Expressions de la recta
Transcript of Expressions de la recta
![Page 1: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/1.jpg)
EXPRESSIONS DE LA RECTA¡Tots som trilobits!
![Page 2: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/2.jpg)
• Només amb un punt qualsevol de la recta i un vector director, en tenim suficient per a trobar totes les equacions de la recta. Veiem el procés a continuació:
P(x,y) = (a,b) Vector director
Punt cartesià
![Page 3: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/3.jpg)
Ens donen les següents dades:
• El punt P(2,1)
• I el vector director = (1,2)
Veiem la representació gràfica d’aquestes dades:
![Page 4: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/4.jpg)
Component horitzontal del vector director
Component vertical del vector director
![Page 5: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/5.jpg)
En primer lloc, trobarem l’equació vectorial de la recta:
• Només substituint els valors que ens han donat en l’equació, en tenim suficient per a trobar-la:
Component x d’un del punt P de la
recta
Component y d’un del punt P de la
recta
Component horitzontal del vector director
Component vertical del vector directorCoordenades del
punt a determinar
Coeficient lambda per a trobar infinits
punts
![Page 6: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/6.jpg)
L’equació vectorial:
P(2,1) = (1,2)
(x,y) = (2,1) + (1,2)
Eq. vectorial
![Page 7: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/7.jpg)
• A partir de l’equació vectorial, podem trobar totes les altres fent algunes modificacions matemàtiques. Veiem-les a continuació:
![Page 8: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/8.jpg)
De la vectorial, passem a les paramètriques:
* Podem fer això ja que en la vectorial, els components x i y no estan relacionats directament per cap operació matemàtica i per tant podem separar la vectorial en els paràmetres que modifiquen els components horitzontals i verticals.
Eqs. paramètriques
![Page 9: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/9.jpg)
Passem de la vectorial a les paramètriques:
* Si ho pensem, podem substituir els valors de les coordenades de P i dels components del vector director en les paramètriques sense passar per la vectorial.
![Page 10: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/10.jpg)
• Hem de trobar una manera de relacionar ambdós paràmetres entre si; Per a fer això, tenim l’equació contínua. Veiem com funciona i com la podem trobar:
![Page 11: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/11.jpg)
De les paramètriques a la contínua:
• Encara que les paramètriques siguin dues equacions separades, les podem relacionar a través de λ ja que en ambdues equacions ha de tenir el mateix valor per a obtenir un punt real de la recta:
![Page 12: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/12.jpg)
L’equació contínua:
• Tot veien el procediment anterior, podem afirmar el següent:
• I per tant:
• Doncs bé, aquesta és l’equació contínua!
![Page 13: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/13.jpg)
La contínua
• Si ho pensem bé, no fa falta passar per la vectorial ni la paramètrica per a trobar les altres equacions de la recta ja que directament podem substituir les coordenades del punt P i els components del vector director en aquesta equació:
Component x d’un del punt P de la
recta
Component y d’un del punt P de la
recta
Component horitzontal del vector director
Component vertical del vector director
![Page 14: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/14.jpg)
Aquí tenim l’equació contínua de la nostra recta:
Eq. contínua
![Page 15: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/15.jpg)
• El següent pas, consisteix a igualar a 0 la contínua. L’equació resultant, es coneix com a general o implícita.
![Page 16: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/16.jpg)
De la contínua a la general
Un cop hem arribat aquí, hem d’establir unes pautes per a
poder continuar:
![Page 17: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/17.jpg)
Equació general o implícita
• Seguint les pautes abans citades, arribem a l’equació general:
• I tot seguint-les, arribem a l’equació general de la nostra recta:
Eq. general
![Page 18: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/18.jpg)
Parem un moment i examinem les propietats d’aquesta equació:
• Ens permet estudiar la posició relativa entre rectes:
Condició d’igualtat Condició de paral·lelitzat
Condició de tall en el pla Condició de perpendicularitat
![Page 19: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/19.jpg)
Propietats de l’equació general:
• Ens permet saber quin angle forma amb l’horitzontal:
• Ens permet trobar el vector director de la recta i el vector director de la recta que li és perpendicular:
Angle amb l’horitzontal
Vector director de la recta Vector director de la recta perpendicular
![Page 20: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/20.jpg)
• Per últim, podem trobar distàncies amb aquesta equació i una fórmula ben simple:– Distància punt-recta:
– Distància recta-recta: Estudiem la posició relativa de les rectes i si són paral·leles, trobem un punt qualsevol d’una d’elles i utilitzem la fòrmula punt-recta.
Propietats de l’equació general:
Coordenades del punt
Coeficients de l’equació general de la
recta
![Page 21: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/21.jpg)
De la general a l’explícita:
• A continuació, aïllarem la y tot trobant l’equació explícita de la recta:
Un cop hem arribat aquí, establim unes
igualtats:
![Page 22: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/22.jpg)
Equació explícita:
• I finalment, obtenim l’equació explícita:
• On m representa el pendent de la recta i n l’ordenada a l’origen*.
Eq. explícita
* Valor d’y quan x = 0; Punt de tall amb l’eix vertical
![Page 23: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/23.jpg)
De nou, aquesta d’aquesta equació, podem trobar algunes propietats:
• Ens permet estudiar la posició relativa entre dues rectes:
• I conèixer l’angle d’inclinació de la recta:
Condició de paral·lelitzat
Condició de perpendicularitat
Angle amb l’horitzontal
![Page 24: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/24.jpg)
L’expressió punt-pendent d ela recta:
• Partint de la contínua i fent petites modificacions, arribem a l’expressió punt-pendent:
Un cop hem arribat aquí, hem d’establir una igualtat:
Expressió punt-pendent
![Page 25: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/25.jpg)
De la general a la canònica:
• Quan A, B i C ≠ 0 podem dur a terme el següent procés:
Un cop hem arribat aquí, hem
d’establir les següents igualtats:
Eq. explícita
p = Abcisa a l’origen (valor d’x quan y = 0 o punt de tall amb l’eix
horitzontal) n = ordenada a l’origen
![Page 26: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/26.jpg)
• L’equació canònica de la nostra recta és:
Talla l’eix horitzontal a la posició
(3/2, 0)
Talla l’eix vertical a la
posició (0,-3)
Alerta!No tenen equació
canònica aquelles rectes que passin per l’origen de coordenades ja que ens trobaríem davant d’una
divisió entre 0
• L’equació canònica ens proporciona, de forma directa, informació sobre els punts de tall de la recta amb els eixos de coordenades
![Page 27: Expressions de la recta](https://reader031.fdocuments.es/reader031/viewer/2022032115/55adac151a28ab923b8b4629/html5/thumbnails/27.jpg)
Fins aquí el treball, ara us deixo que m’han dit que si
segueixo escalant per aquesta recta, arribaré a
l’infinit.
+ ∞
- ∞