EXTREMADURA Selectividad MATEMÁTICAS II sep 12

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PPP...AAA...UUU... 222000111111---222000111222

SSSeeeppptttiiieeemmmbbbrrreee MATEMÁTICAS II

OOOpppccciiióóónnn AAA 1

a) Al sustituir x por 0 surge la indeterminación:

)·(0·lnlim0

xxx

Y así podemos reescribir el límite:

x

xxx

xx 1ln

lim·lnlim00

Que podemos resolver aplicando la regla de L´Hôpital:

xx

x

x

x

x

xxx

xxxxx 0

2

02

000limlim

1

1lim

1ln

lim·lnlim 0

b) En los extremos relativos la recta tangente es horizontal y por tanto se anula la primera derivada,

lo cual nos vale para determinar los puntos críticos:

1

1ln

01ln

0)(

ex

x

x

xf

Qué al sustituir en la segunda derivada (x

xf1

)( ), resulta 0)( 1 eef , luego en el punto

))(,(),( 11 efeyx existe un mínimo de la función, en concreto:

min f(x) en (x,y)=(e-1 ,-e-1) La función tendría asíntota horizontal si tuviera limite finito y según se observa:

··lnlim xxx

Luego no hay asíntotas horizontales No hay asíntotas verticales dado que en la única discontinuidad (x=0) el límite es finito. Para las asíntotas oblicuas de ecuación y=ax+b, se procede:

xx

xx

x

xfa

xxxlnlim

·lnlim

)(lim

Luego no hay asíntotas oblicuas Para el estudio del signo de la función consideramos los intervalos marcados por las

discontinuidades y los puntos de corte con el eje x (calculados según 1;0·ln;0)( xxxxf , es decir en (x,y)=(1,0)) quedando la recta real dividida en dos

intervalos, esto es (0,1) y (1,∞), con lo que basta con evaluar f(x) en cada uno de ellos, por ejemplo tomando un punto, y así 347,0)5,0( f y podemos afirmar que f(x) es negativa

en (0,1) y 386,1)2( f y f(x) es positiva en (1,∞).

MATEMÁTICAS II


c) De acuerdo con los datos obtenidos anteriormente, un esbozo de f(x) sería:

2 a) Se dice que una función F(x) es primitiva de otra función f(x) si se verifica que F´(x)=f(x) b) Para el cálculo de la primitiva procederemos calculando la integral:

dxxxdxxfxF 1·)()(

Utilizando el cambio de variable indicado obtenemos:

1 xt 12 tx tdtdx 2 Que al sustituir en la integral:

Ctt

dttdttdttttdtttdxxx 32

5222222·)·1(1·

3524242

Y al deshacer el cambio de variable resulta:

C

xxxF

3

12

5

12)(

35

Y sabiendo que 0)1( F

0

03

112

5

112

35

C

C

Con lo que la primitiva buscada es:

3

12

5

12)(

35

xxxF

3 Si 32B , como 2·2 AB , entonces:

32·2 2 A

De acuerdo con las propiedades de los determinantes nn

n MkMk ·· y como A2 es de orden 3:

32·2 23 A

Como A2=A·A y sabiendo que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los

determinantes: NMNM ·· , resulta:

32·223 A

Luego:

22

323

A

Así que desarrollando el determinante de la matriz A, por ejemplo aplicando la regla de Sarrus:

y

x

f(x)

(1,0)

(e-1,-e-1)

P.A.U. 2011-12


2320002

201

011

1

aaa

aa

A

Qué igualando al valor calculado: 223 a 223 a

De donde resultan las soluciones a1=4/3 y a2=0 4 Obtengamos sendas expresiones para el cálculo del parámetro c: Distancia de P a π: El problema se reduce a la distancia de P a su proyección ortogonal sobre el

plano (P´), para determinar ésta construimos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π, por lo que el vector normal del plano sirve como vector director de la recta y así:

cz

y

x

r 0 , que al sustituir en la ecuación del plano:

2

1;1

cc

, lo cual permite el cálculo de P´ sin más que sustituir en

la ecuación de la recta r, resultando

2

1,0,

2

1 ccP , y así

ccccc

PPdd PPP

12

1

2

10

2

1

2

1,0,

2

12

22

,,

Área del triángulo ABP: El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores de origen común, por ejemplo:

122

11,,

2

1

011

012

10,1,1,0,1

2

1

2

1 2

cccc

kji

cABAPAtriángulo

Igualando ambas expresiones:

122

11

2

1 2 cc

De donde surge la solución c=1/4.

N

P

r

P


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OOOpppccciiióóónnn BBB 1

a) Como el dominio de la función es toda la recta real carece de asíntotas verticales Para las asíntotas horizontales calculamos:

0lim)(lim2

eexf x

xx, luego presenta una asíntota horizontal en y=0 cuando x tiende a

infinito

0lim)(lim2

eexf x

xx, luego presenta una asíntota horizontal en y=0 cuando x tiende a

menos infinito Carece de asíntotas oblicuas por ser incompatibles con las horizontales.

b) En los extremos relativos la recta tangente es horizontal y por tanto se anula la primera derivada,

lo cual nos vale para determinar los puntos críticos:

0

02

0)(2

x

xe

xfx

Qué al sustituir en la segunda derivada (22 242)( xx exexf ), resulta 02)0( f , luego en

el punto ))0(,0(),( fyx existe un máximo de la función, en concreto:

máx f(x) en (x,y)=(0 ,1) En los puntos de inflexión se anula la segunda derivada al invertirse el ritmo de crecimiento de la

recta tangente, así:

2

1

0)42(

0)·42(

042

0)(

2

2

2

2

22

x

x

ex

exe

xf

x

xx

Luego los puntos de inflexión se sitúan en

))21(,21(),( fyx y en

))21(,21(),( fyx , en concreto:

Los puntos de inflexión son: )1,21(),( eyx y

)1,21(),( eyx

c) De acuerdo con lo anteriormente calculado un esbozo de la función sería como en la figura:

y

x

f(x)

(0,1)

(-2-1/2,e-1/2) (2-1/2,e-1/2)

MATEMÁTICAS II


2 La fórmula de la integración por partes es vduvuudv · . El cálculo de la primitiva se realiza

mediante la integral:

senxdxxdxxfxF ·1)()( 2

Adquiriendo la notación:

xvsenxdxdv

dxxduxu

cos

121integrando

derivando2

Y de la aplicación de la fórmula surge:

xdxxxxdxxxxxxF cos12cos11·2·coscos1)( 22

Sobre la cual volvemos a aplicar el método:

senxvxdxdv

dxduxu

integrando

derivando

cos

1

Con lo que resulta:

CxsenxxxxxF

senxdxsenxxxxxF

cos2)1(2cos1)(

12cos1)(

2

2

Y como 1)0( F :

0

121

10cos20)10(20cos10 2

C

C

Csen

Luego la primitiva buscada es:

xsenxxxxxF cos2)1(2cos1)( 2

3 Si la igualdad se cumpliera entonces:

11

11··

11

21

xz

yx

xz

yx

Operando:

xzxz

yxyx

xyzx

xyzx 22

E igualando término a término surge el sistema de ecuaciones:

02

00

02

02

zyx

yx

yx

Que es un sistema homogéneo (siempre compatible) cuya matriz de coeficientes, una vez eliminada la ecuación trivial (0=0) queda:

021

012

112

cuyo determinante es distinto de cero, por lo que es de rango 3, coincidiendo con el de la ampliada y con el número de incógnitas, por lo que se trata de un sistema compatible determinado y por tanto sólo cabe la solución trivial (x,y,z)=(0,0,0), por lo que tal matriz X no existe.

P.A.U. 2011-12


4 a) Dados los tres puntos A, B y P podemos determinar la ecuación general del plano trazando el

vector genérico zyxAX ,,1

y los vectores 0,1,1

AB y cAP ,0,1

, que han de

ser linealmente dependientes, luego:

0

01

011

1

c

zyx

Y así el plano buscado es 0 czcycx cuyo vector normal es 1,,ccN

Para cálculos posteriores necesitaremos el vector director de la recta (u ), que podemos obtener como el producto vectorial de los vectores normales de los planos secantes que son sus ecuaciones implícitas:

2,1,1

102

011

kji

u

b) Si r y π son paralelos el vector director de r y el normal del plano son perpendiculares y el producto escalar de ambos es nulo:

022

01,,)·(2,1,1

0·

c

cc

Nu

por lo que c = -1 c) Si r y π son perpendiculares el vector director de r y el normal del plano son paralelos y por lo

tanto también son proporcionales:

2

1

1

1,,·2,1,1

·

c

c

cc

Nu

Luego c = 1/2

N

ru

N

r

u

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