UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE ANALISIS NUMERICO

TEMA: METODO NEWTON – RAPHSON

INTEGRANTES:• VICTORIA AGUIRRE • JESSENIA CASTILLO • ANDREA MARTÍNEZ• KATERINE PUSDÁ• NATALIA TERÁN

METODO DE NEWTON-RAPHSON

El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

HISTORIA

Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

FÓRMULACálculo de las aproximaciones a la raíz:

Para el cálculo del error aproximado:

CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades.

Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples

se presenten dificultades por su lenta convergencia, el delta-x se acerca a cero muy lentamente o no se acerca.

Existen casos en los que f´ (x)=0, en los cuales se tendrá una error de división por cero, y no se podrá proceder.

El método de Newton-Raphson es la manera más fácil y fehaciente de resolverlas, aunque las ecuaciones y sus derivadas puedan parecer realmente intimidantes.

CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON

RAPHSON:

METODOLOGÍA.

1. Se calcula o determina la primera derivada de la función dada.

2. Se sustituye la función dada y la derivada obtenida de esta en la formula de Newton-Raphson.

3. Se selecciona un punto cualquiera de la función original, el cual será el punto de partida o valor inicial de x (x0) para la determinación de la raíz aproximada de la función.

4. Se sustituye el valor inicial de x en la formula de Newton-Raphson que se obtuvo en el punto 2 para obtener una aproximación a la raíz a la cual nombraremos x1.

5. Se calcula su error de aproximación tomando como valor real el valor obtenido y como valor aproximado el anterior que en este caso es el inicial.

Error relativo: |(xactual - xanterior)/xactual|*100

6. Se repiten los pasos 4 y 5 sustituyendo en la formula de Newton-Raphson el valor obtenido con anterioridad, obteniendo una nueva aproximación a la raíz. Esto se repetirá hasta llegar a obtener un valor de error relativo satisfactorio o pedido.

Por este último punto es que se dice que este método es iterativo ya que se repite tantas veces sea necesario hasta llegar a obtener un valor satisfactorio para uno.

FORMULA DE NEWTON-RAPHSON.

Determine la raíz real máxima de

Como la ecuación es de tercer grado, luego pueden existir 3 raíces reales o complejas, graficando la función se puede ver que las 3 raíces son reales, y que la raíz con valor máximo esta cerca a 3.0

Se resolverá utilizando el método de Newton-Raphson, con el valor inicial x =3 . Tomando en cuenta un error admisible de 10-4, por lo que se utilizarán 5 decimales.

Primera interacción

Segunda interacción

Tercera interacción

Respuesta Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:

Lincografía http://

es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton#Ejemplo

CONCLUSIONES El método de newton es eficiente en la solución

de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.

El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.

El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0

La eficiencia del método depende del valor inicial elegido.

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