Expansiones Trigonométricas de ángulos múltiples
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7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
1/24
cos2A =1
2+
1
2cos2A
cos3A =3
4cosA +
1
4cos3A
cos4
A =
3
8 +
1
2 cos2A +
1
8 cos4A
cos5A =5
8cosA +
5
16cos3A +
1
16cos5A
cos6A =5
16+
15
32cos2A +
3
16cos4A +
1
32cos6A
sin2A =1
2
1
2cos2A
sin3A =3
4sinA
1
4sin3A
sin4A =3
8
1
2cos2A +
1
8cos4A
sin5A =5
8sinA
5
16sin3A +
1
16sin5A
sin6A =5
16
15
32cos2A +
3
16cos4A
1
32cos6A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
2/24
cos2A =12+
12cos 2A
cos2A = cos(A + A)
cos2A = cosA cosA sinA sinA
cos2A = cos2A sin2A
sin2A = 1 cos2A
cos2A = cos2A
1 cos2A
cos2A = cos2A 1 + cos2A
cos2A = 2 cos2A 1
cos2A
2cos2A = 1 cos2A
cos2A =1
2+
1
2cos2A
y = cos2A
y = cos2A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
3/24
y = 12
+ 12
cos2A
y = 12 +12 cos2A
A = 2rad
cos2A =1
2+
1
2cos2A
A
cos2
2=
1
2+
1
2cos2
2
0 =1
2
1
2
0 = 0
cos3A =34cosA+
14cos 3A
cos3A = cos(A + 2A)
cos3A = cosA cos2A sinA sin2A)
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
4/24
cos2A = 2 cos2A 1 sin2A = 2sinA cosA
cos3A = cosA(2cos2A 1) sinA(2sinA cosA)
cos3A = 2 cos3A cosA 2sin2A cosA
sin2A = 1 cos2A
cos3A = 2 cos3A cosA 2(1 cos2A)cosA
cos3A = 2 cos3A cosA 2cosA + 2 cos3A
cos3A = 3cosA + 4 cos3A
cos3A
cos3A =3
4cosA +
1
4cos2A
y = cos3A
y = cos3A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
5/24
y = 34
cosA + 14
cos3A
y = 34 cosA +14 cos3A
A = 2rad
cos3A =3
4cosA +
1
4cos3A
A
cos3
2=
3
4cos
2+
1
4cos3
2
0 =34
cos
2+
14
cos3
2
0 =3
4(0) +
1
4(0)
0 = 0 + 0
0 = 0
cos4A =38+
12cos 2A+
18cos 4A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
6/24
cos4A = cos(A + 2A)
cos4A = cos 2A cos2A sin2A sin2A
cos2A = 2cos2A 1 cos2A
cos4A = (2 cos2A 1)cos2A 4sin2A cos2A
cos4A = 2 cos2A cos2A cos2A 4sin2A cos2A
cos2A = 2 cos2A 1
cos4A = 2 cos2A(2 cos2A
1)
cos2A
4(1
cos2A)cos2A
cos4A = 4 cos4A 2cos2A cos2A 4cos2A + 4 cos4A
cos4A = cos2A 6cos2A + 8 cos4A
cos2A = 12
+ 12
cos2A
cos4A = cos2A 6
1
2+
1
2cos2A
+ 8 cos4A
cos4A = cos 2A 3 3cos2A + 8 cos4A
cos4A
cos4A =3
8+
1
2cos2A +
1
8cos4A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
7/24
y = cos4
A
y = cos4A
y = 38
+ 12
cos2A + 18
cos4A
y = 38
+ 12
cos2A + 18
cos4A
A = 2rad
cos4A =3
8+
1
2cos2A +
1
8cos4A
A
cos4
2=
3
8+
1
2cos2
2+
1
8cos4
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
8/24
0 =3
8+
1
2(1) +
1
8(1)
0 =3
8
1
2+
1
8
0 =3 4 + 1
8
0 =0
8
0 = 0
cos5A = 58 cosA+ 516 cos 3A+ 116 cos 5A
cos5A = cos(2A + 3A)
cos5A = cos 2A cos3A sin2A sin3A
cos2A = cos2A sin2A cos3A = 4cos3A 3cosA
cos5A = (4 cos3A 3cosA)(cos2A sin2A) (3sinA 4sin3A)(2sinA cosA)
sin2A = 2sinA cosA sin3A = 3sinA 4sin3A
cos5A = (4 cos3A 3cosA)(cos2A (1 cos2A)) 6sin2A cosA 8sin4A cosA
cos5A = (4 cos3A 3cosA)(cos2A( 1+cos2A)) 6(1 cos2A)cosA 8(1 2cos2 +cos2A)cosA
cos5A = 16 cos5A + 12 cos3A + 9 cosA
cos5A
cos5A =5
8cosA +
5
16cos3A +
1
16cos5A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
9/24
y = cos5
A
y = cos5A
y = 58
cosA + 516
cos3A + 116
cos5A
y = 58
cosA + 516
cos3A + 116
cos5A
A = 2rad
cos5A =5
8cosA +
5
16cos3A +
1
16cos5A
A
cos5
2=
5
8cos
2+
5
16cos3
2+
1
16cos5
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
10/24
0 =5
8(0) +
5
16(0) +
1
16(0)
0 = 0 + 0 + 0
0 = 0
cos6A =5
16+
1532cos 2A +
316cos 4A +
132cos 6A
cos6A = cos(3A + 3A)
cos6A = cos 3A cos3A sin3A sin3A
cos3A = 4 cos3A 3cosA sin3A = 3 sinA 4sin3A
cos6A =
4cos3A 3cosA
4cos3A 3cosA
3sinA 4sin3A
3sinA 4sin3A
cos6A = 16 cos6A12cos4A12 cos4A+9cos2A9sin2A+12 sin4A+12 sin4A16sin6A
cos6A = 16 cos6A 24cos4A+9cos2A 9sin2A+24sin4A 16sin6A
cos4A = 38
+ 12
cos2A + 18
cos4A cos2A = 12
+ 12
cos2A
cos6A = 16 cos6A243
8
+1
2
cos2A +1
8
cos4A+91
2
+1
2
cos2A9sin2A+24sin4A16sin6A
cos6A = 16 cos6A912cos2A3cos4A+9
2+
9
2cos2A9sin2A+24sin4A16sin6A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
11/24
sin2A = 12
1
2cos2A sin4A = 3
8
1
2cos2A + 1
8cos4A
cos6A = 16 cos6A912cos2A3cos4A+9
2+
9
2cos2A9
1
2
1
2cos2A
+24
3
8
1
2cos2A +
1
8co
cos6A = 16 cos6A912cos2A3cos4A+9
2+
9
2cos2A
9
2+
9
2cos2A+912cos2A+3cos4A16sin6A
cos6A = 16 cos6A 15cos2A 16sin6A
sin6A = 516
15
32cos2A + 3
16cos4A 1
32cos6A
cos6A = 16 cos6A 15cos2A 16
5
16
15
32cos2A +
3
16cos4A
1
32cos6A
cos6A = 16 cos6A 15cos2A 5 +15
2cos2A 3cos4A +
1
2cos6A
cos6A
16cos
6
A =
15cos2A
5 +15
2 cos2A 3cos4A +1
2 cos6A cos6A
16 cos6A = 15cos2A 5 +15
2cos2A 3cos4A
1
2cos6A
cos6A =5
16+
15
32cos2A +
3
16cos4A +
1
32cos6A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
12/24
y = cos6
A
y = cos6A
y = 516
+ 1532
cos2A + 316
cos4A + 132
cos6A
y = 516
+ 1532
cos2A + 316
cos4A + 132
cos6A
A = 2rad
cos6A =5
16+
15
32cos2A +
3
16cos4A +
1
32cos6A
A
cos6
2=
5
16+
15
32cos2
2+
3
16cos4
2+
1
32cos6
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
13/24
0 =5
16+
15
32(1) +
3
16(1) +
1
32(1)
0 =5
16
15
32+
3
16
1
32
0 =10 15 + 6 1
32
0 =0
32
0 = 0
sin2A =
12
12cos 2A
cos2A = cos(A + A)
cos2A = cos2A sin2A
cos2A = 1 sin2A
cos2A = 1 sin2A sin2A
cos2A = 1 2sin2A
sin2A
2sin2A = 1 cos2A
sin2A =1
2
1
2cos2A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
14/24
y = sin2
A
y = sin2A
y = 12
1
2cos2A
y = 12
1
2cos2A
A = 2rad
sin2A =1
2
1
2cos2A
A
sin2
2=
1
2
1
2cos2
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
15/24
1 =1
2
1
2(1)
1 =1
2+
1
2
1 = 1
sin3A =
34sinA
14sin 3A
sin3A = sin(A + 2A)
sin3A = sinA cos2A + sin 2A cosA
cos2A = 1 2sin2A
sin3A = sinA(1 2sin2A) + 2 sinA cos2A
sin3A = sinA 2sin3A + 2 sinA cos2A
cos2
A = 1
sin2
A)
sin3A = sinA 2sin3A + 2 sinA(1 sin2A)
sin3A = sinA 2sin3A + 2 sinA 2sin3A
sin3A = 3 sinA 4sinA
sin3A
sin3A =3
4sinA
1
4sin3A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
16/24
y = sin3
A
y = sin3A
y = 34
sinA 14
sin3A
y = 34
sinA 14
sin3A
A = 2rad
sin3A =3
4sinA
1
4sin3A
A
sin3
2=
3
4sin
2
1
4sin3
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
17/24
1 =3
4(1)
1
4(1)
1 =3
4+
1
4
1 = 1
sin4A =
38
12cos 2A+
18cos 4A
cos4A = cos(A + 2A)
cos4A = cos 2A cos2A sin2A sin2A
cos2A = 1 2sin2A
cos4A = (1 2sin2A)(1 2sin2A) 4sin2A cos2A
cos4A = 1 2sin2A 2sin2A + 4sin4A 4sin2A cos2A
cos2A = 1 sin2A
cos4A = 1
4sin2A + 4 sin4A
4sin2A(1
sin2A)
cos4A = 1 4sin2A + 4 sin4A 4sin2A + 4 sin4A
cos4A = 1 8sin2A + 8 sin4A
sin4A
sin4A = 1
8+ sin2A +
1
8cos4A
sin2A = 12
1
2cos2A
sin4A = 1
8+
1
2
1
2cos2A +
1
8cos4A
sin4A =1 + 4 4cos2A + cos 4A
8
sin4A =3
8
1
2cos2A +
1
8cos4A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
18/24
y = sin4
A
y = sin4A
y = 38
1
2cos2A + 1
8cos4A
y = 38
1
2cos2A + 1
8cos4A
A = 2rad
sin4A =3
8
1
2cos2A +
1
8cos4A
A
sin4
2=
3
8
1
2cos2
2+
1
8cos4
2
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
19/24
1 =3
8
1
2(1) +
1
8(1)
1 =3
8+
1
2+
1
8
1 =3 + 4 + 1
8
1 =8
8
1 = 1
sin5A =
58sinA
516sin 3A+
116sin 5A
sin5A = sin(3A + 2A)
sin5A = sin 3A cos2A + sin 2A cos3A
cos2A = 1 2sin2A cos3A = 4cos3A 3cosA
sin2A = 2 sinA cosA
sin5A = sin 3A(1 2sin2A) + (4 cos3A 3cosA)(2sinA cosA)
sin5A = sin 3A 2sin2A sin3A + 8 sinA cos4A 6sinA cos2A
sin3A = 3 sinA 4sin3A
sin5A = sin 3A2sin2A(3sinA4sin3A)+8 sinA cos4A6sinA cos2A
sin5A = sin 3A 6sin3A + 8 sin5A + 8 sinA cos4A 6sinA cos2A
cos4A = (cos2A)2 cos2A =1 sin2A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
20/24
sin5A = sin 3A
6sin3
A + 8 sin5
A + 8 sinA(1
sin2
A)2
6sinA(1
sin2
A)
sin5A = sin 3A6sin3A+8sin5A+8sinA(12sin2A+sin4A)6sinA+6sin3A
sin5A = sin 3A6sin3A+8sin5A+8sinA16sin3A+8sin5A6sinA+6sin3A
sin5A = sin 3A + 2 sinA 16sin3A + 16sin5A
sin3A = 34
sinA 14
sin3A
sin5A = sin 3A + 2 sinA 16
3
4sinA
1
4sin3A
+ 16 sin5A
sin5A = sin 3A + 2 sinA 12sinA + 4sin 3A + 16sin5A
sin5A = 5sin3A 10sinA + 16sin5A
sin5A
16sin5A = 5sin 3A 10sinA sin5A
sin5A =5
8sinA
5
16sin3A +
1
16sin5A
y = sin5A
y = sin5A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
21/24
y = 58
sinA 516
sin3A + 116
sin5A
y = 58 sinA516 sin3A +
116 sin5A
A = 2rad
sin5A =5
8sinA
5
16sin3A +
1
16sin5A
A
sin5
2=
5
8sin
2
5
16sin3
2+
1
16sin5
2
1 =5
8(1)
5
16(1) +
1
16(1)
1 =5
8+
5
16+
1
16
1 =10 + 5 + 1
16
1 =16
16
1 = 1
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
22/24
sin6A =
516
1532cos 2A+
316cos 4A
132 cos 6A
cos6A = cos(3A + 3A)
cos6A = cos 3A cos3A sin3A sin3A
cos3A = 4 cos3A 3cosA sin3A = 3sinA 4sin3A
cos6A =
4cos3A 3cosA
4cos3A 3cosA
3sinA 4sin3A
3sinA 4sin3A
sin2A = 1 cos2A
cos6A = 16 cos6A12cos4A12 cos4A+9cos2A9
1 cos2A
+12
1 2cos2A + cos4A12
1
32cos6A = cos 6A + 24 cos 4A 30cos2A + 19
sin6A
sin6A =5
16
15
32cos2A +
3
16cos4A
1
32cos6A
y = sin6A
y = sin6A
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
23/24
y = 516
15
32cos2A + 3
16cos4A 1
32cos6A
y = 516 1532 cos2A +
316 cos4A
132 cos6A
A = 2rad
sin6A =5
16
15
32cos2A +
3
16cos4A
1
32cos6A
A
sin6
2=
5
16
15
32cos2
2+
3
16cos4
2
1
32cos6
2
1 =5
16
15
32(1) +
3
16(1)
1
32(1)
1 =5
16+
15
32+
3
16+
1
32
1 =10 + 15 + 6 + 1
32
1 =32
32
1 = 1
-
7/30/2019 Expansiones Trigonomtricas de ngulos mltiples
24/24
