18/04/2014

RAICES DE POLINOMIOSP(x)

x

y

INTRODUCCIÓN

La determinación de las raíces de los polinomios está entre los problemas más antiguos de la matemática. Su estudio se remonta a la época de los babilonios (2000 A.C.), los cuales ya eran capaces de resolver ecuaciones de segundo grado por medio de radicales. En el año 300 A.C., Euclides da interpretaciones geométricas a las ecuaciones algebraicas, logrando así resolver ecuaciones cuadráticas por medio de construcciones geométricas. Luego, los árabes (1000 D.C.) logran reducir las ecuaciones del tipo x2p + axp = b , a ecuaciones cuadráticas.

A partir del estudio del algebra, la investigación sobre polinomios y sus raíces cobró auge. Se investigaron más las propiedades de los polinomios como estructura, encontrándose soluciones por radicales para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro; sin embargo, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante un tiempo prolongado. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de grado cinco o mayores en términos de sus coeficientes. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.

Definiciones Preliminares1. Anillo

Un anillo A es un conjunto no vacío con dos leyes de composición internas + y •, llamadas adición y multiplicación.

+ : A × A → A ⎯⎯ • : A × A → A⎯⎯ (a, b) → a + b ⎯ (a, b) → a b = a•b⎯

Verificando las sgtes propiedades:Con la Adición (+) :i) Asociativa ii) Existencia de elemento neutro (cero) iii) Conmutativa iv) Existencia de simétrico (opuesto),Es decir el par (A, +) es un grupo abelianoCon la Multiplicación (*):v) Asociativa Es decir el par (A, *) es un semigrupo vi) Distributiva.

2. Cuerpo o Campo El conjunto ( K, +, * ) con K ≠ es un cuerpo si cumple: ( K, + ) es un grupo abeliano. ( K – 0, * ) es un grupo abeliano. Distributiva

( K, + , * )

. a . - b .b

. a + b . 1/a

-a . 0 . 1 . a*b

Son cuerpos ( Q, +, * ) ; ( R, +, * ) ;( C, +, * ) ; ( Zn, +, * )

3. PolinomioUn polinomio de una variable sobre el cuerpo K es un aplicación P : N0 KEs decir un polinomio P es una sucesión ( a0, a1, a2, …) de elementos de K.Donde:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 =

4. Grado de un PolinomioEl grado de P(x) denotado por gr(P) se define como el mayor de los naturales “n”

talque an ≠ 0.

5. Conjunto de PolinomiosAl conjunto de todos los polinomios sobre K lo denotaremos por F[ x ], es decir:F[x] = P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , ai K y nN0.

Obs. El conjunto ( F[ x ], + , * ) es un anillo además es un cuerpo.

𝒂𝒊𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟎

( F[ x ], + , * )

Coeficiente Principal Termino independiente

Definición: Sean: P F[ X ] un polinomio, K (K cuerpo), entonces:

es Raíz de P P() = 0

Propiedad: es una raíz de P ( x - ) P

Prueba: ) Dq. Si es una raíz de P ( x - ) P En efecto:

Si es una raíz de P , entonces P() = 0 Además: P(x) = ( x- ) Q(x) + r( ) P() = ( - ) Q( ) + r( ) = 0.Q( ) + r( ) = r( ) P() = r( ) y como es una raíz de P , tenemos r( ) = 0 Luego : P(x) = (x - ) Q( ) es decir ( x - ) P

) Dq. Si ( x - ) P , entonces es una raíz de P. En efecto:

Si ( x - ) P, entonces Q(x) talque P(x) = ( x - ).Q(x) P() = ( - ) Q( ) = 0.Q( ) = 0 P() = 0 es decir es una raíz de P.

Teorema del Resto:El resto de la división de P por ( x - ) es P( ).Prueba: P(x) = ( x - ).Q(x) + r P() = ( - ) Q( ) + r P() = 0.Q( ) + r P() = r

Ejemplo: Sea P(x) = x2 + 4x + 7 y = -1, entonces por el teorema del resto P(x) es expresado como: Donde P( -1 ) = 4 = r

P(x) ( x - )

Q( x )r

x2 + 4x + 7 = ( x + 1 ) ( x + 3 ) + 4

Raíces de Polinomios RealesTeorema de Gauss:Si el polinomio real P de grado “n” con coeficientes enteros, admite una raíz racional (p/q) (p y q primos entre sí), entonces p es divisor del término independiente (a0) y q es divisor del coeficiente principal (an), es decir: p a0 y q an .Prueba:i) Dq. p a0 es decir s Z / a0 = p.s En efecto:Como P es un polinomio de grado “n”, entonces:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 =

Además ( p/q) es una raíz, entonces: P(p/q) = 0

𝒂𝒊𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟎

𝑷൬𝒑𝒒൰= 𝒂𝒊

𝒏𝒊=𝟎 .൬𝒑𝒒൰𝒊 = 𝟎 𝒒𝒏. 𝒂𝒊

𝒏𝒊=𝟎 .ቆ𝒑𝒊𝒒𝒊ቇ= 𝟎

𝒂𝒊𝒏

𝒊=𝟎 .𝒑𝒊𝒒𝒏−𝒊 = 𝟎

𝒂𝟎𝒑𝟎𝒒𝒏 + 𝒂𝒊𝒏

𝒊=𝟏 .𝒑𝒊𝒒𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂𝟎𝒒𝒏 + 𝒑.൭ 𝒂𝒊

𝒏𝒊=𝟏 .𝒑𝒊−𝟏𝒒𝒏−𝒊൱ = 𝟎

𝒂𝟎𝒒𝒏 = 𝒑.൭ − 𝒂𝒊𝒏

𝒊=𝟏 .𝒑𝒊−𝟏𝒒𝒏−𝒊൱ 𝒂𝟎𝒒𝒏 = 𝒑.𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒔 ∈ 𝒁 p 𝒂𝟎𝒒𝒏

p 𝒂𝟎. Es decir: p es divisor del término independiente a0

ii) Dq. q an es decir t Z / an = q.t

𝑺𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒏. 𝒂𝒊𝒏

𝒊=𝟎 .ቆ𝒑𝒊𝒒𝒊ቇ= 𝟎,𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂𝒊

𝒏𝒊=𝟎 .𝒑𝒊𝒒𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂𝒏𝒑𝒏 + 𝒂𝒊

𝒏−𝟏𝒊=𝟎 .𝒑𝒊𝒒𝒏−𝒊 = 𝟎

𝒂𝒏𝒑𝒏 = 𝒒.ቌ − 𝒂𝒊𝒏−𝟏𝒊=𝟎 .𝒑𝒊𝒒𝒏−𝒊−𝟏ቍ = 𝟎

𝒂𝒏𝒑𝒏 = 𝒒.𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ 𝒁 q 𝒂𝒏𝒑𝒏 , es decir q 𝒂𝒏

Es decir: q es divisor del coeficiente principal an

Ejemplo: El polinomio P(x) = 2x2 – 5x – 3 tiene raíces racionales 1 = 3 y 2 = -1/2

Raíces Complejas de Polinomios RealesSi el Polinomio real P de grado “n” admite una raíz compleja, entonces admite también a su conjugada.Prueba:Hipótesis :

Tésis :

𝐏ሺ𝐱ሻ= 𝐚𝐢𝐱𝐢𝐧𝐢=𝟎 𝐜𝐨𝐧 𝐚𝐢 ∈𝐑, 𝐳 ∈𝐂 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏(𝐱)

𝐳ത ∈𝐂 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏ሺ𝐱ሻ 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐝𝐚

Demostremos que P( ) = 0En efecto: 𝐏ሺ𝐳ሻ = 𝟎 𝐚𝐢

𝐧𝐢=𝟎 .𝐳𝐢 = 𝟎

𝐚𝐢𝐧

𝐢=𝟎 .𝐳𝐢തതതതതതതതതതത = 𝟎ഥ 𝐚𝐢𝐳𝐢തതതതത𝐧

𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐚𝐢ഥ𝐳𝐢ഥ𝐧𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐚𝐢ሺ𝐳തሻ𝐢𝐧

𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐏ሺ𝐳തሻ= 𝟎 𝐄𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐳ത ∈𝐂 𝐞𝐬 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏ሺ𝐱ሻ

Ejemplo: El polinomio P(x) = x3 + x2 tiene raíces complejas y reales 1 = 0 , 2 = i y 3 = -i