Procedimientos de la exposición (Viète)

Para la ecuación 2 2x bx c , Viète logra identificar una relación entre los coeficientes de

la ecuación y sus soluciones.

Hagamos las sustituciones 2m b y n c , de tal manera que podamos expresar la

ecuación dada como 2 0x mx n . Ahora, se sabe que esta ecuación tiene dos

soluciones 1x y 2x (que aún no se conocen), así que se puede expresar como una

factorización de la siguiente forma:

2

1 2x mx n x x x x

Al desarrollar el miembro derecho de la ecuación resulta

2

1 2

2 2

2 1 1 2

2 2

1 2 1 2

x mx n x x x x

x mx n x x x x x x x

x mx n x x x x x x

De lo anterior se observa que las relaciones entre coeficientes y sus soluciones son las

siguientes:

1 2m x x

1 2n x x

Que son justamente a las que llega Viète. Es decir que en nuestra ecuación inicial

1 2

1 2

2x x b

x x c

De ser esto cierto, existirán valores para 1x y 2x de tal manera que al plantear la

expresión 1 2x x x x y la desarrollemos entonces volvamos a la expresión

2x mx n o lo que es equivalente, a la expresión 2 2x bx c .

Tenemos ya las ecuaciones

1 2 2 (1)x x b

1 2 (2)x x c

Despejando a 1x de (1) se obtiene

1 22 (3)x b x

Y este valor se sustituye en (2)

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2 0

x b x c

bx x c

x bx c

Lo que se obtuvo fue una función de segundo grado con incógnita 2x . Esta la podemos

resolver con cualquier método que se conozca, ya que lo que está tratando de hacer no

es solucionar la ecuación, sino justificar el hecho de que se cumplan las relaciones entre

coeficientes y soluciones. Resolvamos esta ecuación por medio de una cuadrática:

2

2

2

2

2 4 4

2

b b cx

x b b c

De aquí se obtienen entonces dos posibles valores para 2x . Al sustituir en (3) cada uno

de estos valores, se genera, a su vez, dos posibles valores para 1x

* 2 2

1

** 2 2

1

2

2

x b b b c b b c

x b b b c b b c

Entonces, en resumen, tenemos las siguiente posibilidades para 1x y 2x

Ahora esta situación divide nuestro problema en tres casos, ya que debemos sustituir en

la expresión 1 2x x x x las posibles combinaciones y observar cuál de ellas nos

permite regresar a la expresión original.

Caso 1

Tomar el valor 2b b c para 1x y 2x

2 2

2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

x b b c x b b c

x b b c x b b c x b b c

x b b c x bx x b c b b b c b c

x b b c x x b b c b c b b c

Para que esta ecuación sea igual a 2 2x bx c se debería cumplir que

2b b b c y

2 22 2c b c b b c . Lo que solamente es posible si 0b y 0c , lo que deformaría

nuestra ecuación en el caso trivial 2 0x del que ya se conocen las soluciones. Por tanto

esta combinación de valores 1x y 2x no son solución de la ecuación.

1x

2b b c 2b b c

2x

2b b c 2b b c

Caso 2

Tomar el valor 2b b c para 1x y 2x

2 2

2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

x b b c x b b c

x b b c x b b c x b b c

x b b c x bx x b c b b b c b c

x b b c x x b b c b c b b c

Para que esta ecuación sea igual a 2 2x bx c se debería cumplir que

2b b b c y

2 22 2c b c b b c . Lo que solamente es posible si 0b y 0c , lo que deformaría

nuestra ecuación en el caso trivial 2 0x del que ya se conocen las soluciones. Por tanto

esta combinación de valores 1x y 2x no son solución de la ecuación.

Caso 3

Tomar el valor 2

1x b b c y 2

2x b b c

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x b b c x b b c

x b b c x b b c x bx bx x b c x b c b b c b b c b b c

x b b c x b b c x bx c

Por tanto esta combinación de valores 1x y 2x son los opuestos aditivos de las soluciones

1x y 2x de la ecuación.

Las soluciones de la ecuación cumplen la relación de coeficientes y soluciones, además

son de la forma

2

1x b b c

2

2x b b c