Experimentos factoriales

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EXPERIMENTOS FACTORIALES Pérez Ríos Enrique. 1 RESUMEN Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se estudia simultáneamente dos o más factores, y donde los tratamientos se forman por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores. Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseño experimental si no que ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseños tal como D.C.A. ; D.B.C.A.; D.C.L. Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigación, son muy utiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de muchos factores. El factorial 4X2 es aquel que en el cual el factor A tiene cuatro niveles a 0 a 1 a 2 a 3 y el factor B tiene dos niveles b 0 b 1 , este factorial nos da 8 combinaciones: a 0 b 0 a 0 b 1 a 1 b 0 a 1 b 1 a 2 b 0 a 2 b 1 a 3 b 0 a 3 b 1 . El factorial 3 2 es aquel en la que el factor A tiene tres niveles a 0 a 1 a 2 , y el factor B también cuenta con tres niveles b 0 b 1 b 2 , este factorial nos da 9 combinaciones: a 0 b 0 a 0 b 1 a 0 b 2 a 1 b 0 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 0 a 2 b 1 a 2 b 2 Palabras clave: experimentos factoriales, factorial 4X2, factorial 3 3 1 Alumno de Maestría del Programa de Recursos Genéticos y Productividad- Fruticultura Colegio de Postgraduados, Km. 36.5 carretera México-Texcoco , Montecillo Texcoco Estado de México C.P. 56230 Teléfonos del D.F. 5804-6800, de Texcoco; 95-202-00. Correo electrónico: [email protected]

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EXPERIMENTOS FACTORIALES

Pérez Ríos Enrique.1

RESUMEN

Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se

estudia simultáneamente dos o más factores, y donde los tratamientos se forman

por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores.

Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseño experimental si no que

ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseños tal como D.C.A. ; D.B.C.A.;

D.C.L.

Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigación,

son muy utiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de

muchos factores.

El factorial 4X2 es aquel que en el cual el factor A tiene cuatro niveles a0 a1 a2 a3 y

el factor B tiene dos niveles b0 b1, este factorial nos da 8 combinaciones: a0

b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1 .

El factorial 32 es aquel en la que el factor A tiene tres niveles a0 a1 a2, y el factor B

también cuenta con tres niveles b0 b1 b2, este factorial nos da 9 combinaciones: a0

b0 a0 b1 a0b2 a1 b0 a1 b1 a1b2 a2b0 a2 b1 a2b2

Palabras clave: experimentos factoriales, factorial 4X2, factorial 33

1 Alumno de Maestría del Programa de Recursos Genéticos y Productividad- Fruticultura Colegio de

Postgraduados, Km. 36.5 carretera México-Texcoco , Montecillo Texcoco Estado de México C.P. 56230

Teléfonos del D.F. 5804-6800, de Texcoco; 95-202-00. Correo electrónico: [email protected]

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INTRODUCCIÓN

Los experimentos factoriales pueden considerarse como una de las contribuciones

mas importantes de la estadística. Su empleo es ilimitado en la agricultura. Los

experimentos factoriales no son propiamente un diseño experimental. Se trata de

una técnica, que se vale de alguno de los diseños clásicos (DCA, DBCTA, CL)

para recabar información adicional que pueda ser de gran utilidad para el

investigador. El aspecto más importante de esta información es el conocimiento

del valor de las interacciones. La interacción es un fenómeno que apenas en años

recientes ha ido adquiriendo la importancia que le corresponde.

Uno de los aspectos que ha estimulado el uso de estos experimentos es el ahorro

de material experimental. El experimento factorial hace posible recabar en una

sola ocasión toda la información además de que permite determinara la magnitud

de las interacciones.

Los diseños factoriales se utilizan para planear, estudiar, ejecutar y analizar los

efectos en una respuesta o salida de al menos dos variables o factores cuando

éstos cambian de valor simultáneamente.

Un experimento factorial tiene las siguientes características:

• Se utiliza cuando se desea conocer los efectos producidos por dos o más

factores controlados que actúan simultáneamente en un experimento.

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• Cada uno de los factores que intervienen en el experimento se estudia a

diferentes niveles.

• Los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los

diferentes factores que intervienen en el experimento.

• El número total de tratamientos a evaluar se origina por la multiplicación del

número de niveles de los diferentes factores que intervienen en el

experimento.

• El modelo lineal y el análisis de varianza se modifica dependiendo del

número de factores que interviene en el experimento.

• Es común nombrar a los factores presentes en el experimento con las

primeras letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.).

• Es común nombrar a los niveles de los factores presentes en el

experimento con las primeras letras minúsculas del abecedario y con

subíndices que dependen del numero de niveles de cada factor (a1, a2, a3,

b1, b2, b3, c1, c2, c3, etc).en estos experimentos se toma en cuenta los

efectos de todas las posibles interacciones entre los diferentes factores que

intervienen.

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REVISION DE LITERATURA

EXPERIMENTOS FACTORIALES

Se llaman Experimentos Factoriales a aquellos experimentos en los que se

estudia simultáneamente dos o más factores, y donde los tratamientos se forman

por la combinación de los diferentes niveles de cada uno de los factores.

Los experimentos factoriales en si no constituyen un diseño experimental si no que

ellos deben ser llevados en cualquiera de los diseños tal como D.C.A. ; D.B.C.A.;

D.C.L.

Los experimentos factoriales se emplean en todos los campos de la investigación,

son muy útiles en investigaciones exploratorias en las que poco se sabe acerca de

muchos factores.

VENTAJAS:

1.- Permite estudiar los efectos principales, efectos de interacción de factores,

efectos simples y efectos cruzados.

2.- Todas las unidades experimentales intervienen en la determinación de los

efectos principales y de los efectos de interacción de los factores, por lo que el

número de repeticiones es elevado para estos casos.

3.- El número de grados de libertad para el error experimental es alto,

comparándolo con los grados de libertad de los experimentos simples de los

mismos factores, lo que contribuye a disminuir la variancia del error experimental,

aumentando por este motivo la precisión del experimento.

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DESVENTAJA:

1.- Se requiere un mayor número de unidades experimentales que los

experimentos simples y por lo tanto se tendrá un mayor costo y trabajo en la

ejecución del experimento.

2.- Como en los experimentos factoriales c/u de los niveles de un factor se

combinan con los niveles de los otros factores; a fin de que exista un balance en el

análisis estadístico se tendrá que algunas de las combinaciones no tiene interés

práctico pero deben incluirse para mantener el balance.

3.- El análisis estadístico es más complicado que en los experimentos simples y la

interpretación de los resultados se hace más difícil a medida de que aumenta el

número de factores y niveles por factor en el experimento.

CONCEPTOS GENERALES:

FACTOR.- Es un conjunto de tratamientos de una misma clase o característica.

Ejemplo: tipos de riego, dosis de fertilización, variedades de cultivo, manejo de

crianzas, etc.

FACTORIAL.- Es una combinación de factores para formar tratamientos.

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NIVELES DE UN FACTOR.- Son los diferentes tratamientos que pertenecen a un

determinado factor. Se acostumbra simbolizar algún elemento "i" por la letra

minúscula que representa al factor y el valor del respectivo subíndice.

Ejemplo:

A: Tipos de riego: Secano Goteo Aspersión

Niveles: a0 a1 a2

TIPOS DE FACTORES:

1.- FACTORES CUANTITATIVOS.- Son aquellos factores cuyos niveles son

cantidades numéricas.

Ejemplo:

Factor A: Dosis de fertilización

Niveles: 10 Kg/Ha (ao), 20Kg/Ha (a1), 30Kg/Ha (a2).

2.- FACTORES CUALITATIVOS.- Son aquellos factores cuyos niveles son

procedimientos o cualidades.

Ejemplo:

Factor A: Variedades de cultivo

Niveles: Variedad 1, Variedad 2.

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EFECTOS DE LOS EXPERIMENTOS FACTORIALES:

1.- EFECTO PRINCIPAL.- Es una medida del cambio en el promedio entre los

niveles de un factor, promediado sobre los diferentes niveles del otro factor.

Ejemplo: Dosis de Nitrógeno en las U.E.

2.- EFECTO INTERACCION.- Es una medida de cambio que expresa el efecto

adicional resultante de la influencia combinada de dos o más factores.

Ejemplo: Efecto conjunto de nitrógeno y fosforo.

3.- EFECTO SIMPLE.- Es una medida de cambio en los promedios de los niveles

de un factor, manteniendo constante, uno de los niveles del otro factor.

Ejemplo: Efecto de nitrógeno ante la presencia de 5% de fosforo.

FORMACION DE FACTORIALES:

En la información de factoriales, se debe tener presente lo siguiente:

1.- Que factores deben incluirse.

2.- Que factores son fijos (modelo I) y que factores son al azar (modelo II).

3.- Cuantos niveles se tiene por factor.

4.- Si son factores cuantitativos, cuál debe ser el espaciamiento entre los niveles

del factor.

Por ejemplo:

0%, 5% y 10% de nitrógeno, significa igual espaciamiento.

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FACTORES A MÁS DE DOS NIVELES

En el estudio sobre la mejora de procesos industriales (control de calidad) es usual

trabajar en problemas en los que hay muchos factores que pueden influir en la

variable de interés. La utilización de experimentos completos en estos problemas

tiene el gran inconveniente de necesitar un número elevado de observaciones,

además puede ser una estrategia ineficaz porque, por lo general, muchos de los

factores en estudio no son influyentes y mucha información recogida no es

relevante. En este caso una estrategia mejor es utilizar una técnica secuencial

donde se comienza por trabajar con unos pocos factores y según los resultados

que se obtienen se eligen los factores a estudiar en la segunda etapa.

Los diseños factoriales 2k son diseños en los que se trabaja con k factores, todos

ellos con dos niveles (se suelen denotar + y -). Estos diseños son adecuados para

tratar el tipo de problemas descritos porque permiten trabajar con un número

elevado de factores y son válidos para estrategias secuenciales.

Si k es grande, el número de observaciones que necesita un diseño factorial 2k es

muy grande (n = 2k). Por este motivo, las fracciones factoriales 2k-p son muy

utilizadas, éstas son diseños con k factores a dos niveles, que mantienen la

propiedad de ortogonalidad de los factores y donde se suponen nulas las

interacciones de orden alto (se confunden con los efectos simples) por lo que para

su estudio solo se necesitan 2k-p observaciones (cuanto mayor sea p menor

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número de observaciones se necesita pero mayor confusión de efectos se

supone).

En los últimos años Taguchi ha propuesto la utilización de fracciones factoriales

con factores a tres niveles en problemas de control de calidad industrial.

Diseños factoriales con dos variables independientes

Se trata de un diseño del tipo que hemos visto en él ejemplo y, en función del

número de niveles de cada uno de los factores, tenemos los diseños 2x2, cuando

cada factor tiene dos niveles o valores; 2x3 cuando uno tiene dos valores y el otro

tres; 3x3 cuando ambas toman tres valores; y, en general, diseños KxL donde K

es el numero de valores que toma la primera variable independiente y L el número

de valores que toma la segunda. En todos ellos habrá tantas condiciones

experimentales como -el producto de ambos números.

Las hipótesis que podemos probar en este tipo de diseños son las que veíamos en

Nuestro ejemplo, es decir, el efecto principal del factor A, el efecto del factor

principal B, y la interacción entre ambos AxB.

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UN FACTORIAL 4X2

Los experimentos factoriales se pueden hacer en el terreno siguiendo las normas

de los diseños clásicos como el “diseño completamente al azar”, el “diseño de

bloques completos con tratamientos aleatorizados” o el “cuadro latino”.

Supongamos por ejemplo que se quiere efectuar un experimento factorial 4X2.

Llamemos A al primer factor, por lo que su niveles serian a0, a1, a2, a3. Si el

segundo factor se representa por B, sus niveles serian b0, b1. Los 8 tratamientos

del experimento son entonces: a0b0; a0b1; a1b0; a1b1; a2b0; a2b1; a3b0 y a3b1.

Sea los factores A y B con sus respectivos niveles:

Factor A: a0 a1 a2 a3

Factor B: b0 b1

La combinación de los niveles de los factores será:

a0 a1 a2 a3

b0 b1 b0 b1 b0 b1 b0 b1

a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1 } tratamientos

Al combinar ambos factores (A y B) se tiene:

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4 x 2 = 8 tratamientos para ser evaluados

niveles de A x niveles de B

Si cada tratamiento se aplica a 3 unidades experimentales, se requiere 24

unidades experimentales, para realizar el experimento:

a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

bloques

I a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

II a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

III a0 b0 a0 b1 a1 b0 a1 b1 a2b0 a2 b1 a3b0 a3b1

Experimento factorial en diseño completamente al azar

Modelo estadístico.

Tomando en consideración lo señalado antes, modelo estadístico del diseño,

puede presentarse en la forma que se indica a continuación:

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��� = � +�� + � + �� +���

µ es el efecto de la media

αi es un efecto del nivel i esimo del factor A

βj es el efecto del nivel j esimo del factor B

(αβ)ij es un efecto debido de la interacción del i esimo nivel del factor A con el j

esimo nivel del factor B

εijk es el error aleatorio

Fuente de

variación

(F.V.)

Grados

de

libertad

(G.L.)

Suma de

cuadrados

(S.C.)

Cuadrados medios

(C.M.)

F calculada

Fcal

F

deTablas

(Ftab )

Tratamient

o

− 1 S.C.

Tratamientos

C.M TRAT �.�������� ���.�. �����

���� ,�"#

A a-1 S.C. A C.M. A

B b-1 S.C.B C.M.B

AB (a-1)(b-1) S.C.AB CM.AB

Error $�%&

'(%

S.C. Error ). �. �����*. +. �����

Total $�'&

'(%− 1

S.C. Total

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El efecto principal del fosforo (p) a dos niveles. Los tratamientos fueron 4 niveles

de aplicación de potasio (k), en caña de azúcar en un factorial 4X2 en un diseño

BCTA

K0 K1 K2 K3 Total

P0 444.9 621.9 684.6 704.3 2446.7

P1 620.3 758.8 845.3 855.1 3079.5

totales 1065.2 1371.7 1529.9 1559.4 5526.2

El efecto principal de K comprende 3 comparaciones independientes

La interacción entre p y k. de la diferencia entre las dos hileras se estima el efecto

de p separadamente a cada nivel de k

K0 K1 K2 K3

(p1-p0) 175.4 145.9 160.7 150.8

Hay 4 niveles se puede escoger los componentes lineal, cuadrático y cubico.

El componente lineal es:

-3(444.9) –1 (612.9) + 1(684.6) + 3(704.3) = 849.9

-3(602.3) –1 (758.8) + 1(845.3) + 3(855.1) = 790.9

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Análisis de la Varianza

F de v gl sc Cm

P 1 10010.9 10010.9

K 3 15383.2 5127.7

Pk 3 48.2 16.1

total 7 25442.3

Factorial 32

Sea los factores A y B con sus respectivos niveles:

Factor A: a0 a1 a2

Factor B: b0 b1 b2

La combinación de los niveles de los factores será:

a0 a1 a2

b0 b1 b2 b0 b1 b2 b0 b1 b2

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a0 b0 a0 b1 a0b2 a1 b0 a1 b1 a1b2 a2b0 a2 b1 a2b2 } tratamientos

Experimento factorial en diseño en bloques completos con tratamientos

aleatorizados

Modelo estadístico.

Tomando en consideración lo señalado antes, modelo estadístico del diseño,

puede presentarse en la forma que se indica a continuación:

��� = � +,-./ + �� + � + ��� +0��

Dónde:

Yij = Variable respuesta en la j-ésimo bloque del i-ésimo tratamiento

µ = Media general

Bloi = Efecto del bloque k

αi es un efecto del nivel i esimo del factor A

βj es el efecto del nivel j esimo del factor B

(αβ)ij es un efecto debido de la interacion del i esimo nivel del factor A con el j

esimo nivel del factor B

�'1 = Error aleatorio donde �'1 ∼ 3(0, 67

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Fuente de

variación

(F.V.)

Grados de

libertad

(G.L.)

Suma de cuadrados

(S.C.)

Cuadrados

medios

(C.M.)

F calculada

Fcal

F deTablas

(Ftab )

Tratamientos − 1 $8'7

9&

'(%− 8

7

9

). �. ������� �� − 1

�.�������� ���.�. �����

���� ,�"#

Bloques b - 1

$817

:

1(%−8..

7

9

Error (t-1)(b-1)

$$���";

�(

<

�( – $��."

;<

�( −$��"

<;

�( +�..

"

;<

). �. �����( − 1>(9 − 1>

Total

(bt-1) $$81'7

:

1(%

&

'(%−8..

7

9

Notacion original

simplificada

a0b0 0,0

a1b0 1,0

a2b0 2,0

a0b1 0,1

a1b1 1,1

a2b1 2,1

a0b2 0,2

a1b2 1,2

a2b2 2,2

Page 17: Experimentos factoriales

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Se considera un cuadro 3X3 completamente ortogonal

0,0 Aα

0,1 Bβ

0,2 Cγ

1

1,0 Bγ

1,1 Cα

1,2 Aβ

2

2,0 Cβ

2,1 Aγ

2,2 Bα

3

1 2 3 Col/hil

Con base en este esquema se agrupan las combinaciones de tratamientos por

hilera, columna, letras Latinas y letra griega.

Se definen 4 clasificaciones cada una con 3 niveles

GRAFICO DE LA INTERACCION:

La interacción de los factores se representa gráficamente; la tendencia indica el

grado de interacción entre los factores, la cual aumenta a medida que las lineas

tiendan a cruzarse.

En los siguientes gráficos se muestran los casos posibles de interacción en dos

factores: A con 2 niveles y B con 4 niveles. En el eje "X" se registra los niveles de

A y en el eje "Y" los promedios de la interacción de "A" y "B". Los puntos son

unidos por una línea, para cada nivel de "B".

Page 18: Experimentos factoriales

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BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFIA

* Castillo M. E. 2003. Introducción a la estadística experimental. 2da

edición. Universidad Autonoma Chapingo. 277pp.

* Cochran W. G. and G. M. Cox. 1957. Diseños experimentales.2da

edición. Editorial Trillas, México, DF. 662 pp.

* Martínez G. A. 1988 .Diseños experimentales, métodos y elementos

de teoriá. Editorial Trillas 756 pp.

* http://rccp.udea.edu.co/index.php/ojs/article/view/275/272

* http://tarwi.lamolina.edu.pe/~uchr/factoriales.htm * http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/sec2_6.html