Experimentos Virtuales de óptica en Software Libre. Carlos D. Gonzales Lorenzo

5/9/2018 Experimentos Virtuales de óptica en Software Libre. Carlos D. Gonzales Lorenzo - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/experimentos-virtuales-de-optica-en-software-libre-carlos-d-gonzales-lorenzo 1/59



El manejo de las imágenes digitales se ha convertidoen las ultimas décadas en un tema de interés endiferentes aéreas de las ciencias naturales , las

.por ello que se necesita el uso de algoritmosespecializados en el procesamiento de imágenes,como los que tiene el programa Qt-Octave.



El programa Qt-octave además de ser de uso libreposee un conjunto de herramientas y funciones yaintegradas la cual permite realizar análisis y

(trasformada de Fourier) usando la transformadarápida de Fourier “fft” el cual es un algoritmorápido que nos permite de forma eficiente hacer el

cálculo de la transformada discreta de Fourier.



Una imagen puede ser representada de forma analítica como:

Z=f (x,y) (2.1)

=x = coordenada horizontaly = coordenada vertical

A través de la aplicación de transformación de Fourier a la imagen, se obtienela representación de ésta en el dominio frecuencial. Cuando se usa el concepto

de dominio recuencial en el procesado de imágenes, se hace referencia a lavariación de los píxeles de la imagen en función de las coordenadas espaciales.Estas variaciones dan como resultado una relación univoca entre la imagenoriginal y su transformada.



a) DFT unidimensional

Se supone una función continua f(x) , que se discretiza para obtener la sucesiónsiguiente:

La secuencia consta de N muestras separadas , pudiéndose escribir

0 0 0 0( ), ( ), ( 2 ),.... ( [ 1] ) f x f x x f x x f x N x

xpues que donde .

Usando esta última expresión se define la transformada de Fourier discreta y latransformada inversa de Fourier discreta unidimensional como:

0( ) ( ) f x f x x x 0,1,2.... 1 x N

21

0

1( ) ( ) N

j ux N

x

F u f x e N

21

0

( ) ( ) N

j ux N

u

f x F u e



b) DFT bidimensional

La función discreta f(x,y) representa muestras de la funcióndonde e .0 0

( , ) f x x x y y y 0,1, 2, ... 1 x M 0,1,2,... 1 y N

(2.6)

(2.7)

1 1 2 ( )

0 0

1( , ) ( , )

u x v y M N j M N

x y

F u v f x y e N

0,1, 2, ... 1

0,1, 2,.... 1

u M

v N

1 1 2 ( )

0 0

1( , ) ( , )

u x v y M N j

M N

u v f x y F u v e M

0,1, 2, ... 1

0,1,2,.... 1

x M

y N



•La transformada de Fourier es una de las herramientas máspotentes y usadas en problemas de procesamiento de imágenes.

• ,centrará en el estudio de la trasformada discreta de Fourier o máscomúnmente conocida como DFT.

• Al igual que las señales unidimensionales, las imágenes tambiénpueden representarse a través de su transformada de Fourier, sin

más que hacer una extensión de la trasformada unidimensional alcaso bidimensional ya que una imagen puede considerarse como unafunción de dos variables.



•El resultado de la transformación es una imagen compleja, con lo que no se puederepresentar directamente. Para su representación, hay varias opciones: en primer lugarrepresentar parte real e imaginaria por separado, y en segundo lugar representandomodulo y fase también por separado. Esta segunda forma de representación es la máshabitual.•En general las imágenes tienen la mayor parte de la energía (módulo) en lascomponentes frecuenciales bajas, y teniendo en cuenta que el origen de coordenadas sesitúa en la esquina superior izquierda de la imagen, la imagen trasformada tendrá lamayor parte de la información en la esquina citada.•Para facilitar la interpretación visual del módulo de la transformada, se hace unatraslación del origen de las frecuencias hasta el centro geométrico de la imagen.

(2.10)

•Al hacer esto, aparecen las bajas frecuencias en el centro de la imagen, facilitando suvisualización.

( ', ') ,2 2

N N G u v F u v



La variación de la energía cuando hay un desplazamiento desde las bajas a lasaltas frecuencias y viceversa, es muy diferenciada. Esto provoca que elresultado de la representación del módulo sea prácticamente un punto en elcentro de la imagen.Para corregir este efecto, y poder visualizar mejor el módulo, se aplica la

o eración lo aritmo:

(2.11)

donde c es una constante de escala.

( ', ') log[1 ( ', ') ] D u v c G u v



)a

Figura 1. (a)Imagen Original, (b) Módulo de su transformada, (c)Representación Logarítmica

)c)b



Propiedades de la transformada discretade Fourier bidimensional

2.3.1 Separabilidad:

con (2.12)

1 12 2

0 0

1( , ) ( , )

u x v y N N j j N N

x y

F u v e f x y e N

0,1,2, ... 1

0,1,2,.... 1

u M

v N

con (2.13)

1 12 2

0 0

1( , ) ( , )

u x v y M N j j N N

u v

f x y e F u v e N

0,1, 2, ... 1

0,1,2,.... 1

x M

y N



Propiedades de la transformada discreta deFourier bidimensional

2.3.2 Traslación:(2.14)

(2.15)

0 02

0 0, ,

u x v y j

N f x y e F u u v v

0 02

0 0, ( , )

u x v y j

N f x x y y F u v e

Para el caso particular de (desplazamiento del origen defrecuencias al centro geométrico de la imagen) tenemos que:

(2.16)

(2.17)

Esta propiedad de traslación, no modifica el módulo de la transformada.

0 02( ) ( 1)

u x v y j

j x y x y N e e

, 1 ,2 2

x y N N f x y F u v

0 02

N u v




2.3.3 Periodicidad y simetría conjugada:

Cuando f(x,y) es real, la transformada cumple la propiedad de simetríaconjugada

2.19

( , ) ( , )F u v F u v

Si se divide la imagen transformada en 4 cuadrantes (suponiendo queel origen de frecuencias está en el centro de la imagen transformada),y la imagen de entrada es real (generalmente lo será), el tercercuadrante será igual al primer cuadrante rotado 180º, y el cuarto

cuadrante será igual al segundo rotado 180º. Analíticamente:




2.3.8 Convolución y Correlación:

Estas operaciones son de gran importancia cuando se hace tratamiento digital deimágenes en el dominio de la frecuencia.

La convolución bidimensional se puede expresar por:

1 1

, , , , M N

f x y g x y f m n g x m y n

0,1,2,... 1 x M

con

Si se pasa esta expresión al domino de Fourier el producto de convolución pasa aser un producto algebraico, simplificando así su cálculo.

0 0m n , , ,.... y

, , , , f x y g x y F u v G u v

, , , , f x y g x y F u v G u v




La correlación bidimensional discreta se puede expresar por:

(2.34)

donde es el conjugado complejo.

1 1

0 0

, , , , M N

m n

f x y g x y f m n g x m y n

0,1, 2, ... 1

0,1,2,.... 1

x M

y N

Si se pasa esta expresión al domino de Fourier el producto de correlación pasaa ser un producto algebraico, simplificando así su cálculo.

(2.35)

(2.36)

Una de las principales aplicaciones de la correlación es la comparación entreimágenes, es decir, determinar el grado de parecido entre un conjunto deimágenes conocidas y una imagen desconocida.

, , , , f x y g x y F u v G u v

, , , , f x y g x y F u v G u v



2.5. Transformada rápida de Fourier (FFT)

Al hablar de la DFT, ya habíamos comentado que ésta puede calcularsede forma eficiente mediante el uso de algoritmos rápidos como lo esla fast Fourier transform FFT.

Sin un algoritmo eficiente que calcule la DFT, no sería posible usar la

.directa de la expresión de la DFT resultaría tedioso. Cada punto en laimagen transformada (suponemos que es cuadrada) necesita N² multiplicaciones complejas y N²-1 sumas complejas (sin contar el cálculo de las funciones base - senos y cosenos - .

En total, necesitamos multiplicaciones complejas y N²(N²-1)sumas complejas.

4 N



2.5. Transformada rápida de Fourier (FFT)

2.5.1. Algoritmo de la FFT unidimensional y su desarrollo

Para desarrollar la FFT, se parte de la expresión de la DFT unidimensional:

donde (2.37)

El número de muestras N debe ser potencia de dos, es decir tiene que tener la

“ ”

1

0

1( ) ( )

N ux

N

x

F u f x W N

2

j N

N W e

2n N

: .

Por tanto N se puede expresar como N=2M donde M es entero y positivo.Sustituyendo esto en la expresión de la DFT unidimensional queda:

(2.38)

Esta expresión puede desglosarse en pares e impares, según la posición par o impar queocupen las muestras en el array (arreglo) de entrada. Según esto se tiene que:

(2.39)

2 1

2

0

1( ) ( )

2

M ux

M

x

F u f x W M

1 1(2 ) (2 1)

2 2

0 0

1 1( ) (2 ) (2 1)

2 2

M M u x u x

M M

x x

F u f x W f x W M M



Transformada rápida de Fourier (FFT)

Y esta última expresión se puede poner como:

(2.40)

donde

2

1( ) [ ( ) ( ) ]

2

u

par impar M F u F u F u W

1

0

1(2 )

M ux

par M

x

F u f x W M

(2.41)

y usando las propiedades de periodicidad de las exponenciales, que están incluidasen la expresión de la FFT, se tiene que y que, por tanto:

(2.42)

1

0

1(2 1)

M ux

impar M

x

F u f x W M

u M u

M M W W

2 2

u M u

M M W W

2

1( ) [ ( ) ( ) ]

2

u

par impar M F u M F u F u W



Transformada rápida de Fourier (FFT)

La conclusión que se obtiene es que una transformada de N puntos se puede calcular

como división de dos transformadas de N/2 puntos (muestras con posiciones parese impares).

El cálculo de F(u) para u= 0,1,2,…(N/2)-1 se consigue evaluando la ecuación 2.40, mientrasque los puntos restantes se obtienen a través de la ecuación 2.42, pero esta vez sin necesidad devolver a evaluar las transformadas, puesto que éstas ya habían sido evaluadas en el cálculo de laecuación 2.40.

Aplicando este algoritmo de sucesivas divisiones, el número total de operaciones complejascambia desde N² hasta N+2*(N/2)², y luego hasta N+2*[(N/2)+2*(N/4)² ] y así sucesivamente,

dependiendo del número de etapas en las que puede descomponerse la DFT de N puntos.

Si N es grande e igual a , entonces el número de etapas es p, y el número de operacionescomplejas pasa de ser N² a N+N+ ......+N=N*p = N*log 2N.

Para el ejemplo que estamoss iguiendo ( N=8 ), el total de operaciones complejas seráN*p=8*3=24.

2p



3. Conceptos Básicos de las Imágenes Para leer imágenes contenidas en un archivo al ambiente de octave o

matlab se utiliza la función imread , cuya sintaxis es:

>> imread (’nombre del archivo.jpg’)

De tal forma que si se quisiera introducir la imagen contenida en elarchivo data.jpg a una variable para su procesamiento en octave,entonces se tendría que escribir en línea de comandos:

>>image=double(imread(’unigray.jpg’));

Usamos “double” para una doble precisión de la imagen de entrada.

Una vez que la imagen esta contenida en una variable de Octave esposible utilizar las funciones para procesar la imagen. Por ejemplo, unafunción que permite encontrar el tamaño de la imagen es size :

[m, n]=size (unigray);

en donde m y n contendrán los valores de las dimensiones de la imagen.



11 12 1

21 22 2

1 2

( , )

n

n

m m mn

x x x

x x x I x y

x x x

Figura 3.1: Representación de la imagen “unigray”a escala de grises en Octave.



Conceptos Básicos de las Imágenes

En visión computacional es de utilidad para hacer reconocimiento de objetos o bienpara segmentar regiones, extraer los bordes de objetos (que en teoría delimitan sustamaños y regiones). La función “edge” da la posibilidad de obtener los bordes de laimagen.

La función permite encontrar los bordes a partir de dos diferentes algoritmos quepueden ser elegidos, canny y sobel .

>>uniborde = edge(unigray, ‘algoritmo’);

Figura 3.2: Reconocimiento de borde de una imagen usando el algoritmo “sobel”.



Conceptos Básicos de las Imágenes3.4. Filtrado de una señal

En general como filtrado se entiende a la modificación de una señal o de una imagencon el objetivo de realizar, por ejemplo, la extracción de un objeto de una escena, dereconocer un objeto en una escena, de eliminar el ruido, cambiar del contraste, etc.Consideremos el resultado de la operación de convolución de una señal f ( x ) y larespuesta de impulso de un filtro h( x ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x h x f h x d , ,puede expresar esta operación en el dominio de Fourier como

Donde F (u) es la transformada de Fourier de la señal y H (u)=TF {h( x )} es la funcióndel filtro. Nótese, que la función del filtro es una función compleja

Donde A(u) y φ(u) son funciones reales y A(u)>0. En particular los filtros H (u)= A(u)se denominan filtros de amplitud que modifican solamente la amplitud de latransformada de Fourier de la señal.

( ) ( ) ( ) ( ),G u TF g x F u H u

( ) ( ) exp[ ( )] H u A u i u




3.5. Filtros para reconocimiento de un objeto:

Por ejemplo, para realizar el reconocimiento de un objeto conocido f ( x ) en unaescena y su localización se utiliza la función del filtro H (u)= aF * (u) (matched filter, o filtro adaptado).

. . . tros para a e m nac n e ru oLa aplicación de filtros también permite mejorar la calidad de imágenesafectadas por ruido aleatorio. Por ejemplo, si el espectro del ruido seconcentra en un área limitada, donde el espectro de la imagen no contieneinformación importante, es posible eliminar este área o disminuir suintensidad aplicando los filtros correspondientes. El filtro más simple esH (u)= 0 en el área donde el espectro del ruido es máximo y H (u)= 1 en elresto del plano de Fourier.




)a )b

)c )d




)a

)c)b




3.5.2. Filtros para detección de bordesLos bordes se pueden definir como un cambio brusco de intensidad en la imagen, y

corresponden a las frecuencias altas del espectro de Fourier. Por eso todos losmétodos de detección de bordes se basan en el aumento del peso de las frecuenciasaltas del espectro asociado a la imagen. Existen diferentes técnicas para la detecciónde bordes: detección diferencial, "model fitting", y varios filtros de amplitud.




En particular el método diferencial está basado en el cálculo de las derivadas de primer ode segundo orden de la imagen y en la comparación del gradiente del borde con unumbral. El cálculo de las derivadas de primer y segundo orden de la función f (x ) serealiza con las funciones del filtro H (u )= u y H (u )= u 2 respectivamente. Esto se basa en lasiguiente propiedad de la transformada de Fourier

(3.5)

1 ( )[ ( ) ]( ) ( )

nn n

n

d f xTF F u u x i

Figura 3.7. a) Imagen original. b) Imagen filtrada con H(u)=u2.




3.5.3. Filtros de suavizamiento

A veces es necesario suavizar el contraste de la imagen. Los filtros diseñados paraesta tarea aumentan el peso de frecuencias bajas en el espectro de la imagen. Porejemplo, el filtro H (u)=exp(-au2) (Gaussiana) suaviza la imagen, tal y comopodemos observar en la figura siguiente.

Figura 3.8. a) Imagen original. b) Imagen filtrada



4. Imágenes obtenidas en Qt-Octave: Uso de los

comandos “fft” , “ifft” y “fftshift” Las funciones básicas de OCTAVE para realizar este cálculo son “ fft” e “ ifft”,

que emplean el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y queadmiten como argumento un vector con los valores discretos de lascorrespondientes funciones. El listado completo del fichero de entrada seincluye en el programa 2.

En OCTAVE, este centrado se consigue especificando rango adecuado defrecuencias mediante el comando “ tshi t” como muestra el fichero deentrada con el que se han calculado las figuras 4.2 a) y b) y que se incluye enel programa 1.

Se realiza la TDF de una señal senoidal de f = 10 Hz de T0 = 1 s deduración muestreada con N = 200 mediante el programa OCTAVE. Lafigura 4.3 muestra la función original, las partes real e imaginaria de

la TDF, y la señal que se recupera mediante la Transformada InversaDiscreta de Fourier (TIDF) de la anterior



Imágenes obtenidas en Qt-Octave

Programa 1: Fichero de OCTAVE para la representación estándar y centrada.

#TDF de una funcion senoidal de f=10 Hz durante 1 s con N=200 muestras # Representacion estandar y centrada. T=1; # Periodo de tiempo total muestreado N=200; # Numero de muestras freq=10; # Frecuencia de la entrada en Hz W=2*pi*freq; # frecuencia de la señal (en rad/s) t=T*[0:N-1]/N; # Escala de tiempo f=(2*pi/T)*[0:N-1]; # Escala en frecuencia x1=sin(W*t); y1=fft(x1); # T. de Fourier f1=(2*pi/T)*[-N/2:N/2-1]; # Escala en frecuencia y1s=fft(x1); # T. de Fourier y1s=fftshift(y1s); #gset term post landscape #gset output "salida1b.ps" plot(f,abs(y1)) title('Transformada estándar'); plot(f1,abs(y1s)) title('Transformada centrada');




a) b)




Programa 2. Fichero de OCTAVE para la TDF de una señal senoidal de f =10Hz.

# TDFde una función sinodal de f=10 Hz durante 1 s con200 muestras clear; hold off; T=1; # Periodo de tiempototal muestreado N=200; # Numerode muestras freq=10; #Frecuencia de la entrada en Hz W=2*pi*freq; # frecuencia de la señal (en rad/s) t=T*[0:N-1]/N; # Escala de tiempo

f=(2*pi/T)*[0:N-1]; # Escala en frecuencia x1=sin(W*t);

y = t x ; . e our er y2=ifft(y1); # T. Inversa de Fourier

#gsetterm post portrait #gset output "salida1.ps" subplot(4,1,1); clearplot; plot(t,x1,';funcion original;');

subplot(4,1,2); clearplot; plot(f,real(y1),';TDFparte real;');

subplot(4,1,3); clearplot; plot(f,imag(y1),';TDFparte imaginaria;'); subplot(4,1,4); clearplot; plot(t,y2,';funcion recuperada;'); pause;




)a )b

)d )c




Programa 3. Transformada de Fourier y su transformada inversa de una

imagen bidimensional. clear all

close all

a=(imread('unigray.jpg')); # entrada de la imagen “unigray” en escala de grices y

# en formato “jpg”

figure (1);

imshow(a); #muetra la imagen de entrada “unigray”

F = fft2(a);

figure (2); imshow(F,[ ]); # muestra el modulo de la transformada bidimensional de Fourier #de la

imagen “unigray”: espectro de Fourier

M= fftshift((abs(F)));

figure (3);

imshow(M,[ ]); # muestra el espectro de Fourier centrado en el centro de la #imagen

T = fftshift(log(abs(F)+1));

figure (4); imshow(T,[ ]); # muestra el espectro de Fourier amplificado

IF = ifft2(F);

figure (5);

imshow(IF,[ ]); # muestra la imagen original recuperada




)a )c)b

)e)d



Imágenes obtenidas en Qt-Octave Programa 4. Programa de detección de objetos: En este caso se muestra una imagen con cuatro

objetos distintos (figura 4.5 a) y otra imagen con uno de los objetos anteriores en el centro (figura 4.5 b)y la correlación cruzada entre las figuras 4.5 a y 4.5 b (figura 4.5 c)

clear all close all N=502; f=zeros(N,N); g=zeros(N,N); h=zeros(N,N); hh=zeros(N,N); f = double(imread('fig.jpg')); #entrada de la figura 4.5 a h = double(imread('fig1.jpg')); # entrada de la figura 4.5 b for i = 1:N # proceso para llevar las fi uras 4.5 a) y b) a una matriz cuadrada NxN for j = 1:N ff(i,j)=f(i,j); hh(i,j)=h(i,j); endfor endfor F=fft2(ff); # Transformada de Fourier de la figura 4.5 a. H=fft2(hh); # Transformada de Fourier de la figura 4.5 b. figure(1); imshow(ff,[ ]); # muestra la figura 4.5 a figure(2); imshow(hh,[ ]); #muestra la figura 4.5 b FC=conj(F); #conjugada de F G=FC.*H; # Transformada de Fourier de la función de correlación G. g=ifft2(G); # transformada inversa de G: función de correlación g. figure(3); imshow(abs(g),[ ]); # muestra la correlación cruzada entre las figuras 4.5 a) y b).




)b)a

)c



Imágenes obtenidas en Qt-Octave Programa 5. Programa de detección de objetos: En este caso se muestra una

imagen con letras de A hasta la L en filas y en 2 columnas (figura 4.6 a) y otraimagen con una letra A (figura 4.6 b) y la correlación cruzada entre las figuras 4.5 ay 4.5 b (figura 4.5 c)

hh=zeros(N,N); f = double(imread('texto.jpg')); #entrada de la figura 4.6 a h = double(imread('textoA.jpg')); # Transformada de Fourier de la figura 4.6 b. for i = 1:N # proceso para llevar las figuras 4.6 a) y b) a una matriz cuadrada NxN for j = 1:N ff(i,j)=f(i,j);

, = , ; endfor endfor F=fft2(ff); # Transformada de Fourier de la figura 4.6 a. H=fft2(hh); # Transformada de Fourier de la figura 4.6 b. figure(1); imshow(ff,[ ]); # muestra la figura 4.6 a figure(2);

imshow(hh,[ ]); #muestra la figura 4.5 b HC=conj(H); #conjugada de H G=F.*HC; # Transformada de Fourier de la función de correlación: G. g=ifft2(G); # transformada inversa de G: función de correlación “g”. figure(3); imshow(abs(g),[ ]); # muestra la correlación cruzada entre las figuras 4.6 a) y b).




)b

)a



Imágenes obtenidas en Qt-Octave Programa 6. Programa de detección de bordes: En este caso se halla los bordes de la figura ya

usada “unigray” pero esta vez partiendo de la igualdad de la ecuación (3.5) y con una función defiltro H(x,y)=X2+Y2 .

clear all close all N=339; # tamaño de la imagen “unigray”: numero de filas. M=613; # tamaño de la imagen “unigray·: numero de columnas. f=zeros(N,M); g=zeros(N,M); h=zeros(N,M); hh=zeros(N,M); f = double(imread('unigray.jpg')); #entrada de la figura “unigray.jpg”. for i = 1:N

or = 1: ff(i,j)=f(i,j); hh(i,j)=h(i,j); endfor endfor F=fft2(ff); for i = 1:N for j = 1:M H(i,j)=(i. 2̂+j.^2); # función de filtro. B(i,j)=F(i,j)*H(i,j); #F por la función de filtro. endfor endfor IB=(ifft2(B)); #transformada inversa de B figure(1); imshow((abs(IB)),[ ]); # muestra la imagen de salida mostrando sus bordes.



5. Fenómenos Ópticos

La mayoría de los sistemas ópticos para procesado de la información, están

basados en el fenómeno de la difracción. Normalmente se entiende por difracción laperturbación que experimentan las ondas cuando se propagan. Consideremos ladifracción de una onda luminosa coherente y monocromática por una diapositivafotográfica plana que se encuentra en una pantalla opaca , tal y como se muestraen la siguiente figura:

Figura 5.1: Geometría de la difracción.



5. Fenómenos Ópticos La diapositiva plana está en un sistema de coordenadas rectangulares ( x 0 ,y 0),

mientras que el plano de observación, que también está en un sistema de

coordenadas rectangulares ( x,y ), es paralelo al plano de la diapositiva (planoobjeto) a una distancia z .

La presencia del objeto en el plano ( x 0, y 0) cambia la amplitud compleja de laluz que ilumina la pantalla, ψ0( x 0, y 0). Para conocer la distribución de amplituden el plano justo detrás de la diapositiva ψe ( x 0, y 0) tenemos que saber lafunción de transferencia T( x 0, y 0) del objeto, que en general es una funcióncompleja.

Para calcular la amplitud compleja en el plano de observación (salida) ψs(x,y ) serequiere resolver la ecuación de Helmholtz:

con condiciones iníciales Ψ(x 0,y 0,0) = Ψe (x 0,y 0), donde k =2p/λ y λ es la longitud deonda. Esta ecuación describe la propagación de ondas monocromáticas en elespacio libre en un medio que es lineal, isótropo, homogéneo y no dispersivo(aproximación escalar de la teoría de difracción).

0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )e x y x y T x y

2 2( , , ) ( , , ) 0 x y z k x y z



Fenómenos Ópticos

Para resolver esta ecuación hacemos la transformada de Fourier

bidimensional de la amplitud Y(x,y,z ) con respecto de x, y en un plano z

Haciendo la transformada de Fourier inversa re resentamos la am litudcomo una superposición de ondas planas

Introduciendo esta representación en la ecuación de Helmoltz se obtiene

cuya solución es



Fenómenos Ópticos

5.1.1 Difracción de Fresnel Si el espectro angular de la amplitud compleja Ψe( x 0, y 0) es casi nulo para |k x |,

|k y |>|k c| (donde k c =2π/amin y amin es el límite de resolución de la amplitudcompleja en el plano objeto z =0) y k c<< k, entonces k z =(k 2-k x

2-k y 2)1/2 se puede

expresar como un desarrollo binomial teniendo en cuenta los términos hasta elsegundo orden

que permite simplificar la expresión de la evolución del espectro durante lapropagación de la luz en el espacio libre hasta el plano z

La exponencial exp (ikz ) representa un retardo de fase experimentado por cada una delas componentes del espectro y por tanto no tiene mayor interés. La segundaexponencial indica que en la propagación hay una dispersión con dependenciacuadrática en la fase que para distancias pequeñas afecta más a las frecuencias altas



Fenómenos Ópticos La integral de Fresnel es la siguiente

donde se puede ver que excepto por los factores multiplicativos deamplitud y de fase, Ψs ( x,y ) es la transformada de Fourier de

ψe ( x 0, y 0)exp(ik ( x 02+ y 0

2)/2 z ).



Fenómenos Ópticos 5.1.2 Difracción de Fraunhofer

Si la distancia z >> k (x 02+ y 02)max /2=k·a 2max /2, donde x0max , y 0max son los tamañoshorizontales y verticales del objeto difractado, respectivamente, el factor de fasecuadrática exp(ik (x 02+y 02)/2z ) que aparece en la integral anterior se haceprácticamente igual a la unidad, por lo que la expresión de la amplitud compleja sesimplifica dando lugar a la conocida aproximación de Fraunhofer o de campo lejano

Para estas distancias Ψs (x,y ) es proporcional a la transformada de fourier de Ψe en(x 0,y 0) representada en los términos de frecuencias espaciales (kx/z, ky/z ), e

incluyendo los factores multiplicativos de amplitud y de fase cuadrática. En particular,se obtiene en intensidad una respuesta proporcional al módulo cuadrado de latransformada de Fourier de Ψe (x 0,y 0)



Fenómenos Ópticos

La observación de la transformada de Fourier óptica en el espacio libre no es muy útil. Primero,porque la distancia z donde se observe puede ser grande. Por ejemplo para un objeto de tamaño 1mm y longitud de onda λ =632.8nm (color rojo), la distancia z tiene que ser del orden de 5m. Ysegundo, porque el factor de escala de la transformada de Fourier óptica depende de z, y para zgrande el espectro se ensancha enormemente.

Para realizar la observación de la transformada de Fourier óptica se utilizan normalmente lossistemas ópticos con lentes delgadas, que pertenecen a la familia de los sistema óptico de primerorden.

Figura 5.2: Representación esquemática de regiones de difracción que definen distintos regímenes.



Fenómenos Ópticos Programa 7. Programa Fraunhofer: En este caso se simula la difracción de Fraunhofer usando

Las transformadas de Fourier. Se muestra los espectros de difracción de Fraunhofer para varios

tipos de rendijas(figuras 5.3-5.7)

clear all close all A = double(imread('rendija.jpg')); #entrada del tipo de rendija

N=195; # tamano en pixels de la imagen: filas

M=195; # tamano en pixels de la imagen: columnas

for i = 1:N for j = 1:N

AA(i,j)=A(i,j); endfor endfor #N = sz(1); #M = sz(2); lambda = 600e-9; f = 16.5e-3;

W = 4e-3;

frh = (fftshift(fft2(AA))).^2;

FR= log(abs((frh))+1);

#X = linspace(-(lambda*f*N)./(2*W),(lambda*f*N)./(2*W), N); #Y = linspace(-(lambda*f*M)./(2*W),(lambda*f*M)./(2*W), M); #plot(X,Y,I); imshow(FR,[ ]);



Fenómenos Ópticos

Figura 5.3: Difraccion de Fraunhofer para una rendija rectangular vertical.

Figura 5.4: Difraccion de Fraunhofer para una rendija cuadrada.



Fenómenos Ópticos



Programa 8. Programa Fresnel: En este caso se simulala difracción de fresnel usando Lastransformadas de Fourier. Semuestra losespectrosde difracción de fresnel para variostiposde rendijas (figuras 5.7-5.9)

clearall close all

#Parameters N=512; L=0.001; dx=2*L/N; [x y]=meshgrid(-L:dx:L-dx,-L:dx:L-dx);#plane1 x0=0;

y0=0; z0=0; [X Y]=meshgrid(-L:dx:L-dx,-L:dx:L-dx); # plane2 for fresnel prop

lambda=532*10^(-9); k=2*pi/lambda; #sigma=j*k/(2*z); z=0.1

z2=0.2; %r=sqrt((x-x0).^2+(y-y0).^2+(z-z0)^2); psi1=zeros(N); psi1(1:512,256:512)=exp(j*k*z);#sigma ignored since its too large

F1=psi1.*exp(j*k*(x.^2+y.^2)/(2*(z2-z))); FFT1=fftshift(fft2(F1)); F2=exp(j*k*(z2-z))*exp(j*k*(X.^2+Y.^2)/(2*(z2-z)))/(j*lambda*(z2-z));

U=FFT1; figure(1) I=psi1.*conj(psi1); imagesc(I); axissquare;

colormap(gray); figure(2) I=U.*conj(U);

imagesc(log(abs(I))+1); axissquare; colormap(gray);



Figura 5.8: Difracción de Fresnel para una rendija tipo borde. a) Rendija tipo borde,b) espectro de difracción de Fresnel.

)b)a

)a)b



Fenómenos Ópticos

)a )c)b



Conclusiones Basándose en las operaciones de transformación de Fourier. se puede realizar el

filtrado óptico que es un procedimiento básico para el procesado de la información. Engeneral la mayoría de las tareas del procesado tales como detección y reconocimientode imágenes, tratamiento de la calidad de la imagen, reducción de ruido, detección debordes etc., están relacionados con el proceso de filtrado.

La FFT es una herramienta de análisis muy potente y manejable. Constituye uno de losmayores desarrollos en la tecnología del tratamiento de imágenes. En laimplementación de su algoritmo, las entradas y las salidas están relacionadas medianteuna simple inversión de bits.

va uar rec amen e a mens ona e una magen x supone e ec uaroperaciones complejas, mientras que con la FFT, se necesitan únicamente N 2Alog2N .

Se ha usado el programa Qt-Octave para realizar cálculos de óptica Fourier. Esteprograma a la vez que es de uso libre posee un simple lenguaje de programación, lo cualle permite a los permite realizar cálculos numéricos precisos sin necesitar atrasarse pordificultades en las cosas específicas de los cálculos numéricos.

Hemos mostrado cómo simular en un ordenador personal, la imagen completa de

difracción Fresnel y de Fraunhofer para varios tipos de rendijas: como cuadrada,rectangular y circular.

Este tipo de simulaciones pueden suplementar un experimento de difracción auténticohecho en el laboratorio y de poder discutir resultados obtenidos en ambos casos.



Bibliografía:

[1] María Luisa Calvo Padilla, Tatiana alieva, Jose A. Rodrigo, Daniel Rodriguez Merlo,Timour Alieva; “Laboratorio Virtual de ptica ”, Departamento de ptica, Facultad deCiencias Físicas, Universidad Complutense de Madrid.

[2] Eugene Hecht, “Optica”, Tercera Edicion, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid 2000.

[3] E. Valdemar Cuevas Jiménez, Daniel Zaldivar Navarro, “Visión por Computador utilizando MatLAB Y el Toolbox de Procesamiento Digital de Imágenes”

[4] Juan José García Rojo; Herramientas en GNU/Linux para estudiantes universitarios:Gnu/Octave: cálculo numérico por ordenador

[5] K.M. Abedin, M.R. Islam, A.F.M.Y. Haider, Computer simulation of Fresnel diffraction fromrectangular apertures and obstacles using the Fresnel integrals approach.

[6] S. M. Schultz, “Using MATLAB to help teach Fourier optics”, Deparment of Electrical and

Computer Engineering, Brigham Young University, Provo, UT USA.

[7] http://campusvirtual.uma.es/tdi/alumnos/tdi22/index.html

[8] http://www.physicsforums.com/difractionfresnel



!Gracias Totales!

Universidad Nacional de

Ingeniería UNI

Experimentos Virtuales de óptica en Software Libre. Carlos D. Gonzales Lorenzo

Documents

Transcript of Experimentos Virtuales de óptica en Software Libre. Carlos D. Gonzales Lorenzo