Exponenciales y logaritmicas sell

Funciones Exponenciales y Funciones Exponenciales y LogarítmicasLogarítmicas

Prof. Enrique Huapaya G.

Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales

Una función exponencial tiene la forma

donde b >0, y b es diferente de cero.

xb)x(f

Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales Recordemos la gráfica de la función

( ) 2xf x x -3 -2 -1 0 1 2 3

2^x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

En general las gráficas de las funciones exponenciales se comportan de forma similar a el ejemplo anterior.

Para b>1,

– la gráfica de f(x)=bx es creciente,

– contiene al punto (0, 1),

– y se acerca al eje de x,sin llegar a el, segun nos alejamos en la dirección negativa.

– En la dirección positiva, crece indefinidamente.

Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales1

( )2

x

g x

Para 0 < b < 1,

– la gráfica de f(x)=bx es decreciente,

– contiene al punto (0, 1),

– y se acerca al eje de x, sin llegar a el, segun nos alejamos en la dirección positiva.

– En la dirección negativa, crece indefinidamente

x -3 -2 -1 0 1 2 3

(1/2)^x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125


Ejemplo #3: Trace la gráfica de la función

Determine su dominio, indique si es creciente o decreciente, y si tiene alguna asintota.

2( ) 3xh x


Solucion Ej.#3: Esta funcion se puede reescribir de la forma: h(x) = g(x + 2), pues

g(x) = 3x,

g(x + 2) = 3x+2.

Asi que la gráfica se puede obtener desplazando la grafica de g(x) 2 unidades a la izquierda. Además sabemos que el intercepto en y es y = 9.


Determine dominio, recorrido, creciente o decreciente, y si tiene asintotas verticales u horizontales.

( ) 2 1xK x

Funciones Exponenciales: Funciones Exponenciales: AplicacionesAplicaciones

Ejemplo #5: (Interés Compuesto)

Halle el valor futuro de una inversión de $500 al 8% de interés, compuesto trimestralmente (n = 4) por 3 años.

RECORDAMOS:

S Pr

n

nt

1


Solución Ej.#6: Para este ejemplo, basta sustituir adecuadamente: P = 500, n = 4,

r = 0.08, t = 3.

Obtenemos : S = 500(1.02)12 = 500(1.27)

= $634.12

(4)(3)0.08

(500) 14

S


Ejemplo #7: (Interés Simple)

Un préstamo de $500 se otorga por un periodo de 90 dias a un interés simple de 16% anual. Determine la cantidad a pagar al cabo de los 90 días.


Solución Ej#8: Nos dan P = 500, r = .16,

. Sustituimos en la fórmula:

Obtenemos que S = $520. O sea, al cabo de 90 dias , se pagará al banco $520.

360

90r

1(500) 1 (0.16)

4S

Funcion Exponencial Natural Funcion Exponencial Natural

La función exponencial natural es la función f definida por

f(x) = ex

Su dominio son los reales, y su recorrido el conjunto de los reales positivos.– Note: Como e =2.718, la gráfica de esta

función se comporta como la de f = bx, b > 1.

Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones

Existen muchos modelos matemáticos que envuelven potencias de la base exponencial. Algunos envuelven lo que se llama crecimiento exponencial ó decaimiento exponencial.


Crecimiento exponencial: Una función de la forma,

donde B y k son constantes positivas, se dice que reflejan crecimiento exponencial.

A la constante k se le llama la constante de crecimiento.

0t,Be)t(f kt


Ejemplo #1: Sea f(t) la función que representa las bacterias presentes luego de t minutos. Entonces

f(t) = Be0.04t

donde B es una constante positiva. Si hay 1500 bacterias presentes inicialmente, ¿Cuántas habrá luego de 1 hora?

Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Solución Ej #2: Inicialmente hay 1500

bacterias. Eso nos dice que f(0) = 1500. O sea, B = 1500. Así que la función de crecimiento es: f(t) = 1500 e 0.04t. El número de bacterias presentes luego de 1 hora será:

f(60) = 1500 e 0.04(60) = 1500(11.023)

= 16,535

Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Decaimiento exponencial: Una función de la forma,

donde B y k son constantes positivas, se dice que reflejan decaimiento exponencial.

A la constante k se le llama la constante de decaimiento.

0t,Be)t(f kt

Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Ejemplo #3: Sea V(t), la función que

representa el valor en dólares de cierto equipo de computadoras , t años luego de su compra inicial. Dicha función tiene la forma,

V(t) = Be -0.20t

donde B es una constante. Si el equipo se compró por $2800, ¿Cuál será su valor luego de 2 años?

Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Solución Ej#13: El equipo se compró es $2,800.

Esto nos dice que V(0) = 2800, o sea B = 2800. Así que la función V(t) será:

V(t) = 2800e-0.20t

Para encontrar el valor del equipo, luego de 2 años, sustituimos t = 2 en dicha ecuación.

Obtenemos: V(2) = 2800e-0.20(2)

= 2800(0.67032) = 1876.9

Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas

La función logarítmica con base b, es la función inversa de la función exponencial con base . Se escribe

F(x) = logb x

para denotar dicha función. Note:

y = logb x si y solo si x = by

El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números positivos, y su recorrido son los reales.


Cuando la base utilizada en una función logarítmica es la base 10, llamamos a la función la función de logarítmo común.

log x = log10 x, para x > 0

Si la base es e, llamamos a dicha función la funcion de logarítmo natural.

ln x = loge x, para x >0

Si b > 1

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0y = 10^xy = Log(x)y = x


En resumen, si b > 1– logb x es creciente

– logb x es positiva si x >1, y negativa si 0 < x < 1

– logb x se va a infinito negativo segun x se acerca a cero por la derecha

Si 0 < b < 1

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0y = (1/10)^xy = xreflect{y = (1/10)^x} in y=x


En resumen, si 0 < b < 1– logb x es decreciente

– logb x es negativa si x >1, y positiva si 0 < x < 1

– logb x se va a infinito positivo segun x se acerca a cero por la derecha


Propiedades de Logaritmos : Sean M, N, b, números positivos, b diferente de 1. Entonces:logb (MN) = logb M + logb N

logb (M/N) = logb M - logb N

logb Ny = y logb N

logb (1/N) = - logb N


Verificación Prop. de Logarítmos: Verificamos la primera propiedad para ilustrar la idea. Sea x = logb M, y = logb N,

Entonces M = bx, N = by. Sustituimos:logb (MN) = logb (bxby) = logb (bx+y) = x + y

= logb M + logb N


Fórmula de Cambio de Bases: La siguiente fórmula es válida para valores de a > 0, b > 0, c > 0, a & b diferentes de 1.

alog

clogclog

b

ba


Ejemplo #14: Halle el dominio de las siguientes funciones:a) h(x) = log2 (x + 1)

b) g(x) = log x2


Solución Ej#14:a) log2 (x + 1) está definida sólo para

x + 1 > 0, así que el dominio son los valores reales tales que x > -1.

b) g(x) = log x2 está definida sólo para x2 >0, o sea su dominio son los reales excepto x = 0.



)x(log)x(H 3

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