t h e f o r m

    a o + a 1 y + a 2 y 2 + . . . + a 1 6 y 1 6 + a 1 7 y 1 7 ,

    w h e r e y = x + 1 a n d a s a r e c o n s t a n t s .

    F i n d a 2 .

    P r o b l e m 8

    L e t a , b , a n d c b e d i s t i n c t n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    1

    1 1

    = c + - .

    + b = b + -

    c

    P r o v e t h a t I a b c l = 1 .

    P r o b l e m 9

    F i n d p o l y n o m i a l s f ( x ) , g ( x ) , a n d h ( x ) , i f t h e y e x i s t , s u c h t h a t f o r a l l x ,

    1 - 1

    i f x < - 1

    I f ( x ) I - I g ( x ) I + h ( x ) =

    3 x + 2

    i f - 1 < x < 0

    - 2 x + 2 i f x > 0 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    22/160

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s 3

    P r o b l e m 1 0

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x f o r w h i c h

    7

    x + 2 7 "

    1 2 x + 1 8 x

    6

    P r o b l e m 1 1

    F i n d t h e l e a s t p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t

    f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n .

    P r o b l e m 1 2

    L e t a , b , c , d , a n d e b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

    a b c d e = a + b + c + d + e .

    F i n d t h e m a x i m u m p o s s i b l e v a l u e o f m a x { a , b , c , d , e } .

    P r o b l e m 1 3

    E v a l u a t e

    3 4

    2 0 0 1

    1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4

    1 9 9 9 + 2 0 0 0 + 2 0 0 1

    P r o b l e m 1 4

    L e t x = v f a 2 + a + 1 - ' 1 a 2 - - a + 1 , a E R .

    F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s o f x .

    P r o b l e m 1 5

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x f o r w h i c h

    1 0 x + 1 l x + 1 2 x = 1 3 x + 1 4 x .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    23/160

    4 1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 1 6

    L e t f : N x N - N b e a f u n c t i o n s u c h t h a t f ( 1 , 1 )

    = 2 ,

    f ( m + 1 , n ) = f ( m , n ) + m a n d f ( m , n + 1 ) = f ( m , n ) - n

    f o r a l l m , n E N .

    F i n d a l l p a i r s ( p , q ) s u c h t h a t f ( p , q ) = 2 0 0 1 .

    P r o b l e m 1 7

    L e t f b e a f u n c t i o n d e f i n e d o n [ 0 , 1 ] s u c h t h a t

    f ( O ) = f ( l ) = 1 a n d I f ( a ) - f ( b ) I < I a - b I ,

    f o r a l l a

    b i n t h e i n t e r v a l [ 0 , 1 ] .

    P r o v e t h a t

    I f ( a ) - f ( b ) I 6 t h e e q u a t i o n

    1 1

    1

    +

    2

    + . . . +

    2

    = 1

    x 1

    x 2

    x

    h a s i n t e g e r s o l u t i o n s .

    P r o b l e m 2 1

    F i n d a l l p a i r s o f i n t e g e r s ( a , b ) s u c h t h a t t h e p o l y n o m i a l a x 1 7 + b x l s + 1

    i s d i v i s i b l e b y x 2 - x - 1 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    24/160

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s 5

    P r o b l e m 2 2

    G i v e n a p o s i t i v e i n t e g e r n , l e t p ( n ) b e t h e p r o d u c t o f t h e n o n - z e r o d i g i t s

    o f n . ( I f n h a s o n l y o n e d i g i t , t h e n p ( n ) i s e q u a l t o t h a t d i g i t . ) L e t

    S = p ( 1 ) + p ( 2 ) +

    + p ( 9 9 9 ) .

    W h a t i s t h e l a r g e s t p r i m e f a c t o r o f S ?

    P r o b l e m 2 3

    L e t x n b e a s e q u e n c e o f n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    x i _ 2 x n _ 1

    x n

    2 x n _ 2 - x n _ 1

    f o r n = 3 , 4 , . . . .

    E s t a b l i s h n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o n x 1 a n d x 2 f o r x . , t o b e

    a n i n t e g e r f o r i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s o f n .

    P r o b l e m 2 4

    S o l v e t h e e q u a t i o n

    x 3 - 3 x = x + 2 .

    P r o b l e m 2 5

    F o r a n y s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s A = { a 1 , a 2 , a 3 ,

    } , d e f i n e D A t o b e

    t h e s e q u e n c e { a 2 - a 1 , a 3 - a 2 , a 4 - a 3 , . . . } . S u p p o s e t h a t a l l o f t h e t e r m s

    o f t h e s e q u e n c e A ( A A ) a r e 1 , a n d t h a t a 1 9 = a 9 2 = 0 .

    F i n d a 1 .

    P r o b l e m 2 6

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n

    2 x + 3 x - 4 x + 6 x - 9 x = 1 .

    P r o b l e m 2 7

    P r o v e t h a t

    8 0

    1 6 < E v 1 < 1 7 .

    k = 1

    k

    P r o b l e m 2 8

    D e t e r m i n e t h e n u m b e r o f o r d e r e d p a i r s o f i n t e g e r s ( m , n ) f o r w h i c h m n >

    0 a n d

    m 3 + n 3 + 9 9 m n = 3 3 3 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    25/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    26/160

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s 7

    P r o b l e m 3 5

    F i n d a l l o r d e r e d p a i r s o f r e a l n u m b e r s ( x , y ) f o r w h i c h :

    ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) = l + y 7

    a n d

    ( 1 + y ) ( 1 + y 2 ) ( 1 + y 4 )

    =

    1 + x 7 .

    P r o b l e m 3 6

    S o l v e t h e e q u a t i o n

    2 ( 2 x - 1 ) x 2 + ( 2 x - 2 - 2 ) x = 2 x + 1

    - 2

    f o r r e a l n u m b e r s x .

    P r o b l e m 3 7

    L e t a b e a n i r r a t i o n a l n u m b e r a n d l e t n b e a n i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 .

    P r o v e t h a t

    ( a +

    a 2 - 1 ) + ( a

    -

    a 2 - 1 )

    i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r .

    P r o b l e m 3 8

    S o l v e t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

    ( x 1 - x 2 + x 3 ) 2

    = x 2 ( x 4 + x 5 - x 2 )

    ( x 2 - x 3 + x 4 ) 2

    = x 3 ( x 5 + x 1 - x 3 )

    ( x 3 - x 4 + x 5 ) 2

    = x 4 ( x 1 + x 2 - x 4 )

    ( x 4 - x 5 + x 1 ) 2

    = x 5 ( x 2 + x 3 - x 5 )

    ( x 5 - x 1 + x 2 ) 2

    = x l ( x 3 + x 4 - x l )

    f o r r e a l n u m b e r s x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 .

    P r o b l e m 3 9

    L e t x , y , a n d z b e c o m p l e x n u m b e r s s u c h t h a t

    x + y + z = 2 ,

    x 2 + y 2 + z 2 = 3

    a n d

    E v a l u a t e

    x y z = 4 .

    1

    1

    1

    x y + z - l + y z + x - l + z x + y - 1

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    27/160

    8

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 4 0

    M r . F a t i s g o i n g t o p i c k t h r e e n o n - z e r o r e a l n u m b e r s a n d M r . T a f i s g o i n g

    t o a r r a n g e t h e t h r e e n u m b e r s a s t h e c o e f f i c i e n t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n

    x 2 + x + = 0 .

    M r . F a t w i n s t h e g a m e i f a n d o n l y i f t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n h a s t w o

    d i s t i n c t r a t i o n a l s o l u t i o n s .

    W h o h a s a w i n n i n g s t r a t e g y ?

    P r o b l e m 4 1

    G i v e n t h a t t h e r e a l n u m b e r s a , b , c , d , a n d e s a t i s f y s i m u l t a n e o u s l y t h e

    r e l a t i o n s

    a + b + c + d + e = 8 a n d a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 1 6 ,

    d e t e r m i n e t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m v a l u e o f a .

    P r o b l e m 4 2

    F i n d t h e r e a l z e r o s o f t h e p o l y n o m i a l

    P a ( x ) = ( x 2 + 1 ) ( x - 1 ) 2 - a x 2 ,

    w h e r e a i s a g i v e n r e a l n u m b e r .

    P r o b l e m 4 3

    P r o v e t h a t

    1 3

    2 n - 1

    1

    2 4

    2 n

    7 3 7

    f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n .

    P r o b l e m 4 4

    L e t

    P ( x ) = a o x n + a l

    x n - 1 +

    . . . + a , ,

    b e a n o n z e r o p o l y n o m i a l w i t h i n t e g e r c o e f f i c i e n t s s u c h t h a t P ( r ) _

    P ( s ) = 0 f o r s o m e i n t e g e r s r a n d s , w i t h 0 < r < s .

    P r o v e t h a t a k < - s f o r s o m e k .

    P r o b l e m 4 5

    L e t m b e a g i v e n r e a l n u m b e r .

    F i n d a l l c o m p l e x n u m b e r s x s u c h t h a t

    ( X ) 2

    x 2

    2

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    28/160

    1 . I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 4 6

    T h e s e q u e n c e g i v e n b y x o = a , x 1 = b , a n d

    x n + 1 -

    1 ( X n - 1

    + 1 I .

    2

    i s p e r i o d i c .

    P r o v e t h a t a b = 1 .

    P r o b l e m 4 7

    L e t a , b , c , a n d d b e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    P r o v e t h a t

    ( a 2 + b 2 - 1 ) ( c 2 + d 2 - 1 ) > ( a c + b d - 1 ) 2 .

    a 2 + b 2 > 1 a n d c 2 + d 2 > 1 .

    P r o b l e m 4 8

    F i n d a l l c o m p l e x n u m b e r s z s u c h t h a t

    ( 3 z + 1 ) ( 4 z + 1 ) ( 6 z + 1 ) ( 1 2 z + 1 ) = 2 .

    9

    P r o b l e m 4 9

    L e t x 1 i x 2 ,

    - , x n _ 1 i b e t h e z e r o s d i f f e r e n t f r o m 1 o f t h e p o l y n o m i a l

    P ( x ) = x n - 1 , n > 2 .

    P r o v e t h a t

    1

    1 1

    1 - x 1

    +

    1 - x 2

    + . . . +

    1 - x n _ 1

    n - 1

    2

    P r o b l e m 5 0

    L e t a a n d b b e g i v e n r e a l n u m b e r s . S o l v e t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

    x - y x 2 - y z

    a ,

    1 - x 2 + y 2

    y - x x 2 - y 2

    = b

    1 - x 2 + y 2

    f o r r e a l n u m b e r s x a n d y .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    29/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    30/160

    A D V A N C E D P R O B L E M S

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    31/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    32/160

    2 . A D V A N C E D P R O B L E M S

    P r o b l e m 5 1

    E v a l u a t e

    0 2 0 0

    2

    5

    0 ) +

    ( 2 0 0 0 )

    + ( 2 0 8 0 0 )

    + . . . +

    ( 2 0 0 0 )

    P r o b l e m 5 2

    L e t x , y , z b e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t x 4 + y 4 + z 4 = 1 .

    D e t e r m i n e w i t h p r o o f t h e m i n i m u m v a l u e o f

    x 3

    y

    3

    z 3

    1 - x 8 + 1 y 8 + 1 - z 8 .

    P r o b l e m 5 3

    F i n d a l l r e a l s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n

    2 X + 3 2 : + 6 X = x 2 .

    P r o b l e m 5 4

    L e t { a n } n > 1 b e a s e q u e n c e s u c h t h a t a l = 2 a n d

    a n 1

    a n + i =

    2 +

    a

    n

    f o r a l l n e N .

    F i n d a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r a n .

    P r o b l e m 5 5

    L e t x , y , a n d z b e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t

    x + y

    x +

    ( x + y ) ( x + z )

    y +

    ( y + z ) ( y + x )

    z

    +

    f ( n ) a n d

    f ( f ( n ) ) = 3 n

    f o r a l l n .

    E v a l u a t e f ( 2 0 0 1 ) .

    P r o b l e m 5 8

    L e t F b e t h e s e t o f a l l p o l y n o m i a l s f ( x ) w i t h i n t e g e r s c o e f f i c i e n t s s u c h

    t h a t f ( x ) = 1 h a s a t l e a s t o n e i n t e g e r r o o t .

    F o r e a c h i n t e g e r k > 1 , f i n d m k , t h e l e a s t i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 f o r

    w h i c h t h e r e e x i s t s f E F s u c h t h a t t h e e q u a t i o n f ( x ) = M k h a s e x a c t l y

    k d i s t i n c t i n t e g e r r o o t s .

    P r o b l e m 5 9

    L e t x 1 = 2 a n d

    2

    x ' + 1 = x n - x , + 1 ,

    f o r n > 1 .

    P r o v e t h a t

    1

    0 .

    S o l u t i o n 5 , A l t e r n a t i v e 1

    N o t e t h a t

    +

    ` < 1 0 ( w h i c h i m p l i e s a >

    a b > b ) .

    P r o b l e m 6 [ S t . P e t e r s b u r g 1 9 8 9 ]

    S e v e r a l ( a t l e a s t t w o ) n o n z e r o n u m b e r s a r e w r i t t e n o n a b o a r d . O n e m a y

    e r a s e a n y t w o n u m b e r s , s a y a a n d b , a n d t h e n w r i t e t h e n u m b e r s a + 2

    a n d b - 2 i n s t e a d .

    P r o v e t h a t t h e s e t o f n u m b e r s o n t h e b o a r d , a f t e r a n y n u m b e r o f t h e

    p r e c e d i n g o p e r a t i o n s , c a n n o t c o i n c i d e w i t h t h e i n i t i a l s e t .

    S o l u t i o n 6

    L e t S b e t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e n u m b e r s o n t h e b o a r d . N o t e t h a t

    S i n c r e a s e s i n t h e f i r s t o p e r a t i o n a n d d o e s n o t d e c r e a s e i n a n y s u c c e s s i v e

    o p e r a t i o n , a s

    \ 2

    C a + 2

    J + ( b - 2 ) 2 = 4 ( a 2 + b 2 ) > a 2 + b 2

    w i t h e q u a l i t y o n l y i f a = b = 0 .

    T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    50/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    3 1

    P r o b l e m 7 [ A I M E 1 9 8 6 ]

    T h e p o l y n o m i a l

    1 - x + x 2 - x 3 + + x 1 6 - x 1 7

    m a y b e w r i t t e n i n t h e f o r m

    a o + a l y + a 2 y 2 + . . . + a 1 6 y 1 6 + a 1 7 y 1 7 ,

    w h e r e y = x + 1 a n d a s a r e c o n s t a n t s . F i n d a 2 .

    S o l u t i o n 7 , A l t e r n a t i v e 1

    L e t f ( x ) d e n o t e t h e g i v e n e x p r e s s i o n . T h e n

    x f ( x ) = x - x 2 + x 3 - . . . - x 1 8

    a n d

    H e n c e

    ( 1 + x ) f ( x ) = 1 - x 1 8 .

    f ( x ) = f ( y - 1 ) =

    1 - ( y -

    1 ) 1 8

    -

    1 - ( y - 1 ) 1 8

    1 + ( y - 1 )

    y

    T h e r e f o r e a 2 i s e q u a l t o t h e c o e f f i c i e n t o f y 3 i n t h e e x p a n s i o n o f

    1 - ( y - 1 ) 1 s

    a 2 =

    ( 1 8 )

    = 8 1 6 .

    S o l u t i o n 7 , A l t e r n a t i v e 2

    L e t f ( x ) d e n o t e t h e g i v e n e x p r e s s i o n . T h e n

    f ( x ) = f ( y - 1 ) = 1

    ( y - 1 ) + ( y - 1 ) 2 ( y - 1 )

    1 7

    = 1 + (

    T h u s

    2

    ) +

    ( 1 ) , + . . .

    +

    ( 1 7 )

    =

    ( 1 8 ) .

    a 2 = ( 2

    H e r e w e u s e d t h e f o r m u l a

    ( n )

    k + ( k + 1 ) -

    ( k

    + 1

    a n d t h e f a c t t h a t

    ( 2 2 )

    _

    ( 3 3 )

    = 1 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    51/160

    3 2

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 8

    L e t a , b , a n d c b e d i s t i n c t n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    a + - = b + - = c + - .

    P r o v e t h a t I a b c I = 1 .

    S o l u t i o n 8

    F r o m t h e g i v e n c o n d i t i o n s i t f o l l o w s t h a t

    a

    .

    b =

    b

    b c c

    ,

    b - c = c c a a , a n d c - a =

    a a b b

    M u l t i p l y i n g t h e a b o v e e q u a t i o n s g i v e s ( a b c ) 2 = 1 , f r o m w h i c h t h e d e s i r e d

    r e s u l t f o l l o w s .

    P r o b l e m 9 [ P u t n a m 1 9 9 9 ]

    F i n d p o l y n o m i a l s f ( x ) , g ( x ) , a n d h ( x ) , i f t h e y e x i s t , s u c h t h a t f o r a l l x ,

    - 1

    i f x < - 1

    I f ( X ) I - I g ( x ) I + h ( x ) =

    3 x + 2

    i f - 1 < x < 0

    - 2 x + 2 i f x > 0 .

    S o l u t i o n 9 , A l t e r n a t i v e 1

    S i n c e x = - 1 a n d x = 0 a r e t h e t w o c r i t i c a l v a l u e s o f t h e a b s o l u t e

    f u n c t i o n s , o n e c a n s u p p o s e t h a t

    F ( x ) = a l x + 1 l + b l x l + c x + d

    ( c - a - b ) x + d - a i f x < - 1

    ( a + c - b ) x + a + d i f - 1 < x < 0

    ( a + b + c ) x + a + d i f x > 0 ,

    w h i c h i m p l i e s t h a t a = 3 / 2 , b = - 5 / 2 , c = - 1 , a n d d = 1 / 2 .

    H e n c e f ( x ) = ( 3 x + 3 ) / 2 , g ( x ) = 5 x / 2 , a n d h ( x ) = - x + z .

    S o l u t i o n 9 , A l t e r n a t i v e 2

    N o t e t h a t i f r ( x ) a n d s ( x ) a r e a n y t w o f u n c t i o n s , t h e n

    r + s + I r - s l

    m a x ( r , s ) =

    2

    T h e r e f o r e , i f F ( x ) i s t h e g i v e n f u n c t i o n , w e h a v e

    F ( x ) = m a x { - 3 x - 3 , 0 } - m a x { 5 x , 0 } + 3 x + 2

    = ( - 3 x - 3 + 1 3 x + 3 1 ) / 2 - ( 5 x + I 5 x l ) / 2 + 3 x + 2

    .

    1 ( 3 x + 3 ) / 2 1 - 1 5 x / 2 1 - x +

    2 1

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    52/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    3 3

    P r o b l e m 1 0

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x f o r w h i c h

    8 x + 2 7 x

    7

    1 2 x + 1 8 x 6

    S o l u t i o n 1 0

    B y s e t t i n g 2 x = a a n d 3 x = b , t h e e q u a t i o n b e c o m e s

    a 3 + b 3

    7

    a 2 b + b 2 a

    6

    a 2 - a b + b 2

    _ 7

    a b

    6 '

    6 a 2

    - 1 3 a b + 6 b 2 = 0 ,

    ( 2 a - 3 b ) ( 3 a - 2 b ) = 0 .

    T h e r e f o r e 2 x + 1 = 3 x + 1 o r 2 x - 1 = 3 x - 1 , w h i c h i m p l i e s t h a t x = - 1 a n d

    x = 1 .

    I t i s e a s y t o c h e c k t h a t b o t h x = - 1 a n d x = 1 s a t i s f y t h e g i v e n e q u a t i o n .

    P r o b l e m 1 1 [ R o m a n i a 1 9 9 0 ]

    F i n d t h e l e a s t p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t

    C 2 n l n

    n

    < m

    f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n .

    S o l u t i o n 1 1

    N o t e t h a t

    C 2 n )

    3 5

    = ( 1 + 1 ) 2 n = 4 n

    T h u s m = 4 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    53/160

    3 4

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    P r o b l e m 1 2

    L e t a , b , c , d , a n d e b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t

    a b c d e = a + b + c + d + e .

    F i n d t h e m a x i m u m p o s s i b l e v a l u e o f m a x { a , b , c , d , e } .

    S o l u t i o n 1 2 , A l t e r n a t i v e 1

    S u p p o s e t h a t a < b < c < d < e . W e n e e d t o f i n d t h e m a x i m u m v a l u e o f

    e . S i n c e

    e < a + b + c + d + e < 5 e ,

    t h e n e < a b c d e < 5 e , i . e .

    1 < a b c d < 5 .

    H e n c e ( a , b , c , d ) = ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 1 , 3 ) , ( 1 , 1 , 1 , 4 ) , ( 1 , 1 , 2 , 2 ) , o r

    ( 1 , 1 , 1 , 5 ) , w h i c h l e a d s t o m a x { e } = 5 .

    S o l u t i o n 1 2 , A l t e r n a t i v e 2

    A s b e f o r e , s u p p o s e t h a t a < b < c < d < e . N o t e t h a t

    1 _

    1 + 1 + 1 + 1 + 1

    b c d e c d e a

    d e a b

    e a b c a b c d

    l a n d e - 1 < 4 o r e < 5 .

    I t i s e a s y t o s e e t h a t ( 1 , 1 , 1 , 2 , 5 ) i s a s o l u t i o n .

    T h e r e f o r e m a x { e } = 5 .

    C o m m e n t : T h e s e c o n d s o l u t i o n c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e m a x i -

    m u m v a l u e o f { x 1 i X 2 . . . . , x . n } , w h e n x i , x 2 , . . . , x n a r e p o s i t i v e i n t e g e r s

    s u c h t h a t

    1 1 1 2 . . . 1 n = X 1 + X 2 + . . . + 1 n .

    P r o b l e m 1 3

    E v a l u a t e

    3 4 2 0 0 1

    1 + 2 + 3 + 2 - 3 + 4 + + 1 9 9 9

    + 2 0 0 0 + 2 0 0 1

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    54/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    S o l u t i o n 1 3

    N o t e t h a t

    k + 2

    _

    k + 2

    k + ( k + 1 ) + ( k + 2 )

    k [ 1 + k + 1 + ( k + 1 ) ( k + 2 ) ]

    1

    k ( k + 2 )

    k + 1

    ( k + 2 )

    ( k + 2 ) - 1

    ( k + 2 )

    ( k + 1 )

    ( k + 2 )

    B y t e l e s c o p i n g s u m , t h e d e s i r e d v a l u e i s e q u a l t o

    1

    1

    2 2 0 0 1

    P r o b l e m 1 4

    L e t x = a 2 + a + 1 - a 2 - a + 1 , a E R .

    F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s o f x .

    S o l u t i o n 1 4 , A l t e r n a t i v e 1

    S i n c e

    a n d

    x =

    w e h a v e

    S q u a r i n g b o t h s i d e s o f

    a 2 + I a l + 1 > I a l

    2 a

    a

    2 +

    a + 1 + a 2 - a + 1 '

    j x j < 1 2 a / a l = 2 .

    x +

    v l - a - 2

    a 2 + a + 1

    3 5

    y i e l d s

    2 x a 2 - a + 1 = 2 a - x 2 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    55/160

    3 6 3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    S q u a r i n g b o t h s i d e s o f t h e a b o v e e q u a t i o n g i v e s

    x 2 ( 2 2 - 4 )

    2 2

    2

    2

    2

    =

    ( x

    - 1 ) a

    = x

    - 4 ) o r ax

    4 ( x 2 - 1 )

    S i n c e a 2 > 0 , w e m u s t h a v e

    2 2 ( x 2 - 4 ) ( X 2

    - 1 ) > 0 ,

    S i n c e I x I < 2 , x 2 - 4 < 0 w h i c h f o r c e s x 2 - 1 < 0 . T h e r e f o r e , - 1 < x < 1 .

    C o n v e r s e l y , f o r e v e r y x E ( - 1 , 1 ) t h e r e e x i s t s a r e a l n u m b e r a s u c h t h a t

    x = a 2 + a + 1 - a 2 - a + 1 .

    S o l u t i o n 1 4 , A l t e r n a t i v e 2

    L e t A = ( - 1 / 2 , / / 2 ) , B = ( 1 / 2 , / / 2 ) , a n d P = ( a , 0 ) .

    T h e n P

    i s a p o i n t o n t h e x - a x i s a n d w e a r e l o o k i n g f o r a l l p o s s i b l e v a l u e s o f

    d = P A - P B .

    B y t h e T r i a n g l e I n e q u a l i t y , S P A - P B j < I A B I = 1 . A n d i t i s c l e a r

    t h a t a l l t h e v a l u e s - 1 < d < 1 a r e i n d e e d o b t a i n a b l e . I n f a c t , f o r s u c h

    a d , a h a l f h y p e r b o l a o f a l l p o i n t s Q s u c h t h a t Q A - Q B = d i s w e l l

    d e f i n e d . ( P o i n t s A a n d B a r e f o c i o f t h e h y p e r b o l a . )

    S i n c e l i n e A B i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s , t h i s h a l f h y p e r b o l a i n t e r s e c t s t h e

    x - a x i s , i . e . , P i s w e l l d e f i n e d .

    P r o b l e m 1 5

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x f o r w h i c h

    l O x + 1 1 x + 1 2 x = 1 3 x + W .

    S o l u t i o n 1 5

    I t i s e a s y t o c h e c k t h a t x = 2 i s a s o l u t i o n . W e c l a i m t h a t i t i s t h e o n l y

    o n e . I n f a c t , d i v i d i n g b y 1 3 2 o n b o t h s i d e s g i v e s

    ( 1 0 )

    x

    + ( 1 1 ) x +

    /

    ( 1 3 ) 2

    = 1 +

    ( 1 3 ) 2 .

    T h e l e f t h a n d s i d e i s a d e c r e a s i n g

    f u n c t i o n

    o f x a n d t h e r i g h t h a n d s i d e

    i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f x .

    T h e r e f o r e t h e i r g r a p h s c a n h a v e a t m o s t o n e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    56/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    3 7

    C o m m e n t : M o r e g e n e r a l l y ,

    a 2 + ( a + 1 ) 2 + .

    .

    . + ( a + k ) 2

    = ( a + k +

    1 ) 2

    + ( a + k + 2 ) 2 +

    + ( a + 2 k ) 2

    f o r a = k ( 2 k + 1 ) , k E N .

    P r o b l e m 1 6 [ K o r e a n M a t h e m a t i c s C o m p e t i t i o n 2 0 0 1 ]

    L e t f : N x N - N b e a f u n c t i o n s u c h t h a t f ( 1 , 1 ) = 2 ,

    f ( m + 1 , n ) = f ( m , n ) + m a n d f ( m , n + 1 ) = f ( m , n ) - n

    f o r a l l m , n E N .

    F i n d a l l p a i r s ( p , q ) s u c h t h a t f ( p , q ) = 2 0 0 1 .

    S o l u t i o n 1 6

    W e h a v e

    f ( p , q )

    = f ( p - 1 , q ) + p - 1

    = f ( p - 2 , q ) + ( p - 2 ) + ( p - 1 )

    f ( l , q ) +

    p ( p - 1 )

    2

    f ( 1 , q - 1 ) - ( q - 1 ) + p ( p - 1 )

    2

    f ( 1 , 1 ) -

    q ( q - 1 )

    +

    p ( p - 1 )

    2 2

    2 0 0 1 .

    T h e r e f o r e

    p ( p - 1 )

    -

    q ( q - 1 )

    2 2

    =

    1 9 9 9 ,

    ( p - q ) ( p + q - 1 ) = 2 . 1 9 9 9 .

    N o t e t h a t 1 9 9 9 i s a p r i m e n u m b e r a n d t h a t p - q < p + q - 1 f o r p , q E N .

    W e h a v e t h e f o l l o w i n g t w o c a s e s :

    1 . p - q = 1 a n d p + q - 1 = 3 9 9 8 . H e n c e p = 2 0 0 0 a n d q = 1 9 9 9 .

    2 . p - q = 2 a n d p + q - 1 = 1 9 9 9 . H e n c e p = 1 0 0 1 a n d q = 9 9 9 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    57/160

    3 8 3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    T h e r e f o r e ( p , q ) = ( 2 0 0 Q , 1 9 9 9 ) o r ( 1 0 0 1 , 9 9 9 ) .

    P r o b l e m 1 7 [ C h i n a 1 9 8 3 ]

    L e t f b e a f u n c t i o n d e f i n e d o n [ 0 , 1 ] s u c h t h a t

    f ( 0 ) = f ( 1 ) = 1 a n d l f ( a ) - f ( b ) I < I a - b I ,

    f o r a l l a 5 4 b i n t h e i n t e r v a l [ 0 , 1 ] .

    P r o v e t h a t

    I f ( a ) - f ( b ) I 1 / 2 . B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e t h a t a > b . T h e n

    I f ( a ) - f ( b ) I

    = I f ( a ) - f ( 1 ) + f ( 0 ) - f ( b ) I

    I f ( a ) - f ( 1 ) I + I f ( 0 ) - f ( b ) I

    < I a - 1 I + I 0 - b I

    1 - a + b - 0

    1 - ( a - b )

    1

    1 , l e t k 2 n = p 2 n + q 2 n . T h e n k 2 = 3 a n d k 4 = 7 , a n d

    k 2 n + 4 = p 2 n + 4 +

    q 2 n + 4

    = ( p 2 n + 2 + q 2 n + 2 ) ( p 2 + q 2 ) - p 2 g 2 ( p 2 n + q 2 n )

    = 3 k 2 n + 2 - k 2 n

    f o r n > 3 . T h e n k 6 = 1 8 , k 8 = 4 7 , k l o = 1 2 3 , k 1 2 = 3 2 2 , k 1 4 = 8 4 3 ,

    k 1 6 = 2 2 0 7 .

    H e n c e

    - b = 2 2 0 7 - 8 4 3 + 3 2 2 - 1 2 3 + 4 7 - 1 8 + 7 - 3 + 1 = 1 5 9 7

    o r

    ( a , b ) = ( 9 8 7 , - 1 5 9 7 ) .

    S o l u t i o n 2 1 , A l t e r n a t i v e 2

    T h e o t h e r f a c t o r i s o f d e g r e e 1 5 a n d w e w r i t e

    ( c 1 5 x 1 5 - C 1 4 X 1 4 + . . . + c 1 x - c o ) ( x 2 - x - 1 ) = a x 1 7 + b x 1 6 + 1 .

    C o m p a r i n g c o e f f i c i e n t s :

    x

    0

    c o = 1 ,

    x 1 :

    c o - c , = 0 , c 1 = 1

    x 2 : - c o - c 1 + c 2 = 0 , c 2 = 2 ,

    a n d f o r 3 < k < 1 5 , x k :

    - C k - 2 - C k - 1 + C k = O .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    61/160

    4 2 3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    I t f o l l o w s t h a t f o r k < 1 5 , c k = F k + 1 ( t h e F i b o n a c c i n u m b e r ) .

    T h u s a = c l 5 = F 1 6 = 9 8 7 a n d b = - c 1 4 - c 1 5 = - F 1 7 = - 1 5 9 7 o r

    ( a , b ) = ( 9 8 7 , - 1 5 9 7 ) .

    C o m m e n t :

    C o m b i n i n g t h e t w o m e t h o d s , w e o b t a i n s o m e i n t e r e s t i n g

    f a c t s a b o u t s e q u e n c e s k 2 , , , a n d F 2 , , , _ 1 . S i n c e

    3 F 2 n + 3 - F 2 n + 5 = 2 F 2 n + 3 - F 2 n + 4 = F 2 n + 3 - F 2 n + 2 = F 2 . + 1 ,

    i t f o l l o w s t h a t F 2 , , , _ 1 a n d k 2 n s a t i s f y t h e s a m e r e c u r s i v e r e l a t i o n . I t i s

    e a s y t o c h e c k t h a t k 2 = F 1 + F 3 a n d k 4 = F 3 + F 5 .

    T h e r e f o r e k e n = F 2 n _ 1 + F 2 n + i a n d

    F 2 n + 1 = k e n - k e n - 2 + k 2 n _ 4 - . . . +

    ( _ 1 ) n - 1 k 2

    + ( - 1 ) n .

    P r o b l e m 2 2 [ A I M E 1 9 9 4 ]

    G i v e n a p o s i t i v e i n t e g e r n , l e t p ( n ) b e t h e p r o d u c t o f t h e n o n - z e r o d i g i t s

    o f n . ( I f n h a s o n l y o n e d i g i t , t h e n p ( n ) i s e q u a l t o t h a t d i g i t . ) L e t

    S = p ( 1 ) + p ( 2 ) + . . . + p ( 9 9 9 ) .

    W h a t i s t h e l a r g e s t p r i m e f a c t o r o f S ?

    S o l u t i o n 2 2

    C o n s i d e r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r l e s s t h a n 1 0 0 0 t o b e a t h r e e - d i g i t n u m b e r

    b y p r e f i x i n g O s t o n u m b e r s w i t h f e w e r t h a n t h r e e d i g i t s . T h e s u m o f t h e

    p r o d u c t s o f t h e d i g i t s o f a l l s u c h p o s i t i v e n u m b e r s i s

    ( 0 . 0 . 0 + 0 . 0 .

    = ( 0 + 1 + . . . + 9 ) 3 - 0 .

    H o w e v e r , p ( n ) i s t h e p r o d u c t o f n o n - z e r o d i g i t s o f n . T h e s u m o f t h e s e

    p r o d u c t s c a n b e f o u n d b y r e p l a c i n g 0 b y 1 i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n , s i n c e

    i g n o r i n g 0 ' s i s e q u i v a l e n t t o t h i n k i n g o f t h e m a s 1 ' s i n t h e p r o d u c t s . ( N o t e

    t h a t t h e f i n a l 0 i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n b e c o m e s a 1 a n d c o m p e n s a t e s

    f o r t h e c o n t r i b u t i o n o f 0 0 0 a f t e r i t i s c h a n g e d t o 1 1 1 . )

    H e n c e

    S = 4 6 3 - 1 = ( 4 6 - 1 ) ( 4 6 2 + 4 6 + 1 ) = 3 3 . 5 . 7 . 1 0 3 ,

    a n d t h e l a r g e s t p r i m e f a c t o r i s 1 0 3 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    62/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    4 3

    P r o b l e m 2 3 [ P u t n a m 1 9 7 9 ]

    L e t x n b e a s e q u e n c e o f n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    1 n - 2 x n - 1

    x n =

    2 x n - 2 - 1 n - 1

    f o r n = 3 , 4 , . . . .

    E s t a b l i s h n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o n x 1 a n d x 2 f o r x n t o b e

    a n i n t e g e r f o r i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s o f n .

    S o l u t i o n 2 3 , A l t e r n a t i v e 1

    W e h a v e

    1 2 1 n - 2 - x n _ 1 2

    1

    x n

    1 n - 2 x n - 1

    1 n - 1

    X n - 2

    L e t y n = 1 / x n . T h e n Y n - Y n - 1 = Y n - 1 - Y n - 2 , i . e . , y n i s a n a r i t h m e t i c

    s e q u e n c e . I f x n i s a n o n z e r o i n t e g e r w h e n n i s i n a n i n f i n i t e s e t S , t h e

    y n ' s f o r n E S s a t i s f y - 1 < y n < 1 .

    S i n c e a n a r i t h m e t i c s e q u e n c e i s u n b o u n d e d u n l e s s t h e c o m m o n d i f f e r e n c e

    i s 0 , Y n - Y n - 1 = 0 f o r a l l n , w h i c h i n t u r n i m p l i e s t h a t x 1 = x 2 = m , a

    n o n z e r o i n t e g e r .

    C l e a r l y , t h i s c o n d i t i o n i s a l s o s u f f i c i e n t .

    S o l u t i o n 2 3 , A l t e r n a t i v e 2

    A n e a s y i n d u c t i o n s h o w s t h a t

    1 1 x 2

    1 1 x 2

    1 n

    ( n - 1 ) x 1 - ( n - 2 ) x 2

    ( x 1 - x 2 ) n + ( 2 x 2 - x 1 ) '

    f o r n = 3 , 4 , . . . .

    I n t h i s f o r m w e s e e t h a t x n w i l l b e a n i n t e g e r f o r i n f i n i t e l y m a n y v a l u e s

    o f n i f a n d o n l y i f x l = x 2 = m f o r s o m e n o n z e r o i n t e g e r m .

    P r o b l e m 2 4

    S o l v e t h e e q u a t i o n

    x 3 - 3 x = x + 2 .

    S o l u t i o n 2 4 , A l t e r n a t i v e 1

    I t i s c l e a r t h a t x > - 2 . W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c a s e s .

    1 . - 2 < x < 2 . S e t t i n g x = 2 c o s a , 0 < a < 7 r , t h e e q u a t i o n b e c o m e s

    8 c o s 3 a - 6 c o s a = 2 ( c o s a + 1 ) .

    o r

    2 c o s 3 a = V 4 c o s t

    2 ,

    a

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    63/160

    4 4

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t c o s 3 a = c o s 2 2 '

    T h e n 3 a - 2 = 2 m 7 r , m E Z , o r 3 a + 2 = 2 n 7 r , n E Z .

    S i n c e 0 < a < 7 r , t h e s o l u t i o n i n t h i s c a s e i s

    x = 2 c o s O = 2 ,

    x = 2 c o s 4 5 , a n d x = 2 c o s 4 7

    .

    2 . x > 2 . T h e n x 3 - 4 x = x ( x 2 - 4 ) > 0 a n d

    x 2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 1 ) > 0

    o r

    I t f o l l o w s t h a t

    x 3 - 3 x > x > x + 2 .

    H e n c e t h e r e a r e n o s o l u t i o n s i n t h i s c a s e .

    T h e r e f o r e , x = 2 , x = 2 c o s 4 7 r / 5 , a n d x = 2 c o s 4 7 r / 7 .

    S o l u t i o n 2 4 , A l t e r n a t i v e 2

    F o r x > 2 , t h e r e i s a r e a l n u m b e r t > 1 s u c h t h a t

    x = t

    2

    1

    + t 2 .

    T h e e q u a t i o n b e c o m e s

    ( t 2 + ) 3

    - 3 I t 2 +

    2 ) =

    1 t 2 +

    2 + 2 ,

    i s +

    1

    t 6

    = t +

    1

    t ,

    ( t 7 - 1 ) ( t 5 - 1 ) = 0 ,

    w h i c h h a s n o s o l u t i o n s f o r t > 1 .

    H e n c e t h e r e a r e n o s o l u t i o n s f o r x > 2 .

    F o r - 2 < x < 2 , p l e a s e s e e t h e f i r s t s o l u t i o n .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    64/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    4 5

    P r o b l e m 2 5 [ A I M E 1 9 9 2 ]

    F o r a n y s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s A = { a l , a 2 , a 3 ,

    } , d e f i n e A A t o b e

    t h e s e q u e n c e { a 2 - a l , a 3 - a 2 , a 4 - a 3 , . . . } .

    S u p p o s e t h a t a l l o f t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e A ( A A ) a r e 1 , a n d t h a t

    a i 9 = a 9 2 = 0 .

    F i n d a l .

    S o l u t i o n 2 5

    S u p p o s e t h a t t h e f i r s t t e r m o f t h e s e q u e n c e A A i s d .

    T h e n

    A A = { d , d + l , d + 2 , . . . }

    w i t h t h e n t h t e r m g i v e n b y d + ( n - 1 ) .

    H e n c e

    A = { a l , a , + d , a l + d + ( d + 1 ) , a l + d + ( d + 1 ) + ( d + 2 ) , . . . }

    w i t h t h e n t h t e r m g i v e n b y

    a n = a l + ( n - 1 ) d + 2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) .

    T h i s s h o w s t h a t a n i s a q u a d r a t i c p o l y n o m i a l i n n w i t h l e a d i n g c o e f f i c i e n t

    1 / 2 .

    S i n c e a l g = a 9 2 = 0 , w e m u s t h a v e

    a n = 2 ( n - 1 9 ) ( n - 9 2 ) ,

    s o a l = ( 1 - 1 9 ) ( 1 - 9 2 ) / 2 = 8 1 9 .

    P r o b l e m 2 6 [ K o r e a n M a t h e m a t i c s C o m p e t i t i o n 2 0 0 0 ]

    F i n d a l l r e a l n u m b e r s x s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n

    2 x + 3 x - 4 X + 6 X - 9 X = 1 .

    S o l u t i o n 2 6

    S e t t i n g 2 x = a a n d 3 x = b , t h e e q u a t i o n b e c o m e s

    1 + a

    2

    + b

    2

    - a - b - a b = 0 .

    M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e l a s t e q u a t i o n b y 2 a n d c o m p l e t i n g t h e

    s q u a r e s g i v e s

    ( 1 - a ) 2 + ( a - b ) 2 + ( b - 1 ) 2 = 0 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    65/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    66/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    4 7

    H e n c e t h e r e a r e 3 5 s o l u t i o n s a l t o g e t h e r : ( 0 , 3 3 ) , ( 1 , 3 2 ) ,

    ,

    ( 3 3 , 0 ) , a n d

    ( - 3 3 , - 3 3 ) .

    C o m m e n t : M o r e g e n e r a l l y , w e h a v e

    a 3 + b 3 + C 3 - 3 a b c

    = 2 ( a

    + b + c ) [ ( a - b ) 2 + ( b - c ) 2 + ( c - a ) 2 ] .

    P r o b l e m 2 9 [ K o r e a n M a t h e m a t i c s C o m p e t i t i o n 2 0 0 1 ]

    L e t a , b , a n d c b e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t a + b + c < 4 a n d

    a b + b c + c a > 4 .

    P r o v e t h a t a t l e a s t t w o o f t h e i n e q u a l i t i e s

    l a - b i < 2 ,

    l b - c l < 2 ,

    I c - a l < 2

    a r e t r u e .

    S o l u t i o n 2 9

    W e h a v e

    a + b + c ) 2 < 1 6 ,

    i . e .

    i . e .

    a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b e + c a ) < 1 6 ,

    a 2 + b 2 + c 2 < 8 ,

    i . e .

    i . e .

    a 2 + b 2 + c 2 - ( a b + b e + c a ) < 4 ,

    ( a - b ) 2 + ( b - c ) 2 + ( c - a ) 2 < 8 ,

    a n d t h e d e s i r e d r e s u l t f o l l o w s .

    P r o b l e m 3 0

    E v a l u a t e

    1

    E

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    67/160

    4 8

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    S o l u t i o n 3 0

    L e t S n d e n o t e t h e d e s i r e d s u m . T h e n

    S n =

    1

    ( 2 n ) a ( n - k ) ( n + k )

    1

    (

    2 n 1

    ( 2 n )

    k = o

    n -

    k J

    n )

    n

    ( 2 k

    2 n

    k = O

    1 1

    F 2 n

    ( 2 n \

    2 n

    ( 2 n )

    2

    r 2 z n

    +

    \ 2 n J

    n

    2 2 n - 1

    L

    1

    ( 2 n ) + 2 ( n ) 2 .

    P r o b l e m 3 1 [ R o m a n i a 1 9 8 3 ]

    L e t 0 < a < 1 . S o l v e

    f o r p o s i t i v e n u m b e r s x .

    S o l u t i o n 3 1

    T a k i n g l o g o y i e l d s

    a ' l o g , , x = x .

    C o n s i d e r f u n c t i o n s f r o m W - ' R ,

    f ( x ) = a ' ,

    9 ( x ) = l o g o x ,

    h ( x ) = x ' .

    T h e n b o t h f a n d g a r e d e c r e a s i n g a n d h i s i n c r e a s i n g .

    I t f o l l o w s t h a t

    f ( x ) g ( x ) = h ( x ) h a s u n i q u e s o l u t i o n x = a .

    P r o b l e m 3 2

    W h a t i s t h e c o e f f i c i e n t o f x 2 w h e n

    ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 +

    2 n x )

    i s e x p a n d e d ?

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    68/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    S o l u t i o n 3 2

    L e t

    f n ( x ) = a n , o + a n , 1 x + + a n , n x n = ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) .

    ( 1 + 2 n X ) .

    I t i s e a s y t o s e e t h a t a n , o = 1 a n d

    a , 1 =

    1 + 2 + + 2 = 2 ' - 1 .

    S i n c e

    f n ( x )

    = f n - 1 ( x ) ( 1 + 2 ' L x )

    = ( 1 + ( 2

    n

    - 1 ) x +

    a n _ 1 , 2 x 2 + ) ( 1 + 2 n X )

    = 1 + ( 2 n + 1 - 1 ) x + ( a n _ 1 , 2 + 2 2 n - 2 n ) x 2 +

    w e h a v e

    a n , 2

    = a n - 1 , 2 +

    2 2 n - 2 n

    =

    a n - 2 , 2 +

    2 2 n - 2 - 2 n - 1 + 2 2 n - 2 n

    a 1 , 2 + ( 2 4 + 2

    6

    + - - - + 2

    2 n )

    - ( 2 2 +

    2 3 + . . . + 2 n )

    2 +

    3

    2 2 n + 2 - 3 . 2 n + 1 + 2

    ( 2 n + 1 - 1 ) ( 2 n + 1 - 2 )

    3 3

    4 9

    P r o b l e m 3 3

    L e t m a n d n b e d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s .

    F i n d t h e m a x i m u m v a l u e o f I x m - x n I , w h e r e x i s a r e a l n u m b e r i n t h e

    i n t e r v a l ( 0 , 1 ) .

    S o l u t i o n 3 3

    B y s y m m e t r y , w e c a n a s s u m e t h a t m > n . L e t y = x m - n .

    S i n c e O < x < 1 , x m < x n a n d 0 < y < 1 . T h u s

    I x m

    - x n I = x n - x m = x n ( l -

    x m - n ) = ( y n ( 1 - y ) m - n )

    .

    A p p l y i n g t h e A M - G M i n e q u a l i t y y i e l d s

    y n ( l - y ) ' n - n = ( m n

    n ) n ( ( m

    n n ) y ) n ( 1 - y ) m - n

    /

    n

    n n m n n y + ( m - n ) ( 1 - y )

    )

    1

    n + m - n

    ( m - n )

    n + m - n

    2 4 ( 2 2 n - 2 _ 1 )

    -

    4 ( 2 n - 1

    _ 1 )

    n n ( m -

    n ) m - n

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    69/160

    5 0

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    T h e r e f o r e

    m

    - x n I

    0 > y . T h e n

    ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) > 1 a n d 1 + y 7 < 1 . T h e r e a r e n o s o l u t i o n s

    i n t h i s c a s e .

    3 . x , y > 0 a n d x j 4 y . B y t h e s y m m e t r y , w e c a n a s s u m e t h a t x >

    y > 0 . T h e n

    ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 4 ) > 1 + x 7 > 1 + y 7 ,

    s h o w i n g t h a t t h e r e a r e n o s o l u t i o n s i n t h i s c a s e .

    4 . x , y < 0 a n d x j 4 y . B y t h e s y m m e t r y , w e c a n a s s u m e t h a t x < y 0 , x - y < 0 , x 7 - y 7 < 0 , - x y < 0 , a n d

    x 6 - y 6 > 0 . T h e r e f o r e , t h e l e f t - h a n d s i d e o f ( 1 ) i s p o s i t i v e w h i l e

    t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 ) i s n e g a t i v e .

    T h u s t h e r e a r e n o s o l u t i o n s i n t h i s c a s e .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    71/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    72/160

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    73/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    74/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    5 5

    P r o b l e m 4 0 [ U S S R 1 9 9 0 ]

    M r . F a t i s g o i n g t o p i c k t h r e e n o n - z e r o r e a l n u m b e r s a n d M r . T a f i s g o i n g

    t o a r r a n g e t h e t h r e e n u m b e r s a s t h e c o e f f i c i e n t s o f a q u a d r a t i c e q u a t i o n

    x 2 + - x + - = 0 .

    M r . F a t w i n s t h e g a m e i f a n d o n l y i f t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n h a s t w o

    d i s t i n c t r a t i o n a l s o l u t i o n s .

    W h o h a s a w i n n i n g s t r a t e g y ?

    S o l u t i o n 4 0

    M r . F a t h a s t h e w i n n i n g s t r a t e g y . A s e t o f t h r e e d i s t i n c t r a t i o n a l n o n z e r o

    n u m b e r s a , b , a n d c , s u c h t h a t a + b + c = 0 , w i l l d o t h e t r i c k . L e t A , B ,

    a n d C b e a n y a r r a n g e m e n t o f a , b , a n d c , a n d l e t f ( x ) = A x 2 + B x + C .

    T h e n

    f ( 1 ) = A + B + C = a + b + c = 0 ,

    w h i c h i m p l i e s t h a t 1 i s a s o l u t i o n .

    S i n c e t h e p r o d u c t o f t h e t w o s o l u t i o n s i s C / A , t h e o t h e r s o l u t i o n i s C / A ,

    a n d i t i s d i f f e r e n t f r o m 1 .

    P r o b l e m 4 1 [ U S A M O 1 9 7 8 ]

    G i v e n t h a t t h e r e a l n u m b e r s a , b , c , d , a n d e s a t i s f y s i m u l t a n e o u s l y t h e

    r e l a t i o n s

    a + b + c + d + e = 8 a n d a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 1 6 ,

    d e t e r m i n e t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m v a l u e o f a .

    S o l u t i o n 4 1 , A l t e r n a t i v e 1

    S i n c e t h e t o t a l o f b , c , d , a n d e i s 8 - a , t h e i r a v e r a g e i s x = ( 8 - a ) / 4 .

    L e t

    b = x + b l , c = x + c 1 , d = x + d l , e = x + e 1 .

    T h e n b 1 + c 1 + d 1 + e 1 = 0 a n d

    2

    1 6 = a 2 + 4 x 2 + b 2 + c i + d 2 + e 2 > a 2 + 4 x 2 = a 2 + ( 8

    _

    4

    a )

    ( 1 )

    o r

    0 > 5 a 2 - 1 6 a = a ( 5 a - 1 6 ) .

    T h e r e f o r e 0 < a < 1 6 / 5 , w h e r e a = 0 i f a n d o n l y i f b = c = d = e = 2

    a n d a = 1 6 / 5 i f a n d o n l y i f b = c = d = e = 6 / 5 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    75/160

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    76/160

    3 . S o l u t i o n s t o I n t r o d u c t o r y P r o b l e m s

    S o l u t i o n 4 3

    W e p r o v e a s t r o n g e r s t a t e m e n t :

    1

    3

    2 n - 1

    1

    2 4 2 n

    3 n _ + 1

    W e u s e i n d u c t i o n .

    F o r n = 1 , t h e r e s u l t i s e v i d e n t .

    S u p p o s e t h e s t a t e m e n t i s t r u e f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r k , i . e . ,

    1

    3

    2 k - 1

    1

    2 4

    2 k

    0 . T h e n

    s 2

    = 2 8 + 3 S + 6 8 > 3 ,

    s o s > f , a n d h e n c e [ s ] > 1 .

    B u t t h e n s > l s j y i e l d s

    2 S > 2 i s J = ( 1 + 1 ) L , , ] > 1 + [ s ] > 8 ,

    w h i c h i n t u r n i m p l i e s t h a t

    6 S > 4 S = ( 2 8 ) 2 > s 2 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    86/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    S o 2 S + 3 3 + 6 S > s 2 , a c o n t r a d i c t i o n .

    T h e r e f o r e x = - 1 i s t h e o n l y s o l u t i o n t o t h e e q u a t i o n .

    P r o b l e m 5 4

    L e t { a n } n > 1 b e a s e q u e n c e s u c h t h a t a l = 2 a n d

    a n 1

    a n + 1 =

    +

    2 a

    n

    f o r a l l n E N .

    F i n d a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r a n .

    S o l u t i o n 5 4

    S o l v i n g t h e e q u a t i o n

    l e a d s t o x = f V 1 2 - . N o t e t h a t

    2

    a n + 1 + v / ' 2 -

    a 2 n + 2 v f 2 a n + 2

    a n +

    a n + 1 - v f 2 -

    a 2 - 2 V 1 2 a n + 2

    a n - v 2

    T h e r e f o r e ,

    2 ^ - 1

    a n + v f 2 -

    ( a , +

    a n - v f 2 -

    a n d

    ( V r - 2 + 1 ) t r y

    v / 2 - [ ( v f 2 - + 1 ) 2 n + 1 ]

    a n =

    ( V / 2 - +

    1 ) 2 n - 1

    P r o b l e m 5 5

    L e t x , y , a n d z b e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t

    x y

    x +

    ( x + y ) ( x + z )

    + y +

    ( y + z ) ( y + x )

    z

    +

    z +

    ( z + x ) ( z + y )

    -

    S o l u t i o n 5 5

    N o t e t h a t

    ( x + y ) ( x + z ) > x y +

    x z .

    6 7

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    87/160

    6 8

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    I n f a c t , s q u a r i n g b o t h s i d e s o f t h e a b o v e i n e q u a l i t y y i e l d s

    x 2 + y z > 2 x

    y z ,

    w h i c h i s e v i d e n t b y t h e A M - G M i n e q u a l i t y . T h u s

    x

    O ,

    w h i c h i m p l i e s t h a t

    T h e r e f o r e ,

    a i + b i > a , b l ( a , + b 1 ) .

    1 _ 1

    a + b + 1

    a i + b i + a l b l c l

    1

    a l b l ( a , + b i ) + a l b l c l

    a l b l c l

    a , b l ( a , + b l + c l )

    C l

    L i k e w i s e ,

    a n d

    a l + b l + c l

    1 < a l

    b + c + 1 - a l + b l + c l

    7 7

    1

    0 .

    N o t e t h a t

    n f ( m , n - m ) = [ m + ( n - m ) ] f ( m , n - m )

    = ( n - m ) f ( m , m + ( n - m ) )

    ( n - m ) f ( m , n )

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    98/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    7 9

    o r

    L i k e w i s e ,

    f ( m , n - m ) =

    n

    n m f ( m , n ) .

    g ( m , n - m ) = n n m g ( m , n ) .

    S i n c e f ( m , n ) g ( m , n ) , f ( m , n - m ) g ( m , n - m ) .

    T h u s ( m , n - m ) E S .

    B u t ( m , n - m ) h a s a s m a l l e r s u m m + ( n - m ) = n , a c o n t r a d i c t i o n .

    T h e r e f o r e o u r a s s u m p t i o n i s w r o n g a n d f ( x , y ) = l c m ( x , y ) i s t h e o n l y

    s o l u t i o n .

    P r o b l e m 6 5 [ R o m a n i a 1 9 9 0 ]

    C o n s i d e r n c o m p l e x n u m b e r s z k , s u c h t h a t Z k I < 1 , k = 1 , 2 , . . . , n .

    P r o v e t h a t t h e r e e x i s t e 1 , .

    2 ,

    . . , e n E

    { - 1 , 1 } s u c h t h a t , f o r a n y m < n ,

    l e l z l + e 2 z 2 + ' ' ' + e m z m l < 2 .

    S o l u t i o n 6 5

    C a l l a f i n i t e s e q u e n c e o f c o m p l e x n u m b e r s e a c h w i t h a b s o l u t e v a l u e n o t

    e x c e e d i n g 1 a g r e e n s e q u e n c e .

    C a l l a g r e e n s e q u e n c e { z k } ' 1 h a p p y i f i t h a s a f r i e n d s e q u e n c e { e k } n

    k _ 1

    o f i s a n d - i s , s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n o f t h e p r o b l e m .

    W e w i l l p r o v e b y i n d u c t i o n o n n t h a t a l l g r e e n s e q u e n c e s a r e h a p p y .

    F o r n = 2 , t h i s c l a i m i s o b v i o u s l y t r u e .

    S u p p o s e t h i s c l a i m i s t r u e w h e n n e q u a l s s o m e n u m b e r m . F o r t h e c a s e

    o f n = m + 1 , t h i n k o f t h e Z k a s p o i n t s i n t h e c o m p l e x p l a n e .

    F o r e a c h k , l e t B k b e t h e l i n e t h r o u g h t h e o r i g i n a n d t h e p o i n t c o r r e -

    s p o n d i n g t o z k . A m o n g t h e l i n e s 2 1 , L 2 , 6 , s o m e t w o a r e w i t h i n 6 0 o f

    e a c h o t h e r ; s u p p o s e t h e y a r e f , a n d f , 3 , w i t h t h e l e f t o v e r o n e b e i n g f , .

    T h e f a c t t h a t Q a a n d Q p a r e w i t h i n 6 0 o f e a c h o t h e r i m p l i e s t h a t t h e r e

    e x i s t s s o m e n u m b e r e , 3 E { - 1 , 1 } s u c h t h a t z ' = z a + e , 3 z , 3 h a s a b s o l u t e

    v a l u e a t m o s t 1 .

    N o w t h e s e q u e n c e z ' , z . y , z 4 , z 5 , . . .

    , z k + 1

    i s a k - t e r m g r e e n s e q u e n c e , s o ,

    b y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s , i t m u s t b e h a p p y ; l e t e ' , e 7 , e 4 , e 5 ,

    . . . , e k + 1

    b e i t s f r i e n d .

    L e t e a = 1 .

    T h e n t h e s e q u e n c e { e i } k + 1 i s t h e f r i e n d o f { z i } k + l . I n d u c t i o n i s n o w

    c o m p l e t e .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    99/160

    8 0

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    P r o b l e m 6 6 [ A R M L 1 9 9 7 ]

    F i n d a t r i p l e o f r a t i o n a l n u m b e r s ( a , b , c ) s u c h t h a t

    V 3 2 - 1 =

    3 a + 3 b + y c - .

    S o l u t i o n 6 6

    L e t x a n d y = 3 2 . T h e n y 3 = 2 a n d x = 3 y - 1 . N o t e t h a t

    1 = y 3 - 1 = ( y - 1 ) ( y 2 + y + 1 ) ,

    a n d

    y 2 + y + 1 =

    3 y 2 + 3 y + 3

    _ y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1

    -

    ( y + 1 ) 3

    3 3

    3

    w h i c h i m p l i e s t h a t

    o r

    O n t h e o t h e r h a n d ,

    x 3 = y - 1 =

    1

    3

    y 2 + y + 1

    ( y + l ) 3

    - ' r 3

    x

    y +

    3 = y 3 + 1 = ( y + 1 ) ( y 2 - y + 1 )

    f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t

    1 _ y 2 - y + 1

    y + l

    3

    C o m b i n i n g ( 1 ) a n d ( 2 ) , w e o b t a i n

    C o n s e q u e n t l y ,

    x

    V 9

    ( 3 4 - 3 2 + 1 )

    4

    2

    1

    ( a , b , c ) =

    9 '

    9 ' 9

    ( 1 )

    ( 2 )

    i s a d e s i r e d t r i p l e .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    100/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    8 1

    P r o b l e m 6 7 [ R o m a n i a 1 9 8 4 ]

    F i n d t h e m i n i m u m o f

    1

    1

    1

    l o g x l

    x 2 -

    4

    + l o g x 2

    x 3 -

    4

    + . . . + l o g x

    ( i i

    -

    4

    w h e r e x 1 i x 2 , . . . , x n a r e r e a l n u m b e r s i n t h e i n t e r v a l ( 4 , 1 ) .

    S o l u t i o n 6 7

    S i n c e l o g , , x i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f x w h e n 0 < a < 1 a n d , s i n c e

    ( x - 1 / 2 ) 2 > 0 i m p l i e s x 2 > x - 1 / 4 , w e h a v e

    l o g . " x k + i - 1 > l o g x k x k + 1 = 2 l o g x , , x k + 1 =

    2 1 o g x k + l

    4 l o g x k

    I t f o l l o w s t h a t

    l o g x l I x 2 -

    4

    I + l o g , ( X 3 -

    4 )

    + . . . + l o g x n

    ( 1

    - 4

    )

    >

    2

    l o g x 2

    +

    l o g x 3

    + . . . +

    l o g x n +

    l o g X I

    -

    l o g x i l o g x 2

    1 0 9 X , - 1

    l o g x n

    > 2 n

    b y t h e A M - G M i n e q u a l i t y .

    E q u a l i t i e s h o l d i f a n d o n l y i f

    x 1 = x 2 = . . . = x n = 1 / 2 .

    P r o b l e m 6 8 [ A I M E 1 9 8 4 ]

    D e t e r m i n e x 2 + y 2 + z 2 + w 2 i f

    x 2

    y

    2 z 2

    w 2

    2 2 - 1 2 + 2 2 - 3 2 + 2 2 - 5 2 + 2 2 - 7 2

    = 1 ,

    x 2

    2 z 2 W 2

    4 2 - 1 2 + 4 2

    y

    - 3 2

    + 4 2 - 5 2 + 4 2 - 7 2 = 1 ,

    x 2

    y 2

    z 2

    , w 2

    6 2 - 1 2 + 6 2 - 3 2 + 6 2 - 5 2 + 6 2 - 7 2

    x 2 2 z 2

    w 2

    8 2 - 1 2 + 8 2 - 3 2 + 8 2 - 5 2 + 8 2 - 7 2

    = 1

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    101/160

    8 2

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    S o l u t i o n 6 8

    T h e c l a i m t h a t t h e g i v e n s y s t e m o f e q u a t i o n s i s s a t i s f i e d b y x 2 ,

    y 2 , z 2 ,

    a n d w 2 i s e q u i v a l e n t t o c l a i m i n g t h a t

    x 2

    y

    2 z 2 w 2

    t - 1 2 + t - 3 2 + t - 5 2 + t - 7 2

    = 1

    ( 1 )

    i s s a t i s f i e d b y t = 4 , 1 6 , 3 6 , a n d 6 4 .

    M u l t i p l y i n g t o c l e a r f r a c t i o n s , w e f i n d t h a t f o r a l l v a l u e s o f t f o r w h i c h i t

    i s d e f i n e d ( i . e . , t 0 1 , 9 , 2 5 , a n d 4 9 ) , ( 1 ) i s e q u i v a l e n t t o t h e p o l y n o m i a l

    e q u a t i o n

    P ( t ) = 0 ,

    w h e r e

    P ( t ) = ( t - 1 ) ( t - 9 ) ( t - 2 5 ) ( t - 4 9 )

    - x 2 ( t

    - 9 ) ( t - 2 5 ) ( t - 4 9 ) - y 2 ( t - 1 ) ( t - 2 5 ) ( t - 4 9 )

    - z 2 ( t - 1 ) ( t - 9 ) ( t - 4 9 ) - w 2 ( t - 1 ) ( t - 9 ) ( t - 2 5 ) .

    S i n c e d e g P ( t ) = 4 , P ( t ) = 0 h a s e x a c t l y f o u r z e r o s t = 4 , 1 6 , 3 6 , a n d 6 4 ,

    i . e . ,

    P ( t ) = ( t - 4 ) ( t - 1 6 ) ( t - 3 6 ) ( t - 6 4 ) .

    C o m p a r i n g t h e c o e f f i c i e n t s o f t 3 i n t h e t w o e x p r e s s i o n s o f P ( t ) y i e l d s

    1 + 9 + 2 5 + 4 9 + x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 4 + 1 6 + 3 6 + 6 4 ,

    f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t

    x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 3 6 .

    P r o b l e m 6 9 [ B a l k a n 1 9 9 7 ]

    F i n d a l l f u n c t i o n s f : R - + R s u c h t h a t

    f ( x f ( x ) + f ( y ) ) = ( f ( x ) ) 2 + y

    f o r a l l x , y E J R .

    S o l u t i o n 6 9

    L e t f ( 0 ) = a . S e t t i n g x = 0 i n t h e g i v e n c o n d i t i o n y i e l d s

    f ( f ( y ) ) = a 2 + y ,

    f o r a l l y c R .

    S i n c e t h e r a n g e o f a 2 + y c o n s i s t s o f a l l r e a l n u m b e r s , f m u s t b e s u r j e c t i v e .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    102/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    8 3

    T h u s t h e r e e x i s t s b E R s u c h t h a t f ( b ) = 0 .

    S e t t i n g x = b i n t h e g i v e n c o n d i t i o n y i e l d s

    f ( f ( y ) ) = f ( b f ( b ) + f ( y ) ) = ( f ( b ) ) ' + y = y ,

    f o r a l l y E R . I t f o l l o w s t h a t , f o r a l l x , y E R ,

    ( f ( x ) ) 2 + y = f ( x f ( x ) + f ( y ) )

    = f [ f ( f ( x ) ) f ( x ) + f ( n ) ] = f [ f ( x ) f ( f ( x ) ) + y ]

    = f ( f ( x ) ) 2 + y = x 2 + y ,

    t h a t i s ,

    ( f ( x ) ) 2 = x 2

    ( 1 )

    I t i s c l e a r t h a t f ( x ) = x i s a f u n c t i o n s a t i s f y i n g t h e g i v e n c o n d i t i o n .

    S u p p o s e t h a t f ( x ) 5 4 x . T h e n t h e r e e x i s t s s o m e n o n z e r o r e a l n u m b e r c

    s u c h t h a t f ( c ) = - c . S e t t i n g x = c f ( c ) + f ( y ) i n ( 1 ) y i e l d s

    I f ( c f ( c ) + f ( y ) ) ] 2 = [ c f ( c ) + f ( y ) ] 2 = [ - c 2 + f ( y ) ] 2 ,

    f o r a l l y E R , a n d , s e t t i n g x = c i n t h e g i v e n c o n d i t i o n y i e l d s

    f ( c f ( c ) + f ( y ) ) = ( f ( c ) ) 2 + y = c 2 + y ,

    f o r a l l y e R .

    N o t e t h a t ( f ( y ) ) 2 = y 2 .

    I t f o l l o w s t h a t

    [ - c 2 + f

    ( y ) ] 2

    = ( c 2 + y ) 2 ,

    o r

    f ( y ) = - y ,

    f o r a l l y E R , a f u n c t i o n w h i c h s a t i s f i e s t h e g i v e n c o n d i t i o n .

    T h e r e f o r e t h e o n l y f u n c t i o n s t o s a t i s f y t h e g i v e n c o n d i t i o n a r e f ( x ) = x

    o r f ( x ) = - x , f o r x E R .

    P r o b l e m 7 0

    T h e n u m b e r s 1 0 0 0 , 1 0 0 1 ,

    , 2 9 9 9 h a v e

    b e e n w r i t t e n o n a b o a r d .

    E a c h t i m e , o n e i s a l l o w e d t o e r a s e t w o n u m b e r s , s a y , a a n d b , a n d r e p l a c e

    t h e m b y t h e n u m b e r 2 m i n ( a , b ) .

    A f t e r 1 9 9 9 s u c h o p e r a t i o n s , o n e o b t a i n s e x a c t l y o n e n u m b e r c o n t h e

    b o a r d .

    P r o v e t h a t c < 1 .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    103/160

    8 4

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    S o l u t i o n 7 0

    B y s y m m e t r y , w e m a y a s s u m e a < b . T h e n

    2

    m i n ( a , b ) =

    a

    W e h a v e

    1 1

    1

    a

    + b ) '

    2

    f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t t h e s u m o f t h e r e c i p r o c a l s o f a l l t h e n u m b e r s

    o n t h e b o a r d i s n o n d e c r e a s i n g ( i . e . , t h e s u m i s a m o n o v a r i a n t ) .

    A t t h e b e g i n n i n g t h i s s u m i s

    _ 1 1 1 1

    S

    1 0 0 0 + 1 0 0 1 +

    + 2 9 9 9 < c '

    w h e r e 1 / c i s t h e s u m a t t h e e n d . N o t e t h a t , f o r 1 < k < 9 9 9 ,

    1

    1

    _

    4 0 0 0 4 0 0 0

    1

    + >

    0 0 0 - k 2 0 0 0 + k 2 0 0 0 2 - k 2

    2 0 0 0 2

    1 0 0

    R e a r r a n g i n g t e r m s i n S y i e l d s

    C - 1 0 0 0

    ( 1 0 0 1

    2 9 9 9 )

    ( 1 0 0 2

    2 9 9 8 )

    1 1 1

    ( 1 9 9 9

    2 0 0 1

    2 0 0 0

    1 0 0 0

    x

    1 0 0 0 +

    2 0 0 0

    1 ,

    o r c < 1 , a s d e s i r e d .

    P r o b l e m 7 1 [ B u l g a r i a 1 9 9 8 ]

    L e t a l , a 2 , . . . , a , , b e r e a l n u m b e r s , n o t a l l z e r o .

    P r o v e t h a t t h e e q u a t i o n

    1 + a 1 x + l + a 2 x +

    +

    l + a , , x = n

    h a s a t m o s t o n e n o n z e r o r e a l r o o t .

    S o l u t i o n 7 1

    N o t i c e t h a t f i ( x ) =

    1 - + a x i s c o n c a v e . H e n c e

    f ( x ) =

    1 + a , x + + l + a , - x

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    104/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    8 5

    i s c o n c a v e .

    S i n c e f ' ( x ) e x i s t s , t h e r e c a n b e a t m o s t o n e p o i n t o n t h e c u r v e y = f ( x )

    w i t h d e r i v a t i v e 0 .

    S u p p o s e t h e r e i s m o r e t h a n o n e n o n z e r o r o o t .

    S i n c e x = 0 i s a l s o a r o o t , w e h a v e t h r e e r e a l r o o t s x 1 < x 2 < X 3 . A p -

    p l y i n g t h e M e a n - V a l u e t h e o r e m t o f ( x ) o n i n t e r v a l s [ x 1 i x 2 ] a n d [ x 2 i x 3 ] ,

    w e c a n f i n d t w o d i s t i n c t p o i n t s o n t h e c u r v e w i t h d e r i v a t i v e 0 , a c o n t r a -

    d i c t i o n .

    T h e r e f o r e , o u r a s s u m p t i o n i s w r o n g a n d t h e r e c a n b e a t m o s t o n e n o n z e r o

    r e a l r o o t f o r t h e e q u a t i o n f ( x ) = n .

    P r o b l e m 7 2 [ T u r k e y 1 9 9 8 ]

    L e t { a n } b e t h e s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s d e f i n e d b y a 1 = t a n d

    a n + 1 = 4 a n ( 1 - a n )

    f o r n > 1 .

    F o r h o w m a n y d i s t i n c t v a l u e s o f t d o w e h a v e a 1 9 9 8 = 0 ?

    S o l u t i o n 7 2 , A l t e r n a t i v e 1

    L e t f ( x ) = 4 x ( 1 - x ) . O b s e r v e t h a t

    f - 1 ( 0 ) = 1 0 , 1 } ,

    f - 1 ( 1 ) = { 1 / 2 } ,

    a n d I { y : f ( y ) = x } j = 2 f o r a l l x E [ 0 , 1 ) .

    L e t A n = { x E R : f n ( X ) = 0 } ; t h e n

    A n + 1 =

    { x E 1 1 8 : f n + 1 ( x ) = 0 }

    f - 1 ( [ 0 , 1 ] ) = [ 0 , 1 ] ,

    = { x E R : f n ( f ( x ) ) = 0 } = { x E R : f ( x ) E A n } .

    W e c l a i m t h a t f o r a l l n > 1 , A n C [ 0 , 1 ] , 1 E A n , a n d

    I A n I = 2 n - 1 + 1 .

    F o r n = 1 , w e h a v e

    A 1 = I x G R I f ( x ) = 0 } = [ 0 , 1 1 ,

    a n d t h e c l a i m s h o l d .

    N o w s u p p o s e n > 1 a n d A n C [ 0 , 1 ] , 1 E A n , a n d A n I = 2 n - 1 + 1 . T h e n

    x c A n + 1 = f ( x ) E A n C [ 0 , 1 ] = x c [ 0 , 1 ] ,

    s o A n + 1 C [ 0 , 1 ] .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    105/160

    8 6

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    S i n c e f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , w e h a v e f ' + 1 ( 1 ) = 0 f o r a l l n > 1 , s o 1 E A , , , + 1

    N o w w e h a v e

    j A n + 1 j

    l { x : f ( x ) E A , , } l

    I { x : f ( x ) = a l l

    a E A ,

    l { x : f ( x ) = 1 } I +

    I f x : f ( x ) = a l l

    a E A

    a E [ 0 , 1 )

    T h u s t h e c l a i m h o l d s b y i n d u c t i o n .

    F i n a l l y , a 1 9 9 8 = 0 i f a n d o n l y i f f 1 9 9 7 ( t ) = 0 , s o t h e r e a r e 2 1 9 9 6 + 1 s u c h

    v a l u e s o f t .

    S o l u t i o n 7 2 , A l t e r n a t i v e 2

    A s i n t h e p r e v i o u s s o l u t i o n , o b s e r v e t h a t i f f ( x ) E [ 0 , 1 ] t h e n x E [ 0 , 1 ] ,

    s o i f a 1 9 9 8 = 0 w e m u s t h a v e t E [ 0 , 1 ] .

    N o w c h o o s e 0 E [ 0 , 7 r / 2 ] s u c h t h a t s i n 0 = V .

    O b s e r v e t h a t f o r a n y 0 E R ,

    f ( s i n e ) = 4 s i n 2 0 ( l - s i n e 0 ) = 4 s i n 2 O c o s t 0 = s i n 2 2 0 ;

    s i n c e a 1 = s i n e 0 , i t f o l l o w s t h a t

    a 2 = s i n

    2 2 0 ,

    a 3 = s i n

    2

    4 0 ,

    . . . , a 1 9 9 8 = s i n

    2 2 1 9 9 7 0 .

    T h e r e f o r e

    a 1 9 9 8 = 0

    s i n 2

    1 9 9 7 0 =

    0

    0 =

    k 7 r

    2 1 9 9 7

    f o r s o m e k E Z .

    T h u s t h e v a l u e s o f t w h i c h g i v e a 1 9 9 8 = 0 a r e

    s i n 2 ( k i r / 2 1 9 9 7 )

    k E Z , g i v i n g 2 1 9 9 6 + 1 s u c h v a l u e s o f t .

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    106/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    8 7

    P r o b l e m 7 3 [ I M O 1 9 9 7 s h o r t l i s t ]

    ( a ) D o t h e r e e x i s t f u n c t i o n s f : R - * ] I 8 a n d g : R - > R s u c h t h a t

    f ( g ( x ) ) = x 2

    a n d

    g ( f ( x ) ) = x 3

    f o r a l l x E R ?

    ( b ) D o t h e r e e x i s t f u n c t i o n s f : R - - > R a n d g : R - * R s u c h t h a t

    f ( g ( x ) ) = x 2

    a n d

    g ( f ( x ) ) = x 4

    f o r a l l x E l l ?

    S o l u t i o n 7 3

    ( a ) T h e c o n d i t i o n s i m p l y t h a t f ( x 3 ) = f ( g ( f ( x ) ) ) = [ f ( x ) ] 2 , w h e n c e

    x E { - 1 0 1 }

    x 3 = x = f ( X ) = [ f ( x ) ] 2 = f ( X ) E { 0 , 1 1 .

    T h u s , t h e r e e x i s t d i f f e r e n t a , b E { - 1 , 0 , 1 } s u c h t h a t f ( a ) = f ( b ) .

    B u t t h e n a 3 = g ( f ( a ) ) = g ( f ( b ) ) = b 3 , a c o n t r a d i c t i o n .

    T h e r e f o r e , t h e d e s i r e d f u n c t i o n s f a n d g d o n o t e x i s t .

    ( b ) L e t

    I x l ' n 1 x 1

    i f J x i > 1

    g ( x ) =

    I x j - I n l y l

    i f 0 < J x J < 1

    0

    i f x = 0 .

    N o t e t h a t g i s e v e n a n d j a i = J b I w h e n e v e r g ( a ) = g ( b ) ; t h u s , w e

    a r e a l l o w e d t o d e f i n e f a s a n e v e n f u n c t i o n s u c h t h a t

    f ( x ) = y 2 , w h e r e y i s s u c h t h a t g ( f y ) = x .

    W e c l a i m t h a t t h e f u n c t i o n s f , g d e s c r i b e d a b o v e s a t i s f y t h e c o n d i -

    t i o n s o f t h e p r o b l e m .

    I t i s c l e a r f r o m t h e d e f i n i t i o n o f f t h a t f ( g ( x ) ) = x 2 .

    N o w l e t y = O f ( x )

    T h e n g ( y ) = x a n d

    g ( f ( x ) )

    = g ( y 2 )

    ( y 2 )

    ( y 2 ) I n ( y 2 )

    = y 4 1 n y = ( y l n y ) 4

    _

    - I n ( y 2 ) =

    ( y - I n y l \ ) 4

    i f y > 1

    i f 0 < y < 1

    1

    0

    i f y = 0

    =

    [ g ( y ) ] 4

    X 4

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    107/160

    8 8 4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s

    P r o b l e m 7 4 [ W e i c h a o W u ]

    L e t 0 < a 1 < a 2 . . . < a n , 0 < b 1 < b 2 < b n b e r e a l n u m b e r s s u c h t h a t

    n n

    a

    i = 1

    i = 1

    S u p p o s e t h a t t h e r e e x i s t s 1 < k < n s u c h t h a t b i < a , f o r 1 < i < k a n d

    b i > a , f o r i > k .

    P r o v e t h a t

    a 1 a 2 . . . a n > b 1 b 2 . . b n .

    S o l u t i o n 7 4 , A l t e r n a t i v e 1

    W e d e f i n e t w o n e w s e q u e n c e s . F o r z = 1 , 2 , . . . , n , l e t

    a i = a k a n d b i =

    b , a k

    a i

    T h e n

    o r

    T h e r e f o r e

    a i - b i = a k

    -

    b a k

    =

    a - k ( a i - b , )

    a ,

    a i

    ( a ' -

    b , ) - ( a i _ b i )

    =

    ( a k - a i ) ( a i - b i )

    a i

    > 0 .

    f l a k

    A p p l y i n g t h e A M - G M i n e q u a l i t y y i e l d s

    b 1 b 2 . . . b n a k n

    _ ( b i b 2 . . . b n

    ' - 0 .

    T h e n

    b i + b 2 + + b ' < n a k .

    N o t e t h a t , f o r c y ( x - Y ) ( Y + c ) > 0 ,

    - >

    x + c

    x > y a n d c > 0 ;

    Y

    y + c

    ( 1 )

  • 7/25/2019 Exercicios algera

    108/160

    4 . S o l u t i o n s t o A d v a n c e d P r o b l e m s 8 9

    S e t t i n g x = a i , y = b i , a n d c = a k - a i , t h e a b o v e i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t

    a i / b i > a t i / b ? , f o r i = 1 , 2 ,

    . . . , n . T h u s ,

    a l a 2 . . . a n > a ' a ' . . . a '

    ( 2 )

    b l b 2 . . . b n

    U s i n g ( 1 ) a n d t h e A M - G M i n e q u a l i t y y i e l d s

    r _

    b i + b 2 + . . . + b '

    1

    ( a l a 2 . . . a '

    - a k

    ?

    > ( b l b 2 . . . b n ) "

    n

    o r

    a i a 2 . . . a n > b i b 2 . . . b n

    I t i s c l e a r t h a t t h e d e s i r e d r e s u l t f o l l o w s f r o m ( 2 ) a n d ( 3 ) .

    ( 3 )

    P r o b l e m 7 5

    G i v e n e i g h t n o n - z e r o r e a l n u m b e r s a l , a 2 ,

    , a 8 , p r o v e

    t h a t a t l e a s t o n e

    o f t h e f o l l o