Expresiones Algebraicas

Recordemos que una expresión aritmética es una cadena de símbolos (números y signos de operación), que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre dichos números. Las operaciones básicas son la suma, resta, multiplicación y división y que su resultado depende del subconjunto de los números complejos donde se realicen.

Expresión algebraica es una cadena de símbolos matemáticos y literales que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones.

Tipos de expresiones algebraicas

Nombre Definición

Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término, que representa una multiplicación o una división

Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos, separados por un signo menos o un signo más

Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

Elementos de las expresiones algebraicas, y orden para las operaciones con ellas:

Variables: Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

Constantes: Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c,…)

Coeficientes: Son aquellos valores numéricos que indican la cantidad positiva o negativa de las variables.

Exponentes: Se denomina así a los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

Podemos resumir entonces que una variable es una letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto en determinado y que, constante es un elemento fijo

del conjunto considerado. Si tal conjunto es el conjunto de los números reales, las variables y constantes representan números reales. Antes de adentrarnos en las operaciones algebraicas apliquemos las propiedades de los exponentes y los radicales para simplificar las siguientes expresiones:

En la vida real se nos presentan problemas que se describen mediante el texto hablado o escrito, esos deben ser “traducidos” al lenguaje algebraico para poder realizar operaciones y cuyos resultados son aplicados al problema real. Ese el lenguaje que nos ocupará para poder solucionar las diversas situaciones, realicemos los siguientes ejercicios:

1. La suma de y un número.

2. 3 más que un número 3. La diferencia entre un numero y 7 4. Cuatro veces la suma de dos números 5. La diferencia entre 4 veces un numero y el doble de otro número 6. La sexta parte de un número más 3 7. El cuadrado de un número menos 5 8. Tres veces la diferencia de 2 números. 9. Los dos tercios de la suma de dos números 10. La quinta parte de un número más los tres medios de un segundo número 11. La diferencia entre los dos tercios de q y la raíz cuadrada de p 12. El cuadrado de la diferencia entre 3 veces el número w y 2 veces el número z

13. Un número natural se divide en dos sumandos, a y b; exprese la suma de sus cuadrados en términos de uno de los sumandos

14. Un número natural se divide en dos factores, x y y. Exprese la suma de sus cuadrados en términos de uno de los factores.

VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es el proceso de realizar las operaciones indicadas para hallar el resultado para valores específicos de las variables del término o del polinomio. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen. Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones con los siguientes valores para las variables del polinomio:

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. En el polinomio siguiente solo pueden sumarse algebraicamente los términos que tienen exponente 3:

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal:

El procedimiento para sumar y restar polinomios está basado directamente en las propiedades asociativas y conmutativas de la adición y multiplicación de números reales, y en la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Básicamente lo que se hace es agrupar y reducir los términos semejantes.

Veamos un ejemplo, efectuemos la suma de los dos polinomios siguientes:

En realidad lo que hacemos es esto: se colocan los términos que poseen igual variable con el mismo exponente en la misma columna y sumamos algebraicamente los coeficientes numéricos.

+3k2 -3km +2m2

-3k2 +9km -7m2 +10k

0k2 +6km -5m2 +10k

Si realizamos la operación aplicando las propiedades de los números reales tenemos que aplicar las propiedades conmutativa y asociativa para agrupar los términos semejantes, obteniendo:

Luego, aplicamos la propiedad distributiva para reducir los términos semejantes, obteniendo como resultado final los términos de la tercera fila de la tabla anterior:

Si tenemos en cuenta la definición que la diferencia entre dos números a y b se representa como: a + (-b), el problema de restar dos polinomios se transforma en el problema de sumar dos polinomios. Veamos el siguiente ejemplo:

Se expresa como:

+5k3 -3km2 +7m3

-3k3 -10m3 +8km

2k3 -3km2 -3m3 -8km Considere los siguientes polinomios:

Calcular:

P1 + P2 P3 - P2 P1 + P4 P3 - P2 P4 + P2 P2 – P1

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

La multiplicación de monomios no es más que la aplicación de la propiedad: y que por lo tanto no es necesario que sean términos semejantes, mientras que la

multiplicación de polinomios está basada en la aplicación repetida de la propiedad distributiva de los números reales. Con los siguientes ejemplos recordaremos el proceso:

1.

2.

Un caso particular importante es el de la multiplicación de dos polinomios en la misma variable. En

este caso es conveniente ordenar los polinomios de tal forma que el exponente de la variable vaya

decreciendo. Multipliquemos

Factor 1 + 3t3 - 5t2 +t +2

Factor 2 t4 +2t2 -2

3t7 -5t6 +t5 +2t4

+6t5 -10t4 +2t3 +4t2

-6t3 +10t2 -2t -4

Resultado 3t7 -5t6 +7t5 -8t4 -4t3 +14t2 -2t -4

Considere los siguientes polinomios:

Realizar las siguientes operaciones:

PRODUCTOS NOTABLES Son aquellos cuyo resultado se puede obtener por simple inspección, veremos la representación geométrica de cada caso:

1. Suma de 2 cantidades multiplicada por la diferencia de las mismas cantidades, es el caso donde hallaremos el área de un rectángulo de lados (a+b)(a-b): es el cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Veamos el siguiente ejemplo:

Consideremos los siguientes productos y expresemos el resultado por simple deducción:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. El segundo producto notable se refiere a expresar el resultado de multiplicar un

binomio por sí mismo, o sea la suma de dos cantidades elevada al cuadrado o la diferencia de dos cantidades elevada al cuadrado, en términos de expresiones algebraicas tenemos:

Tranquilamente podemos decir que la suma de dos cantidades elevada al cuadrado es:

Para la diferencia se tiene:

Veamos en el siguiente ejemplo como se procedería:

Por el procedimiento descrito halle el resultado de las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)