Exploraci on de Patrones Aritm eticos en los Grados Noveno ...

Exploracion de Patrones Aritmeticos en losGrados Noveno y Octavo de la Basica

Secundaria

Ivan Orlando Valencia Torres

29 de noviembre de 2012

EXPLORACION DE PATRONES ARITMETICOS EN LOSGRADOS NOVENO Y OCTAVO DE LA BASICA

SECUNDARIA


Trabajo de Tesis presentado a la Facultad de Ciencias de la UniversidadNacional de Colombia como requisito parcial para optar al tıtulo de

MAGISTER EN ENSENANZA DE CIENCIAS EXACTAS YNATURALES.

Director

Profesor Dr. Agustın Moreno Canadas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestrıa en Ensenanza de las Ciencias Exactas y

Naturales

Bogota

2

EXPLORACION DE PATRONES ARITMETICOS EN LOSGRADOS NOVENO Y OCTAVO DE LA BASICA

SECUNDARIA


Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestrıa en Ensenanza de las Ciencias Exactas y

Naturales

Bogota

3

Vo.Bo. Dr. AGUSTIN MORENO CANADAS.

Director Trabajo Final.

El esfuerzo que me condujo a la realizacion deeste trabajo, se lo dedico a mi esposa Heimy, aquien amo profundamente, mi hijo Joshua, queamo incluso antes de nacer y a Juan Felipe, quea pesar de no estar cerca de mi, hace parte demi existencia.

Dios puede que no juega a los dados con eluniverso, pero algo extrano esta pasando conlos numeros primos...

Paul Erdos

Indice general

Agradecimientos 12

Resumen 13

Abstract 14

INTRODUCCION 15

1. Regularidades, Patrones y Generalizaciones 18

1.1. Regularidades y Patrones en el calendario Maya . . . . . . . . 19

1.2. El trabajo de los Babilonios por encontrar regularidades . . . 20

1.3. La busqueda de Regularidades en la Grecia Antigua . . . . . . 21

1.4. La Generalizacion en el Renacimiento . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. Numeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Visualizacion de Patrones en la Teorıa de Numeros 27

2.1. Representaciones numericas a traves de imagenes. . . . . . . . 28

2.2. Visualizacion, numeros y geometrıa. . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. El Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1. Generando el Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2. El Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4. Formas Cuadraticas Universales y Numeros Poligonales . . . . 46

2.4.1. Formas Cuadraticas Universales . . . . . . . . . . . . . 50

3. Exploracion de Patrones Aritmeticos en la Teorıa de Nume-ros 52

3.1. Patrones en los Numeros Poligonales. . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.1. El Teorema del numero poligonal de Fermat . . . . . . 53

7

3.1.2. Numeros Pentagonales y Conjetura de Ramanuja para5n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Numeros de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.1. La Refutacion de Euler a los Numeros Primos de Fermat. 573.2.2. Determinacion de numeros de Fermat. . . . . . . . . . 623.2.3. Numeros de Fermat en la actualidad. . . . . . . . . . . 633.2.4. Polıgonos regulares y numeros primos de Fermat . . . 653.2.5. Numeros primos de Fermat y el triangulo de Heron . . 693.2.6. Numeros primos de Fermat y simetrıa rotacional . . . 75

3.3. Ternas Pitagoricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.1. Prueba de la existencia de Infinitas Ternas Pitagoricas. 83

3.4. El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.1. Utilizacion del metodo del descenso infinito para una

particularizacion de la ecuacion zn = xn + yn. . . . . . 843.4.2. Prueba de la no solucion de la ecuacion zn = xn + yn

para n un multiplo de 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3. El intento de Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . 863.4.4. Generalidades de la Demostracion de Andrew Wiles . . 87

3.5. El Calendario Maya Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6. Paul Erdos y el Teorema de los Numeros Primos . . . . . . . . 93

4. Patrones y ensenanza de las Matematicas 954.1. Acerca de los Patrones Segun los Lineamientos Curriculares . 964.2. El Razonamiento Proceso General en el Aprendizaje de las

Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.1. El Razonamiento a traves de Regularidades, Patrones

y Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3. El Valor de la Simbolizacion Matematica . . . . . . . . . . . . 99

4.3.1. Registros de Representacion . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.2. Ensenanza y Registros de Representacion . . . . . . . . 1004.3.3. Patrones y Registros de Representacion en los Grados

Octavo y Noveno de la Basica Secundaria . . . . . . . . 1004.3.4. Situaciones Didacticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5. Unidad Didactica 1035.1. Busqueda y Consecucion de Patrones

Aritmeticos en los grados Octavo y Noveno: Estudio de algu-nas tematicas de la Teorıa de Numeros. . . . . . . . . . . . . . 103

8

5.1.1. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.2. Actividad Diagnostica. Regularidades y Patrones en el

Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.3. Actividad 1. Regularidades y Patrones en los Numeros

de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.1.4. Actividad 2. Regularidades y Patrones en Ternas Pi-

tagoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.1.5. Actividad 3: Numeros Poligonales. . . . . . . . . . . . 127

BIBLIOGRAFIA 136

9

Indice de figuras

1.1. Calendario Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2. Serpiente cascabel-Canamayte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Grabado del periodo Seleucida (siglo II a.C.) . . . . . . . . . . 211.4. Tablilla Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5. Hueso de Ishango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6. Paul Erdos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Prueba de A =∑∞

i=1 (12)2n = 1

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Numero π y su aproximacion 227

. . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Expansion binaria de el numero racional 1

65537. . . . . . . . . 32

2.4. Primeros 1600 valores de la fraccion continua del numero π ydel numero e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6. Triangulo de Pascal y Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . 35

3.1. Fragmento del diario de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Polıgono Regular de 3 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3. Polıgono Regular de 4 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4. Polıgono Regular de 5 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5. Polıgono Regular de 6 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6. Polıgono regular de 17 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.7. Triangulos de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8. Circunferencia inscrita en un triangulo . . . . . . . . . . . . . 713.9. Razonamiento Formula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10. Representacion grafica de 1

7, para la base 10. . . . . . . . . . . 76

3.11. Representacion grafica de 17, para la base 11. . . . . . . . . . . 77

3.12. Representacion grafica de la terna pitagorica 3, 4, 5 . . . . . . 783.13. Portada del Libro Arithmetica de Diofanto de Alejandrıa. . . . 883.14. Pagina que contiene la nota de Fermat. . . . . . . . . . . . . . 89

10

3.15. Meses del Calendario Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.16. Cuenta dıas del Calendario Tzolkin . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1. Terrenos tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2. Terrenos tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3. Terrenos tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4. Terrenos tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5. Terrenos tipo C, con la medida del rıo . . . . . . . . . . . . . 1225.6. a, b son las medidas de los lados del rectangulo y c la medida

del rıo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

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Agradecimientos

Dr. Agustın Moreno Canadas quien gracias a su gran apoyo y motivacion,permitio que realizara analisis muy productivos de la consecucion de patronesque a lo largo de la historia han permitido a matematicos sobresalientes cons-truir teorıas; permitiendo ası afianzar mis conocimientos de algunas tematicasde la teorıa de numeros y la culminacion de este trabajo.

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Resumen

Este trabajo presenta el estudio de regularidades, la consecucion de patronesy la generalizacion de resultados como recurso pedagogico y didactico parala ensenanza de las matematicas. El estudio inicia con el seguimiento a nivelhistorico sobre el tema, seguido por el estudio de regularidades y patronesque se encuentran visualmente en estructuras de la teorıa de numeros, deacuerdo al trabajo de Borwein y Jorgenson, para despues realizar un analisisde patrones enmarcado en el estudio de un problema de tipo combinatorio,que genera el triangulo de Pascal, encontrando en este arreglo numerico unarelacion directa con los numeros poligonales de acuerdo al trabajo de A. M.Canadas. Lo anterior responde a la necesidad de dar un aporte riguroso altrabajo propuesto por Canadas, en el que se deduce el Triangulo de Pascal apartir de algunas trayectorias reticulares convenientes, con ayuda de las cua-les tambien es posible deducir el Teorema del Binomio. Como un pequenoaporte del autor, se hace una conexion entre patrones aritmeticos que gene-ran numeros poligonales y formas cuadraticas universales.

El capıtulo 3 se centra en la consecucion de patrones en algunas tematicaspropias de la teorıa de numeros, como los numeros de Fermat, las ternasPitagoricas, el ultimo Teorema de Fermat, el Teorema Chino de los residuos(aplicado al conocimiento de las fechas del calendario Maya Tzolkin) y losnumeros primos. La revision de las tematicas de la teorıa de numeros seenmarca en la busqueda y analisis de las tecnicas y procesos utilizados pormatematicos prominentes para lograr generalizaciones.

Por otro lado, se realiza un analisis a nivel pedagogico y didactico, que secentra en los lineamientos curriculares en matematicas de Colombia, el forta-lecimiento del razonamiento inductivo y deductivo a traves de la observacionde registros semioticos de representacion y el estudio de situaciones didacti-cas, para concluir con una propuesta de actividades con el fin de reforzar enestudiantes del grado octavo y noveno de la basica secundaria el desarrollodel pensamiento numerico y variacional.

Palabras Clave: Patrones, Regularidades, Generalizacion, Visualizacion,Teorıa de Numeros, Ensenanza, Aprendizaje, Pedagogıa, Didactica.

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Abstract

This work presents the study of regularities, the achievements of patternsand the mainstreaming as a pedagogic and didactical resource for math tea-ching.

Keywords: Patterns, regularities, Generalization, Visualisation, Number Theory,Teaching, Learning, Pedagogy, Didactics.

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Introduccion

En educacion matematica, el estudio de como se desarrolla el pensamientopor medio de la consecucion de patrones, adquiere un valor importante debi-do al paso de un estudio informal de variacion en los primeros anos escolares,a un estudio mas formal en la educacion basica y media. La importancia dela consecucion de patrones esta determinada por su constante aparicion enla naturaleza y en la vida cotidiana ya que como lo manifiesta Bressan yGallego [7], el proceso de hacer matematica va mas alla que calcular o dedu-cir, implica la observacion de patrones, la comprobacion de conjeturas y laestimacion de resultados.

Encontrar regularidades, implica la consecucion de patrones y esto constituyeuna herramienta fundamental, no solo en el desarrollo de las matematicas,sino tambien tiene una implicacion transversal en otras areas. De hecho labusqueda de regularidades, la consecucion de patrones y la generalizacionde estos, es imprescindible para la construccion de otras ciencias. Podrıa de-cirse entonces, que cualquier regularidad puede ser modelada en terminosmatematicos [7], y existen varios ejemplos que pueden dar cuenta de comola naturaleza brinda herramientas para que haciendo uso de las matematicasse puedan crear generalizaciones.

La consecucion de patrones, hace parte de una habilidad innata en los sereshumanos para encontrar regularidades, al respecto Hviding [29], manifiestaque si bien los seres humanos son capaces de reconocer muchos patrones di-ferentes en la estructura de la naturaleza en general . . .. hay un patron unicoque se destaca de todos los demas. Algunos biologos sistematicos han hechoreferencia a ese patron como el sistema natural . . .. La capacidad de los sereshumanos de reconocer patrones es probablemente innata.

Esta habilidad conlleva una busqueda de representaciones simbolicas queplasmen estos patrones y la generalizacion de los mismos. Portan y Costa[21], se refieren a esta habilidad de la siguiente forma: La ciencia se constru-ye sobre la busqueda de regularidades; desde este punto de vista, el trabajo

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de los alumnos en la deteccion de las mismas, el descubrimiento de sus leyesde formacion, su reconstruccion con base en una ley dada, cumple un papelfundamental para el desarrollo de su conocimiento cientıfico.

El objetivo de este trabajo es determinar algunos de los patrones aritmeticossubyacentes en las matematicas a nivel escolar y analizar historicamente comoesta busqueda de patrones ha estado inmersa dentro de la construccion con-ceptual de la teorıa de numeros, la creacion de conjeturas y la generalizacionde resultados. Por consiguiente se ha tomado como referente el trabajo de al-gunos matematios destacados como Pierre de Fermat y Paul Erdos ya que envida y despues de su muerte, dejaron una cantidad considerable de problemasabiertos, que revelaban su preocupacion por buscar patrones aritmeticos ydescubrir generalizaciones. No solamente la preocupacion de estos matemati-cos por buscar estas regularidades hace parte de este trabajo, sino ademasla motivacion de matematicos que a traves de los anos, inspirados por la la-bor de Fermat, detectaron nuevos patrones que generaron nuevas conjeturasy demostraciones, fortaleciendo todos los descubrimientos enmarcados en lateorıa de numeros.

La revision historica en la que se enmarca este trabajo, tiene como finalidaddestacar algunos trabajos que concluyeron con la consecucion de patronesaritmeticos y hacer un recorrido en busca de construcciones matematicasque determinaron regularidades y patrones, para observar como se han idoformando ciertos conceptos hasta nuestros dıas, situacion importante porquees posible darse una idea de las dificultades y obstaculos a los que a diariose enfrentan los estudiantes. Ademas de acuerdo con Azcarate y Deulofeu[3], el conocimiento de este desarrollo historico permitira que los estudiantesadquieran una vision mucho mas amplia que la obtenida a traves del estudiode teorıa modernas o de las ultimas definiciones, las cuales han sido posiblesdespues de un largo camino y cuya simple reproduccion en niveles inferioressuele conducir a graves errores epistemologicos y didacticos.

Seguido de la revision historica y disciplinar de algunos patrones trabaja-dos por Fermat y algunos de sus sucesores, el trabajo presenta el diseno deactividades que potencian la consecucion de patrones, que van en busca de

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replicar condiciones, que hicieron surgir en varios matematicos el interes porgeneralizar regularidades.

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Capıtulo 1

Regularidades, Patrones yGeneralizaciones

La cotidianidad pone de manifiesto una cantidad infinita de regularidades,especıficamente encontramos patrones en la naturaleza, el arte, la literatura,etc. De acuerdo con Doczi [22], la disciplina intrınseca en las proporciones yen los patrones de formacion de los fenomenos naturales se manifiesta tam-bien en la mayorıa de las obras humanas clasicas y armoniosas, y evidenciael vınculo existente entre las cosas. Los lımites de la disciplina nos permitenvislumbrar la armonıa del cosmos y tomar parte en ella, tanto en lo que serefiere al mundo fısico como a nuestro modo de vivir.

¿Pero como definimos patron?, segun Portan y Costa [21], un caso especialde regularidad la constituye un patron. Un patron es una sucesion de sig-nos (orales, gestuales, graficos, de comportamiento, etc.) que se construyensiguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repeticion o de recurrencia. ParaCastro, [18] la idea basica implicada en esta nocion es que toda situacionrepetida con regularidad da lugar a un patron.

Los patrones de repeticion, estan determinados porque los diferentes elemen-tos se presentan en forma periodica, como por ejemplo la repeticion de notasde una cancion, (do,re,mi,do,re,mi,do,re,mi,...). Por otro lado los patrones derecurrencia tienen un nucleo que cambia con regularidad, cada uno de losterminos de la sucesion pueden ser expresados en terminos de los anteriores

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de cuyo analisis se puede inferir la ley, como por ejemplo: (un salto adelante,un salto atras, dos saltos adelante, dos saltos atras, tres saltos adelante, tressaltos atras,...).

La consecucion de patrones ha sido una tarea en la que la humanidad haestado inmersa a traves del tiempo, la busqueda de regularidades, los patronesy su generalizacion hace parte de la construccion, que ha desarrollado unmedio para comunicarse y para entender mejor el mundo que nos rodea,desde los egipcios y los babilonios, hasta la sociedad contemporanea ha estadocomprometida con su busqueda y aun en el presente, la habilidad del serhumano para encontrar regularidades hace parte de la cotidianidad y deldesarrollo de las matematicas.

1.1. Regularidades y Patrones en el calenda-

rio Maya

Al igual que otras culturas, los Mayas desarrollaron un sistema de nume-racion en base 20 que obedece a un patron determinado por sımbolos. Lahabilidad de los Mayas por determinar regularidades los condujeron a calcu-lar la medida del ano solar con un grado de exactitud que supero el calendarioGregoriano Europeo, sin embargo, este modelo usando el ano solar, no fueempleado, por lo cual construyeron un calendario sagrado y ritual. Este esel calendario Tzolkin que se muestra en la figura 1.1, que esta determinadopor 20 meses cada uno de 13 dıas, por lo cual de acuerdo a este calendario,un ano tiene 260 dıas.

Figura 1.1: Calendario Tzolkin

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Los patrones geometricos fueron una fuente de preocupacion de los Mayasa nivel sagrado, divino y matematico. Para los Mayas la vıbora de cascabelguardaba secretos de la vida y la regeneracion y plantearon que en su piel seencontraba un patron geometrico llamado Canamayte (Ver figura 1.2). Estepatron geometrico esta formado por 13 escamas por lado, separadas por unacruz en dos secciones de 6 cada una, con una al centro. En los cuatro costadosse pueden ver 13 escamas, mientras que en el centro se observan 25 escamas.Los numeros 13 y 20 son la base del calendario Tzolkin, en el capıtulo 2 serealiza un tratamiento matematico de este y su relacion con la aritmeticamodular.

Figura 1.2: Serpiente cascabel-Canamayte

1.2. El trabajo de los Babilonios por encon-

trar regularidades

La busqueda de patrones y su consecucion esta inmersa en toda actividadmatematica, es aquı donde esta habilidad de los seres humanos permite in-cluso hallar relaciones entre diferentes tipos de magnitudes. A traves de lahistoria es posible observar la preocupacion por civilizaciones antiguas, comopor ejemplo en Babilonia, pues se han encontrado manuscritos que tratansobre temas aritmeticos, mostrando ingeniosos metodos de calculo e incur-sionando incluso, en el terreno del algebra; pero fueron probablemente losconocimientos en astronomıa los que condujeron a los babilonios a realizarobservaciones sistematicas de diversos fenomenos que se repetıan periodica-mente, tratando de enlazarlos a traves de relaciones aritmeticas. [3]

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Figura 1.3: Grabado del periodo Seleucida (siglo II a.C.)

Especıficamente en las tablillas del perıodo Seleucida (Ver figura 1.3), sepueden observar regularidades y relaciones determinadas de acuerdo a losperıodos de visibilidad de un planeta y el angulo que este forma con el sol,especıficamente se puede observar, de izquierda a derecha, las siete estrellasrepresentando las Pleyades, la Luna y el Toro Celeste, Gudanna. En generalBourbaki, [10] afirma que los documentos mas antiguos que nos quedan sobrela matematica de los egipcios y los babilonios nos muestran que estaban yaen posesion de un sistema completo de reglas de calculo para los enteros na-turales mayores que 0, los numeros racionales mayores que 0, las longitudes,y las areas; y aunque los textos babilonios que nos han llegado se refieranunicamente a problemas en los que los datos tienen valores numericos concre-tos, no dan lugar a dudas en cuanto a la generalidad de las reglas empleadas,e indica una habilidad tecnica considerable en el manejo de las ecuaciones deprimer y segundo grado.

1.3. La busqueda de Regularidades en la Gre-

cia Antigua

El papel de los Griegos en la determinacion de regularidades, fue relevan-te frente a la construccion de conceptos en geometrıa y matematicas, estosmuestran mucha afinidad con la mentalidad aritmetica de los Babilonios. La

21

determinacion de leyes simples de la acustica representan un intento por de-terminar generalizaciones que son atribuibles a los pitagoricos, aunque esetipo de intentos no son tan relevantes, el trabajo alrededor de las propor-ciones es el aspecto mas importante para el desarrollo de las matematicasgriegas. Azcarate y Deulofeu, [3] presentan que la idea pitagorica de todo esnumero, fue controvertida con la paradoja de Zenon y por la aparcicion dela inconmensurabilidad, situacion que condujo a una separacion entre la ideade numero y magnitud, lo cual tiene repercusiones en el pensamiento, paradeterminar generalizaciones de una magnitud variable, situacion que se diogracias al estudio de regularidades y consecucion de patrones.

Las tablas pitagoricas son una evidencia clara, de la preocupacion por labusqueda de regularidades y no solamente aquı se muestra esta intranqui-lidad, sino que ademas la connotacion magica de numero condujo a la aso-ciacion de estos con figuras que guardaban regularidades en sus formas; sinembargo en donde hubo un trabajo mas fuerte por encontrarlas, fue en labusqueda de ternas pitagoricas, trabajo que aunque no fue logrado solamen-te por los pitagoricos, puesto que se encontraron en algunos trabajos de losbabilonios y los egipcios, como lo muestra la tablilla Plimpton 322, que de-muestra que los Babilonios conocıan las ternas pitagoricas unos 1500 anosantes de que el mismısimo Pitagoras naciera (Ver figura 1.4); sin lugar adudas los griegos fueron quienes lograron plasmarlas en una generalizacion.

Figura 1.4: Tablilla Plimpton 322

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1.4. La Generalizacion en el Renacimiento

Para los Pitagoricos los numeros poligonales representaron un fuente de vir-tudes mısticas, esta connotacion religiosa se puede observar como lo dice Bell,[5] desde la burda numerologıa de los pitagoricos hasta la doctrina platonicade las ideas. Mas adelante, matematicos como Fermat veıan estos numeroscomo objetos legıtimos de la curiosidad intelectual; las secciones conicas, aun-que son un ejemplo del tratamiento inicial de los griegos, tambien lo son dela generalizacion lograda en el renacimiento.

En el renacimiento se lograron avances importantes en la actividad matemati-ca, se utilizaba un simbolismo algebraico rudimentario y la aplicacion de losconocimientos matematicos aportaron a diferentes campos de las ciencias, quedeterminaron nuevos modelos generalizados. El algebra hasta el siglo XVI erade tipo verbal, situacion que no permitıa un tratamiento con numeros de po-tencias grandes, tal razon motivo a muchos a crear un sistema simbolico queno se limitara solo un grupo de reglas para resolver ecuaciones particulares.

Matematicos como Francois Viete contribuyeron en el desarrollo del alge-bra, logrando un grado de generalizacion notable dando un nuevo enfoque ala resolucion de todo tipo de ecuaciones. Segun Bell, [5] la importancia deun simbolismo facil de manejar, como indica De Morgan, es que permite alos que no son grandes matematicos en su generacion, hacer sin esforzarserazonamientos matematicos que hubieran desconcertado a sus mayores pre-decesores, esta algebra simbolica reemplaza los procesos algebraicos verbales.

En el siglo XVII, empezo a surtir efecto la generalizacion lograda a traves dela creacion del algebra simbolica; matematicos como Descartes, Fermat, New-ton y Leibniz, lograron importantes avances en el area de las Matematicas yla Geometrıa. Matematicos como Fermat trabajaron tambien en GeometrıaAnalıtica llegando a resultados como los de Descartes, segun Fermat en 1629ya habıa determinado generalizaciones tan importantes como la ecuacion ge-neral de la lınea recta, la ecuacion de una circunferencia con centro en elorigen, las ecuaciones de la elipse, la parabola y la hiperbola rectangular.

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La busqueda de regularidades y la consecusion de patrones aritmeticos, seobserva claramente en los inicios de la Aritmetica moderna, se considera queel mayor aporte personal de Fermat fue para la Aritmetica. Muchos de losconocimientos de Fermat quedaron registrados en notas marginales de suslibros o en comunicaciones a traves de correspondencias. La necesidad deFermat por buscar regularidades se observa en la consecucion de un patronnumerico que corresponde a los numeros de Fermat y su ultimo teorema quefue demostrado en el siglo XX.

1.5. Numeros Primos

Muchos de los progresos determinados desde la Aritmetica clasica genera-da por Fermat, Euler, Lagrange y Gauss, entre otros, fueron decisorios enla creacion de la Aritmetica generalizada. Toda generalizacion matematica,para que tenga un significado importante debe pasar por la particularizacionde todos los casos y dar como resultado algo mas que no este contenido enlos casos particulares. Bell describe como la ampliacion de la Aritmetica ra-cional a una Aritmetica de numeros algebraicos tuvo dos orıgenes distintos,la demostracion de Gauss de la ley de reciprocidad cuadratica y la tentativaque hizo Kummer para probar el ultimo teorema de Fermat [5].

Es claro que las regularidades son el primer paso para llegar a una genera-lizacion, por lo cual se hace interesante el tratamiento que se ha tenido conun grupo de numeros que desde la antiguedad hasta nuestro tiempo han sidotrascendentes en la construccion de las matematicas. Al respecto Paul Erdosmatematico del siglo XX, expreso en su momento una frase muy interesante[28] Dios puede que no juega a los dados con el universo, pero algo extranoesta pasando con los numeros primos..., tal afirmacion manifiesta una ideade belleza y orden en la matematicas. Segun Hoffman, [28] Erdos era amigode los numeros primos, tal vez por su potencial para encontrar patrones, yaque dichos numeros estan plagados de estos, como lo muestra Nesetril, [40] elcomienzo de la carrera de Erdos estaba concentrada en el estudio de la teorıade numeros, sobre problemas relacionados con la distribucion de numerosprimos, trabajo que culmino con la demostracion elemental del teorema delos numeros primos.

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Desde la antiguedad se han tenido indicios del tratamiento de estos numeros,el hueso de Ishango (Ver figura 1.5) es prueba de la existencia de antepasa-dos de aproximadamente 35.000 anos a.c., que pretendıan tratar de abstraerel signifcado de algunas regularidades. Las marcas plasmadas en este huesoaunque no dan muestras de la utilizacion de operaciones, si muestran la ob-servacion de un patron numerico.

Figura 1.5: Hueso de Ishango.

En Grecia, Euclides muestra en su libro IX de los elementos la demostracionde la existencia de infinitos numeros primos, pero no solamente demuestraesto, sino que ademas demuestra el teorema fundamental de la Aritmetica,cuya hipotesis afirma que todo entero puede ser escrito como un productounico de primos.

Por otro lado, en el siglo XVI Mersenne, investigo algunos numeros primos,que mas adelante serıan nombrados como los primos de Mersenne, tiempodespues Fermat utilizando la abundante fuente de regularidades de los nume-ros primos, conjeturo el pequeno teorema de Fermat y conjeturo de formaequivocada que los numeros de la forma 22n + 1, eran numeros primos. Porconsiguiente habrıa que hacer una larga lista de matematicos que encontraronregularidades dentro del contexto de los numeros primos, como por ejemploEuler, Adrien-Marie Legendre, Sophie Germain, Gauss, Chebyshev y Paul

25

Erdos entre muchos mas.

Figura 1.6: Paul Erdos.

Por otro lado Legendre, en 1798 conjeturo que el numero de primos meno-res que x debıa aproximarse asintoticamente a x

log(x), en el mismo tiempo

Gauss observaba regularidades que le permitıan determinar que la densi-dad de numeros primos en un entorno n, era aproximadamente 1

log(n). Mas

adelante en el siglo XIX Chebyshev con un argumento combinatorio, le per-mitio determinar el orden de magnitud de los numeros primos menores quex. Por su parte Riemann en el siglo XIX, segun Cilleruelo, [19] redacto unafamosa memoria de ocho paginas en la que sentaba las bases de lo que unosanos mas tardes concluirıa con la demostracion del teorema de numeros pri-mos. Ya en el siglo XX Paul Erdos y Atle Selberg lograron una demostracioncompletamente elemental de dicho teorema.

26

Capıtulo 2

Visualizacion de Patrones en laTeorıa de Numeros

El pensamiento matematico es visual , evidencia de esto es que muchos delos hechos notables, entorno al desarrollo de la actividad matematica, sonbasados en las imagenes. Ejemplo de esta afirmacion, es el analisis cartesianoa relaciones de tipo numerico.

Este capıtulo se basa en el articulo escrito por Borwein y Jorgenson [6] ytiene como uno de sus objetivos encontrar patrones visibles en distintas es-tructuras de tipo combinatorio como por ejemplo el triangulo de Pascal.

Borwein y Jorgenson, ponen de manifiesto que los matematicos han sidoconscientes de la importancia de la visualizacion y que estos hacen un granesfuerzo por explotarla, en particular presentan el caso de Carl FriedrichGauss, quien en algun momento expresa su dificultad para dibujar imagenesque le permitan llegar a conjeturas precisas como se muestra en una de susmanifestaciones con respecto a un diagrama que acompana su primera prue-ba del teorema fundamental del algebra:

((Aun es verdad que, con teoremas negativos como este, transformar convic-ciones personales en convicciones objetivas requiere un trabajo detallado y aveces disuasivo. Para visualizar la variedad entera de casos, uno tendrıa quemostrar un gran numero de ecuaciones mediante curvas; cada curva tendrıaque ser dibujada por cada uno de sus puntos y determinar un solo punto

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requiere calculos largos. No te imaginas cuanto trabajo me tomo dibujarapropiadamente la curva de la Fig. 4 en mi primer artıculo de 1799.)) CarlFriedrich Gauss (1777-1855)

Hoy en dıa, los ambientes computacionales han aumentado la posibilidad devisualizacion en matematicas, debido a la posibilidad de obtener graficas co-mo las requeridas por Gauss con una alta resolucion, velocidad de obtencion,proporcionando una mayor utilidad a traves del color, la animacion y el pro-cesamiento de imagenes que permiten la interaccion con el usuario.

La revision historica que se realiza en este trabajo presenta como las ma-tematicas pueden ser la ciencia que obtiene patrones, relaciones y generali-zaciones a traves de descripciones de estructuras que son reconocidas en elespacio y los numeros. Sin embargo, la relacion visual no es evidente en todaslas ramas de la matematica, campos como la teorıa de numeros no se prestande forma inmediata para hacer descripciones graficas.

2.1. Representaciones numericas a traves de

imagenes.

La teorıa de numeros ofrece una gran gama de problemas de tipo numericoque el cerebro humano tiene dificultad para asimilar, claramente es posibleobservar esta situacion en el conjunto de numeros primos o los numerosde Fermat, ya que estas tematicas requieren la manipulacion de una grancantidad de informacion numerica, parafraseando a Jacques Hadamard (1865-1963) cuando describio sus pensamientos iniciales en la demostracion de quehabıa un numero primo mayor que 11, estos numeros ofrecen a primera vistauna ((masa confusa de puntos)). Esta situacion conlleva que los matematicoshagan uso de representaciones formales, que dejan de lado la visualizacion delos datos que permiten la identificacion de patrones, razon por la cual se hanpotenciado los computadores para que por medio de esta herramienta, se lepermita a los seres humanos acceder a una nueva forma de visualizacion quegenere la consecucion de nuevos patrones.

En [6], se presenta un problema de una situacion propia de la manipulacionde numeros, que permite hacerse la pregunta si, ¿todo lo visual, es util para

28

realizar una prueba?

Figura 2.1: Prueba de A =∑∞

i=1 (12)2n = 1

3

Los autores presentan que una prueba usando representaciones visuales de-pende de los siguientes factores:

Fiabilidad: El medio fundamental de llegar a la prueba es confiable yes el resultado invariable con cada inspeccion.

Consistencia: El medio y el final de la prueba son consistentes con otroshechos conocidos, creencias, y pruebas.

Repetibilidad: La prueba se puede confirmar o demostrar a los demas.

Aunque la prueba usando representaciones visuales depende de la fiabilidad,la consistencia y la repetibilidad, estas caracterısticas no son suficientes para

29

determinar la veracidad de una prueba de este tipo. Las imagenes no puedenlimitarse a la revision y analisis estatico de las mismas, por el contrario debeexistir una visualizacion que ofrezca caracterısticas como:

Dinamismo: La representacion debe variar a traves de algun parametropara demostrar una serie de comportamientos.

Orientacion: Llevar al espectador a traves de la informacion que seacumula en el caso de la prueba, de los pasos adecuados en el ordencorrecto, la representacion debe ofrecer un camino a traves de la infor-macion que se acumula en el caso de la prueba.

Flexibilidad: Debe apoyar la exploracion del propio espectador de lasideas presentadas, incluyendo la busqueda de contraejemplos o incom-pletas y apertura.

Apertura: Los algoritmos subyacentes, bibliotecas, y los detalles de len-guajes de programacion y el hardware deben estar disponibles para suinspeccion y confirmacion.

Un ejemplo interesante de la visualizacion de patrones, fue propuesto en elsiglo 17 por Gottfried Wilhelm Leibinz quien en una carta pregunto a unode los hermanos Bernoulli si podrıa existir un patron en el desarrollo binariode π. A manera de ilustracion en la figura 2.2. muestra una representaciongrafica de π mod 2 y de 22

7mod 2, que es una aproximacion al numero π

dada en el siglo V por el matematico y astronomo chino Zu Chongzhi:

30

Figura 2.2: Numero π y su aproximacion 227

La figura muestra la expansion binaria de los primeros 1600 digitos del nume-ro π y su aproximacion 22

7, ambos mod 2, lo que se puede observar es una

regularidad en la representacion de 227

ya que este es un numero racional encontraste con la inexistencia de un patron en la grafica de π, quien hace partedel conjunto de numeros irracionales.

Asi mismo en [6], se observa al numero racional 165537

, como una expansion bi-naria, con un periodo de 65536; la visuaizacion de esta representacion graficadeja claro que es difıcil determinar la regularidad subyacente a este numeroracional, pues se debe poseer una herramienta de resolucion muy poderosapara determinar claramente la regularidad, aunque en esta imagen se observauna sutil diagonal que sugiere un patron.

31

Figura 2.3: Expansion binaria de el numero racional 165537

Visualmente se pueden expresar las fracciones continuas de π y el numero een modulo 4 de la siguiente forma:

32

Figura 2.4: Primeros 1600 valores de la fraccion continua del numero π y delnumero e.

En estas figuras se puede observar como para el numero π no se puede de-terminar ninguna regularidad, ya que la fraccion continua esta representada

33

por π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, . . .], pero para el numero e es:

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, . . .]

Para este ultimo se puede ver claramente que la fraccion continua presentauna regularidad que es posible detectar en su representacion grafica.

2.2. Visualizacion, numeros y geometrıa.

La Geometrıa brinda una gran gama de posibilidades que permiten articularlos numeros y la busqueda de patrones. La identificacion de patrones requieredel reconocimiento de semejanzas y diferencias, este trabajo incluye la copiade patrones, la busqueda de regularidades, la extension de sucesiones, la ex-trapolacion y la traslacion.

El triangulo de Sierpinski, ofrece un alto potencial de vinculacion de lo visualy lo numerico, este triangulo tiene forma fractal y se construye partiendo detriangulos simples. Despues, se unen los puntos centrales de cada arista demodo que quede dividido en cuatro triangulos iguales. Con esto, a cada unode los tres triangulos que quedan en la posicion de los vertices del triangulooriginal se les aplica esta misma transformacion sucesivamente:

Figura 2.5: Triangulo de Sierpinski

n N T1 1 12 3 0,53 9 0,254 27 0,1255 81 0,0625

34

n: Numero del triangulo, N: Cantidad de triangulos negros, T: Tamano dellado de triangulo negro.

Existe una relacion directa entre el triangulo de Sierpinski y el triangulo dePascal, en 1654 Blaise Pascal mantuvo correspondencia con Pierre de Fermatsobre ciertos problemas de probabilidad, esta darıa origen al triangulo deTartaglia o al comunmente llamado triangulo de Pascal.La relacion directa entre el triangulo de Sierpinski y el triangulo de Pascal sepuede observar dibujando triangulos sobre el triangulo de Pascal, teniendoen cuenta que se colorean los numeros impares como en la figura:

Figura 2.6: Triangulo de Pascal y Triangulo de Sierpinski

El triangulo de Pascal es de mucho interes, ya que los numeros que lo formanhacen parte de la solucion de un problema combinatorio que describiremos

35

en la seccion 2.3. De hecho se muestran algunas regularidades subyacentesal triangulo de Pascal y su relacion directa con los numeros poligonales,basado en los trabajos A. M. Canadas, M. A. Angarita, B. Kane y Z. W.Sun [12,15,31,48].

2.3. El Triangulo de Pascal

En esta seccion, estudiaremos algunas regularidades obtenidas del triangulode Pascal. En particular, usaremos algunos patrones sugeridos por numerospoligonales, para encontrar algunas formas cuadraticas universales. Para ello,introduciremos unas definiciones preliminares.

Un conjunto ordenado, conjunto parcialmente ordenado o poset esuna pareja ordenada (P,≤) que consta de un conjunto P y una relacionbinaria ≤ contenida en P × P, denominada el orden (o el orden parcial)sobre P, tal que :

(a) La relacion ≤ es reflexiva. Esto es, para cada x ∈ P, x ≤ x.

(b) La relacion ≤ es antisimetrica. Esto es, para cada pareja x, y ∈ P

x ≤ y y y ≤ x implica x = y.

(c) La relacion ≤ es transitiva. Esto es, para toda tripla x, y, z ∈ P

x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z.

Frecuentemente si no hay confusion, la relacion de orden no se mencionaexplicitamente cuando se habla de un conjunto parcialmente ordenado. Detal manera que frases como “Dado un poset P”, normalmente quiere decirque al conjunto P se le ha dotado de una relacion de orden la cual usualmentese nota ≤. Escribimos x < y si x ≤ y y x 6= y, en cuyo caso diremos quela relacion entre x y y es estricta. Una relacion ≤ sobre un conjunto P quees reflexiva y transitiva pero no necesariamente antisimetrica se llama unpre-orden.

Dos elementos x, y de un poset dado P son comparables si x ≤ y o y ≤ x.

36

Un poset es finito (infinito) si y solamente si el conjunto subyacente es finito(infinito).

Dado un poset P, entonces notamos P op al poset antiisomorfo o posetdual de P cuyos elementos se identifican con los de P y x ≤ y en P op si ysolamente si y ≤ x en P. Por lo que, de cada hecho Φ relacionado con unposet P podemos obtener su hecho dual Φ op reemplazando cada ocurrenciade ≤ por ≥ y viceversa. Donde x ≥ y si y solamente si y ≤ x.

Si (P,≤) es un poset finito, entonces podemos representarlo graficamentecon un sistema de circulos (representando los elementos de P) y lineas conec-tandolos (indicando una relacion entre los puntos). La construccion de estarepresentacion grafica cumple con las siguientes reglas :

(a) A cada punto x ∈ P, se le asocia un punto p(x) del plano euclidiano R2,representandolo con un pequeno circulo con centro en p(x).

(b) a cada relacion x < y en P, para la cual no existe t ∈ P tal que x < t < yse le asigna un segmento de recta l(x, y), conectando el circulo con centroen p(x) y el circulo con centro en p(y).

(c) Los pasos (a), (b) se llevan a cabo de forma tal que :

(1) Si x < y y no existe t ∈ P tal que x < t < y entonces p(x) debequedar por debajo de p(y) (esto es, la segunda coordenada de p(x)es estrictamente menor que la de p(y)).

(2) El circulo con centro en p(z) no intersecta el segmento de recta l(x, y)si z 6= x y z 6= y.

Una configuracion de circulos y lineas satisfaciendo (a)-(c) se llama un dia-grama de Hasse de P [15].

La figura 2.6.1 es un diagrama de Hasse representando el poset (P,≤) conP = {a, b, c, d} y a < c, a < d, b < c, b < d.

da b

��

d

dc dd@@@@@@@@

P =

Fig. 2.6.1

37

Si X ⊂ Y denota una contenencia arbitraria de conjuntos no necesariamentepropia, P es un poset y S ⊂ P, entonces un elemento x ∈ P es una cotasuperior de S si s ≤ x para todo s ∈ S, una cota inferior se define deforma dual.

x es la mınima cota superior de S si :

(a) x es una cota superior de S.

(b) x ≤ y, para cada cota superior y de S.

El concepto dual de mınima cota superior es el de maxima cota inferior.Sup S (Inf S) es la notacion usual para la mınima cota superior (maximacota inferior) de S ⊂ P, la cual se denomina tambien el supremo (infimo)del conjunto S.

Si P es un poset se definen sus elementos, primero, menor o mınimo yultimo, mayor o maximo, notados respectivamente ⊥ y > tales que ⊥ ≤ xy x ≤ >, para cada x ∈ P. Note que los elementos ⊥ y > si existen sonunicos.

Una vez definidos los elementos Sup S e Inf S para un subconjunto S de unposet P, podemos detallar estas definiciones para los casos extremos en losque S = ∅ o S = P. En primer lugar note que si P tiene maximo entonces{>} es el conjunto de cotas superiores de P de donde Sup P = > y en elcaso que P no tenga maximo entonces el conjunto de cotas superiores deP es vacıo y por lo tanto el Sup P no existe. Razonamientos duales puedenhacerse con respecto al mınimo. Si S es el subconjunto vacıo de P entoncescada elemento x ∈ P cumple vaciamente la condicion s ≤ x para cada s ∈ Sy por lo tanto P es el conjunto de cotas superiores de ∅. De donde Sup ∅existe si y solamente si P tiene mınimo y en este caso Sup ∅ = ⊥. DualmenteInf ∅ = > si P tiene maximo.

Si (P,≤) es un poset entonces un elemento m ∈ P es maximal (minimal) siy solamente si x ≤ m (m ≤ x) para cada x ∈ P relacionado con m. Si A ⊂ P,notamos maxA (minA) el conjunto de elementos maximales (minimales) deA.

Para un poset P y a ∈ P, el cono superior aO y el cono inferior aM,asociados al punto a, los definimos de forma tal que :

38

aO = {x ∈ P | a ≤ x}, aM = {x ∈ P | x ≤ a}.

Los subconjuntos de P, aO \ a y aM \ a se llaman los conos truncadossuperior e inferior asociados al punto a ∈ P y se notan respectivamente aH yaN. De esta forma tendremos que :

aH = aO \ a = {x ∈ P | a < x}, aN = aM \ a = {x ∈ P | x < a}.

Para un poset P y A ⊂ P, denotamos AO y AM a los subconjuntos de P,tales que AO =

⋃a∈A

aO, AM =⋃a∈A

aM. Si A = AO (respectivamente A = AM),

entonces A se llama un cono superior (cono inferior).

Dos conos A = AO ⊂ P, B = BM ⊂ P, se dicen mutuamente comple-mentarios si A+B = P.

Un poset (C,≤) es una cadena o un conjunto linealmente ordenado siy solamente si para todo par de puntos x, y ∈ C se tiene x ≤ y o y ≤ x estoes, todos sus puntos son comparables. Un poset (P,≤) es una anticadenasi y solamente si para todo par de puntos x, y ∈ P con x 6= y, se tienex incomparable con y. Una descripcion alterna de anticadena puede darseen los siguientes terminos : Un poset P es una anticadena, si x ≤ y en P

solamente si x = y. El cardinal maximo de las anticadenas de un poset P sellama el ancho del poset y se nota w(P).

A veces si P es un poset y x, y ∈ P, en este trabajo se usan las notacionesxy, x + y para indicar Inf{x, y} y Sup{x, y} respectivamente en el caso queexistan [16], [15].Ademas si S ⊂ P,

∏s∈Ss,∑s∈Ss, denotan respectivamente Inf S y Sup S respec-

tivamente si ellos existen.

Si P es un conjunto ordenado no vacıo y para cada x, y ∈ P, xy y x + yexisten entonces P se denomina un retıculo. P es un retıculo completo sipara cada subconjunto S ⊂ P existen

∏s∈Ss y

∑s∈Ss.

Si X es un conjunto arbitrario y ∅ 6= M ⊂ P (X), en donde P (X) es la colec-cion de subconjuntos o conjunto de partes de X entonces M es un retıculode conjuntos si es cerrado para uniones e intersecciones finitas y un retıculo

39

completo de conjuntos, si es cerrado para uniones e intersecciones arbi-trarias.Un grafo dirigido Γ, es una tripla (V (Γ), A(Γ), γ) en donde V (Γ), A(Γ) sonconjuntos con V (Γ) 6= ∅ y γ es una funcion γ : A(Γ) −→ V (Γ)×V (Γ). V (Γ)se denomina el conjunto de vertices del grafo y A(Γ) se llama el conjuntode aristas o flechas del grafo. Si e ∈ A(Γ) y γ(e) = (p, q) entonces p sellama el vertice inicial de e y q el vertice terminal de e. Dos grafosΓ = (V (Γ), A(Γ), γ) y Γ′ = (V (Γ′), A(Γ′), γ′) se dicen isomorfos, si existencorrespondencias uno a uno α : V (Γ) −→ V (Γ′) y β : A(Γ) −→ A(Γ′), talesque si γ(e) = (u, v) entonces γ′(β(e)) = (α(u), α(v)). Si dos grafos Γ y Γ′ sonisomorfos entonces escribiremos Γ ' Γ′.

2.3.1. Generando el Triangulo de Pascal

Considere el retıculo L = (N2,�), en donde (x, y) � (x′, y′) si y solo si x ≤ x′

y y ≤ y′, con ≤ el orden usual de N. En este caso, el subconjunto (x, y)M ⊂ L

se llama el conjunto de predecesores o ancestros del punto (x, y). Por lo que(0, 0) es ancestro de todo punto.

Una trayectoria o camino reticular, P ⊂ L, con punto inicial (0, 0) ypunto final (x, y) es una cadena constituida por ancestros de (x, y) de laforma:

P = {(0, 0), (x1, y1), (x2, y2) . . . , (xk−1, yk−1), (x, y)}

en donde para todo i ≥ 1, xi ≤ x, yi ≤ y y (xi+1, yi+1) ∈ {(xi +1, yi), (xi, yi+1)} = Ei. De hecho, (xi+1, yi+1) solo puede ser y solo uno de loselementos de este conjunto. Las aristas de P son de la forma {(xt, yt), (xi+1, yi+1)} con (xt, yt) ∈ Ei.

Por ejemplo, la siguiente es una trayectoria reticular conectando los puntos(0, 0) y (2, 2) (cabe anotar que el diagrama de Hasse original de L, ha sidomodificado, para que las coordenadas de los puntos de L correspondan a lasdel plano cartesiano):

(2, 2)→ (2, 1)→ (1, 1)→ (0, 1)→ (0, 0).

40

• • • •

• • • •

• • •• •

• • •• •

?��

?• • • •

• • • •

• • •• •

• • •• •

(2, 2)

(1, 2)(1, 1)(0, 1)

(0, 0)

Fig. 2.6.2

Los numeros del triangulo de Pascal, constituyen el conjunto de solucionesdel siguiente problema:

Si (x, y) es un punto arbitrario del retıculo L, calcule c(x, y) el numero detrayectorias reticulares que conectan los puntos (0, 0) y (x, y).

En este trabajo, describıremos la solucion de este problema planteada en [12].

En ella se nota c(0, k) = c(k, 0) = 1 (por definicion de ancestro), para todok ≥ 0. En este caso se asume c(0, 0) = 1.

Como, c(1, k + 1) = c(0, k + 1) + c(1, k) entonces se cumple c(1, k + 1) =1 + c(0, k) + c(1, k − 1) = k + 2.

Se observa c(2, k) = c(1, k)+c(2, k−1) = c(1, k+1)+c(1, k−1)+c(2, k−2) =(k+2)(k+1)

2.

Para los puntos del tipo (3, k) se observa que c(3, 1) = c(2, 1) + c(3, 0) =

c(2, 1) + 33

= (4)(3)(2)(3)(2)(1)

= 4. Luego, c(3, k) = c(2, k) + c(3, k − 1) = (k+1)(k+2)2

+(k+2)(k+1)(k)

(3)(2)(1)= (k+2)(k+1)(k)+3(k+1)(k+2)

(3)(2)(1)= (k+1)(k+2)[k+3]

(1)(2)(3).

Asumiendo la notacion,(m+kk

)= (m+1)(m+2)...(m+k)

(1)(2)...(k−1)(k), los resultados descrıtos,

nos permiten realizar la siguiente afirmacion:

Teorema 2.1. Para todo punto (m,n) ∈ L se cumple c(m,n) =(m+nn

)41

Demostracion. Fijemos (m,n) ∈ L y supongamos que para todo (x, y) ∈(m,n)N se cumple:

c(x, y) =(x+yx

),

por lo tanto, c(m,n) = c(m− 1, n) + c(m,n− 1) = (m)(m+1)(m+2)...(m+n−1)(1)(2)...(n)

+(m+1)(m+2)(m+3)...(m+n−1)

(1)(2)...(n−1)= (m+1)(m+2)...(m+n−1)

(1)(2)...(n−1)[mn

+ 1].

Luego c(m,n) = (m+1)(m+2)...(m+n−1)(1)(2)...(n−1)

[mn

+ 1] = (m+1)(m+2)...(m+n−1)(1)(2)...(n−1)

[m+nn

] =(m+nn

). �

Nota 2.2. Asumiendo las notaciones (1)(2)(3) . . . (k) = k! y suponiendo

m ≥ n, entonces(m+nn

)= (m+n)!

m!n!. De hecho,

(mn

)= m!

(m−n)!n!. Resultado este

probado por Pascal y por el que algunos autores creen que el siguiente arreglo,se conoce como triangulo de Pascal

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(21

)(31

) (32

)(41

) (42

) (43

)N

(51

) (52

) (53

) (54

)(61

) (62

) (63

) (64

) (65

)(71

) (72

) (73

) (74

) (75

) (76

)

Note que, la ilustracion describe los numeros asignados al poset Lop, obtenidoal dualizar el problema de las trayectorias reticulares que conectan (0, 0) conun punto (x, y) ∈ L.

42

2.3.2. El Teorema del Binomio

En este trabajo, estudiamos la forma de establecer el teorema del binomiovia el algebra (sobre R) de caminos o trayectorias de L.

En este punto recordamos que el algebra de caminos RL, es el espacio vec-torial (libre), para el que los caminos o trayectorias (reticulares en este caso)constituyen una base. El producto de caminos, esta dado por la composicion,cuando esta pueda ser definida y es 0 de otro modo.

Por consiguiente, si una trayectoria σ1, σ2, . . . , σm conecta los puntos (x0, y0)y (xk, yk) y la trayectoria σm+1, σm+2, . . . σn conecta los puntos (xk, yk) y(xn, yn) entonces el producto σ1 . . . σmσm+1 . . . σn conecta los puntos (x0, y0)y (xn, yn).

En este trabajo asumiremos, las siguientes notaciones y definiciones:

1. Cada trayectoria reticular con punto inicial (0, 0) y punto final (m,n) ∈L se puede escribir en la forma xt1xyt1yxt2xyt2y . . . xtkxytky . En donde,

tik es un numero entero no negativo, para 1 ≤ i ≤ k yk∑j=1

tjx (k∑j=1

tjy)

indican el numero de movimientos horizontales (resp, verticales). Estoes, puntos del tipo, (xi + 1, yi), (resp, (xi, yi+1)) requeridos para llegaral origen desde el punto (m,n).

2. Cada movimiento horizontal en una trayectoria reticular, es codificadocon un sımbolo x y cada movimiento vertical con un simbolo y.

3. Se asume y0 = x0 = 1, xk = xk−1x (note que xk representa unatrayectoria del tipo {(xi, yj), . . . , (xi+k, yj)}, yk = yk−1y xy = yx (sitales productos pueden ser defınidos).

4. Todas las trayectorias con los mismos puntos inicial y terminal sonequivalentes en L, dado que todas ellas, van a tener el mismo numero demovimientos horizontales y el mismo numero de movimientos verticales.

5. Si P y P ′ son equivalentes y k1, k2 ∈ R entonces k1P + k2P′ = (k1 +

k2)P , por lo que, c(m,n) cuenta el numero de trayectorias reticularessemejantes a una trayectoria del tipo xmyn.

43

•1 • 1 • 1 •

•1 • 2 • 3 •

•1

1

• 3 • 6• •

• • 4 •• •

�

? ?

?

�

�

?

�

? ?

?�

� ?

�

x

x

y y

xy

x

y

y

x

y

yx

xy

x

• • • •

• • • •

• • •• •

• • •• •

Fig. 2.6.3.

Ejemplo de algunas trayectorias reticulares o caminos de L, codificadas deacuerdo a los movimientos horizontales y verticales, necesarios para llegardesde un punto del retıculo al origen, observe que una trayectoria del tipoxxyy = x2y2 conecta el punto (2,2) con el origen.

Ahora podemos plantear el siguiente problema:

Dado un entero no negativo n, determinar todas las trayectorias reticularesterminando en (0, 0) con n movimientos. Esto es, determinar el numero y eltipo de trayectorias que requieren n movimientos para llegar al origen.

Note que este problema, extiende el problema inicial, en cuanto no solo pideel numero de trayectorias, sino tambien la descripcion de las clases de equi-valencia correspondientes. Por ejemplo, hay solo una trayectoria del tipo xconectando los puntos (0, 0) y (1, 0) y una trayectoria del tipo y conectandolos puntos (0, 1) y (0, 0). Por lo que hay en total dos trayectorias con unsolo movimiento. De hecho, 1x + 1y son todas las trayectorias con un unicomovimiento.

La descripcion completa de las trayectorias reticulares con dos movimien-tos, se obtiene al multiplicar las trayectorias con un unico movimiento de lasiguiente forma:

1. La trayectoria, {(0, 0), (0, 1)} por las trayectorias,{(0, 1), (0, 2)} y {(0, 1), (1, 1)}.Respectıvamente codificadas en la forma y y x

2. La trayectoria, {(0, 0), (1, 0)} por las trayectorias,{(1, 0), (2, 0)} y {(1, 0), (1, 1)}.Respectıvamente codificadas, x y y.

44

Luego si x + y son todas las trayectorias con un unico movimiento entoncesx(x+y)+y(x+y) = (x+y)(x+y) = (x+y)2 es el numero total de trayectoriasreticulares en L con dos movimientos. Por otro lado, el producto de caminosdescrito, nos permite afirmar que hay

(20

)= 1 trayectorias reticulares del tipo

yy = x0y2 (partiendo del punto (0, 2)),(

21

)= 2 del tipo x1y1 (partiendo del

punto (1, 1)), finalmente hay(

22

)= 1 trayectorias del tipo x2y0 (partiendo

del punto (2, 0)). Luego:

(x+ y)2 =(

20

)x0y2 +

(21

)x1y1 +

(22

)x2y0.

El razonamiento anterior, nos permite deducir que los puntos (0, 3), (1, 2), (2, 1)y (3, 0) son los unicos puntos en L que requieren tres movimientos para co-nectarlos con el origen.

Tenemos; x(x+y)2+y(x+y)2 = (x+y)3 son las trayectorias conectando estospuntos con el origen. Lo cual describe las siguientes trayectorias conectandoel punto (0, 0):

1.(

30

)= 1 trayectorias del tipo x0y3, partiendo del punto (0, 3).

2.(

31


3.(

32


4.(

33


Todos estos razonamientos, nos permiten inferir que si (x+ y)n denota todaslas trayectorias que requieren n movimientos para llegar al origen entonces:

Teorema 2.3. (x+ y)n =n∑k=0

(nk

)xkyn−k.

Demostracion. Supongamos que la identidad es valida para todo enteroj, 0 ≤ j ≤ n − 1. Luego, las trayectorias que conectan (0, 0) y tienen nmovimientos se obtienen al multiplicar las trayectorias con n−1 movimientospor trayectorias del tipo (xi + 1, yi) (codificadas x) o trayectorias del tipo(xi, yi + 1) (codificadas y). De donde (x+ y)n = (x+ y)n−1x+ (x+ y)n−1y =(x+ y)n−1(x+ y), tales trayectorias estan dadas tambien por las trayectoriasque conectan (0, 0) con los puntos de la forma (k, n−k) ∈ L tales trayectoriasse describen por la siguiente expresion:

T =(n0

)x0yn +

(n1

)x1yn−1 + . . .

(nk

)xkyn−k + · · ·+

(nn

)xny0

y por lo tanto T = (x+ y)n. �

45

2.4. Formas Cuadraticas Universales y Nume-

ros Poligonales

En esta seccion, usamos algunos patrones encontrados en el triangulo dePascal, para producir ciertos tipos de formas universales y una formula quedescribe los numeros poligonales. De hecho conectaremos algunos patronesen el triangulo de Pascal con el siguiente problema propuesto por Ramanujanen 1917:

Encontrar todas las cuadruplas de enteros no negativos a, b, c, d, 0 ≤ a ≤ b ≤c ≤ d para los que la forma cuadratica ax2 + by2 + cz2 + dw2 representa todonumero entero positivo.

Recordamos que una forma cuadratica que representa todos los enteros posi-tivos se llama universal. Note que el teorema de Lagrange permite concluirque la forma cuadratica del tipo (1, 1, 1, 1), es universal. De hecho, Ramanu-jan describio 55 cuadruplas que cumplıan con la condicion. 10 anos despues,Dickson probo que todas salvo una de las formas propuestas por Ramanujaneran correctas.

Antes de dar resultados concerniendo el problema de Ramanujan, haremosuna descripcion de los hechos y notaciones mas relevantes usados en estaseccion.

Los numeros que pueden ser representados mediante un arreglo geometrico depuntos igualmente espaciados, se llaman numeros figurados. Si el arregloes un polıgono regular el numero se llama polıgonal. El k-esimo numero n-gonal, lo notamos pnk . Note por ejemplo, que en L, c(2, k) = p3

k, k ≥ 0 y quec(2, k) + c(2, k+ 1) = P 4

k+1, k ≥ 0. Los numeros de la forma p3k, p

4k, k ≥ 0 son

respectıvamente, triangulares y cuadrados.

Con la ayuda del triangulo de Pascal es posible estudiar las multiples pro-piedades que tienen los numeros polıgonales. Por ejemplo, basta observar la

46

siguiente regularidad, para obtener una expresion que nos permita describirlos numeros pentagonales de rango positivo p5

k = {1, 5, 12, 22, 35, . . . }:

c(2, 2)− c(2, 0) = 5

c(2, 4)− c(2, 1) = 12

c(2, 6)− c(2, 2) = 22

... =...

c(2, 2k)− c(2, k − 1) =

(2k + 2

2

)−(k + 1

2

).

(2.4.1)

De la ultima igualdad, concluımos:(2k+2

2

)−(k+1

2

)= (2k+2)!

(2k)!2− (k+1)!

(k−1)!2= (k+1)

2[(2k + 1)2− k] = (k+1)(3k+2)

2.

y por lo tanto, todo numero pentagonal de rango positivo p5k, k ≥ 0, se puede

escrıbir de esta forma. De hecho p5k = k(3k−1)

2, k ≥ 1.

Si consideramos una sucesion del tipo

c(2, 2)− c(2, 0) = 2

c(2, 4)− c(2, 1) = 7

c(2, 6)− c(2, 2) = 15

... =...

c(2, 2k)− c(2, k − 1) =

(2k + 2

2

)−(k + 1

2

).

(2.4.2)

De la ultima igualdad, concluımos que para k < 0:

p5k =

(2k+2

2

)−(k+1

2

)= (2k+2)!

(2k)!2− (k+1)!

(k)!2= (k+1)(2k+1)(2)

2− (k)(k+1)

2= (k+1)(4k+2−k)

2=

(k+1)(3k+2)2

Con lo que hemos encontrado una expresion para los numeros pentagonalesde rango negativo.

47

Los numeros c(2, 0), c(2, 2), c(2, 4), . . . , c(2, 2k), dan lugar a la sucesion:

1, 6, 15, 28, . . . , (2k+2)(2k+1)2

y por lo tanto, todo numero hexagonal p6k, k ≥ 1 se puede escrıbir en la forma

(2k)(2k−1)2

.

Si consideramos el siguiente patron:

c(2, 3)− c(2, 1) = 7

c(2, 6)− c(2, 3) = 18

... =...

c(2, 3k)− c(2, 2k − 1) =

(3k + 2

2

)−(

2k + 1

2

) (2.4.3)

Con lo que obtenemos:

(3k+2)(3k+1)2

− (2k)(2k+1)2

= 5k2+7k+22

y esta es una expresion para numeros heptagonales p7k de rango positivo. De

hecho si k ≥ 1 entonces p7k = 5(k−1)2+7(k−1)+2

2= 5k2−3k

2.

Los numeros heptagonales de rango negativo, se obtienen del siguiente patron:

p32 + p3

1 = 4 = p7−1

p34 + p3

2 = 13 = p7−2

p32 + p3

1 = 27 = p7−1

... =...

p32k + p3

k = p7−k.

(2.4.4)

La ultima identidad nos permite describir los numeros heptagonales de rangonegativo.

Las siguientes identidades describen a los numeros octagonales de rango po-sitivo:

48

c(2, 2) + 2c(2, 0) = 8

c(2, 4) + 2c(2, 1) = 21

c(2, 6) + 2c(2, 2) = 40

... +... =

...

c(2, 2k) + 2c(2, 2k + 2)

(2.4.5)

p8k =

(2k+2

2

)+ 2(

2k+42

)= (2k + 1)(k + 1) + k(k + 1) = (k + 1)(3k + 1). De

donde concluimos que k(3k−2) = 6k2−4k2

= p8k, k ≥ 1, Es una expresion para

numeros octagonales de rango positivo.

El siguiente patron, permite dar una descripcion para los numeros octagona-les de rango negativo:

p32 + 2p3

1 = 5 = p8−1

p342 + p3

2 = 16 = p8−2

p36 + 2p3

3 = 33 = p8−3

... =...

p32k + 2p3

k = p8−k.

(2.4.6)

Las identidades descritas nos permiten concluir las identidades, para k ≥ 1:

pnk = pn−1k + p3

k−1

p3k =

k2 + k

2

p4k =

2k2

2

p5k =

3k2 − k2

p6k =

4k2 − 2k

2

p7k =

5k2 − 3k

2

p8k =

6k2 − 4k

2... =

...

(2.4.7)

49

Con las identidades 2.4.7, se deduce el siguiente resultado:

Teorema 2.4. Para todo k ≥ 1, pnk = (n−2)k2−(n−4)k2

.

Demostracion. Supongamos que la identidad se cumple para todo 1 ≤ j ≤n − 1 y 1 ≤ m ≤ k − 1. Luego pnk = pn−1

k + p3k−1 = (n−3)k2−(n−5)k

2+ (k−1)k

2=

k2((n−3)+1)−k(n−5+1)2

= (n−2)k2−(n−4)k2

. �

2.4.1. Formas Cuadraticas Universales

En esta seccion usaremos las identidades (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4),(2.4.5) y (2.4.6). Para encontrar algunas formas cuadraticas universales, ba-sadas en numeros triangulares. Para ello enunciaremos algunos resultadosrecientes en esta lınea de investigacion.

En 1993 Conway y Schneeberger enunciaron el siguiente resultado (conocidocomo teorema 15) probado por M. Bhargava en el 2000 [4].

Si una forma cuadratica entera representa los numeros 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10,14, 15, entonces ella representa a todos los enteros positivos.

En el 2009, B. Kane probo el siguiente resultado concerniendo sumas univer-sales de numeros triangulares [31].

Dada la sucesion de enteros b1, b2, . . . , bk entonces

(a) La suma de numeros triangulares

f(x) = fb(x) =k∑i=1

bitxi

representa todo entero positivo si y solo si fb representa los enteros1, 2, 4, 5, y 8.

(b) La correspondiente forma cuadratica diagonal Q(x) =k∑i=1

bisxi para la que

xi son todos impares, representa todo entero de la forma

8n+k∑i=1

bi

50

si y solo si representa 8+k∑i=1

bi, 16+k∑i=1

bi, 32+k∑i=1

bi, 40+k∑i=1

bi, y 64+k∑i=1

bi.

Como una aplicacion a las identidades presentadas en la seccion anterior, eneste trabajo enunciamos el siguiente resultado concerniendo el problema deRamanujan:

Teorema 2.5. Una forma cuadratica Q(x1, x2, x3) = a1p3x1−1 + a2p

3x2

+a3p

32x3−1 es universal si y solo si Q es uno de los siguientes tipos de for-

mas cuadraticas:

(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 4, 2) (1, 3, 2) (1, 2, 2) (1, 1, 2) (1, 4, 1) (1, 2, 1)(1, 1, 1) (2, 1, 4) (2, 1, 3) (2, 1, 2) (2, 4, 1) (2, 2, 1) (2, 3, 1) (2, 1, 1)(3, 2, 1) (4, 2, 1) (4, 2, 1) (4, 1, 1) (1, 1, 5) (1, 1, 4) (5, 1, 1) (3, 1, 2)(1, 5, 1)

Demostracion. Supongamos que la forma cuadratica Q es de uno de lostipos senalados entonces se puede usar el Teorema 15 o el Teorema 8 paraverificar que la forma correspondiente es universal. Por otro lado, si Q =a1p

3x1−1 + a2p

3x2

+ a3p32x3−1 es una forma cuadratica universal entonces se

puede concluir que para todo 1 ≤ i ≤ 3, ai < 6, ya que si ai ≥ 6 para alguni, 1 ≤ i ≤ 3, entonces la forma Q no genera 5. Las 25 formas descritas,se obtienen al ser inspeccionadas todas las formas del tipo (a1, a2, a3) con1 ≤ ai ≤ 5, para todo i, 1 ≤ i ≤ 3 via el teorema del 8. �

51

Capıtulo 3

Exploracion de PatronesAritmeticos en la Teorıa deNumeros

En este capıtulo se presenta una descripcion de algunos problemas impor-tantes que a traves de la historia dan cuenta de la busqueda de patrones, suconsecucion y generalizacion. En particular describiremos la coneccion entrelos teoremas 2.4.7 y 2.5 con el Teorema de Fermat de los numeros poligona-les.

Cada uno de estos se aborda mediante una resena historica y disciplinar,la cual muestra los procesos que conllevaron a multiples generalizaciones.Especıficamente la parte 3.1 se basa en el trabajo de Richard Guy [27].

3.1. Patrones en los Numeros Poligonales.

El teorema del numero poligonal de Fermat dice que cada numero natural essuma de a lo maximo n numeros poligonales. Cada numero natural puede serescrito como la suma de tres o menos numeros triangulares, o cuatro o menosnumeros cuadrados, o cinco o menos numeros pentagonales, y ası sucesiva-mente. Guy [27], pone de manifiesto la siguiente pregunta: ¿Que teoremashay, que establezcan que los numeros de una forma dada se puedan expresarcomo la suma de tres o mas numeros poligonales de una forma tambien dada?

52

3.1.1. El Teorema del numero poligonal de Fermat

La pregunta de Guy [27] hace referencia a la investigacion que a la fecha seviene realizando sobre sumas universales de numeros poligonales.Fermat presenta la conjetura respecto al Teorema de los numeros poligonalesde la siguiente manera [39]: ((He descubierto el mas hermoso teorema de lamas grandiosa generalidad: Cada numero es un numero triangular o la sumade dos o tres numeros triangulares, cada numero es un cuadrado o la sumade dos, tres, o cuatro cuadrados, cada numero es numero pentagonalo o lasuma de dos, tres, cuatro, o cinco numeros pentagonales, y ası sucesivamentepara los numeros hexagonales, numeros heptagonal, y todos los otros nume-ros poligonales. La descripcion exacta de este hermoso teorema depende delnumero de los angulos. El teorema se basa en el mas diverso y abstruso mis-terio de los numeros, pero no soy capaz de incluir la prueba aquı ...))

En 1621, Bachet conjeturo que todo numero puede expresarse como la sumade cuatro cuadrados cuya demostracion completo Lagrange en 1770. Tiempodespues, el 16 de julio de 1796, Gauss en su diario manifesto lo siguiente:

Figura 3.1: Fragmento del diario de Gauss

Esta anotacion es muy importante ya que Gauss resolvio uno de los grandesretos de Fermat.

Teorema 3.1. Todo numero entero positivo se puede escribir como suma detres numeros triangulares.

EΥPHEKA! num = ∆ + ∆ + ∆ (3.1.1)

53

De acuerdo a A.M. Canadas, este resultado esta ligado a las siguientes pro-posiciones:

La primera de ellas se debe a Euler, el cual noto que si n = k(k+1)2

es unnumero triangular tambien lo son 9n + 1, 25n + 3 y 81n + 10. Tambien es-tablecio que para cada numero impar m = 2j + 1, el numero m2n+ m2−1

8es

un numero triangular.

La segunda proposicion se refiere a que n es la suma de dos numeros trian-gulares j(j+1)

2y k(k+1)

2cuando 2(4n+ 1) = (2j + 1)2 + (2k + 1)2

Observe que el Teorema 2.5 puede ser interpretado en terminos del cues-tionamiento de Guy de la siguiente manera: Todo entero positivo se puedeescribir como una suma de numeros triangulares de la forma Q(x1, x2, x3) =a1p

3x1−1 +a2p

3x2

+a3p32x3−1. Siempre que la tripla (a1, a2, a3) sea una de las 25

descritas en el enunciado del Teorema.

3.1.2. Numeros Pentagonales y Conjetura de Ramanu-ja para 5n

A.M. Canadas [14], en uno de sus cursillos da muestras de la actividad ma-tematica y de la busqueda de una generalizacion en particular, este tiene quever con la teorıa de particiones, esta se remonta al ano 1669 cuando Leib-niz le escribio a Bernoulli preguntandole si habıa considerado determinar elnumero de formas en que un numero entero positivo puede ser separado ensus partes, la contestacion en palabras de Leibniz [30], ((parece un problemadifıcil pero importante)). Inicilamente definimos particion de la siguiente ma-nera:

Definicion. Una particion del numero natural n es una sucecion no crecien-te de numeros naturales cuya suma es n, el numero de particiones se denotaP (n) y por convencion p(0)=1.

Es decir, si n = 6, se pueden hacer 11 particiones de la siguiente forma:

p(n) Particiones1 6

54

2 5 + 13 4 + 24 4 + 1 + 15 3 + 36 3 + 2 + 17 3 + 1 + 1 + 18 2 + 2 + 29 2 + 2 + 1 + 110 2 + 1 + 1 + 1 + 111 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Lo anterior indica que para n = 6, p(n)=11, es decir se puede escribir elnumero 6 como 11 expresiones de numeros sumados de forma diferente, lasiguiente tabla muestra p(n), para diferentes n:

p(n) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15n 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 101 135 176

Sobre el estudio de p(n) Euler, utiliza dos identidades de series de potenciaque serıan la base de toda la teorıa de particiones, la primera de ellas usandola identidad 1

1−q = 1 + q + q2 + q3 + · · · , con q ∈ C y |q| < 1 y el productoinfinito de estos darıa lugar a la funcion generatriz de la funcion particion:

∞∑i=0

p(n)q(n) =∞∏i=1

1

1− qn(3.1.2)

Por otro lado Euler demostro que la inversa de la anterior funcion cumplecon una identidad:

∞∏i=1

1− qn = 1− q − q2 − q5 − q7 · · · =∞∑i=∞

(−1)nq(3n2+n)

2 (3.1.3)

De lo cual se puede observar que las potencias de la sumatoria tienen la for-

ma de numero pentagonal (3n2−n)2

.

De lo anterior Euler determino un Teorema sobre particiones:

55

Teorema 3.2. El numero de formas de escribir n como suma de un numeropar de enteros positivos distintos coincide con el numero de formas de escribirn como suma de un numero impar de enteros positivos distintos, salvo si nes un numero pentagonal. En este caso, la diferencia es ±1.

En [30], se plantea que este Teorema de los Numeros Pentagonales se podrıaconsiderar como el primer ejemplo de una extensa teoria que en la actualidadse conoce con el nombre de Identidades de q-series. Es decir, formulas querelacionan productos con sumas infinitas y que, vistas como funciones ge-neratrices, tienen notables consecuencias para las funciones aritmeticas quegeneran.De acuerdo a [30], la Aritmetica de p(n) comienza en 1919 con un trabajo co-laborativo entre Godfrey Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan, este trabajose baso en la obtencion del desarrollo asintotico de la funcion particion:

p(n) ∼ 1

4n√

3eπ√

2n

3, n→∞ (3.1.4)

Para este estudio Hardy y Ramanujan tenıan la tabla proporcionada porPercy Alexander McMahon, un mayor de la Artillerıa Real Britanica, estatabla contenıa los valores de p(n) hasta n=200, para tal valor Mc Mahoncalculo p(200) = 3,972,999,029,388, de acuerdo a Andrews [2], Mr. Hardy yRamanujan describen unas curiosas propiedades de congruencia que aparen-temente satisfacen p(n), la siguiente tabla las describe:

Numeral Particiones Propiedad1 p(4), p(9), p(14), p(19) ≡ 0 mod 52 p(5), p(12), p(19), p(26) ≡ 0 mod 73 p(6), p(17), p(28), p(39) ≡ 0 mod 114 p(24), p(49), p(74), p(99) ≡ 0 mod 255 p(19), p(54), p(89), p(124) ≡ 0 mod 356 p(47), p(96), p(145), p(194) ≡ 0 mod 497 p(39), p(94), p(149) ≡ 0 mod 558 p(61), p(138) ≡ 0 mod 779 p(116) ≡ 0 mod 12110 p(99) ≡ 0 mod 125

De estos datos conjeturan el siguiente teorema:

56

Teorema 3.3. Si δ = 5a · 7b · 11c y 24λ ≡ 1 mod δ, entonces p(λ), p(λ +δ), p(λ+ 2δ), · · · ≡ 0 mod δ

Pero aclara que aunque existe evidencia de la veracidad de este teorema, aunno hay prueba de tal cosa.Basado en esto, Ramanujan a partir de la tabla construida por Mc Mahonprobo que:

p(5n+ 4) ≡ 0 mod 5 (3.1.5)

p(7n+ 5) ≡ 0 mod 7 (3.1.6)

y esbozo pruebas para:

p(25n+ 24) ≡ 0 mod 25 (3.1.7)

p(49n+ 47) ≡ 0 mod 49 (3.1.8)

Es decir, pruebas de que el numero p(5m+4) es divisible por 5 para todo m,el numero p(7m+5) es divisible por 7 para todo m.

3.2. Numeros de Fermat

En 1640 Pierre de Fermat conjeturo que todos los numeros de la formaFm= 22m + 1 , con m = 0, 1, 2, 3, . . . , eran primos, esta conjetura resulto noser cierta, situacion que puede observarse en F5 ya que este es un numerocompuesto:

F0=3 F1=5 F2=17 F3=257 F4=65,537 F5=4.294.967.297

3.2.1. La Refutacion de Euler a los Numeros Primosde Fermat.

Segun Krizek, Luca y Somer, [32] en 1742 Leonard Euler encontro que F5=641× 6.700.417, esto da muestra de la afirmacion equivocada realizada por Fer-mat, ya que F5 es un numero compuesto. Lo anterior genero una denomina-cion especıfica, que llamo a Fm los numeros de Fermat y a los Fm que sonprimos se les llamo los primos de Fermat.

57

Tal refutacion de Euler es muy interesante y comienza de acuerdo a la narra-cion de Dunham, [23] cuando Golbach, en carta dirigida a Euler, con fechadel 1 de diciembre de 1729, le pregunta: ((¿Conoce la afirmacion de Fermat deque todos los numeros 22m + 1 son primos? Fermat ha dicho que no lo pudodemostrar, ni nadie que yo sepa lo ha conseguido)). Es posible observar quepara los primeros 5 numeros, tal cosa es cierta, pero Euler mostro de formaingeniosa como F5, es un numero compuesto. Lo que hizo Euler fue deter-minar un numero a, como un numero par y un numero p, como un numeroprimo que no era factor de a.

El estudio se baso en buscar las restricciones para que fuera divisor exacto dea+1 , a2 +1, a4 +1, y en general a2m+1, obviamente a Euler le importaba elenunciado de Fermat para m = 5. A continuacion se presenta textualmente,de acuerdo al trabajo de Dunham, un grupo de teoremas, que permitieron aEuler concluir que F5 = 22m + 1 = 225

+ 1 = 232 + 1 = 4,294,967,297=641 ×6.700.417 [23].

Teorema 3.4. Supongase que a es un par y p es un numero primo que no esfactor de a pero si divisor exacto de a + 1. Entonces, para un cierto numeroentero, k, p= 2k + 1.

Demostracion. Si a es un numero par, entonces a+ 1 es impar. Puesto quehemos supuesto que p es un divisor exacto del numero impar a + 1, p debeser impar. Por ello p− 1 es par y, en consecuencia, p− 1 = 2k para un ciertonumero entero k. En otros terminos p = 2k + 1 [23].

En el teorema 2.2, Euler demuestra que p tiene la forma 4k + 1, para unnumero entero k, por el teorema 2.1, se sabe que cualquier factor primo dea2 + 1 y particularmente el numero p, debe ser impar, esto es que p debeser una unidad mayor que un multiplo de 2. La intencion era suponer quep = 4k + 3, para un numero entero k, llegando a una contradiccion por locual solo existe la posibilidad de que p = 4k + 1.

58

Teorema 3.5. Supongase que a es un numero par y que p es un numeroprimo que no es un factor de a, aunque es un divisor exacto de a2 + 1. En-tonces, para un cierto numero entero, k, p= 4k + 1.

Demostracion. Puesto que a es par, tambien lo sera a2 y por el Teorema2.1 sabemos que cualquier factor primo de a2 + 1, particularmente el numerop, debe ser impar.Por hipotesis, p no es un divisor de a, de acuerdo al pequeno teorema deFermat implica que p es divisor exacto de:

ap−1 − 1 = a(4k+3)−1 − 1 = a4k+2 − 1

Como p es divisor de a2 + 1 entonces p es tambien un divisor del producto.

(a2 + 1)(a4k − a4k−2 + a4k−4 + . . .+ a4 − a2 + 1) = a4k+2 − 1

Por lo cual p es un divisor exacto de a4k+2 + 1 y a4k+2 − 1 entonces p debeser un divisor de la diferencia

(a4k+2 + 1)− (a4k+2 − 1) = 2

Lo cual es una contradiccion, ya que el numero primo impar p no puede serun divisor exacto de 2, por lo tanto p tiene la forma 4k + 1 para un ciertonumero entero k [23].

Es de notar que a4 + 1 = a22+ 1. Consiguientemente, podemos aplicar el

Teorema 2.2. para deducir que p es una unidad mayor que un multiplo de 4.Con esta idea, Euler busco que ocurrıa si p se divide, no por 4 sino por 8. Enprincipio, parece que podemos encontrar ocho posibilidades:

p = 8k (Esto es, p un multiplo de 8)p = 8k + 1 (Esto es, p es una unidad mayor que un multiplo de 8)p = 8k + 2 (Esto es, p es dos unidades mayor que un multiplo de 8)

59

p = 8k + 3 (Esto es, p es tres unidades mayor que un multiplo de 8)p = 8k + 4 (Esto es, p es cuatro unidades mayor que un multiplo de 8)p = 8k + 5 (Esto es, p es cinco unidades mayor que un multiplo de 8)p = 8k + 6 (Esto es, p es seis unidades mayor que un multiplo de 8)p = 8k + 7 ( Esto es, p es siete unidades mayor que un multiplo de 8)

Afortunadamente y esto estaba en lo mas ıntimo del analisis de Euler, pode-mos eliminar alguna de estas posibles formas de p. En primer lugar sabemosque p debe ser impar a4 − 1, y ası p no puede adoptar la forma 8k, 8k + 2,8k + 4, o 8k + 6 todos los cuales son claramente numeros pares.

Ademas 8k + 3 = 4(2k) + 3 es tres unidades mayores que un multiplo de4, y sabemos que el Teorema 2.2. que p no puede adoptar esta forma, Asi-mismo el numero 8k+7 = 8k+4+3 = 4(2k+1)+3 es tambien tres unidadesmayor que un multiplo de 4, y tambien podemos eliminarlo de nuestro anali-sis.

Ası los unicos divisores primos posibles de a4 + 1 tiene la forma 8k + 1o 8k+5. Pero Euler consiguio eliminar el ultimo caso de la siguiente manera:

Teorema 3.6. Supongase que a es un numero par y que p es un numeroprimo que no es factor de a pero si divide exactamente a4 + 1. Entonces paraun cierto numero entero, k, p = 8k + 1.

Demostracion. Si p = 8k + 5 para un cierto numero entero k entonces,puesto que p no es un divisor de a, el pequeno teorema de Fermat dice quep es divisor exacto de ap−1 − 1 = a(8k+5)−1 − 1 = a8k+4 − 1.

Si p es divisor exacto de a4 − 1, entonces sera tambien divisor exacto de(a4 + 1)(a8k − a(8k−4) + a(8k−8) − a(8k−12) + . . .+ a8 − a4 + 1) = a(8k+4) + 1

Si p es un factor tanto de a(8k+4)+1 como de a(8k+4)−1, entonces p sera factortambien de su diferencia, (a(8k+4) + 1)− (a(8k+4) − 1) = 2

60

Lo cual es una contradiccion, ya que p es un numero primo impar. En con-secuencia, p no puede tener la forma 8k + 5, y ası la unica posibilidad parap es, p = 8k + 1.[23]

Por ultimo la conclusion, que F5, es un numero compuesto se describe clara-mente en el siguiente proceso:

232+1 no es un numero primo. Puesto que a = 2, es un numero par, cualquierfactor primo de 232 +1 debe tener forma p = 64k+1, con k un numero entero,por lo cual se deben comprobar uno por uno estos numeros para determinarsi son primos y si son divisores exactos de 4,294,967,297.

Si k=1 entonces p=65,que no es un numero primoSi k=2 entonces p = 129 = 43× 3, que no es un numero primoSi k=3 entonces p=193,es un numero primo, pero no es divisor de 232 + 1Si k=4 entonces p=257,es un numero primo, pero no es divisor de 232 + 1Si k=5 entonces p = 321 = 3× 107, que no es un numero primoSi k=6 entonces p = 385 = 5× 7× 11, que no es un numero primoSi k=7 entonces p=449,es un numero primo, pero no es divisor de 232 + 1Si k=8 entonces p = 513 = 3× 3× 3× 19, que no es un numero primoSi k=9 entonces p=577,es un numero primo, pero no es divisor de 232 + 1

Cuando se realiza la comprobacion de k=10 es posible observar que p=641 yeste es un numero divisor de 232 + 1. Quedando probado que F5 = 22m + 1 =225

+1 = 232+1 = 4,294,967,297 = 641×6,700,417, es un numero compuesto.Este proceso se puede replicar determinado que el numero de Fermat F6 =226

+ 1 = 264 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617, tiene como divisor a p =274,177. Es decir se conserva el patron determinado por Euler ya que p tienela forma 128k + 1, pues p = 128× 2,142 + 1.

Un ejemplo de la aplicabilidad de lo anterior es mostrada por el matematicoWestern en 1903. Western querıa saber si F18, era un numero compuesto, si-tuacion complicada ya que este numero de Fermat tiene alrededor de 80.000dıgitos, por lo cual busco un numero natural k de forma que k220+1 dividieraa F18, los k que se necesitan buscar son los que k220 + 1 es un numero primo.Al final Western descubrio que para k=13, p divide a F18.

61

Kriseck, Luca y Somer [32], muestran como se comprueba que p divide a F18,usando cadenas de congruencias:

p = 13 · 220 + 1 = 13,631,489225 ≡ 655362 ≡ 1,048,261 mod p

226 ≡ 10482612 ≡ 3,164,342 mod p227 ≡ 31643422 ≡ 9,153,547 mod p

...2217 ≡ 15986222 ≡ 1,635,631 mod p2218 ≡ 16356312 ≡ 13,631,488 mod p

Por lo cual 2218+ 1 = 0 mod 13,631,489

3.2.2. Determinacion de numeros de Fermat.

Por otro lado existe una forma muy sencilla de determinar numeros de Fer-mat, utilizando el recıproco de estos.

Usando la demostracion plasmada por Masmela [36], se tiene el siguienteteorema:

Teorema 3.7. Denotese por Fm el m-esimo numero de Fermat entoncesFm=F 2

m−1 − 2Fm−1 + 2 , donde m ≥ 1.

Demostracion.Dado que Fm−1 = 22m−1+ 1, entonces sustituyendo en la

expresion Fm=F 2m−1-2Fm−1+2 [11]

Fm=(22m−1+ 1)2 − 2(22m−1

+ 1) + 2

Fm=((22)m−1)2 + 2(22)m−1 + 1− 2(22)m−1 − 2 + 2

Fm = 22m + 1

62

Este teorema es muy util ya que se puede obtener los siguientes numeros deFermat, conociendo el anterior, como por ejemplo:

F0 = 3F1 = F 2

0 − 2F0 + 2 = 5F2 = F 2

1 − 2F1 + 2 = 17F3 = F 2

2 − 2F2 + 2 = 257F4 = F 2

3 − 2F3 + 2 = 65537

Es importante comentar que existe un problema abierto y es que el mayornumero primo de Fermat conocido es F4, y no existe ninguna demostracionde que este es el mayor numero primo de Fermat.

3.2.3. Numeros de Fermat en la actualidad.

En la actualidad se conocen cinco numeros primos de Fermat, los mismosque se conocıan en los tiempos de Fermat, de estos numeros se han realizadodos conjeturas que constituyen problemas abiertos en el presente segun [49],la primera es que solo hay cinco numeros primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y65537) y la segunda conjetura es que existe una cantidad infinita de numerosprimos de Fermat.

Los ocho primeros numeros de Fermat y su factorizacion se presentan a con-tinuacion:

F0 = 21 + 1 = 3

F1 = 22 + 1 = 5

F2 = 24 + 1 = 17

F3 = 28 + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65,537

F5 = 232 + 1 = 671× 6,700,417

F6 = 264 + 1 = 274,177× 67,280,421,310,721

F7 = 2128 + 1 = 59,649,589,127,497,217× 5,704,689,200,685,129,054,721

63

De acuerdo a la pagina de internet Prothsearch [44], el ultimo factor de unnumero de Fermat encontrado es 143918649× 24654 + 1 que divide a F4652,este numero fue encontrado el 9 de Octubre del ano 2012 por Tapio Rajala.Recientemente se encontraron los siguiente factores de numeros de Fermat:

Fecha Divisible DescubridorAgosto 3 2012 72179955× 24269 + 1 divide a F4265 Takahiro NoharaJulio 10 2012 2674670937447× 2171 + 1 divide a F166 Roman MaznichenkoJulio 7 2012 20018578522347× 288 + 1 divide a F86 Michael Dangler

Debido a la enorme complejidad de los numeros de Fermat, pues la cantidadde dıgitos es muy grande, se utiliza cierta notacion que permite nombrarsus factorizaciones por medio del establecimiento de factores primos de laforma k2n+ 1 de numeros de Fermat Fm, en la siguiente tabla se resume lafactorizacion completa de estos numeros, segun [44]:

m k n Ano Descubridor5 5 7 1732 L. Euler

52347 7 1732 L. Euler6 1071 8 1855 T. Clausen; F. Landry 1880

262814145745 8 1855 T. Clausen; F. Landry y H. Le Lasseur 18807 116503103764643 9 1970 M. A. Morrison y J. Brillhart

11141971095088142685 9 1970 M. A. Morrison y J. Brillhart8 604944512477 11 1980 R. P. Brent y J. M. Pollard

[59 digits] 11 1980 R. P. Brent y J. M. Pollard9 37 16 1903 A. E. Western

[46 digits] 11 1990 A. K. Lenstra, M. S. Manasse y a larger team[96 digits] 11 1990 A. K. Lenstra, M. S. Manasse y a larger team

10 11131 12 1953 J. L. Selfridge395937 14 1962 J. Brillhart[37 digits] 12 1995 R. P. Brent[248 digits] 13 1995 R. P. Brent

11 39 13 1899 A. Cunningham119 13 1899 A. Cunningham10253207784531279 14 1988 R. P. Brent434673084282938711 13 1988 R. P. Brent[560 digits] 13 1988 R. P. Brent y F. Morain

64

3.2.4. Polıgonos regulares y numeros primos de Fer-mat

Tiempo despues los numeros de Fermat pasaron de ser una simple curiosidada algo mas complejo cuando Carl Friedrich Gauss encontro una conexion en-tre los primos de Fermat y la construccion con regla y compas de los polıgonosregulares. Inicialmente escribio un artıculo en donde dividıa un cırculo en 17partes iguales usando herramientas geometricas y basandose en que 17 eraun numero primo de Fermat.

A traves de la historia se encuentran los siguientes avances en cuanto a laconstruccion de polıgonos regulares con regla y compas:

Euclides quien vivio entre el siglo IV a.c y el siglo III a.c, determino queexiste una construccion con regla y compas de un polıgono regular de nvertices para n = 2i3j5k , donde n ≥ 3,e i ≥ 0 son enteros y j, k ∈ 0, 1.

Pierre de Fermat alrededor del ano 1640 afirmo incorrectamente quepara m = 0, 1, 2, 3 . . ., la sucesion Fm=22m+1, es de solamente numerosprimos.

Leonhard Euler en el siglo XIIX, determino que F5 es un numero com-puesto.

Carl Friedrich Gauss quien vivio entre los anos 1777 y 1855 afirmo queexiste una construccion con regla y compas para el polıgono no regularde n vertices, donde n=2iFm1 Fm2. . .Fmj, donde n ≥ 3,i ≥ 0,j ≥0,yF1, F2, . . . , Fmj son numeros primos de Fermat.

Segun el teorema de Gauss un polıgono regular de n lados, donde n es impar,se puede construir con regla y compas para n = 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, . . .,donde n es el producto de numeros primos de Fermat. Por ejemplo, 51 es elproducto de 17 y 3, que son numeros primos de Fermat.Masmela, [36] muestra el Teorema que relaciona polıgonos regulares con losnumeros de Fermat de Gauss:

Teorema 3.8. Un polıgono regular de n lados es construible con regla ycompas si y solo si la descomposicion en factores primos de n es de la forma2kf1f2. . . fk,donde k ≥ 0 y f1, f2 . . . , fk, son primos de Fermat distintos.

65

Es decir, que un polıgono regular es construible con regla y compas si sunumero de lados es producto de una potencia de dos y uno o varios numerosprimos de Fermat distintos. Por lo cual:

El triangulo:Tiene 3 lados por lo cual 3 = 220

+ 1

Figura 3.2: Polıgono Regular de 3 lados

El cuadrado:Tiene 4 lados por lo cual 4 = 22


66

El pentagono:Tiene 5 lados por lo cual 5 = 221

+ 1


El hexagono:

Tiene 6 lados por lo cual 6 = 2(220) + 1


El heptagono:Tiene 7 lados pero no es construible con regla y compas.

67

El octagono:Tiene 8 lados por lo cual 8 = 23

El eneagono:Tiene 9 lados pero no es construible con regla y compas.

Segun Gauss, en su libro Disquisitiones Arithmeticae, las secciones del cırculoque pueden realizarse por ecuaciones cuadraticas, es decir por construccionesgeometricas, estan determinadas por su numero de lados n y si este es unnumero primo entonces la division del cırculo esta determinada por la solu-cion de tantas ecuaciones como factores haya en el numero n−1 y el grado deesta ecuacion la determina el tamano de los factores. Si n−1 es una potenciadel numero 2, lo que ocurre con el valor de n es 3, 5, 17, 257, 65537, etc,. . .,la division del cırculo se reduce a ecuaciones cuadraticas unicamente. Por lacual la division del cırculo en n partes, esta determinada por las funcionestrigonometrica de angulos P

n, 2P

n, etc,. . .

Entonces para n = 17, Gauss determina la siguiente ecuacion:

cos 2 P17

=

= − 116

+ 116

√17+ 1

16

√34− 2

√17+1

8

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17

Esta ecuacion permite dividir la circunferencia en 17 partes iguales [25].

La construccion del polıgono regular de 17 lados de acuerdo al metodo deGauss en 1976 y simplificado por H.W.Richmond en 1893, se presenta en[41].

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diametrosperpendiculares AB y CD.

68

2. Se obtiene un punto P, sobre el radio OC, tal que el segmento OP esla cuarta parte de OC.

3. Se obtiene el punto E, sobre OA, tal que el angulo OPE es la cuartaparte del angulo OPA ( hay que bisectar dos veces un angulo).

4. Se obtiene un punto G, sobre AB, tal que el angulo APG sea de 45Ao

( se puede hacer bisectando un angulo recto).

5. Se obtiene F, mitad del segmento GA, se dibuja la circunferencia concentro f y radio FA. Esta circunferencia corta al radio OC en el puntoH.

6. Se dibuja la circunferencia con centro E y radio EH, dicha circunferenciacorta a AB en dos puntos: M y F ( ademas pasa por el punto F).

7. Se levantan perpendiculares a AB, pasando por M y F , que cortan ala circunferencia en R y S.

8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el ladodel polıgono regular de 17 lados.

Figura 3.6: Polıgono regular de 17 lados

3.2.5. Numeros primos de Fermat y el triangulo deHeron

Los numeros primos de Fermat aparecen ademas en otra aplicacion geometri-ca, esta tiene que ver con los triangulos de Heron, estos triangulos tienen la

69

propiedad de que todos sus lados son enteros y ademas su area tambien esun numero entero. Existe una relacion entre los numeros de Fermat y lostriangulos de Heron, esta es que si los lados del triangulo son potencias deprimos, entonces estas son 3, 4 y 5 o Fm, Fm y 4(Fm−1 − 1), de forma queFm es un numero primo de Fermat.

Figura 3.7: Triangulos de Heron

Teorema 3.9. Si las tres longitudes de los lados de un triangulo de Heronson potencias de primos, entonces estas longitudes son 3, 4, 5, o Fm, Fm,4(Fm−1 − 1) para algun m ≥ 1, tal que Fm es primo.

Esta relacion en este tipo de triangulos se hace aun mas atractiva, cuandola llamada formula de Heron determina el area de un triangulo conociendosus tres lados, sin necesidad de determinar la altura, situacion de muchaaplicabilidad en la vida cotidiana. La demostracion de esta formula es muyimportante y Dunham [23], lo muestra en su trabajo:

Teorema 3.10. Para un triangulo de lados a,b y c y area k, tenemos que k =√s(s− a)(s− b)(s− c) , donde s = a+b+c

2el semiperımetro del triangulo.

Demostracion.Sea ABC un triangulo arbitrario constituido de tal maneraque el lado AB sea al menos tan largo como los otros dos.

70

Si se considera O el centro del cırculo inscrito y si se llama r a su radio, seve que OD = OE = OF = r, como se muestra en la figura 2.7.

Figura 3.8: Circunferencia inscrita en un triangulo

Ahora, se aplica la sencilla formula del area del triangulo obteniendo:

Area (∆ ¯AOB)=12(base)× (altura) = 1

2AB × OD = 1

2cr

Area (∆ ¯BOC)=12(base)× (altura) = 1

2BC × OE = 1

2cr

Area (∆ ¯COA)=12(base)× (altura) = 1

2AC × OF = 1

2cr

Por tanto,

K= Area (∆ABC) = Area (∆AOB) + Area (∆BOC) + Area (∆COA) o

K =1

2cr +

1

2ar +

1

2br =

a+ b+ c

2= rs (3.2.9)

Lo cual permite ver una conexion entre el area del triangulo, k, y su semi-perımetro, s.

Volviendo a la figura 2.7, a partir de los primeros preliminares que el procesode inscripcion de un cırculo comenzaba dividiendo por la mitad los tres angu-

71

los del triangulo. Ası el ∆ABC se descomponıa en tres pares de trianguloscongruentes, a saber,

∆AOD ≈ ∆AOF , ∆BOD ≈ ∆BOE, y ∆COE ≈ ∆COF

Donde, en cada caso, se daba una congruencia por la congruencia angulo-angulo-lado (Euclides proposicion I.26). Entonces, por las partes correspon-dientes, se tiene:

AD = AF , BD = BE, y CE = CF

Mientras que los angulos AOD = AOF , BOD = BOE y COE = COF .En este punto, Heron prolongo la base AB del triangulo hasta el punto G,de forma que AG = CE. Entonces, argumento que

BG = BD + AD + AG = BD + AD + CE. Por construccion

=12(2BD + 2AD + 2CE)

=12[(BD + BE)(AD + AF )(CE + CF )]

Por congruencia

=12[(BD + AD)(BE + CE)(AF + CF )]

=12(AB + BC + AC) = 1

2(c+ a+ b) = s

1

2(AB + BC + AC) =

1

2(c+ a+ b) = s (3.2.10)

En consecuencia, el segmento BG de Heron tenıa la longitud del semiperıme-tro del triangulo, aunque ((estirado)).

Sabiendo que BG = s, se deriva facilmente que

72

s− c = BG− AB = AG

s− b = BG− AC =(BD + AD + AG)− (AF + CF ) =

= (BD + AD + CE)− (AD + CE) ≈ BD

Ya que AD = AFyAG = CE = CF . Asimismo,

s− a = BG− BC =

= (BD + AD + AG)− (BE + CE) =

= (BD + AD + CE)− (BD + CE) = AD

Ya que BD = BE y AG = CE.

En resumen, el semiperımetro s y las cantidades s− a, s− b y s− c aparecencomo segmentos particulares en el diagrama.

Se comienza de nuevo con el ∆ABC y su cırculo inscrito, pero ahora se ne-cesita un diagrama ampliado para ilustrar el razonamiento de Heron en lafigura 2.7, Heron trazo la recta OL perpendicular a OB, cortando AB en K.A continuacion se construye AM perpendicular a AB de forma que cortara aOL en el punto H y, finalmente, se traza BH.

El cuadrilatero resultante AHBO deberıa resultar familiar. La proposicion4 es, de hecho, un cuadrilatero cıclico y ası, por la proposicion 5, se sabe quesus angulos opuestos suman dos rectos.

Esto es,

AHB + AOB = 2 angulos rectos.

AHB + AOB = 180◦ (3.2.11)

73

Figura 3.9: Razonamiento Formula de Heron

KDr

= rBD

o sencillamente (KD)(BD) = r2

(KD)(BD) = r2 (3.2.12)

(Los griegos dirıan sencillamente que r es la ((media proporcional)) entre lasmagnitudes KD y BD)

En este punto, Heron anade 1 a cada miembro de la ecuacion 3.2.12 paraobtener

AB

AG+ 1 =

AK

KD+ 1 (3.2.13)

Que reducidos a fracciones se convierten en

AB+AGAG

= AK+KDKD

o sencillamente BGAG

= ADKD

BG

AG=AD

KD(3.2.14)

En esta ultima ecuacion, si multiplicamos el primer miembro por BGBG

y el

segundo por BDBD

, se mantendra la igualdad, obteniendose

74

(BG)(BG)

(AG)(BG)= (AD)(BD)

(KD)(BD)y ası

(BG)2

(AG)(BG)= (AD)(BD)

r2teniendo en cuenta 3.2.12.

Multiplicando entre si los extremos y los medios de esta proporcion, se tiene:

r2(BG)2 = (AG)(BG)(AD)(BD)

Sustituyendo se tiene que:

r2s2 = (s− c)(s)(s− a)(s− b) = s(s− a)(s− b)(s− c) Yası rs =

√s(s− a)(s− b)(s− c)

Pero, se sabe que si K es el area de nuestro triangulo, entonces rs = K. Portanto, una ultima sustitucion da la formula de Heron:

K =√s(s− a)(s− b)(s− c) (3.2.15)

3.2.6. Numeros primos de Fermat y simetrıa rotacional

Kriseck y Somer, [33] presentan la siguiente proposicion:

Sea b > 1 y n enteros positivos. Si ri es el resto producido en el paso idel algoritmo de division que permite escribir 1

nen base b, entonces el resto

producido en el paso (i+ 1)-esimo obviamente cumple la congruencia:

ri+1 ≡ bri mod n (3.2.16)

Los autores presentan un ejemplo para 17, que a continuacion se presenta:

75

1

7= 0, ¯142857 (3.2.17)

De esto sale una secuencia periodica de los residuos:

r0 = 1,r1 = 3 ≡ 10 mod 7r2 = 2 ≡ 30 mod 7r3 = 6 ≡ 20 mod 7r4 = 4 ≡ 60 mod 7r5 = 5 ≡ 40 mod 7

r0 = r6 = 1 ≡ 50 mod 7

Figura 3.10: Representacion grafica de 17, para la base 10.

76

Figura 3.11: Representacion grafica de 17, para la base 11.

Es posible observar que para la representancion grafica en base 10, existe unasimetrıa rotacional, lo cual no sucede para la representacion grafica en base11, ya que esta es asimetrica.

Es necesario aclarar entonces, segun Kriseck y Somer[33], que un entero n > 1se llama perfectamente simetrico, si la grafica asociada a su reciproco 1

nes

rotacionalmente simetrica respecto al punto (n2,n

2) en todas la veces b, tales

que b 6= 1 mod n.

Lo cual genera un teorema importante planteado por Jones y Pearce [?jones].

Teorema 3.11. Un entero n > 1 es perfectamente simetrico si y solo sin = 2 o n es un primo de Fermat.

Esto es una situacion muy curiosa, pues una vez mas aparecen implıcitos losnumeros primos de Fermat.

3.3. Ternas Pitagoricas.

El ser humano ha tenido un interes especial por los numeros, de acuerdo conMejıa y Cueto [37], la teorıa de numeros se encarga de estudiar las propieda-des de los numeros, en particular la civilizacion antigua de Grecia ha dejado

77

evidencia del interes por esta teorıa y especıficamente la escuela pitagorica endonde se consideraba que los numeros enteros eran mas que una abstraccionmatematica, le atribuıan misticismo y eran objeto de reverencia y contem-placion.

Segun la historia, tal como es narrada por Simon Singh[46], una vez mu-rio el fundador de la hermandad pitagorica, Cilon quien fue uno de los tantosrechazados por la escuela pitagorica ataco Crotona, razon por la cual la her-mandad tuvo que desplazarse a diversos destinos en la antigua Grecia. Estamigracion hizo que los discıpulos se separaran y fundaran nuevas escuelas ygracias a esto se transmitio al mundo la forma de encontrar ternas pitagori-cas.

Las ternas pitagoricas son combinaciones de numeros enteros que cumplenla ecuacion z2 = x2 + y2, con x 6= 0, y 6= 0 y z 6= 0, por ejemplo la terna 3,4, 5 ya que:

52 = 32 + 42 ; 25 = 9 + 16

Esta relacion numerica tambien puede concebirse como la determinacion dereordenamientos de cuadrados, como por ejemplo:

Este cuadrado surge del reordenamiento de los siguientes:

Figura 3.12: Representacion grafica de la terna pitagorica 3, 4, 5

78

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

Las ternas pitagoricas tienden a ser difıciles de encontrar a medida que losnumeros se hacen mas grandes, por lo cual los pitagoricos determinaron unmetodo para encontrarlo, demostrando ademas que existıan un numero infi-nito de ternas pitagoricas.

De acuerdo con Campos, [11] sobre el teorema de Pitagoras no es posible ave-riguar quien es su creador, pero si se le puede atribuir a la escuela pitagorica.En la India mas o menos por la epoca de Pitagoras ya se conocıan algu-nas ternas pitagoricas irreductibles, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37)y (7,24,25), estas ternas como fundamento para explicar la correspondenciade estas con los lados de triangulos rectangulos, pero sin ningun intento pordemostrarlas en general. Pero segun este mismo autor, explica que la tripla(3,4,5) usada muy frecuentemente en Egipto, fue la que llego a conocimientode los griegos y este fue el inicio de su estudio.

Sobre el problema de la generalizacion de ternas pitagoricas Campos, [11]manifiesta:

Los que mas adelantaron hacia el enunciado general (exceptuados los griegos,claro esta) fueron los matematicos indios, quienes formularon, entre otros, dosnotables enunciados, equivalentes en el lenguaje actual a estos dos:

El cuadrado sobre la diagonal es igual a los cuadrados sobre los lados deun rectangulo.

La diagonal de un cuadrado produce un cuadrado de area doble de la delcuadrado inicial.

El Profesor Campos, en seguida afirma que la conclusion de algunos historia-dores es que los indios habıan llegado a conclusiones matematicas, unicamen-te mediante ensayos en casos particulares, pero nunca intentaron establecer

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esta verdad mediante una demostracion.

De lo anterior surge el problema de como encontrar todas las ternas pitagori-cas, inicialmente es posible observar que si (x, y, z) es una terna pitagorica,tambien lo es (mx,my,mz) para cualquier numero m.

Por otro lado una terna que no tenga divisores comunes, se dice que es una ter-na pitagorica primitiva, es decir, que el m.c.d.(x, z) = 1 y el m.c.d.(y, z) = 1.Lo cual es una situacion importante ya que si se encuentra el patron quedetermina todas las ternas pitagoricas primitivas, automaticamente se es-tarıan encontrando las restantes multiplicandolas por numeros arbitrarios,resolviendo ası el problema planteado.

Por ejemplo de la terna pitagorica primitiva (3, 4, 5), se determinan otrasvariando los m, patron que permite encontrar diferentes ternas con base auna inicial terna primitiva, como se muestra en la siguiente tabla:

m x y z1 3 4 52 6 8 103 9 12 154 12 16 205 15 20 256 18 24 307 21 28 358 24 32 409 27 36 4510 30 40 50

Para la terna pitagorica primitiva (5, 12, 13), se determinan otras, variandolos m, como se muestra a continuacion:

m x y z1 5 12 13

80

2 10 24 263 15 36 394 20 48 525 25 60 636 30 72 787 35 84 918 40 96 1049 45 108 11710 50 120 130

Para resolver el problema se tiene que si k ∈ Z entonces, k2 ≡ 0 mod 4 ok2 ≡ 1 mod 4, por lo cual, si k es un numero par, entonces, k = 2l, por locual, k2 ≡ 4l2, es decir, que k2 es divisible por 4 y por otro lado si k es unnumero impar, entonces, k = 2l+1 por lo cual, k2 = 4l2+4l+1 = 4l(l+1)+1.

Si se considera la terna (a, b, c) como una terna pitagorica primitiva y a, bcomo numeros impares, entonces, a2 ≡ 1 mod 4 y b2 ≡ 1 mod 4 por lotanto, a2 + b2 ≡ 2 mod 4, lo cual no serıa posible, ya que c2 = a2 + b2 porlo cual, ocurrirıa que c2 ≡ 2 mod 4.

En los ejemplos anteriores se consideraron las ternas pitagoricas primitivas(a, b, c), (3, 4, 5) y (5, 12, 13), en las cuales es posible observar para la terna(a, b, c) que a2 ≡ 1 mod 4. Para la terna (3, 4, 5) es posible observar que32 ≡ 1 mod 4 y para la terna (5, 12, 13) es posible observar que 52 ≡ 1mod 4, situacion de la que se deduce que a es un numero par y b debe ser unnumero impar.

Dado que a y b son coprimos y no pueden ser impares al mismo tiempo,existen dos posibilidades, que a sea par y que b sea impar o que a sea impary que b sea par, pero dada la simetrıa de la ecuacion es suficiente con analizaruna solo situacion. Por lo anterior se analizara el caso de que a sea impar yb sea par, entonces como a es impar a2 tambien es impar, luego a2 + b2 esimpar, por lo cual c2 es impar y c es impar.

Por otro lado como c2 = a2 + b2, entonces, b2 = (c − a)(c + a), como ay c son numeros impares entonces (c− a) y (c+ a) son numeros pares situa-

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cion de la que se deduce que el m.c.d.((c − a), (c + a)) = 2 y que b es unanumero par, por lo cual b2 es divisible por 4, entonces se puede escribir losiguiente:

( b4)2 = c−a

2c+a

2

Ya que m.c.d.((c−a), (c+a)) = 2, se tiene que el m.c.d.( c−a2, c+a

2) = 1, por lo

cual, c−a2

, c+a2

, son coprimos, de acuerdo a Plaza[42], diremos que los nume-ros enteros no nulos a y b son coprimos (relativamente primos) si no poseendivisores comunes diferentes de 1. En otras palabras, a y b son coprimos sim.c.d.(a, b) = 1.

De acuerdo a lo anterior c−a2, c+a

2son cuadrados perfectos, es decir, c+a

2= u2

y c−a2

= v2, situacion que lleva a (c+a) = 2u2 y (c−a) = 2v2, al sumar estasecuaciones se obtiene 2c = 2u2 + 2v2, es decir, c = u2 + w2.

De lo anterior se deduce que 2u2 = a+u2 +v2, lo cual genera que a = u2−v2,por lo cual, sabiendo que ( b

4)2 = c−a

2c+a

2entonces ( b

4)2 = 2u2

2v2

2= u2v2, por lo

tanto, b2 = 4u2v2 y b = 2uv.

En conclusion, la terna pitagorica (a, b, c) viene dada por (u2 − v2, 2uv, u2 +v2), con u, v enteros positivos y u > v. Tomando como ejemplo u = 2 yv = 1, se obtiene la terna (3, 4, 5), o si, u = 3 y v = 2, se obtiene la terna(5, 12, 13).

En la siguiente tabla se presentan diferentes ternas primitivas, obtenidasusando el anterior metodo.

u v u2 − v2 2uv u2 + v2

2 1 3 4 53 1 8 6 104 1 15 8 175 1 24 10 263 2 5 12 134 2 12 16 205 2 21 20 294 3 7 24 25

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5 3 16 30 346 3 27 36 45

Particularizando, se tiene que si u = 2n y v = 1, se obtiene la terna pitagorica(4n2−1, 4n, 4n2 +1), dando valores naturales a n, se obtienen infinitas ternaspitagoricas, algunas de ellas en la siguiente tabla:

n 2n v 4n2 − 1 4n 4n2 + 11 2 1 3 4 52 4 1 15 8 173 6 1 35 12 374 8 1 63 16 655 10 1 99 20 1016 12 1 143 24 1457 14 1 195 28 1978 16 1 255 32 2579 18 1 323 36 32510 20 1 399 40 401

3.3.1. Prueba de la existencia de Infinitas Ternas Pi-tagoricas.

Una terna Pitagorica, es un conjunto de tres numeros enteros tales que elcuadrado del primero mas el cuadrado del segundo es igual al tercer numeroal cuadrado, Euclides demostro que existıan una infinidad de estas ternas.Para esta prueba Euclides determina que la diferencia entre cuadrados suce-sivos siempre era un numero impar de la siguiente forma:

12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 . . .1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 . . .3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 . . .

Cada numero impar puede sumarse a otro a un numero cuadrado especıficopara generar otro cuadrado, una fraccion de esos numeros impares son, a

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su vez, cuadrados, pero una fraccion de infinito es tambien infinito. Por loanterior, hay una infinidad de numeros cuadrados que pueden sumarse acuadrado para obtener otro numero cuadrado. Lo que quiere decir que existeuna cantidad infinita de ternas Pitagoricas.

3.4. El Ultimo Teorema de Fermat

Segun Singh [46], Euler se encontro con el ultimo teorema de Fermat, e inten-to probar que en la serie de posibles ecuaciones zn = xn+yn, con n > 2, paraalgun n, una de ellas no tenıa solucion, para luego extrapolar el resultado alresto de las ecuaciones. Euler tuvo la ventaja de encontrar en las notas de laaritmetica de Diofante, una prueba para la no solucion de la ecuacion paran = 4, esta prueba aunque con dificultad, se puede establecer que fue unaprueba por contradiccion, utilizando el metodo del descenso infinito.

3.4.1. Utilizacion del metodo del descenso infinito parauna particularizacion de la ecuacion zn = xn +yn.

El metodo del descenso infinito demuestra una afirmacion sobre numerosnaturales, consistente en decir que ninguno de los numeros naturales de uncierto subconjunto satisface cierta propiedad. En terminos formales el des-censo infinito es un metodo de demostracion para probar rigurosamente unaproposicion de la forma: ∀n ∈ A ⊂ N : ¬P (n)

Es decir, si se quiere demostrar una cierta afirmacion P . Lo que se hace essuponer que para un cierto numero natural n se cumple su negacion, ¬P ,y a partir de ahı se demuestra que entonces tambien se cumple su negacionpara un numero natural menor que n. Continuando con el razonamiento seobtiene una sucesion infinita y decreciente de numeros naturales, lo cual esimposible; o descendiendo se llega a un cierto numero natural que no cumple¬P . Por tanto, aplicando reduccion al absurdo se obtiene lo que se querıa:que P es cierta.

Fermat demostro usando el metodo del descenso infinito que la ecuacionz4 = x4 + y4, no tenıa solucion, para lograrlo inicialmente supuso que existıa

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la solucion hipoteticax = X1, y = Y1, z = Z1

usando las propiedades de estos numeros Fermat concluyo que tendrıa queexistir otra solucion (X2, Y2, Z2), formado por numeros mas pequenos. Exa-minado esta nueva solucion tendrıa que existir otra solucion (X3, Y3, Z3) hi-potetica con numeros mas pequenos y ası susecivamente.

Tal analisis deberıa concluir en una terna de numeros mas pequenos quelos anteriores, lo cual es imposible generandose una contradiccion, determi-nado que la primera afirmacion sobre la hipotesis de solucion de la ternax = X1, y = Y1, z = Z1 es falsa.

3.4.2. Prueba de la no solucion de la ecuacion zn =xn + yn para n un multiplo de 4

Se supondra que n es un multiplo de 4, es decir, que n = 4k, entonces existenenteros positivos x, y, z no nulos, tal que

zn = xn + yn

z4k = x4k + y4k

z(2k)2 = x(k)4 + y(k)4

Es decir, que z2k = xk + yk, es una solucion de la ecuacion u4 + v4 = w2.

Entonces, para demostrar que la ecuacion zn = xn + yn, no tiene solucionpara n = 4k, con k ∈ N , basta con demostrar que la ecuacion u4 + v4 = w2

no tiene soluciones enteras positivas no nulas.

Para tal objetivo se supondra la solucion (a, b, c), con a, b y c ∈ Z+ parala ecuacion u4 + v4 = w2, esta solucion de forma que no exista otra solucion(a,b,c), con c > c. Si a y b son coprimos, entonces, existen enteros positivosu y v tal que a2 = u2 − v2, b2 = 2uv y c2 = u2 + v2.

Como a2 + v2 = u2, existen enteros positivos p y q, coprimos, tales quea2 = p2 − q2, b2 = 2pq y c2 = p2 + q2, de lo anterior se tiene que b2 =2pq = 4pq(p2 +q2). Como p y q son coprimos, se tiene que p y q son coprimos

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con p2 + q2. De acuerdo a lo anterior p, q y p2 + q2 son cuadrados, por locual tendrıamos que p = r2, q = s2 y p2 + q2 = t2, para r, s y t nume-ros enteros positivos no nulos. De lo anterior se tiene que r4 + s4 = t2, conc = u2 + v2 > u = p2 + q2 = t2 > t, lo anterior contradice el hecho que el cescogido de forma que cualquier otra solucion (a,b,c), satisface que c < c.

3.4.3. El intento de Sophie Germain

La discriminacion por el sexo femenino en el tiempo de Sophie Germain, laobligo a asumir una identidad falsa que le permitiera mostrar sus adelantosfrente al trabajo matematico. Las comunicaciones de Monsier Le Blanc, laidentidad asumida falsamente por Sophie Germain y Carl Gauss permitio quela matematica ahondara en sus esfuerzos por demostrar el ultimo teoremade Fermat. Lo importante del trabajo de Germain tiene que ver con que suintento por demostrar esta Conjetura era asumida de una forma diferente acomo lo habıa hecho anos atras Euler. En su comunicacion a Gauss, mostrabaun tipo concreto de numero primo p, tal que 2p + 1 tambien es un numeroprimo. Especıficamente Germain contribuyo a la historia a la resolucion delTeorema de Fermat en la demostracion de la imposibilidad de soluciones en-teras positivas de la ecuacion xn + yn = zn, con la condicion de que x, y yz no sean simultaneamente multiplos de n, para todo n menor que 100. Deacuerdo con Steen, [47] ((si esa ecuacion tuviera solucion para 2 < n < 100,algunos de los elementos de la terna deberıan ser divisibles por el exponenten)).

Toda la demostracion se baso en los numeros primos de Germain, un numeroes primo segun Germain si dado p primo, 2p+1 tambien es primo. La coleccionde primos de Sophie Germain es 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, . . .

Es decir, si 2 es un numero primo 2 · 2 + 1 = 5, entonces 5 es un primode Germain y si 3 es un numero primo 2 · 3 + 1 = 7, entonces 7 es un primode Germain. Segun la pagina de internet Wikipedia [49], el mayor numeroprimo de Germain conocido hasta el ano 2012, encontrado por Philipp Blie-dung es el 18543637900515·2666667−1 que tiene 200701 dıgitos. Se conjeturaque existen infinitos numeros primos de Germain pero este es un problemaabierto ya que a la fecha nadie lo ha demostrado.

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Por otro lado en 1808 Germain comunico uno de sus descubrimientos ba-sada en que si x, y y z son numeros enteros tales que x5 + y5 + z5 = 0,entonces, al menos uno de los numeros x, y y z debe ser divisible por 5. Elprimer logro de Germain fue demostrar que la ecuacion xp + yp = zp, con py p+ 1 numeros primos, no tiene soluciones no nulas.

El asunto es que si p y 2p+ 1 son ambos primos, la expresion para la Conje-tura de Fermat para la potencia p, implica que uno de los x, y y z es divisiblepor p, por lo cual la proposicion que aun era Conjetura hasta estos dıas, sedivide en dos casos:

Caso 1. Ninguno de los x, y y z es divisible por p

Caso 2. Uno y solo uno de los x, y y z es divisible por p

Sophie Germain probo el caso 1 para n < 100, mas adelante Legendre loprobo para n < 197. En este punto el caso 2 no habıa sido probado paraningun n, mas adelante se estudio este caso para n = 5, obteniendo dos nue-vos casos, el caso 1 que determina que si el numero es divisible entre 5, este espar y el caso 2 es en el que el numero divisible por 5 es diferente al numero par.

Usando todo este analisis producido por Sophie Germain, el caso 2, fue de-mostrado por Dirichlet en 1825 y un par de meses despues Legendre demostro,la otra parte del caso 2, especıficamente Dirichlet logro completar la demos-tracion para n = 5, tiempo despues en 1839 Lame demostro el caso de n = 7.

3.4.4. Generalidades de la Demostracion de AndrewWiles

Andrew Wiles uso una herramienta del siglo XX para demostrar el famosoUltimo Teorema de Fermat, lo anterior ya que este Teorema es consecuenciade la Conjetura Taniyama-Shimura, que dice que cada curva elıptica puedeasociarse unıvocamente con un objeto matematico denominado forma mo-dular. La historia cuenta como Fermat, en el margen de una pagina de suejemplar de la Aritmetica de Diofanto de Alejandrıa, escribe ((Es imposible

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descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, yen general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potenciasdel mismo exponente. He encontrado una demostracion realmente admirable,pero el margen del libro es muy pequena para ponerla))

Figura 3.13: Portada del Libro Arithmetica de Diofanto de Alejandrıa.

Fermat escribio que la margen del libro era muy pequena para contener taldemostracion, lo extrano del asunto es que la demostracion realizada porWiles requerıa de conocimientos de las formas modulares, la conjetura deTaniyama-Shimura, los grupos de Galois y el metodo de Kolyvagin-Flach,conocimientos que de seguro no tenıa Fermat. Si Fermat no tenıa la demos-tracion de Wiles, la pregunta es ¿Que era lo que tenıa?, esto lleva a pensarque probablemente no tenıa una demostracion correcta del Teorema o su de-mostracion era tan ingeniosa que habıa escapado a las mentes mas brillantesde varios siglos, tanto ası que existen matematicos aun en la busqueda de lademostracion original de Fermat.

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Figura 3.14: Pagina que contiene la nota de Fermat.

El comienzo de la demostracion del ultimo Teorema de Fermat se da en1985 cuando G. Frey presenta una asociacion entre la ecuacion de Fermatan + bn = cn y la forma de una curva elıptica y2 = x(x + an)(x − bn), don-de an como bn son potencias n-esimas perfectas de numeros enteros con lacondicion de que tambien an + bn sea potencia perfecta n > 2. Esta ecuacionsimplificada es equivalente a y2 = x3 + (an − bn)x2 − an · bn · x.

Donde el discriminante del polinomio de segundo grado es

4 =√

(an − bn)2 + 4an · bn = an + bn = cn

En 1986 K. Ribet demostro que la curva Frey no puede ser parametrizadapor funciones modulares, es decir, la curva y2 = x3 + (an − bn)x2 − an · bn · xdonde el discriminante fuera una potencia perfecta no puede ser modular. Deacuerdo a Rabosa, [45] Wiles en companıa de Taylor, demuestra en el ano de1995, la conjetura para una clase de curvas elıpticas llamadas semiestables,despues en el ano 1999 Wiles demuestra la conjetura en su totalidad. Sobrela demostracion dada por Wiles en 1995 Aczel, [1] afirma que lo que se querıaera contar la cantidad de curvas elıpticas, las curvas elıpticas modulares ydemostrar que dicho numero es el mismo en ambos casos. Esto probarıa quelas curvas elıpticas y las curvas elıpticas modulares son las mismas tal comolo afirma la Conjetura Shimura y Taniyama. Para esto, Wiles determina dospuntos, en el primero, solo basta con estudiar una clase especial de curvas, las

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curvas elıpticas semiestables con coeficientes racionales y el segundo, que escontar de forma convencional las curvas no darıa resultado ya que se tienenconjuntos infinitos de curvas elıpticas semiestables.

3.5. El Calendario Maya Tzolkin

En el trabajo de Gomez, [26] se hace claridad sobre la aparicion de con-gruencias siempre que haya comportamientos cıclicos. El Calendario Tzolkines una aplicacion del teorema chino de los residuos, este calendario esta-ba determinado por la unidad, el dıa o kin. El segundo orden de unidadesesta compuesto por 20 kines al que se le dio el nombre de unial, el tercer or-den de unidad del sistema maya, el tun, se componıa de 18 uniales. Despuesdel tercer orden las unidades de progresion son de a 20. La siguiente tablaconsta de los valores numericos y los valores de tiempo:

20 kines = 1 unial o 20 dias18 uniales = 1 tun o 360 dias20 tunes = 1 katun o 7.200 dias 20 katunes =1 baktun o 144.000 dias20 baktunes = 1 picun o 2.880.000 dias20 pictunes = 1 calabtun o 57.600.000 dias20 calabtunes = 1 kinchiltun o 1.152.000.000 dias20 kinchiltunes =1 alautun o 23.040.000.000 dias

El nombre de los dıas en el calendario maya sagrado se compone de 2 partes:La primera es una correlacion de numeros del 1 al 13 utilizando la numera-cion maya (puntos, lıneas y cochas) y la segunda se compone de 20 nombresdiferentes que corresponden a un signo o glifo.A continuacion se muestra los 20 nombres diferentes que componen el calen-dario maya sagrado con sus glifos correspondientes:

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Figura 3.15: Meses del Calendario Maya

De tal forma el primer mes del calendario maya sigue la siguiente serie:1 Imix, 2 Ik, 3 Ak’bal, 4 K’an, 5 Chikchan, 6 Kimi, 7 Manik, 8 Lamat, 9Muluk, 10 Ok, 11 Chuen, 12 Eb, 13 Ben, 1 Ix, 2 Men, 3 Kib, 4 Kaban, 5Etz’nab, 6 Kayak, 7 Ajau

Este calendario esta compuesto de 20 meses, cada uno de 13 dıas, por locual el ano Tzolkin tiene 260 dıas. Para contar los dıas se utilizaba unarueda grande que representa los 20 meses y dentro hay otra rueda con losnumeros del 1 al 13 en escritura maya. En la Figura 2.15 se representa elprimer dıa del calendario correspondiente al primero de Imix.

Figura 3.16: Cuenta dıas del Calendario Tzolkin

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Dentro de los analisis realizados al Calendario Tzolkin, se encuentra el dedeterminar la cantidad de dıas que hay entre un par de dıas del calendario.Para realizar este calculo basta con determinar (m,n) con 0 < m < 20 ,0 < d < 13 y (m′, d′) con 0 < m′ < 20 , 0 < d′ < 13, donde m corresponde almes y d al dıa en el calendario . Es decir, dado que en este calendario existeun comportamiento cıclico se pueden plantear las siguientes congruencias:

x ≡ (d′ − d)mod13 (3.5.18)

x ≡ (m′ −m)mod20 (3.5.19)

Ya que (13, 20) = 1, se puede resolver el problema utilizando el TeoremaChino de los residuos.

Aplicando este Teorema se tiene que:

M = 13× 20

|x|M = |n∑i=1

wi|xiw−1i |mi

|M (3.5.20)

donde wi = Mmi

y w−1 el multiplicativo inverso de wi en modulo mi.

Es decir si se quiere saber cuantos dıas han transcurrido desde Ok 11 hastaEtznab 5, estos dıas se pueden escribir como las parejas (10,11) y (18,5) quegeneran las siguientes congruencias:

x ≡ (5− 11) mod 13 = x ≡ −6 mod 13

x ≡ (18− 10) mod 20 = x ≡ 8 mod 20

En este caso m1 = 13, m2 = 20, M1 = 20, M2 = 13, 20−1 mod 13 = 2, 13−1

mod 20 = 17.

Ya que x = −6+13k, luego −6+13k ≡ 8 mod 20, de donde 13k ≡ 14mod20,como 13 × 17 = 221 ≡ 1 mod 20, entonces k ≡ 18 mod 20, por lo quex = −6 + 13k ≡ 228 mod 260. Por lo que deben haber 228 dıas entre Ok 11y Etznab 5.

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Por otro lado, si se quiere determinar los dıas transcurridos entre 7 Manikhasta el dıa 5 kimi, lo cual genera las parejas (7,7) y (6,5), por lo cual setienen las congruencias:

x ≡ (5− 7) mod 13 = x ≡ −2 mod 13

x ≡ (6− 7) mod 20 = x ≡ −1 mod 20

En este caso m1 = 13, m2 = 20, M1 = 20, M2 = 13, 20−1 mod 13 = 2, 13−1

mod 20 = 17.

Ya que x = −2 + 13k, luego −2 + 13k ≡ −1 mod 20, de donde 13k ≡ 1mod 20, como 13 × 17 = 221 ≡ 1 mod 20, por lo que x = −2 + 13k ≡ 219mod 260. Por lo que deben haber 219 dıas entre Manik 7 y Kimi 5.

3.6. Paul Erdos y el Teorema de los Numeros

Primos

Sobre el Teorema de los numeros primos, en 1949 se dio una nueva demostra-cion realizada por Paul Erdos y Atle Selberg, lo interesante de esta demostra-cion es que solo se utilizaron argumentos de naturaleza elemental. Los iniciosde este problema se remontan al Teorema Fundamental de la Aritmetica queafirma que todos los enteros mayores que 1, se pueden expresar como produc-to de numeros primos y de manera unica, salvo el orden de los factores, estaprueba se remonta a los pitagoricos y aparece en el libro IX de los elementosde Euclides.

Tiempo despues Euler presento el siguiente teorema:

Teorema 3.12. La suma de los inversos de los primos es infinita.

Este teorema implica que deben existir una infinidad de numeros primos, perotambien implica que los numeros primos deben ser bastante numerosos paraque la suma diverja. En el ano de 1978 Legendre conjeturo que la cantidadde numeros primos menores que x debıan aproximarse a:

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π(x) =x

log(x)(3.6.21)

Paralelamente Gauss usando una tabla de numeros muy grande encontro quela densidad de numeros primos en un entorno n era aproximadamente 1

log(n),

por lo que el numero de primos menores que x era de:

π(x) ≈∫ x

2

dt

t≈ x

logx(3.6.22)

Tiempo despues Chebyschev, en 1850 utilizando una serie de argumentoscombinatorios formulo el siguiente teorema:

Teorema 3.13. Existen dos constantes positivas c < 1 < C tales quec xlogx

< π(x) < C xlogx

, para todo x ≥ 2.

Para mediados del siglo XX, aparece Paul Erdos y Atle Selberg y logran unademostracion elemental del teorema de los Numeros Primos. De acuerdo aCilleruelo, [19] en frase de Erdos, el punto inicial de la demostracion elementaldel teorema de los numeros primos fue la formula fundamental de Selberg,para lo cual encontro una ingeniosa demostracion elemental:∑

p<x

(log(p))2 +∑pq<x

(log(p))(log(q)) = xlog(x) +O(x) (3.6.23)

Por otro lado, segun Selberg, la demostracion original se baso en el siguienteresultado de Erdos: para todo δ > 0, existe un K(δ) > 0 tal que si x essuficientemente grande, entonces hay mas de K(δ) x

logxprimos en el intervalo

(x, x+ δ), este resultado permitio demostrar el teorema de forma elemental.

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Capıtulo 4

Patrones y ensenanza de lasMatematicas

Buscar y conseguir patrones es lo que sin duda, mejor hacen los matemati-cos, las matematicas no son una ciencia estatica enfocadaen ell aprendizajede formulas, sino que requiere una busqueda abierta de patrones. De acuer-do a Steen, [47] ((La matematica se ha descrito de manera tradicional comola ciencia del numero y la forma. El enfasis de los maestros en la aritmeti-ca y la geometrıa esta profundamente arraigado en esta perspectiva secular.Pero como el territorio explorado por los matematicos se ha ampliado a lateorıa de grupos y la estadıstica, a la optimizacion y la teorıa del control, loslımites historicos de las matematicas casi han desaparecido. Tambien lo hanhecho los lımites de sus aplicaciones: al dejar de ser el lenguaje exclusivo dela fısica y la ingenierıa, las matematicas son ahora un instrumento esencialde las actividades bancarias y manufactureras, de las ciencias sociales y lamedicina. Cuando se contemplan en este contexto mas amplio, vemos quelas matematicas no tratan tan solo de numeros y formas sino de patronesy relaciones de orden de todas clases. El numero y la forma, aritmetica ygeometrıa, no son sino dos de los multiples territorios en que trabajan losmatematicos. En realidad, los matematicos activos investigan patrones don-de quiera que surjan)).

En los ultimos anos la ensenanza de la matematicas en Colombia ha tenido uncambio sustancial, ya que se ha dejado de lado la memorizacion de aspectosrelevantes de la matematica, para darle paso a las habilidades que los estu-diantes pueden potenciar a traves del desarrollo del pensamiento matematico.

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A continuacion se presenta el estado de las polıticas educativas a traves delos lineamientos curriculares y la implementacion de tecnicas que permitanconstruir actividades para fortalecer habilidades de busqueda y consecucionde regularidades, patrones y generalizaciones.

4.1. Acerca de los Patrones Segun los Linea-

mientos Curriculares

Los lineamientos curriculares en el area de Matematicas presentan la gene-ralizacion de patrones aritmeticos como un ejercicio de primer momento alconstruir el algebra, para despues volverse una potente herramienta para lamodelacion de situaciones de cuantificacion y diversos fenomenos de varia-cion y cambio que permite desarrollos propios del pensamiento variacional.De acuerdo a estos mismos lineamientos, una herramienta indispensable parainiciar el estudio de la variacion en primaria, es la busqueda de patrones, es-ta incluye escenarios de la vida practica como fotografıas y representacionespictoricas e iconicas, especıficamente [38] ((En las matematicas los escena-rios geometricos o numericos tambien deben ser utilizados para reconocery describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Es-tas exploraciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripcionverbal de la relacion que existe entre las cantidades (el argumento y el pro-ducto terminado que se lee primero) que intervienen en la transformacion.Los contextos de variacion deben incluir patrones aditivos y multiplicativos.))

En la educacion basica y media de Colombia se tiene que los estudiantesse enfrentan a situaciones de variacion que permiten establecer relacionesfuncionales estableciendo enlaces entre patrones de variacion entre variables,indispensables para predecir y controlar cambios.

Sobre la resolucion y planteamiento de problemas se referencia que a losestudiantes se les deben proponer actividades en donde discutan problemasen diferentes contextos y que uno de los factores que influyen en la resolucionde problemas tiene que ver con la estrategia cognoscitiva de la busqueda depatrones y la reconstruccion del problema. Ademas se aclara que el razona-miento matematico, debe estar presente en todo trabajo matematico de los

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estudiantes y por consiguiente debe ser posible encontrar patrones y expre-sarlos matematicamente.

4.2. El Razonamiento Proceso General en el

Aprendizaje de las Matematicas

De acuerdo a los lineamientos curriculares, el quehacer matematico exige unaplaneacion del currıculo articulando procesos generales que tienen que ver conel aprendizaje, tales como el razonamiento, la resolucion de problemas, la co-municacion, la modelacion y la elaboracion, comparacion y ejercitacion deprocedimientos.

El conocimiento en matematicas se establece de acuerdo a dos modos decomprension y expresion, uno corresponde a la intuicion y otro a la refle-xion. El razonamiento esta inmerso en cualquier actividad matematica, yasea inductivo o deductivo y aunque pretender que los estudiantes compren-dan desde temprana edad un marco axiomatico riguroso y formal es algodesatinado, no lo es, que los ninos desde edades tempranas aprendan a in-tuir, plantear hipotesis, hacer conjeturas y generalizar cuando sea posible.Desde temprana edad se debe fortalecer la intuicion, entendida esta como laprimera captacion de conceptos que permite comprender lo que nos rodea,por lo cual se debe fortalecer el razonamiento inductivo, que es el procesode observar datos, reconocer patrones y hacer generalizaciones basandose enesos patrones, segun Steen, [47] ((Observadores perceptivos han notado quelos patrones en los objetos pueden caracterizarse con numeros en formas queayudan al razonamiento. Quizas sea una exageracion decir, como alguna vezafirmo Lord Kelvin: Cuando aquello de lo que se esta hablando puede me-dirse y expresarse con numeros, se sabe algo acerca del mismo; pero cuandono puede medirse, cuando no puede expresarse en numeros, el conocimientoes de calidad pobre e insatisfactoria.))

Lo anterior exige que exista una forma de produccion y comunicacion delconocimiento matematico en el aula, esto a traves de procesos linguısticosy discursivos relacionados con las relaciones de interaccion en el aula, locual hace que la argumentacion en este contexto sea indispensable para es-ta comunicacion, requiriendo que el razonamiento no formal que privilegia

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el lenguaje natural, se haga a un lado, pues dado que el encadenamientono es restrictivo deja lugar a desacuerdos. Segun Leon y Calderon, [34] ((. . .la argumentacion se convierte en una forma de organizacion de los procesoscognitivos de los estudiantes, los factores de desplazamiento de una argumen-tacion no matematica a una matematica, exigen el desarrollo de procesos derazonamiento. ))

4.2.1. El Razonamiento a traves de Regularidades, Pa-trones y Generalizaciones

El razonamiento puede definirse segun Duval, [24] ((como la forma de expan-sion discursiva que esta orientada hacia un enunciado-objeto con el proposi-to: De modificar el valor epistemico, semantico o teorico, que ese enunciadoobjeto tiene en un estado de conocimiento, o en un medio social dado yen consecuencia, de modificar el valor de verdad cuando se cumplen ciertascondiciones particulares de organizacion discursiva)). Al razonamiento se leasocian procesos de pensamiento diferente, por un lado estan los procesos queconllevan una inferencia explıcita, en los que de una o varias proposiciones seinfiere la otra, por otro lado los procesos inherentes a un acto de exploracion.De acuerdo a Canadas y Castro, [17] no es facil hablar del razonamiento in-ductivo sin que aparezca ligado al razonamiento deductivo, el razonamientoinductivo en un proceso que parte de sucesos particulares y busca la genera-lidad de los hechos que acontecen. ((Un razonamiento inductivo se considerafuerte si es improbable que su conclusion sea falsa cuando sus premisas seanverdaderas)).

En matematicas la actividad del descubrimiento es uno de los principalescompromisos, dado que muchos conocimientos se han dado como resultadode un razonamiento inductivo, situacion por la cual, investigar una situacioncomprobando casos particulares es una estrategia potencial, tal como se hamostrado en problemas como los numeros de Fermat, el ultimo Teorema deFermat o el Teorema de los numeros Primos. De acuardo a Polya, [43] existencuatro fases a las cuales se enfrenta una persona para resolver un problema,la primera es comprender el problema, la segunda es captar las relaciones queexisten en diferentes elementos, la tercera es poner en ejecucion un plan y lacuarta es volver atras una vez encontrada la solucion, revisarla y discutirla[31]. Segun Canadas y Castro, [18] en varias investigaciones se han detectado

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dificultades en la resolucion de problemas y estas mismas se evidencian enlos resultados sobre el poco trabajo sistematico de los estudiantes, en nivelesinferiores hasta los universitarios. Ası mismo dichas investigaciones muestranque cuando los procesos de razonamiento relacionados con la justificacion,son tratados en niveles inferiores de educacion, aparecen fuertes vınculosempıricos y de busqueda de patrones, por lo cual se hace importante deacuerdo con estos mismos autores, se lleve a cabo un trabajo con patrones,se formulen conjeturas, se determinen generalizaciones partiendo de casosespecıficos para llegar a una regla general, de manera que estas puedan serdescritas verbalmente, algebraicamente, geometricamente y graficamente.

4.3. El Valor de la Simbolizacion Matematica

Anteriormente se ha realizado un esbozo de la importancia del descubrimientode leyes que rigen patrones y su reconstruccion con base en leyes dadaspara el desarrollo del pensamiento matematico y de otras ciencias. Bressan yGallego, [7] presentan como estas actividades estan estrechamente vınculadasal proceso de generalizacion, que hace parte del razonamiento inductivo, deacuerdo a estos mismos autores ((El estudio de patrones y la generalizacionde los mismos abren las puertas para comprender la nocion de variable yde formula, ası como para distinguir las formas de razonamiento inductivo;y deductivo y el valor de la simbolizacion matematica.)). La generalizacionentendida como el uso riguroso de la escritura simbolica es importante parapresentar argumentos importantes para la condensacion de un medio pararesolver un problema.

4.3.1. Registros de Representacion

Duval presenta la nocion de representacion como esencial pues puede descri-bir una informacion y tomarse en cuenta en un sistema de transformacion,ası mismo se presenta la representacion semiotica como un sistema particu-lar de signos que pueden ser convertidos en representaciones equivalentes enotro sistema semiotico. Estos sistemas cumplen una funcion comunicativa,de transformacion de la informacion y de objetivacion o toma de conciencia.Los sistemas semioticos deben cumplir con tres actividades cognitivas inhe-rentes a toda representacion, la primera tiene que ver con construir una mar-ca o un conjunto de marcas perceptibles que sean identificables, la segunda,

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transformar las representaciones y por ultimo convertir las representacionesproducidas en un sistema de representaciones en otro sistema.

4.3.2. Ensenanza y Registros de Representacion

La formacion de un sistema semiotico esta determinado segun Duval, [24] porun sistema de reglas de conformidad y estas se refieren a la determinacionde unidades elementales, la combinacion admisible de unidades elementalespara formar unidades a nivel superior y las condiciones para que una repre-sentacion de orden superior sea una produccion pertinente y completa. Laconversion de estas representaciones implica que se perciba la diferencia entreel sentido y la referencia de los sımbolos o de los signos, o entre el contenidode una representacion y lo que esta representa. De acuerdo a este mismoautor la conversion de las representaciones semioticas constituye la actividadcognitiva menos espontanea y mas difıcil de adquirir para la gran mayorıa delos estudiantes, situacion importante en la elaboracion de las actividades quese construyen con base en este trabajo, ya que para potenciar la busqueda yconsecucion de patrones se debe tener en cuenta que la puesta en correspon-dencia de dos representaciones pertenecientes a registros diferentes, puedeestablecerse localmente a traves de una correspondencia asociativa entre lasunidades significantes elementales constitutivas de cada uno de los registros.

4.3.3. Patrones y Registros de Representacion en losGrados Octavo y Noveno de la Basica Secunda-ria

El algebra como un instrumento de modelacion matematica, es la vision masamplia que se construye progresivamente en los grados octavo y noveno, losprocesos de simbolizacion comienzan formalmente en estos grados, acom-panados de expresion de relaciones e identificacion de patrones. Especıfica-mente los Estandares Basicos de Competencias en Matematicas exigen, entreotros, que al terminar el grado noveno el estudiante:

Utilice numeros reales en sus diferentes representaciones y en diversoscontextos.

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Identifique relaciones entre propiedades de las graficas y propiedadesde las ecuaciones algebraicas.

Use procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner aprueba conjeturas.

Modele situaciones de variacion con funciones polinomicas.

Para la modelacion en matematicas es necesario en primera instancia la iden-tificacion y designacion de variables, seguido del establecimiento de dichasvariables, situacion que conlleva la manipulacion de sistemas de represen-tacion, la conversion entre estos sistemas y la relacion entre las variablesque conforman dichos sistemas; para tal dinamica se hace necesario utilizaruna estrategia de ensenanza que cree condiciones para una genesis artificial,de conocimientos matematicos. Para esta estrategia se tendra en cuenta lahipotesis de que los conocimientos matematicos no se construyen de maneraespontanea y es aquı donde desde una perspectiva constructivista Brous-seau[8], caracteriza esta concepcion de la siguiente forma: ((El alumno apren-de adaptandose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este saber, frutode la adaptacion del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son laprueba del aprendizaje.))

4.3.4. Situaciones Didacticas

Brousseou[9], le da un significado a la ((situacion)) en la construccion del co-nocimiento de la siguiente forma: Hemos llamado situacion a un modelo deinteraccion de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimientodado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar eneste medio un estado favorable. Algunas de estas situaciones requieren de laadquisicion anterior de todos los conocimientos y esquemas necesarios, perohay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sı mismoun conocimiento nuevo en un proceso genetico.

La existencia de momentos de aprendizaje, en la relacion de estudiante-docente, hace necesario disenar situaciones que posibiliten al estudiante laconstruccion de conocimiento y que le permitan enfrentarse a la resolucionde problemas en que el maestro no intervenga. Tal cuestion dio lugar a la

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nocion de situacion a-didactica, que Brousseou[8] presenta de la siguientemanera: ((El termino de situacion a-didactica designa toda situacion que, poruna parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta enpractica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por otraparte sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin inter-vencion del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego.))

Las situaciones didacticas pueden enmarcarse en fases, la primera de ellas esla Accion, se refiere a la experimentacion y el descubrimiento, la segunda fasees la Comunicacion, referida a la hipotesis y el comunicado especıficamente, latercera fase es la Validacion, relacionada con la demostracion y comprobaciony por ultimo a la Institucionalizacion, que se refiere a la formalizacion.

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Capıtulo 5

Unidad Didactica

5.1. Busqueda y Consecucion de Patrones

Aritmeticos en los grados Octavo y No-

veno: Estudio de algunas tematicas de la

Teorıa de Numeros.

A partir de algunas tematicas de la Teorıa de Numeros, la historia subya-cente de los problemas a los que se enfrentaron algunos matematicos parallegar a teorizar estas tematicas y el razonamiento inductivo que permite a losestudiantes analizar situaciones que generan busqueda de regularidades, con-secucion de patrones y generalizaciones, se busca potenciar la ensenanza delas matematicas con el fin de mejorar habilidades que permitan el desarrollodel pensamiento variacional y el pensamiento numerico.

5.1.1. Justificacion

La ensenanza de las matematicas en los Grados Octavo y Noveno, tienencomo particularidad la introduccion del algebra, situacion que da cuenta deuna manipulacion de varios registros semioticos de representacion, que a suvez, ademas de tener una funcion de comunicacion, tienen la funcion de in-troducir el concepto de variable y de relaciones entre variables, a traves dela busqueda de regularidades y la consecucion de patrones y generalizaciones.

Es aquı donde despues de una tarea larga de ensenanza de las matematicas,

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los estudiantes tienen la posibilidad de incrementar sus habilidades para laconsecucion de patrones a traves de una formalizacion de las matematicas,usando un nuevo registro de representacion que potencia la escritura de va-riable con el fin de poder articular varias disciplinas intrınsecas al trabajomatematico, razon por la cual se disenan esta serie de actividades que lepermite a los estudiantes potenciar su comprension del concepto de variable,desarrollando ademas el razonamiento inductivo, el pensamiento numerico yel pensamiento variacional.

Objetivo General

Potenciar la habilidad de los estudiantes en la busqueda de regularidades, laconsecucion de patrones y la generalizacion.

Objetivo Especıficos

Introducir en las actividades, tematicas propias de la Teorıa de Nume-ros.

Generar situaciones que le permitan a los estudiantes buscar regulari-dades y determinar patrones.

Utilizar distintos registros de representacion semiotica, que permitan lalos estudiantes identificar conceptos y hacer traducciones entre estos.

Generar situaciones didacticas, que permitan a los estudiantes iden-tificar unidades significantes dentro de los registros de representacionutilizados, que les posibilite trasladarse entre sistemas de representa-cion.

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5.1.2. Actividad Diagnostica. Regularidades y Patro-nes en el Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal es una configuracion de numeros naturales ordena-dos de una forma especifıca, la siguiente grafica muestra un esbozo de estetriangulo:

1. A partir del triangulo de Pascal que observa a continuacion, complete losespacios en blanco:

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2. En la siguiente configuracion, completa el triangulo de Pascal y colorea losnumeros pares.

Observa cuidadosamente el triangulo y las casillas que coloreaste ¿Que ob-servas en el grafico?

Si hicieras el triangulo de Pascal de mayor tramano, ¿Como se verıanlas zonas coloreadas?

3. En cada una de las siguientes figuras, los numeros senalados presentan unaasociacion, puedes describir ¿cual es?:

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Describa la relacion:



4. En cada una de las imagenes hay una relacion, establece cual es:

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5. La fila marcada en el anterior triangulo de Pascal, presenta los numeros:

n n umero triangular1 12 33 64 105 156 217 278 34

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Representa la relacion existente entre las dos columnas de la tabla, usandouna expresion algebraica.

Descripcion de la Clase

Se realiza la presentacion y objetivos de la actividad, en esta se les aclara alos estudiantes que la actividad es estrictamente individual y no va existirayuda del docente y tampoco se podra solicitar ayuda a los companeros. Unavez termine la sesion, el docente recogera las guıas y revisara cuales fueronlas dificultades y logros que evidenciaron los estudiantes.

Momentos para la Clase.

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Evaluacion

Esta misma actividad se realizara despues de finalizar las tres actividades,situacion que podran detectar los logros alcanzados luego de aplicarlas.

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5.1.3. Actividad 1. Regularidades y Patrones en losNumeros de Fermat.

Un estudiante de grado octavo muy sobresaliente en el area de matematicas,decide crear un negocio utilizando lo que ha aprendido en el colegio, Por locual decide comprar chaquiras e hilos, para construir collares de la siguienteforma:

PREGUNTAS PARA ANALISIS INDIVIDUAL

¿Cada cuantas chaquiras hay que cambiar de color?

¿La sucesion de numeros que observa implıcitos en el collar, ya hansido observados por usted en alguna oportunidad?, si la respuesta esafirmativa explique.

¿Que caracterısticas tienen los numeros que observa usted en el cambiode chaquiras del collar?

Si se quisiera hacer un collar mas ancho, ¿cuantas chaquiras deberıatener el siguiente color?

Si se quisiera hacer un collar mucho mas ancho que el anterior¿cuantaschaquiras se necesitan?

Si se sigue la secuencia con las chaquiras, tal y como vienen en elcollar, ¿cual serıa el numero mas grande de chaquiras con el que sepuede construir el collar?

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¿Cual serıa el numero mas pequeno de chaquiras con el que se puedenconstruir el collar?

Ya que el negocio ha prosperado significativamente el estudiante decide hacerotro tipo de collares de la siguiente forma:

Complete la tabla de forma que se escriban los numeros que representan lacantidad de chaquiras en cada collar:

El estudiante observa las columnas de la tabla y se da cuenta que los numerosde una de las columnas obedecen a una regla especıfica, esta es: cada partede chaquiras es equivalente a 2n.

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¿Cual columna es la que obedece la regla C(n) = 2n?, donde C(n) esel grupo de chaquiras y n la cantidad de chaquiras de cada color.

¿Que regla siguen las otras columnas que corresponden a los collares?

Descripcion de la Clase

La sesion de clase se iniciara con la presentacion del docente y la explica-cion del proceso que el mismo llevara a cabo en lo que resta de la actividad,ası como las normas de la clase que deberan ser respetadas tanto por losestudiantes como por el mismo.La sesion continuara con el trabajo individual de los estudiantes en la cons-truccion del collar, quienes en el proceso a traves del conteo analizaran ladisposicion de las chaquiras con la finalidad de que encuentren el patron sub-yacente a este que no es mas que los numeros primos. Tiempo despues sepretende hacer un analisis de tipo grupal, con el objetivo de que los estu-diantes comuniquen sus descubrimientos y las discutan con sus companeros,con el fin de conseguir una validacion de los mismos, luego se espera quelos alumnos logren formalizar los descubrimientos realizados en contextospropiamente simbolicos correspondiente al algebra.

Descripcion de la Actividad

La actividad estara enmarcada por una situacion problema que conlleva va-rias preguntas, con el animo de inducir un descubrimiento de patrones quetiene que ver con los numeros primos. Despues del analisis individual se lessolicita a los estudiantes que se reunan en grupos de tres personas y discutanlas respuetas que dieron cada uno de ellos.

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Momentos para la Clase

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Material

Los estudiantes contaran con guıas individuales, chaquiuras y nilon paraconstruir los collares que se plantean en la situacion problema.

Niveles de Evaluacion

Estandar. Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidadesvariables ligadas entre sı en situaciones concretas de cambio (variacion).

Indicador. Determina las regularidades expuestas en la situacion, consi-gue establecer los patrones y logra generalizar usando una representacionsimbolica.

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5.1.4. Actividad 2. Regularidades y Patrones en Ter-nas Pitagoricas

El Estado a traves del ministerio del medio ambiente ofrece un programapara devolverle las tierras a los campesinos que han sido desplazados por laviolencia. Estas tierras seran entregadas de forma rectangular, con un areaproporcional a la tierra perdida. Ademas junto con la tierra se entregan vacasy cerdos para ser cuidados en estos terrenos. Dada la configuracion de estosterrenos, las tierras se distribuyen de forma tal, que puedan ser atravesadasequitativamente por un rıo de la siguiente forma:

Figura 5.1: Terrenos tipo A

Figura 5.2: Terrenos tipo B

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El terreno tipo A esta conformado por dos clases de formas, uno de ellosformado por rectangulos de 5 unidades por 12 unidades y la otra formadapor rectangulos de 10 unidades por 24 unidades.

El terreno tipo B esta conformado por tres clases de formas, uno de ellosformado por rectangulos de 3 unidades por 4 unidades, otra formada porrectangulos de 6 unidades por 8 unidades y la ultima formada por rectangu-los de 12 unidades por 16 unidades.


Ordene en las siguientes tablas las parejas de numeros que representan lasmedidas de las formas de los terrenos rectangulares y conteste las siguientespreguntas:

Figura 5.3: Terrenos tipo A

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Figura 5.4: Terrenos tipo B

Si se quieren construir otras formas en el terreno A, establezca otras 5medidas de rectangulos, de tal forma que el rıo atraviese en diagonalcada rectangulo. Dibujelos.

Si se quieren construir otras formas en el terreno B, establezca otros 5medidas de rectangulos, de tal forma que el rıo atraviese en diagonalcada rectangulo. Dibujelos.

Construya diferentes tablas, que muestren los diferentes rectangulos,en los cuales el terreno es dividido por un rıo en todas sus diagonales.

Se realiza un nuevo terreno C, con las siguientes medidas de los rectangu-los y la medida del rıo que los atraviesa como se muestra a continuacion:

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Figura 5.5: Terrenos tipo C, con la medida del rıo

Figura 5.6: a, b son las medidas de los lados del rectangulo y c la medida delrıo.

Describa cual es la relacion entre los tres numeros que aparecen en latabla.

Complete la tabla de valores que aparece a continuacion:

a, b son las medidas de los lados del rectangulo y c la medida del rıo.

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Relacione los datos de la tabla con una expresion algebraica.

Si las medidas de los lados del rectangulos son 8 unidades y 15 unidades,¿cual debe ser la medida del rıo que atraviesa el terreno?


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Material

Los estudiantes contaran con guıas individuales, para trabajo en el aula.

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Estandar. Resuelvo problemas y simplifico calculos usando propiedades yrelaciones de los numeros reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.Indicador. Determina las regularidades subyacentes a las triplas de numerosque permiten determinar otras ternas pitagoricas.

Estandar. Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geometricas uti-lizadas en demostracion de teoremas basicos (Pitagoras).Indicador. Describe patrones que le permiten determinar una generaliza-cion basado en ternas pitagoricas primitivas.

Estandar. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular yponer a prueba conjeturas.Indicador. Usa representaciones simbolicas, que le permiten relacionar lascantidades relacionadas en las ternas pitagoricas.

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5.1.5. Actividad 3: Numeros Poligonales.

De acuerdo a las siguientes imagenes, observa y contesta las siguientes pre-guntas:

¿Que forma tienen las figuras?

Dibuja otras figuras que tengan las mismas caracterısticas utilizandomas puntos.

¿Que numeros representan cada una de las figuras que dibujaste?

Organiza en una tabla, las figuras con el numero que le corresponde acada una.

Ahora observa las siguientes imagenes y contesta los siguientes items:

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Ahora observa las siguientes imagenes y contesta los siguientes items:





A los numeros representados por triangulos, los llamaremos triangulares, alos representados por cuadrados, los llamaremos numeros cuadrados y a losrepresentados por pentagonos los llamaremos numeros pentagonales.

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De acuerdo a la grafica de los numeros triangulares se tiene la siguientesucesion:

1, 3, 6, 10

¿Cuales son los siguientes cinco numeros de la sucesion?

¿Como determinarıas el numero cien de la sucesion el numero mil dela sucesion?

¿Puedes determinar en un corto intervalo de tiempo, el numero cien yel numero mil de la sucesion?

¿Puedes describir una regla que determine de forma rapida cualquiertermino de la sucesion?

Encuentra una expresion algebraica que determine cualquier terminode la sucesion

De acuerdo a la grafica de los numeros cuadrados se tiene la siguiente suce-sion:

1, 4, 9






De acuerdo a la grafica de los numeros pentagonales se tiene la siguientesucesion:

1, 5, 12


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Material

Los estudiantes contaran con guıas individuales, para trabajo en el aula.

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Estandar. Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzasentre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solucionde problemas.Indicador. Identifica algunas figuras poligonales y sus caracterısticas, comoel triangulo, cuadrado y pentagono.

Estandar. Resuelvo problemas y simplifico calculos usando propiedades yrelaciones de los numeros reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.Indicador. Determina las regularidades subyacentes a algunos numeros po-ligonales.

Estandar. Utilizo numeros reales en sus diferentes representaciones y endiversos contextos..Indicador. Determina numeros poligonales realizando conversiones entre re-presentaciones graficas y numericas .

Estandar. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular yponer a prueba conjeturas.Indicador. Usa representaciones simbolicas, que le permiten relacionar lascantidades relacionadas en las ternas pitagoricas.

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Conclusiones

El desarrollo historico de las matematicas, ha estado determinado porla habilidad innata de los seres humanos en el descubrimiento de regu-laridades, la determinacion de patrones y la realizacion de generaliza-ciones.

La visualizacion de representaciones numericas a traves de imagenes,brinda un escenario muy importante en la determinacion de regulari-dades y la consecucion de patrones aritmeticos.

La generacion del triangulo de Pascal, a traves de trayectorias reti-culares por medio de modelos combinatorios, ofrece un aporte impor-tante en la generacion de conocimiento, situacion significativa ya queesto muestra claramente, como las matematicas cambian a traves deltiempo, siendo esta una ciencia dinamica, que permite obtener nuevosresultados de generalizaciones obtenidas de la consecucion de nuevospatrones aritmeticos.

Los patrones subyacentes en el arreglo numerico del triangulo de Pascal,permiten realizar un trabajo didactico, que potencia el desarrollo delpensamiento numerico y variacional en estudiantes de grados octavo ynoveno.

Los patrones numericos, que refieren numeros poligonales en el arreglonumerico del triangulo de Pascal, es un tema de investigacion actual enel las matematicas, situacion importante ya que determinan una herra-miento muy fuerte en la ensenanza, propiciando escenarios de aprendi-zaje que los estudiantes pueden utilizar para desarrollar sus habilidadesen la consecucion de patrones.

El elemento visual en el estudio del teorema del binomio, en relacioncon los estudios de Borwein y Jorgenson, presenta un gran aporte enel desarrollo del trabajo, ya que basado en esto es posible determinarregularidades y ası mismo inducir en estudiantes de grado octavo ynoveno la consecucion de patrones aritmeticos.

Dentro de las tematicas de la teorıa de numeros, se encuentra en la his-toria hechos relevantes que llevaron a grandes matematicos a desarrollar

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de forma muy importante habilidades en la consecucion de patrones,dentro de las tematicas estudiadas en este trabajo se encuentran elteorema del numero poligonal de Fermat, los numeros de Fermat, lasternas pitagoricas, el ultimo teorema de Fermat, el calendario mayatzolkin y el teorema de los numeros primos, estas permiten hacer unestudio de como pudo haber sido el trabajo cotidiano de estas perso-nas, situacion que determina como puede ser la mejor forma de ponera disposicion de los estudiantes la busqueda de patrones aritmeticos.

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Indice alfabetico

X ⊂ Y , 38maxA, 38∏s∈Ss, 39∑

s∈Ss, 39

aH, 39aO, 39aN, 39

Ancho de un poset, 39Anticadena, 39Arista, 40

Cadena, 39Cono inferior, 38, 39Cono superior, 38, 39Cono truncado, 39Cota inferior, 38Cota superior, 38

Dual, 37

Flecha, 40

Grafo, 40Grafos isomorfos, 40

Infimo, 38

Maximo, 38Mınimo, 38

Poset, 36

Poset antiisomorfo, 37Poset dual, 37Poset finito, 37Pre-orden, 36Punto maximal, 38Puntos comparables, 36

Relacion estricta, 36Retıculo, 39Retıculo completo de conjuntos, 40Retıculo de conjuntos, 39Retıculo completo, 39

Supremo, 38

Vertice inicial, 40Vertice terminal, 40

x+y, 39xy, 39

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