*Expresiones AlgebraicasUna expresin algebraica es una expresin en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un nmero finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raz.

Ejemplos

*Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

*Expresin Algebraica RacionalEs racional cuando las variables no estn afectadas por la radicacin

Ejemplo

*Expresin Algebraica IrracionalEs irracional cuando las variables estn afectadas por la radicacin

Ejemplo

*Expr.Algebraica Racional EnteraUna expresin algebraicas es racional entera cuando la indeterminada est afectada slo por operaciones de suma, resta, multiplicacin y potencia natural.

Ejemplo

*Expresin Algebraica Racional FraccionariaUna expresin algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algn denominador.

Ejemplo

*PolinomiosSon las expresiones algebraicas ms usadas.Sean a0, a1, a2, , an nmeros reales y n un nmero natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresin algebraica entera de la forma: a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn

*Ejemplos de polinomiosA los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras maysculas indicando la indeterminada entre parntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

*TrminosMonomio : polinomio con un solo trmino.Binomio : polinomio con dos trminos.Trinomio : polinomio con tres trminos.Cada monomio aixi se llama trmino.El polinomio ser de grado n si el trmino de mayor grado es anxn con an0.A a0 se lo llama trmino independiente.A an se lo llama trmino principal.

*EjemplosEl polinomio 0 + 0x + 0x2 + +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado.

*EjercicioIndicar cules de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este ltimo caso indicar su grado.

*Polinomios igualesDos polinomios son iguales si y slo si los coeficientes de los trminos de igual grado lo son.Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

*Suma de PolinomiosPara sumar dos polinomios se agrupan los trminos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x - 2

*Propiedades de la SumaAsociativaConmutativaExistencia de elemento neutroExistencia de elemento opuesto

*Resta de PolinomiosPara restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x - 2

*Multiplicacin de PolinomiosPara multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los trminos del otro y luego se suman los trminos de igual grado.Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x 2P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

*Propiedades del ProductoAsociativaConmutativaExistencia de elemento neutro.

*Algunos productos importantes(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3(x+a)(x-a)= x2 ax +ax-a2 = x2-a2

*EjercicioEscribir los desarrollos de

*Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

*Ejercicio: La expresin x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

*Divisin de polinomiosExiste una estrecha analoga entre el cociente de polinomios y la divisin de nmeros enteros.

Recordemos algunas definiciones de la divisin entre nmeros enteros.

*Divisin entre nmeros enterosEn el conjunto de nmeros enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son nicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d . C + r 0 r < |d|Si r=0 se dice que D es divisible por d.

*Divisin entre nmeros enterosEjemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:29 dividido 6 ser: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 5 < 629 dividido -6 ser: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 5 < |-6|Podra haber sido c = -5 y r = -1?

*Divisin de polinomiosDados los polinomios D(x) = 6x3 17x2+15x-8 d(x) = 3x 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

*-6x3 + 8x2Ejemplo 6x3 17x2 + 15x 8 3x 4

2x2- 3x+ 16x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

*EjerciciosD(x) = 4x5 + 2x3 24x2 + 18x d(x) = x2 3x D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2D(x) = 2x4 6x3 + 7x2 3x +2 d(x) = x-2

*Divisin de PolinomiosDados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y slo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)

*EjerciciosDados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otroP(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32

*Divisin de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 2x2 5x 9 x 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 5x - 4x2 + 8x 3x 9 -3x + 6 -3

3648363x3 2x2 5x 9 = ( x 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

*Divisin de un polinomio por otro de la forma (x-a)Divisin de P(x) = 3x3 2x2 5x 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -31 operacin : 3.2 -2 = 42 operacin : (3.2 -2).2 - 5 = 33 operacin : [3(2) 2 2 . 2 - 5].2 -9 =-3Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

*Races de un polinomioUn nmero real a es raz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0

Ejercicio: Verifique que x=1 es raz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x 5

*Races de un PolinomioSi un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raz entera del polinomio entonces a divide al trmino independiente.

Ejercicio: Calcular las races de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

*Ejercicio: Calcular las races de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 Si P(x) tiene alguna raz entera, sta debe ser divisor de 24.Probar que 1 y -1 no son races de P(x)2x3 2x2 16x + 24 = ( x 2)(2x2 + 2x -12)

*EjercicioCalcular las races de P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)

*Resolver la siguiente ecuacin

*Soluciones de la Ecuacin Fraccionaria