Experimento estadístico: Proceso que produce información ...
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Experimento estadístico: Proceso que produce información.
Evento (E): Cada posible resultado de unexperimento.
Ej: Lanzamiento de una moneda,Lanzamiento de un dado,…
Ej: Obtener una cara al lanzar una moneda.Obtener el número 1 al lanzar un dado,…
Espacio muestral (S). Es el conjunto de todos loseventos.
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Ej: En el lanzamiento de una moneda hay dos posibles eventos, que salga cara (c) o que salga sello (s), entonces: 𝑺 = 𝒄, 𝒔
Ej: En el lanzamiento de un dado hay seis posibles eventos, entonces: 𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔
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Es la posibilidad numérica de que un evento ocurra.
Definición de Probabilidad
Modelo Clásico
𝑷 𝑬 =𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑬
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
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➢ La probabilidad de obtener una cara en un sololanzamiento de una moneda es 1/2
➢ La probabilidad de sacar un 3 en un lanzamiento deun dado es 1/6
Ejemplo
.
La suma de la probabilidad de todos los eventos del espacio muestral es uno:
( ) 10 iEP
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( ) 1= iEP
Propiedades
Ejemplo:
1. Determine cuál(es) de los siguientes eventos tiene(n) la misma probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda.
I) Obtener un número primo en el lanzamiento de un dado.II) Al contestar una pregunta al azar de verdadero o
falso, ésta esté correcta.III) Que tu equipo favorito de fútbol gane su próximo
partido.a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo II y IIIe) I, II y III
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2. En el curso de José todos los alumnos escribieron elnombre de cada abuelo y su edad en un papel y locolocaron en una caja. Los números registrados fueron:
70 – 81 - 81 - 90 – 85 -70 – 81- 67 – 55 – 90Determine la probalilidad en porcentaje de que al sacarun papelito la edad del abuelo sea mayor que 60 años ymenor que 80 años
a) 80%b) 70%c) 50%d) 30%
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3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 veces una moneda al aire se obtenga al menos una cara?
a) 1/8b) 3/8c) 1/2d) 3/4e) 7/8
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4. Si en un curso de 35 alumnos hay 20 hombres yse sabe que del total de mujeres, solamente a latercera parte le gusta ver teleseries. ¿Cuál es laprobabilidad de escoger un alumno al azar dedicho curso y que sea mujer y no le gusten lasteleseries?
a) 1/7b) 2/7c) 1/3d) 3/7e) 3/4
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5. Según un programa climatológico la probabilidadde que mañana sea un día soleado es de 0,5 deque amanezca parcial-nublado es un 0,3 y latercera opción es que amanezca lluvioso. Siexisten solamente esas tres alternativas. ¿Cuáles la probabilidad de que mañana amanezcasoleado o lluvioso?
a) 0,15b) 0,2c) 0,7d) 0,8e) No se puede determinar
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12Ordenaciones ( )
!
!
n
r
nP
n r=
−
Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea elegir un presidente y un vicepresidente ¿Cuántos
binomios distintos se pueden formar?
SOLUCIÓN:
Empleando la fórmula
( )!
!
n
r
nP
n r=
−
3
2
3!
1!P = 6=
Presidente
Vice-Presid
Presidente María
Vice-Presid José
Presidente María María
Vice-Presid José Luis
Presidente María María José
Vice-Presid José Luis María
Presidente María María José José
Vice-Presid José Luis María Luis
Presidente María María José José Luís
Vice-Presid José Luís María Luís María
Presidente María María José José Luis Luis
Vice-Presid José Luis María Luis María José
CONCLUSIÓN:
* Piense en llenar casilleros
Presidente Vice-PresidPresidente
3Vice-PresidPresidente
3Vice-Presid
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* IMPORTA EL ORDEN
Ejemplo
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Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea elegir un presidente y un vicepresidente ¿Cuál es
la probabilidad de que Luis sea Vicepresidente?
Ejemplo
13
Resp.
14
( )!
! !
n
r
n nC
r r n r
= =
−
Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea nombrar una comisión de dos personas para
actividades varias ¿Cuántas comisiones diferentes habrán?SOLUCIÓN: 1C = María, José
2C = María, Luis
3C = José, Luis
Empleando la fórmula
( )!
! !
n
r
n nC
r r n r
= =
−
( )3
2
3 3!
2 2! 1!C
= =
3 2
2
= 3=
CONCLUSIÓN:
* NO IMPORTA EL ORDEN
SelecciónEjemplo 1
15 Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea nombrar una comisión de dos personas para
actividades varias ¿Cuál es la probabilidad de que Luis pertenezca
a la comisión?
Ejemplo 2
En un estante hay 2 libros de historia y 3 de biología. Al azar, se
toma un libro y luego se toma un segundo libro.
a) Encontrar la probabilidad de que el primer libro sea de biología
y el segundo de historia.
b) Encontrar la probabilidad que ambos sean de biología..
Ejemplo 3
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Resp.
Resp. a) 30% b) 30%
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En la final de un concurso escolar de matemática, que da
un premio al primer lugar y otro premio al segundo lugar,
participan 6 alumnos, de los cuales 3 pertenecen al colegio
A. ¿cuál es la probabilidad de que los alumnos del colegio A
obtengan los 2 premios?
Ejemplo 4
0.2Resp.
Se tiene 15 camisetas de las cuales 7 son rojas y el resto blancas.
a) Si se elige al azar primero una camiseta y después otra, cuál es
la probabilidad de que ambas sean blancas? Resp. 0,2666
b) Si se eligen dos camisetas al azar , cual es la probabilidad de
que ambas sean blanca? Resp 0.27
c) Si se eligen 5 camisetas al azar, cuál es la probabilidad de que
2 sean blancas y 3 sean rojas? Resp. 0.33
Ejemplo 5
17Se tiene 20 globos de las cuales 8 son negros y el resto blancos.
a) Si se elige al azar primero uno y después otro, cuál es la probabilidad
de que ambas sean negros?
b) Si se elige al azar primero uno y después otro, cuál es la probabilidad
de que el primero sea negro y el segundo blanco?
c) Si se eligen dos globos al azar , cual es la probabilidad de que ambas
sean negros?
d) Si se eligen dos globos al azar , cual es la probabilidad de que uno sea
negro y el otro blanco?
e) Si se eligen 7 globos al azar, cuál es la probabilidad de que 3 sean
blancos y 4 sean negros?
f) Si se eligen 7 globos al azar, cuál es la probabilidad de que 4 sean
blancos y 3 sean negros?
g) Si se eligen 7 globos al azar, cuál es la probabilidad de que todos sean
negros?
Ejemplo 6
Resp. 14.8%
Resp. 25.2%
Resp. 14.7%
Resp. 50.5%
Resp. 19.8%
Resp. 35.75%
Resp. 0,01%
InterseccionesLa intersección entre A y B, que se escribe A∩B, consta delos elementos que son comunes tanto a A como a B
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Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro.
Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda una vez. Si se obtieneuna cara, no puede ocurrir un sello.
Seleccionar una unidad de producción y encontrarla defectuosa o nodefectuosa son eventos mutuamente excluyentes.
UnionesLa unión de A con B, que se escribe AUB, consta de loselementos que están en A o en B o en ambos
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Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todoslos posibles resultados de un experimento y constituyen suespacio muestral.
➢Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dadoson 1,2,3,4,5,6. Debido a que existe la certeza de queuno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada esigual a uno
( )1 2 3 4 5 6 1P =
Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A.Si un empleado se selecciona al azar
P(S)=170/500=0.34
P(L)=290/500=0.58
P(A)=40/500=0.08
Existe certeza que un empleado provenga de una de lascategorías, por tanto, P(SvLvA)=1
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Ejemplo
De los 500 empleados de una fábrica, 170 son administrativos (S), 290 son de línea (L) y 40 son auxiliares (A).
Eventos independientes son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro.
El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta el lanzamiento de un dado
Dos lanzamientos de una moneda son eventos independientes también
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En el experimento de extracciones, dos eventos sonindependientes si y sólo si se realiza el reemplazo. Sinembargo, si el primer elemento no se reemplaza antes desacar el segundo elemento, los dos eventos sondependientes
Si se seleccionan dos trabajadores de la mismafábrica, la probabilidad de que el primero sea unadministrativo es P(S)=170/500=0.34.
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Si esta selección no se reemplaza, la probabilidadde que el segundo sea uno de línea esP(L)=290/499, y no 290/500
Eventos complementarios son los eventos en losque si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir.
Son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, “no A” debe ocurrir. Por tanto,
( ) 1_
=
+ APAP
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Si no se selecciona un miembro del personaladministrativo de la fábrica, entonces debe sero uno de línea o uno auxiliar
Las dos reglas de la probabilidad
Existe dos reglas básicas que deben seguirse para calcular la probabilidad de eventos más complejos:
Regla de la multiplicación
Regla de la adición
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Regla de la multiplicación
Determina la probabilidad del evento conjuntoP(A∩B.
Para eventos independientes:
( ) ( ) ( )BPAPBAP =
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➢ La probabilidad de sacar un 3 con un dado y unacara con una moneda es
( ) ( ) ( ) ( )( ) 12/12/16/133 === CPPCP
( ) ( ) ( ) ( )( ) 312/396/352/13 === EPHPEHP
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➢ La probabilidad de sacar una carta de las 13cartas de corazones de una baraja de 52 cartasy de sacar un número par con un dado es:
EJEMPLOS
Regla de la Adición
Se utiliza para determinar la probabilidad de A óB. Cuando los eventos no son mutuamenteexcluyentes.
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP −+=
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Se debe restar la probabilidad conjunta cuando los eventos no sonmutuamente excluyentes es para evitar el doble conteo.
La probabilidad de sacar un as o una de las 13cartas de corazones de una baraja es
( ) ( ) ( )HAPHPAP −+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52/152/1352/4 −+=−+ HAPHPAP
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Los eventos A y H no son mutuamenteexcluyentes, debido a que ambos ocurren si sesacara el as de corazones. Por tanto,
EJEMPLO
Cuando los eventos son mutuamenteexcluyentes:
( ) ( ) ( )BPAPBAP +=
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La probabilidad de que un cliente prefiera súper (0.2) oextra (0.5) (eventos mutuamente excluyentes debido aque no puede preferir ambas) es
( ) ( ) ( ) 7.05.02.0 =+=+= EPSPESP
EJEMPLO
Tablas de contingencia
Clasificación de los empleados
Género Administrativo Línea Auxiliar Total
Hombres 120 150 30 300
Mujeres 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
30Supongamos que en el problema anterior si hay 300 hombres
y 200 mujeres distribuidos de la siguiente manera
Si se escoge una persona al azar.
1. ¿Cuál es la probabilidad que sea de
línea?( )
2900.58
500P L = =
2. ¿Cuál es la probabilidad que sea
Hombre? ( )300
0.6500
P H = =
3. ¿Cuál es la probabilidad que sea
Hombre y administrativo?
( )120
500P H S =
4. ¿Cuál es la probabilidad que sea
de Línea o Auxiliar? ( )290 40 330
500 500 500P L A = + =
5. ¿Cuál es la probabilidad que sea de Línea o mujer?
( )290 200 140 350
500 500 500 500P L M = + − =
Tablas de PROBABILIDAD
Clasificación de los empleados
Género Administrativ
(S)
Línea (L) Auxiliar (A) Total
Hombres (H) 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujeres (M) 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
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La probabilidad de que el evento A ocurra,dado que o a condición de que el evento B yahaya ocurrido
( )( )( )
P A BP A B
P B
=
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Probabilidad condicional
En el ejemplo de la fábrica, si se desea calcular la probabilidad
de que el trabajador sea mujer dado que es un miembro del
personal administrativo P(M/S) se puede hallar así
( )( )
( )
0.10.2941 29.41%
0.34
P M SP M S
P S
= = =
Ejemplo 1:
Probabilidad de eventos dependientes
(probabilidad condicional)
Si los eventos son dependientes, entonces, se debeconsiderar el primer evento al determinar laprobabilidad del segundo.
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( ) ( ) ( )P A B P B P A B =
( ) ( ) ( )P A B P A P B A =
En una fábrica se utilizan dos máquinas para producción. Lamáquina A produce el 60% de la producción total, y lamáquina B produce el restante 40%. El 2% de las unidadesproducidas por A son defectuosas, mientras que B tiene unatasa de defectos del 4%.
34Ejemplo 2
DEFECTUOSOS NO
DEFECTUOSOS
Maquina A
Maquina B
Solución:
0.60
0.40
1
( )0.02 0.60
0.012
( )0.04 0.40
0.016
0.028
0.588
0.384
0.972
DD
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya producida en lamáquina A?
Si se selecciona una unidad al azar y esta es defectuosa
( )( )
( )
P A DP A D
P D
= 0.
04
.028
12
0.6 42.86%
028→= =
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya producida en lamáquina B?
( )( )
( )
P B DP B D
P D
= 0.
05
.071
16
0.4 57.14%
028→= =
c) Si se escoge un producto al azar y resulta no defectuoso ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la máquina A?
( )( )( )
P A DP A D
P D
= 0.
06
.504
88
0.9 60.49%
972→= =
Dos candidatos A y B compiten por la gerencia de unacompañía. Las probabilidades de ganar estos candidatos son de0,7 y 0,3 respectivamente. Se sabe que si gana A, existe un0,8 de probabilidad de introducir un nuevo producto y si ganael candidato B esa probabilidad es de 0,4.a) Suponiendo que, después de las elecciones, ha sido
introducido el nuevo producto, ¿cuál es la probabilidad deque el ganador de las elecciones sea el candidato B?, ¿cuáles la probabilidad de que haya ganado A?
b) Supón que después de las elecciones no se introdujo elproducto nuevo ¿Cuál es la probabilidad de que el ganadorde las elecciones haya sido A?
Ejemplo 3
a) ( )P B I 17.65% ( )P A I 82.35%b) ( )P A I 43.75%
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La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82, y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión :a) Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo b) Haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo.c) Encuentre la probabilidad de que el avión llegue a tiempo dado que no salió a tiempo.
Resp. a) 0,9397 b) 0,9512 c) 0,2352
Ejemplo 4
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Dos máquinas envasan gaseosa de manera automática,resultando que la primera envasa el doble que la segunda, esdecir la primera maquina envasa 2/3 de la producción total yla segunda máquina 1/3. Además,la primera máquina envasael 60% de las botellas con la cantidad exacta y la segunda el84%. Una botella tomada del transportador resultó llena conla cantidad exacta. Hallar la probabilidad de que haya sidoenvasada por: a) La primera máquina; b) La segunda máquina.
Resp. a) 58.82% b) 41.18%
Ejemplo 5
