Existen funciones en las cuales una combinación de variables...simplificar por maxterminos o...
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Existen funciones en las cuales una combinación de variables de entrada no tiene un valor lógico definido, conocidos como condiciones no importa; una función de este tipo se puede simplificar por maxterminos o minterminos y los valores no importa se utilizaran para crear grupo que permitan simplificar un numero de variables siempre que los grupos cumplan con los requerimientos ya establecidos.
Observe la siguiente tabla de verdad
X Y (X.Y)’
0 0 1
0 1 X
1 0 1
1 1 0
Para la función: F1(X,Y)= Σ(0,2)
Que tiene las condiciones indiferencia: d(X,Y)= Σ (1)
La combinación X=0 y Y=1 presenta una condición no importa o indiferencia, por ello se pueden denotar a la función 1 como:
X \ Y 0 1
0
1
F1(X,Y)= Σ(0,1,2)
X’
1. Construir la cuadricula
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es dos.
X \ Y 0 1
0
1
2. Asignar rótulos
X
Y’ Y
Para la función: F1(X,Y)= Σ(0,2)
X’
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es dos.
X \ Y 0 1
0
00=m0
01=m1 1
10=m2
11=m3
3. Identificar cada celda.
X
Y’ Y
X’
X \ Y 0 1
0 1 00=m0
X 01=m1
1 1 10=m2
11=m3
4. Ubicar los minterminos
X
Y’ Y
Que tiene las condiciones indiferencia: d(X,Y)= Σ (1)
5. Identificar grupos 2^n y simplificar
X’
X \ Y 0 1
0 1 00=m0
X 01=m1
1 1 10=m2
11=m3
X
Y’ Y
X’
X \ Y 0 1
0 1 00=m0
X 01=m1
1 1 10=m2
11=m3
X
Y’ Y
Como el grupo 1 tiene 2 minterminos se debe eliminar 1 variable. • X se elimina, ya que X.X’=0 • Y se mantiene como Y’, ya que
Y’.Y’=Y’ El grupo 1 simplificado es: Y’.
Como el grupo 2 tiene 2 minterminos se debe eliminar 1 variable. • X se mantiene como X’, ya que
X’.X’=X’ • Y se elimina, ya que Y’.Y=0 El grupo 2 simplificado es: X’.
6. Se unen los términos simplificados por medio de la operación or
El grupo 1 simplificado es: Y’.
El grupo 2 simplificado es: X’.
Luego: F1(X,Y)= Σ(0,1,2)=Y’+X’ Por Morgan F1(X,Y)= Σ(0,1,2)=(Y.X)’ Justamente la tabla en mención corresponde a una NAND.
X Y (X.Y)’
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Observe la siguiente tabla de verdad
La combinación 4 Y 6 presentan una condición no importa o indiferencia, por ello se pueden denotar a la función 1 como:
F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,3)
y condiciones no importa d1(X,Y,Z)= Σ(4,6)
X Y Z F1
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 X
1 0 1 0
1 1 0 X
1 1 1 0
F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2)
1. Construir la cuadricula
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es tres
X \ YZ 00 01 11 10
0
1
Código Reflejado
F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2)
2. Asignar rótulos
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es tres
X \ YZ 00 01 11 10
0
1
X’
X
Y’ Y
Z’ Z’ Z
3. Identificar cada celda.
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es tres
X \ YZ 00 01 11 10
0
000=m0
001=m1
011=m3
010=m2
1 100=m4
101=m5
111=m7
110=m6
X’
X
Y’ Y
Z’ Z’ Z
Si F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,3) 4. Ubicar cada mintermino en el mapa.
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es tres
X \ YZ 00 01 11 10
0
1
000=m0
1 001=m1
1 011=m3
1 010=m2
1 X 100=m4
101=m5
111=m7
X 110=m6
X’
X
Y’ Y
Z’ Z’ Z
y d1(X,Y,Z)= Σ(4,6)
5. Conformar grupos y simplificar.
Los grupos se organizan en 2^n, en este caso el máximo valor de n es tres
X \ YZ 00 01 11 10
0
1
000=m0
1 001=m1
1 011=m3
1 010=m2
1 X 100=m4
101=m5
111=m7
X 110=m6
X’
X
Y’ Y
Z’ Z’ Z
Como el grupo 1 tiene 4 minterminos se deben eliminar 2 variables. • X se mantiene como X’. • Y se elimina, ya que
Y.Y’.Y.Y’=0 • Z se elimina, ya que
Z’.Z.Z’.Z=0 El grupo 1 simplificado es: X’.
Si F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,3) y d1(X,Y,Z)= Σ(4,6)
5. Conformar grupos y simplificar.
X \ YZ 00 01 11 10
0
1
000=m0
1 001=m1
1 011=m3
1 010=m2
1 X 100=m4
101=m5
111=m7
X 110=m6
X’
X
Y’ Y
Z’ Z’ Z
Si fuera un papel al doblarlo se forman los grupos con aquellas celdas que se enfrentan; por ello el grupo 2 tiene 4 minterminos se deben eliminar 2 variables. • X se elimina X’.X.X’,X=0. • Y se elimina, ya que
Y.’Y’.Y.Y=0 • Z se mantiene como Z’, ya
que Z’.Z’.Z’.Z’=Z’ El grupo 2 simplificado es: Z’.
Si F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,3) y d1(X,Y,Z)= Σ(4,6)
6. Se unen los términos simplificados por medio de la operación or
El grupo 1 simplificado es: X’.
El grupo 2 simplificado es: Z’.
Si F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,3) y d1(X,Y,Z)= Σ(4,6) entonces F1=X’+Z’ Por Morgan F1(X,Y,Z)= X’+Z’=(X.Z)’
X Y Z F1 X.Z (X.Z)’
0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
Posibles grupos
X \ YZ 00 01 11 10
0 1 1
1 1 X
X \ YZ 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 1 1 X
X \ YZ 00 01 11 10
0 1 1 1
1 1 1 X
X \ YZ 00 01 11 10
0 1 1 1
1 1 X 1 1
Observe la siguiente tabla de verdad
La combinación 6 presenta una condición no importa o indiferencia, por ello se pueden denotar a la función 1 como:
F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,2,4,5,8,9,12,13,14)
y condiciones no importa d1(X,Y,Z)= Σ(6)
W X Y Z F1
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 X
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
WX \ YZ 00 01 11 10
00
01
11
10
W,X identifica las filas YZ identifica las columnas 1. Construimos la tabla.
WX \ YZ 00 01 11 10
00
01
11
10
Identificar las variables en mapa
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
2. Asignar rótulos. Y’ Y
WX \ YZ 00 01 11 10
00 0000=m0
0001=m1
0011=m3
0010=m2
01 0100=m4
0101=m5
0111=m7
0110=m6
11 1100=m12
1101=m13
1111=m15
1110=m14
10 1000=m8
1001=m9
1011=m11
1010=m10
Identificar las variables en mapa
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
3. Identificar cada celda. Y’ Y
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 m0
1 m1
m3
m2
01 1 m4
1 m5
m7
X m6
11 1 m12
1 m13
m15
1 m14
10 1 m8
1 m9
m11
m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
4. Ubicar minterminos
Y’ Y
W X Y Z F1
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 X
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
F1(X,Y,Z)= Σ(0,1,4,5,8,9,12,13,14)
d1(X,Y,Z)= Σ(6)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1
m0
1
m1
m3
m2 01 1
m4
1 m5
m7
X m6
11 1
m12
1 m13
m15
1 m14
10 1 m8
1 m9
m11
m10
Como el grupo 1 tiene 8 minterminos se deben eliminar 3 variables: • W se elimina. • X se elimina, ya
que x’.x.x’.x=0. • En Y se mantiene
como Y’. • En Z se elimina, ya
que z.z’=0 En conclusión el grupo 1 es: y’
Y’ Y
Z’ Z Z’
W’
W
X’
X’
X
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1
m0
1
m1
m3
m2 01 1
m4
1 m5
m7
X m6
11 1
m12
1 m13
m15
1 m14
10 1 m8
1 m9
m11
m10
Grupos de 2 ^n, proximos.
El grupo 2 se conforma de 4 elementos, por ello se eliminan 2 variables. • En W se elimina. • En X se mantiene
como X. • En Y se elimina, ya
que y.y’=0 • En Z se mantiene
como Z’. El grupo simplificado es: XZ’
Y’ Y
Z’ Z Z’
W’
W
X’
X’
X
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1
m0
1
m1
m3
m2 01 1
m4
1 m5
m7
X m6
11 1
m12
1 m13
m15
1 m14
10 1 m8
1 m9
m11
m10
W’
W’
W
W
X’
X’
X
X
Y’ Y’ Y Y
Z’ Z Z Z’
F1(W,X,Y,Z) =Y’+XZ’
6. Se unen los términos simplificados por medio de la operación or
El grupo 1 simplificado es: Y’
El grupo 2 simplificado es: XZ’
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1
11 1 1
10 X X
Posibles grupos WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1 1
11 X X
10
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1 1 1 1
10 1 1 X X
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 X
01
11 1 1
10 1 1
A
B
C
D
E
F G H I
M L K
N J
BCD 20
SEGA
SEGB
BCD 21
BCD 22
BCD 23
SEGC
SEGD
SEGE
SEGF
SEGG
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
Z
Y
X
W
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F7
G F6
F F5
E F4
D F3
C F2
B F1
A
0000 0 1 0 0 0 0 0 0
0001 1 1 1 1 1 0 0 1
0010 2 0 1 0 0 1 0 0
0011 3 0 1 1 0 0 0 0
0100 4 0 0 1 1 0 0 1
0101 5 0 0 1 0 0 1 0
0110 6 0 0 0 0 0 1 1
0111 7 1 1 1 1 0 0 0
1000 8 0 0 0 0 0 0 0
1001 9 0 0 1 1 0 0 0
1010 X X X X X X X
1011 X X X X X X X
1100 X X X X X X X
1101 X X X X X X X
1110 X X X X X X X
1111 X X X X X X X
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F1
A
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 0
0011 3 0
0100 4 1
0101 5 0
0110 6 1
0111 7 0
1000 8 0
1001 9 0
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F1(W,X,Y,Z)= Σ(1,4,6)
y condiciones no importa d1(W,X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
1 m1
m3
m2
01 1 m4
m5
m7
1 m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F1(X,Y,Z)= X.Z’+W’X’Y’Z
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F2
B
0000 0 0
0001 1 0
0010 2 0
0011 3 0
0100 4 0
0101 5 1
0110 6 1
0111 7 0
1000 8 0
1001 9 0
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F2(W,X,Y,Z)= Σ(5,6)
y condiciones no importa d2(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
m1
m3
m2
01 m4
1 m5
m7
1 m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F2(X,Y,Z)= XY’Z + XYZ’ =X(Y’Z+YZ’)=X.(Y + Z)
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F3
C
0000 0 0
0001 1 0
0010 2 1
0011 3 0
0100 4 0
0101 5 0
0110 6 0
0111 7 0
1000 8 0
1001 9 0
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F3(W,X,Y,Z)= Σ(2)
y condiciones no importa d3(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
m1
m3
1 m2
01 m4
m5
m7
m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F3(X,Y,Z)=X’YZ’
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F4
D
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 0
0011 3 0
0100 4 1
0101 5 0
0110 6 0
0111 7 1
1000 8 0
1001 9 1
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F4(W,X,Y,Z)= Σ(1,4,7,9)
y condiciones no importa d4(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
1 m1
m3
m2
01 1 m4
m5
1 m7
m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
1 m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F4(X,Y,Z)=XY’Z’+XYZ+WZ+X’Y’Z
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F5
E
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 0
0011 3 1
0100 4 1
0101 5 1
0110 6 0
0111 7 1
1000 8 0
1001 9 1
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F5(W,X,Y,Z)= Σ(1,3,4,5,7,9)
y condiciones no importa d5(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
1 m1
1 m3
m2
01 1 m4
1 m5
1 m7
m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
1 m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F5(X,Y,Z)=XY’+Z
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F6
F
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 1
0011 3 1
0100 4 0
0101 5 0
0110 6 0
0111 7 1
1000 8 0
1001 9 0
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F6(W,X,Y,Z)= Σ(1,2,3,7)
y condiciones no importa d6(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 m0
1 m1
1 m3
1 m2
01 m4
m5
1 m7
m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F6(X,Y,Z)=W’X’Z+YZ+X’Y
B
C
D
E
F
A
G
5V
WXYZ BCD F7
G
0000 0 1
0001 1 1
0010 2 0
0011 3 0
0100 4 0
0101 5 0
0110 6 0
0111 7 1
1000 8 0
1001 9 0
1010 X
1011 X
1100 X
1101 X
1110 X
1111 X
F7(W,X,Y,Z)= Σ(0,1,7)
y condiciones no importa d7(X,Y,Z)= Σ(10,11,12,13,14,15)
WX \ YZ 00 01 11 10
00 1 m0
1 m1
m3
m2
01 m4
m5
1 m7
m6
11 X m12
X m13
X m15
X m14
10 m8
m9
X m11
X m10
W’
W
X’
X’
X
Z’ Z Z’
Y’ Y
F7(X,Y,Z)=W’X’Y’+XYZ
BCD 20
BCD 21
BCD 22
BCD 23
a
b
c
d
e
f
g
Z
Y
X
W
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7 F7(X,Y,Z)=W’X’Y’+XYZ
F6(X,Y,Z)=W’X’Z+YZ+X’Y
F5(X,Y,Z)=XY’Z’+Z
F4(X,Y,Z)=XY’Z’+XYZ+WZ+X’Y’Z
F3(X,Y,Z)=X’YZ’
F2(X,Y,Z)= XY’Z + XYZ’
F1(X,Y,Z)= X.Z’+W’X’Y’Z
