Expresiones Algebraicas

José Francisco Barros Troncoso

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTOS BÁSICOS

Álgebra

Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) بر proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación ,(al-dejaber) (yebr) جde cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Parte de la matemática que trata los números en forma abstracta representándolos en forma de letras, generalizando las relaciones aritméticas. Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen números o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

El álgebra actual trata con entidades más generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas).

Variable: (Parte literal) Símbolo que representa un número y puede tomar diferentes valores (x.y,z,a,…)

Constante (Parte numérica) Es un número

Signo: Operador Aritmético (+, - , , , , …)

Expresión Aritmética: Combinación de variables, constantes unidos por operadores aritméticos.

Término Algebraico: Está constituido por un signo, una constante, una o más variables

con un exponente. 6,,3

2,3,5 322 zbaxyx

Términos Algebraicos Semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia.

Suma y Diferencia de Términos Algebraicos Estos deben ser semejantes, se suman los coeficientes y no se modifican el exponente. Se debe tener en cuenta la ley de signos.

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Multiplicación de Términos Algebraicos. Se tiene en cuenta la ley de signos, se multiplican o dividen las constantes, además

Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciación, producto o cociente de potencias de igual base.

Si las variables no son iguales la operación se deja indicada.

Expresión Algebraica: Dos o más términos algebraicos unidos por operadores aritméticos.

Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: Simbólicamente

a(b+c)= ab + ac

Producto de polinomios. Simbólicamente (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Problemas de Polinomios

1. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina

fotocopiadora son de

R(x) = -0.04x2 + 2000x

, pesos por semana y el costo por la producción de x unidades de estas máquinas es

C(x) = 0.000002x3 – 0.02x2 + 1000x +120 000

, pesos por semana (0 < x < 5 000).

a. Determine una expresión que proporciones la ganancia mensual de la empresa.

b. Determine la ganancia mensual si venden un promedio de 500 semanales.

c. ¿Qué significa la expresión 0 < x < 5 000

2. Un fabricante de raquetas de tenis determina que el costo total de producción de x

raquetas por día esta dado por C(x) = 0.0001x2 + 4x + 400 dólares. Cada raqueta se

vende a un precio de p dólares, donde p = -0.0004x + 10. Encuentre una expresión para

la ganancia diaria del fabricante, suponiendo que se pueden vender todas las raquetas

fabricadas.

Sugerencia: El ingreso total esta dado por el número total de raquetas vendidas,

multiplicado por el precio de cada raqueta. La ganancia está dada por el ingreso menos

el costo.

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3. El gasto en salud por persona (en dólares) por parte del sector privado incluye los

pagos realizados por individuos, corporaciones y sus compañías de seguro, y es

aproximadamente

2.5t2 + 18.5t + 509 ( )

, donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1994. El gubernamental

correspondiente (en dólares) que comprende los gastos médicos federales, estatales y

locales, es

-1.1t2 + 29.1t + 429 ( )

Escriba una expresión para la diferencia entre los gastos del sector privado y

gubernamental por persona en cualquier instante t. ¿cuál fue la diferencia entre los

gastos en el 1998 y de 2000? Escriba un análisis de la respuesta.

Productos Notables: Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

32233

32233

22

222

222

2

2

33).(7

33).(6

))(.(5

2).(4

2).(3

)())(.(2

)())(.(1

aaxxaxax

aaxxaxax

axaxax

aaxxax

aaxxax

bdxbcadacxdcxbax

abbaxbxax

Ejercicios. Resuelva cada ejercicio.

1 (x + 3)(x + 3)

2 (x – 1)(x + 1)

3 (2x – y)(x + 3y)

4 (x + 2)2

5 (y – 3)2

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4

6 (2x + 3y)2

7 (2 + y)3

8 (3x – 2y)3