Expresiones algebraicas - polinomios

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Introductorio

Expresiones algebraicas

Una variable es una letra que se utiliza para representar cualquierelemento de un conjunto dado. Sin embargo, a menos que se espe-cifique lo contrario, las variables en este curso introductorio repre-sentarán números reales. El conjunto de todos los números realesque una variable puede asumir se conoce como el dominio dela variable. En contraste con una variable, una constante es unnúmero fijo o letra cuyo valor permanece fijo a lo largo de una discu-sión particular. Combinando constantes y variables mediante el usode la adición, sustracción, multiplicación, división, exponenciacióny extracción de raíces, se obtienen expresiones algebraicas.

EJEMP LOS =⇒


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Ejemplos

3x− 4y

2x2 − y + 1xy

ax− b+ 3√yz

1− x2

3xy−2 + π

x2 + y2 + z2

donde a y b son constantes y x, y y z son variables.


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Por intimidantes que pudieran parecer algunas de estas expresiones,recuerde que son solo número reales. Por ejemplo, si x = 1 y y = 4,entonces la expresión 2x2 − y + 1

xyrepresenta el número

2(1)2 − 4 + 1(1)(4) = −2 + 1

4 = −74

obtenido al reemplazar x y y en la expresión por los valores. Lospolinomios son una clase importante de expresiones algebraicas.Los polinomios más simples son los de una variable.


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Polinomio en una variableUn polinomio en x es una expresión algebraica de la forma

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

donde n es un entero no negativo y a0, a1, . . . , an son númerosreales, con an 6= 0.

Las expresiones akxk se llaman los términos de un polinomio. Los

números a0, a1, . . . , an se llaman coeficientes de 1, x, x2, . . . , xn res-pectivamente. El entero no negativo n da el grado del polinomio.=⇒


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EjemploConsidere el polinomio

−2x5 + 8x3 − 6x2 + 3x+ 1

1 Los términos del polinomio son −2x5, 8x3, 6x2, 3x, 1.2 Los coeficientes de 1, x, x2, x3, x4 y x5 son 1, 3,−6, 8, 0 y −2,

respectivamente.3 El grado del polinomio es 5.


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Expresiones algebraicasUn polinomio de sólo un término (como 2x3) se llama monomio;un polinomio de dos términos (como x3 +x) se llama binomio; y unpolinomio de solo tres términos (como −2x3 +x−8) se llama trino-mio. Asimismo, un polinomio compuesto de un término (constante)a0 (como el monomio −8) se llaman polinomio constante.La mayor parte de la terminología utilizada para un polinomio enuna variable se traslada a la discusión de polinomios en varias va-riables. Pero el grado de un término en un polinomio de variasvariables se obtiene al sumar las potencias de todas las variables enel término, y el grado del polinomio está dado por el mayor gradode todos sus términos. Por ejemplo, el polinomio

2x2y5 − 3xy3 + 8xy2 − 3y + 4

es un polinomio en dos variables x y y de grado 7.MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 12

Introductorio

Expresiones algebraicasAdición y sustracción de polinomiosLos términos constantes y los términos que tienen la mismavariable y exponente se llaman términos similares o semejantes.Estos términos pueden combinarse al sumar o restar suscoeficientes numéricos. Por ejemplo,

3x+ 7x = (3 + 7)x = 10x suma terminos semejantes

12m

2−3m2 =(1

2 − 3)m2 = −5

2m2 resta terminos semejantes


Introductorio

Expresiones algebraicasPara sumar o restar dos o más polinomios, primero retire los pa-réntesis y luego combine los términos semejantes. La operación re-sultante se escribe entonces en orden de grado descendente de iz-quierda a derecha.

Ejemplo 1(3x3 + 2x2 − 4x+ 5) + (−2x3 − 2x2 − 2)

= 3x3 + 2x2 − 4x+ 5− 2x3 − 2x2 − 2 Retirar paréntesis

= 3x3 − 2x3 + 2x2 − 2x2 − 4x+ 5− 2 Agrupar terminos

semejantes

= x3 − 4x+ 3 Reducir terminos

semejantes


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Ejemplo 2(2x4 + 3x3 + 4x+ 6)− (3x4 + 9x3 + 3x2)

= 2x4 + 3x3 + 4x+ 6− 3x4 − 9x3 − 3x2 Retirar paréntesis

Observe que el signo

menos cambia todos

del segundo polinomio

= 2x4 − 3x4 + 3x3 − 9x3 − 3x2 + 4x+ 6 Agrupar terminos

semejantes

= −x4 − 6x3 − 3x2 + 4x+ 6 Reducir terminos

semejantes


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Multiplicación de polinomiosPara determinar el producto de dos polinomios utilizamos lapropiedad distributiva de los números reales. Por ejemplo paracalcular 3x(4x− 2) utilizamos la ley distributiva para obtener

3x(4x− 2) = (3x)(4x) + (3x)(−2)

= 12x2 − 6x


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EjemploDetermine el producto (3x+ 5) (2x− 3)

(3x+ 5) (2x− 3) = 3x (2x− 3) + 5 (2x− 3)= (3x)(2x) + (3x)(−3) + 5(2x) + 5(3)= 6x2 − 9x+ 10x− 15= 6x2 + x− 15


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