f Rv Momentum1

Gern

n G

aviln

Hidrulica Aplicada Para Ingenieros Civiles

1

Capitulo 5 Aplicaciones de la Ecuacin de Cantidad de Movimiento

En este captulo se estudian las aplicaciones de la ecuacin de cantidadde movimiento al flujo en canales abiertos. Las aplicaciones masimportantes estn centradas en el estudio de el resalto hidrulico y elclculo de fuerzas sobre objetos sumergidos (ejemplo: pilas de puentes ycompuertas). La ecuacin de cantidad de movimiento en un cuerpo libreo volumen de control se deriva a partir de la segunda ley de Newton(Captulo 2). Para flujo unidimensional la ecuacin es:

)(F 12x xx vvQ = La ecuacin anterior es la ecuacin de conservacin de momento paraflujo permanente unidimensional para una regin de velocidad uniforme atravs del tubo de corriente. Donde Fx en esta ecuacin representa lasuma de todas las fuerzas externas actuando sobre el tubo de corriente.Generalmente estas fuerzas son las de superficie y de cuerpo.

Fuerzas de superficie que actan sobre la masa del fluido y que a suvez pueden ser: fuerzas normales a la frontera de la masa, y que sepueden evaluar a partir de las presiones sobre la misma; fuerzastangenciales a las fronteras de la masa, que se pueden medir entrminos de esfuerzo tangencial sobre la misma.

Fuerzas de cuerpo, generalmente el peso propio del fluido.

5.1 Resalto Hidrulico

Tanto en los laboratorios como en la naturaleza se ha encontrado que elpaso de flujo supercrtico a flujo subcrtico se produce mediante lageneracin de un fenmeno fsico conocido con el nombre de resaltohidrulico, el cual en adicin a un incremento brusco en la elevacin, vaacompaado de fuerte turbulencia y disipacin de energa. Fenmeno degran aplicacin en el diseo de estructuras hidrulicas, ya que el flujosupercrtico (alta velocidad) por la gran energa cintica que posee,produce erosin y socavacin, por tanto es necesario recurrir al cambio aflujo subcrtico (de baja velocidad), esto se hace especialmente enestructuras de concreto las cuales por su resistencia si pueden soportarel flujo supercrtico. Siendo as como el agua se transporta en canalescon pendientes fuertes y en condiciones supercrticas hasta estructurasque la entregan en niveles inferiores, convirtiendo la energa potencial encintica. En la base de estas estructuras al cambiar la pendiente seinduce la formacin de resaltos hidrulicos, los cuales no slo tienen elefecto de cambiar el rgimen de flujo, sino que adicionalmente disipanuna cantidad considerable de energa. Tambin cuando fluye agua atravs de una compuerta, si la abertura de la compuerta genera flujosupercrtico a la salida y si la pendiente del fondo del canal es pequea

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n G

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2

(flujo subcrtico) y las condiciones aguas abajo son las adecuadas, segenera un resalto hidrulico, requirindose conocer tanto lasprofundidades aguas arriba y aguas abajo de la compuerta, como lapresin ejercida sobre ella.

El resalto hidrulico ocurre cuando el flujo supercrtico se encuentra conun flujo subcrtico aguas abajo. La transicin entre flujos resultante esrpida, e involucra una gran prdida de energa debido a la turbulencia.Bajo estas circunstancias, una nueva incgnita (las prdidas de energaen el resalto) aparece en el problema, y una nueva ecuacin esnecesaria para resolver el mismo. La inclusin de la ecuacin demomento hace factible la solucin del problema generado por elfenmeno conocido como resalto hidrulico.

5.1.1 Ecuacin de Momento

El modelo matemtico que representa el resalto hidrulico se encuentra apartir de la ecuacin de conservacin del momento descrita en elCaptulo II que para anlisis de flujo unidimensional en el sentido de x seescribe como:

)(F 12x xx vvQ =

Figura 5-1 Resalto hidrulico

De la Figura 5.1, se tiene:

Qv - Qv = )AQ -

AQQ( = )v - vQ( = F - F 12

121221

222111 yA = F yA = F

gQv -

gQv =yA - yA )Qv - Qv( = yA - yA 122211122211

gQv + yA = g

Qv +yA 222111

Si se define

Gern

n G

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3

gQv + yAM g

Qv +yAM 2211 2211 y ==

En un canal cuya profundidad y caudal son conocidos, se puedencalcular los trminos de M1 y M2 y de la ecuacin de momento se tieneque el valor de M es constante, y el principio de conservacin demomento se puede escribir como:

21 MM = (a)El trmino M tiene dos componentes; una que est relacionada con lapresin hidrosttica y otra relacionada con la velocidad del fluido en elcanal, por lo tanto el trmino M es conocido como presin-cantidad demovimiento. La ecuacin (a) debe usarse para resolver los problemasrelacionados con la ecuacin de conservacin de momento en canalesabiertos donde las nicas fuerzas externas sean las hidrostticas. Eltrmino de presin-cantidad de movimiento M para un canal de seccinrectangular se transforma a:

gybq +

2by = M

22

De la ecuacin que define M puede obtenerse la expresin conocidacomo fuerza cantidad de movimiento, dada por:

gAQ + yA = M

2

La ecuacin (a) establece que la funcin de cantidad de movimiento,cuando se presenta un resalto hidrulico, tiene el mismo valor tantoaguas arriba como aguas abajo si las nicas fuerzas externas que actanson las hidrostticas. Si se observa la ecuacin (a) se encuentra quedadas las condiciones aguas arriba, se conoce el valor de M1, y si segenera una ecuacin de tercer grado, la cual se grfica en la Figura 5-2,en donde igualmente se relaciona con las profundidades reales y con lagrfica de la energa especfica.

Gern

n G

aviln


4

Figura 5-2 Relacin energa especifica momento y resalto hidrulicoEn la Figura 5-2 puede observarse que la ecuacin (a) brinda dossoluciones reales para un mismo valor de M, estas dos profundidades sellaman profundidades conjugadas o secuentes y una corresponde acondiciones de flujo subcrtico y otra a flujo supercrtico, tal como secomprueba enseguida. La ecuacin (a) aplicada a un canal de formarectangular se escribe como:

gybq

gQv +yAM

22

2by +==

Derivando con respecto a y tenemos:

0 = gybq- by =

dydM

2

2

De donde se obtiene que q2 = gy3, que son las condiciones de flujo crticodemostrada en el Captulo III, como las dos profundidades ocurren unapor encima y otra por debajo del punto C, que corresponde a lascondiciones crticas, estas representan diferente rgimen de flujo.

5.1.2 Profundidades conjugadas en canal de seccin rectangular

De nuevo el clculo de las profundidades conjugadas se simplifica parael caso de canales de forma rectangular. Aplicando el principio deconservacin de momento a un canal se tiene:

2

2

221

2

11 gAQAY

gAQAY +=+

Efectuando los siguientes reemplazos:

Gern

n G

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5

2yY =

byA =

VAQ =

yqV =

Se tiene:

1

2

2

222

21

22 gyq

gyqyy =

( )( )

=+

12

21221 11

2 yygqyyyy

( )

=+

21

212 1

2 yygqyy (a)

El nmero de Froude para un canal rectangular est definido como:

31

221 gy

qFr =

Reemplazando en la ecuacin (a)

( )2

212

112

2 yyFyy r=+

02 11

22

1

2 =

+

rFyy

yy

Ecuacin de segundo grado, que de acuerdo con la frmula de solucinpara este tipo de ecuaciones presenta las dos siguientes soluciones:

Gern

n G

aviln


6

28Fr + 1 1-

= yy

1

22

1

En la expresin anterior el valor absoluto de la cantidad sub-radicalsiempre ser mayor que la unidad, por tanto al tomar el signo menos seobtiene una solucin negativa, en cambio al tomar el signo positivo la razser positiva, siendo sta la solucin con significado fsico, luego, laexpresin para encontrar la profundidad conjugada cuando se conocenlas condiciones aguas arriba, viene dada por:

21- 8Fr + 1

= yy

1

22

1

Donde:

1y : Nivel del agua antes del resalto

2y : Nivel del agua despus del resalto

1rF : Nmero de Froude antes del resalto.

Esta ecuacin permite calcular la profundidad conjugada en un resaltohidrulico en un canal de seccin rectangular conociendo las condicionesaguas arriba del resalto. Cuando se conocen las condiciones aguasabajo, se llega a determinar las condiciones aguas arriba, por unprocedimiento similar al seguido anteriormente, obtenindose la siguienteexpresin:

21- 8Fr + 1

= yy

2

12

2 (2-9)

Problema 5-1 En un canal de seccin rectangular de 5.0 metros deancho, fluye agua a una velocidad de 6 metros por segundo y a unaprofundidad de 1.0 metro. Determinar la profundidad conjugada.

Solucin:

El nmero de Froude es:

73.6 = 9.81x1.0

6 = gyv = Fr

2

1

212

1

Para el clculo de la profundidad conjugada se debe aplicar la ecuacinde conservacin de momento :

Gern

n G

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7

gAQ +y A= M

gAQ +yAMM

2

2

22

2

1121 ==

Donde los subndices 1 y 2 representan condiciones en los puntos antesy despus del resalto. Recordando que para el caso de un canalrectangular esta ecuacin se simplifica a:

m. 62.2 = 2

1- 78x3.6 + 11.0 = 2

1 - 8Fr + 1 y= y

21

12

Problema 5-2 A la salida de una rpida la profundidad del agua en unresalto hidrulico ha pasado de 0.90 a 1.80 metros, si la seccin esrectangular determinar a) el caudal, b) la fuerza de presin-cantidad demovimiento y c) la velocidad crtica para la descarga dada.

Solucin:

a) Debido a que existe un resalto hidrulico en este problema se aplica laecuacin de conservacin de momento.

gAQ +y A= M

gAQ +yAMM

2

2

22

2

1121 ==


1- Fr8 + 1= 4 = 21 - Fr8 + 1 2=

0.901.80 =

yy 2

1

21

1

2 =

3= 824 = Fr Fr8 + 1 = 25 Fr8 + 1 = 5 212121

De la ecuacin del nmero de Froude para canales rectangulares setiene:

3

2

33

22

3

22

gyq

ygbbqb

gABQFr ===

22

633

121

2

m-segm 621.4 = 99.81x3x0. = ygFr = q

Gern

n G

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8

m-segm4.63 = q

3

b) Se parte de la ecuacin de fuerza cantidad de movimiento para unancho de 1 m.

N. 94277 = 0.9 9.81621.4 +

209.00.9x 9802 = )

gAQ + y(A = M

2

c) Calculando la yc para un canal rectangular y usando la definicin develocidad crtica en canales rectangulares se tiene:

.m 301. = 9.81

634. = gq = y 3

23

2

c

m/seg 73.5 = 3 x1.9.81 = gy = v cc

Existen situaciones donde el agua debe descender desde un nivel alto auno mas bajo, esto se logra con un aumento de la energa cintica(velocidad) y una disminucin de la energa potencial ( profundidad y). Enalgunos casos dependiendo de la velocidad alcanzada en la parte bajade la estructura se requiere disear un dispositivo para que estavelocidad disminuya para evitar problemas de socavacin. Una manerasencilla de lograrlo es produciendo un resalto hidrulico. Si se conocen elcaudal y el nivel de la superficie del agua en la parte alta el problemaconsiste en determinar el nivel del fondo del canal en la parte baja de laestructura para que se produzca el resalto. Para estudiar este caso sepresenta el prximo problema.

Problema 5-3 Una estructura de cada se debe disear para transportarun caudal de 300 m3/seg. La estructura debe llevar el agua desde unaaltura de 60 metros sobre el nivel de referencia y entregarla al final de lamisma con una cota del agua de 30 metros sobre le nivel de referencia.Se propone una estructura rectangular de ancho de base 12 metros.Definir la cota de fondo del canal donde se producir el resalto paraefectuar la disipacin de energa para cumplir las condiciones de diseosi se desprecian las prdidas de energa en la cada.

Solucin:

Los niveles de la superficie libre, tanto aguas arriba, como aguas abajoson conocidos, y es necesario establecer la cota de fondo del sitio dondeocurrir el resalto (tanque de disipacin), ya que el resalto hidrulico slose puede formar dentro del tanque si se asegura la profundidad requeridaaguas abajo, en caso contrario el resalto es barrido hacia aguas abajo

Gern

n G

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9

con la consiguiente socavacin del canal. El caso anterior se presenta enla Figura 5-3.

Figura 5-3 Ubicacin tanque de disipacin de energa

La seccin transversal del canal es constante y de forma rectangular Elanlisis de la Figura 5-3 muestra que entre los puntos 1 y 2 la aplicacinde la ecuacin de energa es vlida ya que el flujo ser o uniforme ogradualmente variado. Entre las secciones 2 y 3 existe flujo rpidamentevariado (resalto hidrulico) por lo tanto la ecuacin de momento se debeaplicar. Si se escoge una cota arbitraria de referencia, con relacin a lacual las energas totales son iguales entre las secciones 1 y 2, de donde:

21 HH =

gy2q + y + x =60 2

2

2

2 (a)

Las profundidades en las secciones 2 y 3 son conjugadas, y para el casode un canal rectangular se tiene:

21 - Fr8 + 1 =

yy 22

2

3 (b)

La ecuacin del nmero de Froude para canales rectangulares se puedeescribir como:

gyq = Fr 3

22

Y de la Figura 5-3 se deduce que: y3 = 30 - x, reemplazando losanteriores valores en la ecuacin (b) se obtiene:

Gern

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10

2

1 - gy

q8 + 1 =

y x- 30 32

2

2

(c)

Despejando el valor de x en las ecuaciones (a) y (c) e igualando seobtiene:

1 - gy

q8 + 12y - 30=

gy2q- y- 60 3

2

22

22

2

2

De donde la ecuacin a resolver es:

0 = 2

1 - gy

q8 + 1y 30 -

2gyq + y= f(y)

32

2

22

2

2

Donde:

m-segm25

12300q

3

==

Aplicando el mtodo iterativo de Newton-Raphson se busca la raz de ycorrespondiente al flujo supercrtico (condicin en 2 debe sersupercrtica), el valor de y2=0.885 metros, el cual se reemplaza en laecuacin (a) para encontrar el valor de x=18.43 metros.

Durante el diseo puede ocurrir que no sea posible usar el valor xobtenido debido a condiciones topogrficas, de suelos o geolgicas, eneste caso la cota x ser definida por estas condiciones. Por tanto esnecesario buscar la solucin para garantizar que el resalto ocurra dentrodel tanque para la cota determinada.

Problema 5-4 En la situacin del problema anterior se encuentra imposiblecolocar el fondo del canal a una profundidad menor de 22.5 metros sobre el nivelde referencia. Encontrar la solucin para que se siga presentando la disipacinde energa para las condiciones de diseo especificadas.

Solucin:

Una posibilidad es cambiar el ancho del tanque (b2). Partiendo de que seconoce el caudal total (Q), el ancho de la estructura de vertimiento (b1),las cotas de la superficie libre aguas arriba (H1), aguas abajo (H3) y defondo del tanque de disipacin (x), se tiene:

Gern

n G

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11

Figura 5-4 Modificacin del tanque de disipacin de energa

bgy2Q + y + x = H 2

222

2

21 (a)

Las profundidades de las secciones 2 y 3 son conjugadas:

2

1 - Fr8 + 1 = yy 23

3

2 (b)

bgyQ =

gyq = Fr 2

233

2

33

223

De la ecuacin (a):

Q)y - x - H(gy2 =

b1

221

22

22

(c)

y)y - x - H(y2 = Fr 3

3

21222

3

Valor que al ser substituido en (b) da:

2

1 - y

)y- x - H(y16 + 1 =

yy 33

2122

3

2

Gern

n G

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12

Donde H1 = 60 metros, x = 22.5 metros y y3 = 30 - 22.5 = 7.5 metros.Esta ecuacin que tiene como nica incgnita a y2, se resuelve medianteel mtodo aproximado de Newton obtenindose un valor de y2 = 0.399metros y reemplazando en (c) se tiene que b = 27.85 metros.

Problema 5-5 Fluye un caudal de 1.2 metros cbicos por segundo en uncanal de seccin trapezoidal de ancho de base 0.80 metros, taludeslaterales 1.5H:1V y a una profundidad de 1.0 metro. Determinar laprofundidad conjugada correspondiente.

Solucin:

Aplicando la ecuacin de conservacin de momento :

gAQ +y A= M

gAQ +yAMM

2

2

221

2

1121 ==

Donde:

( )

=zy +by 3b +2zy

6y3b +2zy

6Ay = y 2

22

Se tiene:

222111 m3.20.1x5.10.1x8.0)zyby(A =+=+=

m 39.00.1x5.1 + 0.1x8.08.03x + 0.1x5.12x

60.1

zy + by3b + 2zy

6yy 2

2

211

121

1 =

=

=

9638.03.2x81.9

2.139.0x3.2gAQ +yA

2

1

2

11 =+=

2

2

22 gAQ +yA9638.0 =

)y5.1y8.0(81.92.1

y5.1 + y8.08.03x + y5.12x

6y )y5.1y8.0(9638.0 2

22

2

222

2222

22 ++

+=

( ))y5.1y8.0(81.9

2.18.03x + y5.12x6y 9638.0 2

22

2

2

22

++=

Gern

n G

aviln


13

En el proceso de clculo de la y conjugada, es conveniente conocer la ycrtica en el canal para conocer el valor inicial de iteracin usando elnmero de Froude igual a 1 y resolviendo para yc se tiene yc=0.46 m., locual indica que la profundidad de 1 metro es la subcrtica y se necesitaencontrar la supercrtica. Resolviendo por Newton_Raphson y2= 0.15 m.

Problema 5-6 En un canal de seccin circular de 1.20 metros dedimetro fluye un caudal de 0.8 metros cbicos por segundo a unaprofundidad de 0.32 metros. Determinar la profundidad conjugadacorrespondiente.

Solucin:

Aplicando la ecuacin de conservacin de momento :

MM 21 =

22211 gA

Q +yA gAQ +yA

22

=

Donde:

23

)y- (yD3A2 +

2D- y=y 2

y

)(8

2

sendA =

3013.02421.081.9

8.01315.02421.02

111 =+= xxgA

Q +yA2

2223013.0 gA

Q +yA2

=

Usando la definicin de 22 Ay y y despejando y2 se tiene que laprofundidad conjugada es 0.70 m, = 3.743, y2 = 0.3010 y A = 0.684 m2. Para la solucin de problemas en canales circulares se recomiendatener cuidado que durante el proceso iterativo el valor de y2 no exceda eldimetro de la tubera ya que generara un error numrico en la funcinarcos. Para evitar este problema se recomienda el uso de mtodoscerrados como la biseccin. Aplicando el nmero de Froude =1 se tieneque la yc=0.48 m.

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n G

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14

5.1.3 Disipacin de energa en un resalto hidrulico

Si para unas condiciones iniciales dadas de caudal y profundidadsupercrtica en un canal de cualquier tipo de seccin, se determinan lasprofundidades alterna y conjugada, se encuentra que los valores sondiferentes, por tanto se ha presentado un cambio en energa, el cual esproducto de la disipacin generada por la turbulencia inducida en elresalto. La cantidad de energa disipada, partiendo de las ecuaciones deenerga para un canal rectangular es:

gy2q- y -

gy2q + y = E - E =h 2

2

2

221

2

121fr

1-

ygy2)y + y(q)y - y( =EE 2

221

122

1221 (a)

De la seccin Profundidades conjugadas en canal de seccin rectangularse tiene:

2)y + y( =

ygyq 12

21

2

Reemplazando en la expresin anterior en (a) y despus de algunastransformaciones algebraicas se llega a la expresin:

yy4)y - y( = E

21

312

dis

La relacin entre las profundidades aguas abajo y aguas arriba es

conocida como la resistencia del resalto y es dada poryy= r

1

2 , expresin

que al ser aplicada a la ecuacin de prdidas en el resalto:

4r)1 - (r =

yE 3

1

dis

Las prdidas en un resalto siempre pueden ser calculadas como ladiferencia de energas entre las profundidades conjugadas.

Problema 5- 7 En un tanque de disipacin rectangular de 10 metros deancho, colocado a la salida de una estructura de vertimiento, se presentaun resalto hidrulico, su profundidad aguas arriba es de 1.0 metro y laprdida de cabeza es de 1.62 m. Calcular el caudal que genera talescondiciones.

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15

Solucin:

La ecuacin para la determinacin de las profundidades conjugadas encanales de cualquier forma de seccin.

gQv + yA = g

Qv +yA 222111


( )

1 - Agy

8Q + 1 2y =1 - Fr8 + 1 2

y =y 211

212

11

2

=

= 1 -

9818Q + 1

211 -

)1x10(x0.1x81.98Q + 1

20.1y

2

2

2

2

De la ecuacin de energa tenemos, asumiendo que el cambio en el niveldel piso en el tanque es despreciable (normalmente los tanques sedisean con fondo horizontal):

per21 hEE +=

62.1)yy10(x81.9x2

Qy875.5)0.1x10(x81.9x2

Q0.1 2222

2

22

2

+++==+

Las ecuaciones a resolver para Q y y2 son:

875.5)10(81.92

9811

2222

2

2

2

2

=++

=

yyxxQy

1- 8Q + 1 2

y

Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (muy comnen la solucin de problemas de hidrulica), en este punto la solucin delos problemas depende del mtodo numrico utilizado, en algunos casostratar de despejar una variable en una ecuacin y reemplazando en laotra puede ser posible, pero en algunos casos este procedimiento puedellevar a ecuaciones muy complicadas que hacen que los mtodostradicionales de solucin de ecuaciones no lineales no tenganconvergencia a la raz. En dicho caso es mejor utilizar un mtodo de

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16

solucin de sistemas ecuaciones no lineales como el mtodo de NewtonRaphson. Este procedimiento sugiere asumir un valor para x1 y despejarx2 de una ecuacin. Luego se usa el valor calculado de x2 en la otraecuacin para obtener el valor nuevo de x1. El proceso se repite hastaque los cambios en x1 y x2 estn por debajo de una tolerancia.

Utilizando esta metodologa para el problema anterior se obtiene que y2= 3.94 m. y Q = 97.8 m3/seg

5.2 La fuerza de arrastre en la ecuacin de cantidad de movimiento

La presencia de obstculos dentro de un cauce, bien sean estosnaturales o construidos por el hombre, hacen que el flujo ejerza sobreellos fuerzas de arrastre, que son necesarias de conocer y aplicar en losdiagramas del cuerpo libre, con el objeto de hacer un clculo exacto delas profundidades y fuerzas que se presentan, para su determinacin serecurre a la aplicacin de la ecuacin de cantidad de movimiento.

Figura 5-5 Fuerza de arrastre en canales abiertosEn este caso existe una fuerza externa adicional producida por el objetosumergido en el fluido, esta fuerza se denomina fuerza de arrastre Fd. Lafuerza de arrastre puede calcularse mediante la ecuacin deducida parael efecto en mecnica de fluidos:

2v A C = F

2o

dd

En donde

A es la proyeccin del rea resistente en la direccin del flujo

Cd es el coeficiente de arrastre que depende de la forma del objeto

es la densidad del fluido, yvo es la magnitud de la velocidad de aproximacin del fluido

)v - vQ( = F 12x

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17

Al aplicar la ecuacin general de cantidad de movimiento entre lassecciones 1 y 2 de la Figura 5-5:

dh2h112x F- F - F = )v - vQ( = F Si la seccin es rectangular es ms conveniente trabajar con la unidad deancho y de la ecuacin anterior se obtiene:

bF -

2y -

2y = qv - qv d

22

21

12

Teniendo en cuenta que yqv = :

M - M = )2y +

gyq( - )

2y +

gyq( =

bF

21

22

2

221

1

2d

La ecuacin anterior es de gran importancia para el clculo deprofundidades y fuerzas en tipos muy variados de estructuras hidrulicastales como compuertas, tanques de disipacin, pilas de puentes. Unosejercicios permiten comprender ms a fondo la importancia de laecuacin.

Problema 5-8 El trazado de una va requiere el paso de un ro por mediode la construccin de un puente. Las caractersticas hidrulicas actualesdel ro son: caudal 458.8 m3/seg, profundidad media del agua en el ro2.5 metros. Para efectos de los clculos hidrulicos la seccin transversaldel ro se puede considerar rectangular de 40 metros de ancho. Duranteel proceso de clculo estructural del puente se requiere evaluar lassiguientes alternativas:

a. Si se construye un puente de una sola luz sin ningn apoyo central.El ingeniero estructural desea conocer su opinin acerca de laposibilidad de construir el puente con una longitud menor que elancho del ro. Es necesario determinar si esta alternativa es posible ysustentar tcnicamente la respuesta

b. Si se construye un puente con dos apoyos circulares de 1.0 m. dedimetro, se desea evaluar de nuevo si se puede reducir la longituddel puente para disminuir los costos de construccin. Es necesariodeterminar si esta alternativa es posible y sustentar tcnicamente larespuesta.

c. Cul alternativa usted recomendara y porqu?

Solucin

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aviln


18

a. Para determinar la longitud mnima de un puente de una sola luz sepuede definir un lmite inferior y un lmite superior de la longitud delpuente. El lmite superior sera el ancho del ro (40 mts) y el inferioren teora es cero aunque de antemano se sabe que debe ser mayorque cero. Cualquier longitud del puente menor de 40 mts requiere dela construccin de dos estribos (estructuras de soporte del puente)una en cada orilla del ro. Esta situacin genera una transicin delancho del canal de 40 mts hasta un valor igual a la longitud delpuente. Estas transiciones laterales generan unas fuerzas opuestasa la direccin del flujo, si las dos transiciones se disean idnticas setendra la misma fuerza Fd en cada estribo.

Para iniciar el clculo hidrulico es preciso definir el tipo de flujo queexiste en el ro para lo cual se calcula la yc del mismo.

3

2

3

2

)(1

cbygbQ

gABQ ==

mts 37.24081.98.458

32

2

32

2

=== gbQyc

El tipo de flujo que se tiene es subcrtico por lo tanto una reduccin en elancho del ro producir un descenso en el nivel del agua y existe unlmite mnimo en la longitud del puente para que no se produzcaembalsamiento aguas arriba del mismo, este lmite ocurre cuando en elpunto 2 la profundidad es crtica.

Gern

n G

aviln


19

El calculo hidrulico de la longitud mnima del puente se puede efectuar apartir de la ecuacin de energa y conservacin de momento de lasiguiente forma de acuerdo con la figura anterior :

perdhHH += 21

21 MMFd =En la ecuacin de energa existe el trmino de prdidas debido a latransicin que se produce por los estribos que a su vez producen unasfuerzas Fd.

La energa en 2 debe ser crtica,

se tiene y si se considera que la diferencia de cota del fondo del canalentre los puntos 1 y 2 es pequea :

perdc hEE += 21

21 MMFd =

Gern

n G

aviln


20

Problema 5-9 En un canal rectangular la velocidad es de 3 metros porsegundo y la profundidad es de 3 metros, presentndose en el fondo delcanal un suave ascenso vertical que tiene la altura mxima permisiblepara que no se presente embalsamiento, si despus de una cortadistancia el lecho cae nuevamente a su nivel original, pasando el flujo asupercrtico aguas abajo, encontrar la fuerza neta sobre la grada, en ladireccin del flujo, por unidad de ancho.

Solucin:

Caudal por unidad de ancho: ./seg/mm9= 3x3= yv = q 311

.m 63.4 = x9.812

3 + 3 = 2gv + y = E

221

11

La profundidad mnima permisible en la cresta de la contraccin verticalest dada por la energa mnima en la transicin, es decir, es igual a la ycque para canales rectangulares es:

.m 2.02 = 9.819 =

gq = y 3

23

2

c

EL flujo es subcrtico y1 > yc.

Energa especfica crtica para canales rectangulares:

m. 3.0318 = 2.0212 1.5= y1.5 = E cc Ascenso mximo permisible:

m. 30.4 = 3.03 - 63.4 = E - E = z c1max

Gern

n G

aviln


21

La profundidad aguas abajo y2 es la profundidad alterna que correspondea la profundidad subcrtica aguas arriba de y1 = 3 metros:

y x x9.8129 + y = 63.4= E 2

2

2

22

Resuelta la ecuacin anterior por el mtodo aproximado de Newton seobtiene: y2 = 1.42 m.

El valor de la Fuerza de arrastre es:

= 2y +

gyq-

2y +

gyq =

bF 2c

c

221

1

2d1

22222

d m 1.1245 =2

2.02+9.81x2.02

9-23+

9.81x39

bF

1

=

KN/m 02.11mN m 9802x1245.1

bF

32d1 ==

Que es la fuerza ejercida sobre la cara aguas arriba de la grada, la fuerzasobre la cara aguas abajo:

)2y+

gyq(-)

2y+

gyq(=

bF 22

2

22c

c

2d2

22222

d m 695.0242.1+

42.19.81x9

22.02+

9.81x2.029

bF

2 =

=

KN/m 81.-6= x980295-0.6= 950.6- =bF

2d Fuerza total sobre la grada:

.KN/m 71.17 = 69).(-6 - 02.11 =F F = F21total ddd

Problema 5-10 Se monta una compuerta en un canal de seccinrectangular, siendo el fondo horizontal de 3 metros de ancho. Una cortadistancia aguas arriba de la compuerta, la profundidad es de 3 metros, laabertura de la compuerta es de 0.90 metros y el coeficiente decontraccin es de 0.61. Calcular el empuje sobre la compuerta: a)

Gern

n G

aviln


22

suponiendo que la distribucin de la presin es hidrosttica, b) por elmtodo correcto de cambio en la cantidad de movimiento.

Solucin:

a) Presin hidrosttica en la cara aguas arriba:

N 33648 = 2

12. x3x 9802= 2by =yA = F

22

b) Presin por el mtodo de cambio en cantidad de movimiento:

La profundidad y2, es funcin de la abertura de la compuerta y delcoeficiente de contraccin de la misma, est dada por:

m. 50.5 = x0.900.61 =w C = y c2

gy2q + y =

2gyq + y E = E 2

2

2

221

2

121

De donde:

2

622

21

22

212

segm 04.15 =

50.5 + 355x0.3 x x9.812 =

y + yygy2

= qm-seg

m 3.87 = q3

Aplicando la ecuacin de momento para canales rectangulares eincluyendo Fd se tiene la fuerza ejercida por unidad de ancho de lacompuerta:

Gern

n G

aviln


23

2y+

gyq-

2y+

gyq=

bF 22

2

221

1

2d

222

d m 2.07 =250.5+

59.81x0.504.51-

23+

9.81x304.51 =

bF

N/m 12203 = 98022.07x = 2.07 = bFd

N 37609 = 12 x2033 =3F= F ddtotal

Se puede apreciar una diferencia cercana a 4000N entre los dosclculos.

Problema 5-11 Se construyen dos hileras de bloques en un tanque dedisipacin de energa como se muestra en la figura con el fin de ayudar ala formacin de un resalto hidrulico dentro del tanque. Se encuentra queeste arreglo tiene un coeficiente efectivo de arrastre de 0.3 basado en lavelocidad aguas arriba y en el rea frontal combinada de los bloques. Sila descarga es de 30 metros cbicos por segundo y la profundidadaguas arriba es de 0.60 metros, encontrar la profundidad requeridaaguas abajo para que pueda formarse un resalto hidrulico: a) si seinstalan bloques, b) si no se instalan.

Solucin:

a) Cuando se instalan bloques:

Del estudio de la mecnica de fluidos se sabe que la fuerza de arrastreproducida por un fluido en movimiento viene dada por:

2v A C = F

2o

dd (a)

A es la proyeccin del rea resistente en la direccin del flujo

Cd es el coeficiente de arrastre que depende de la forma del objeto

Gern

n G

aviln


24

es la densidad del fluido yvo es la magnitud de la velocidad de aproximacin del fluido

m/seg 8.33 = x0.6 630 =

AQ = v

oo

m-segm

3

5 =630 =

bQ = q

La ecuacin (a) para el clculo de la fuerza de arrastre Fd:

N. = 2338. x1000 0.6 xx 0.3 = F

2

d 374706

Como existe un obstculo en el canal se requiere aplicar la ecuacin demomento para encontrar el valor de la profundidad despus de losbloques. Aplicando la ecuacin de momento para canales rectangularese incluyendo Fd se tiene que la fuerza ejercida por unidad de ancho delos bloques es:

2y

+y9.81

5-2

0.6+0.69.81

5 = 2y

+gyq-

2y

+gyq=

bF 22

2

22222

2

221

1

2d

22

2

5.0548.24274.4637.098026

37470 yyxb

Fd ===Reuniendo trminos semejantes se llega a la ecuacin:

0 = 2.548 + y3.7 - y0.5 232 9

Ecuacin que resuelta mediante el mtodo aproximado de Newton dados races positivas para y2: 0.7221 y 2.32. Para identificar la solucincorrecta el valor a tomar es el que corresponda al flujo subcrtico paraformar resalto, luego la solucin es y2 =2.32 m..

b) Si los bloques son omitidos:

La profundidad y2 es la profundidad conjugada correspondiente a y1 =0.60 metros, que se calcula mediante la ecuacin de momento.

gAQ +yA = M

gAQ +yAMM

22

222

11121 ==

Gern

n G

aviln


25

Y que para el caso particular de canales rectangulares es:

21 - Fr8 + 1y = y

21

12

En la cual el nmero de Froude viene dado por la ecuacin:

11.7982 = 60. x 9.81

5 = gyq = F 3

2

31

2

r21

Problema 5-12 Un sistema de alcantarillado consiste de un canal deforma trapezoidal de ancho de base 10 metros y con un Z=1. Una nuevava requiere atravesar el sistema de alcantarillado utilizando un "box-culvert" como el mostrado en la figura. El caudal de diseo delalcantarillado es de 35 m3 /seg y el nivel del agua antes de construir elcruce es de 0.71 metros. El ingeniero estructural requiere conocer laslimitaciones en el espesor de las paredes del box-culvert para que suconstruccin no afecte el comportamiento hidrulico del sistema. En elsitio de cruce la cota del fondo del box-culvert es de 101.2 metros y la dela va es 103.0 metros. Como factor de seguridad se requiere que el niveldel agua en el box-culvert est por lo menos 30 cms por debajo del nivelinferior de la placa del box-culvert. A usted se le contrata para determinarsi existe un lmite en el espesor de las tres paredes del box-culvert(asumir que las paredes tendrn el mismo espesor) y en caso afirmativocul es?

Solucin

( ) m 813.171.0*171.01081.92357.0

22 222

2

21

1

21

11 =++=+=+= gAQy

gvyE

Par que no exista embalsamiento se requiere que la energa en el punto2 sea la crtica.

cEEE 221 ==

nivel de la va

10 m 10 m

0.3 m

Canal del alcantarillado Cruce del va con el alcantarillado

Gern

n G

aviln


26

gvyE ccc 2

22

22 +=

En la ecuacin anterior hay dos incgnitas y2c y v2c, por lo tanto senecesita una ecuacin adicional. El nmero de Froude en el punto 2 debeser igual a 1.

132

22

=c

c

gABQ

De la ecuacin del nmero de Froude se puede obtener v2c2 :

c

cc

c BgAv

AQ

2

2222

2

2

==

y reemplazando en la ecuacin de energa:

c

cc B

AyE2

222 2+=

El canal en el punto 2 se puede definir como un canal rectangular deancho b', siendo b' el ancho mnimo requerido para que el box-culvert noproduzca embalsamiento. Reemplazando en la ecuacin de energa setiene.

cc

c YbYbyE 2'

2'

22 23

2=+=

m. 21.1813.132

32

32

122 ==== EEY c

A partir de la ecuacin de Froude se obtiene:

( )

m-segm 16.421.181.9

333

2232

''

32

'3

====== cccc gyqgybbybg

BgAQ

m 41.816.4

35 '' ====qQbqbQ

Gern

n G

aviln


27

El canal rectangular equivalente debe tener un ancho mnimo de 8.41metros. Como se tienen tres paredes de igual espesor, el espesor decada una ser:

m 53.03

41.810 ==e

Problema 5-13 Una pila de puente tiene 0.60 metros de ancho y estseparada de las otras a 6 metros, a una corta distancia aguas arriba laprofundidad es de 3 metros y la velocidad es de 3 m/seg. Suponiendoque la pila tiene un coeficiente de arrastre de 1.5 (con el rea y lavelocidad basados en el flujo aguas arriba). Encontrar la profundidadcuando el flujo ha avanzado lo suficiente para que la perturbacin localcausada por las pilas desaparezca. Desprecie la pendiente del fondo y laresistencia del lecho.

Empleando la ecuacin de la fuerza de arrastre se calcula la fuerza queejerce una pila sobre el fluido:

2v A C = F

2o

dd

. 12150 = 23 x x1000 x0.6x 1.5 = F

2

d N3

El caudal por unidad de ancho es igual a:

m-segm3 9 = x3 3=y v = q

Las pilas actan como obstculo al flujo por lo tanto aplicando laecuacin de momento para canales rectangulares e incluyendo Fd setiene que la fuerza ejercida por unidad de ancho de la pila es:

)2y

+gyq(-)

2y

+gyq(=P

22

2

221

1

2f

0.2066= 2y

+y9.81

9-23+

9.81x39 =

x9802 =

bF 22

2

222d

612150

De donde:

0 = 8.2569 + y7.04 - y0.5 232 5

Gern

n G

aviln


28

Al resolver esta ecuacin mediante la aplicacin del mtodo aproximadode Newton se encuentran dos races positivas: 1.34 y 2.90. Ya que sebusca la raz que corresponde al flujo subcrtico, la respuesta es y2 =2.90 m.

Gern

n G

aviln


29

5.3 Problemas

1. Fluye un caudal de 3 metros cbicos por segundo y pormetro de anchura, en un canal de seccin rectangular, auna profundidad de 0.40 metros. Determinar laprofundidad conjugada correspondiente.

2. Fluye agua a una velocidad de 10 metros por segundo y auna profundidad de 0.90 metros, en un canal de seccinrectangular de 5 metros de ancho. Si se presenta unresalto hidrulico determinar la potencia disipada.

3. A la salida de una rpida de seccin rectangular seobserva que la profundidad pasa de 0.50 a 2.0 metros.Determinar el caudal.

4. Para unas condiciones de flujo dadas se ha determinadoque las profundidades crtica y conjugada sonrespectivamente 0.8 y 2.50 metros. Determinar el caudal,la profundidad y la energa que disipa al presentarse unresalto hidrulico.

5. La cresta de una estructura de vertimiento de 20 metrosde altura se encuentra a 4.50 metros por debajo del niveldel embalse. Si se forma un resalto en la base de laestructura, determinar la profundidad y la energadisipada.

6. Se descarga agua a razn de 300 metros cbicos porsegundo sobre una estructura de vertimiento de 12 metrosde ancho a un tanque de disipacin de la misma anchura.El nivel del embalse detrs de la estructura est a 60metros sobre el plano de referencia; el nivel del aguaaguas abajo est a 30 metros sobre el plano de referencia.Suponiendo que no se disipa energa en el flujo haciaaguas abajo de la estructura de vertimiento, encontrar lacota de fondo requerida para un resalto hidrulico quepueda formarse dentro del tanque.

7. En la situacin del problema anterior se encuentraimposible colocar el fondo del tanque a una profundidadmenor de 22.5 metros sobre la cota de referencia. Quanchura deber tener el tanque para que un resalto puedaformarse dentro de l?.

8. La situacin es como en el problema anterior, pero eltanque de disipacin debe mantenerse en una anchuraoriginal de 12 metros. La formacin del resalto debecumplirse al construir una solera levantada en el extremo

Gern

n G

aviln


30

aguas abajo del tanque. Suponiendo flujo crtico sobre lasolera, encontrar el nivel requerido de la solera de modoque pueda formarse un resalto dentro del tanque.

9. Permanece agua detrs de una estructura de vertimiento auna profundidad de 30 metros sobre el fondo de un ro.Despus de pasar el flujo a lo largo de la estructura yhorizontalizarse de nuevo tiene una profundidad de 3.0metros. Suponiendo flujo continuo y que no existe prdidade energa, cul ser la fuerza hidrosttica sobre laestructura que tiene una longitud de 120 metros?.

10. En una tubera de 0.80 metros de dimetro lasprofundidades conjugadas son 0.2 y 0.67 metros.Determinar el caudal y los nmeros de Froudecorrespondientes.

11. En una tubera de 1.20 metros de dimetro la profundidades de 0.15 metros y el nmero de Froude es 6.1014. Si sepresenta un resalto hidrulico determinar la profundidadconjugada.

12. En una tubera de 1.0 metro de dimetro circula un flujo auna profundidad de 0.18 metros. Si la profundidad crticacorrespondiente es de 0.35 metros, determinar la energadisipada.

13. Determinar el mximo caudal que puede fluir en unatubera de dimetro 0.60 metros, para que se puedapresentar un resalto hidrulico dentro de ella cuando laprofundidad aguas arriba es de 0.10 metros.

14. En una tubera de dimetro 0.60 metros la funcin decantidad de movimiento es 0.0657 y el caudal es 0.14metros cbicos por segundo. Determinar lasprofundidades conjugadas.

15. En una tubera de dimetro 1.50 metros fluyen 1.50metros cbicos por segundo, siendo el nmero de Froudeigual a 3.93. Determinar las profundidades conjugadascorrespondientes.

16. En una tubera de 1.20 metros de dimetro fluye un caudalal que le corresponde una profundidad crtica de 0.48metros. Si la prdida de energa en el resalto hidrulico esde 1.27 metros, determinar las profundidades conjugadas.

17. En una cada circular de 1.20 metros de dimetro ladiferencia entre el nivel del agua y el fondo de la tuberaes de 10 metros. El caudal que fluye es de 4 m3/s..

Gern

n G

aviln


31

Determinar la profundidad aguas arriba y la energadisipada.

18. En una cada circular de 1.0 metro de dimetro, el tramohorizontal se coloca a 3.75 metros por debajo del nivel deltanque de salida. Si la profundidad inicial antes del resaltoes de 0.35 metros, determinar las diferencias de cotasentre los niveles del agua a la entrada y a la salida de lacada.

19. A que profundidad debe colocarse el tramo horizontal enuna cada circular de 1.0 metro de dimetro, quetransporta un caudal de 0.80 metros cbicos por segundo,si los niveles de entrada y salida deben estar a unadiferencia de nivel de 4 metros.

20. En un canal trapezoidal de base 1.20 metros y taludeslaterales 1.5H:1V fluye un caudal de 4 metros cbicos porsegundo a una profundidad de 0.35 metros. Si se presentaun resalto hidrulico determinar: el caudal, profundidadesconjugadas, nmeros de Froude, energa disipada yprofundidad crtica.

21. En un canal trapezoidal de base 0.50 metros, taludeslaterales 1H:1V fluyen 1.2 metros cbicos por segundosiendo la funcin presin - cantidad de movimiento igual a0.8037. Determinar las profundidades conjugadas quecorresponden a tal condicin.

22. En un canal de seccin rectangular se presenta un flujopermanente a una velocidad de 2 metros por segundo y auna profundidad de 13 metros. Si el flujo es detenidobruscamente determinar la magnitud de la ola producida.

23. Un ro de gran anchura tiene una profundidad de 6 metrosy una velocidad de 4.5 metros por segundo, que formauna ola visible de 5 metros. Determinar la velocidad y elcamino recorrido en 4 minutos.

24. Una marea gasta 5 minutos para penetrar un estuario de2.4 kilmetros, si las condiciones iniciales del flujoconsisten en una profundidad de 4.0 metros y un caudalde 18 metros cbicos por segundo y por metro.Determinar la nueva profundidad y velocidad.

25. Est fluyendo agua a una profundidad de 1.5 metros y auna velocidad de 0.9 metros por segundo en un canal deseccin rectangular. La descarga en el extremo aguasabajo se reduce abruptamente a la mitad, encontrar la

Gern

n G

aviln


32

profundidad de la ola resultante y velocidad con la cual elagua se mueve.

26. El nivel del agua en un embalse se encuentra a 40 metrospor encima de la cota de fondo de un ro. Despus de fluirel agua por una estructura de vertimiento, llega a untanque de disipacin, cuyo fondo se encuentra en la cotainicial del fondo del ro, siendo la profundidad de 4 metros.Suponiendo un flujo continuo y que no existe prdida deenerga hasta este punto determinar: a) la energadisipada en el tanque, b) la altura requerida en una solerapara que se pueda formar el resalto hidrulico y c) la alturaefectiva de la estructura (distancia vertical desde la crestahasta el fondo).

27. Sale agua de un lago por intermedio de un canal dependiente fuerte, de seccin trapezoidal de ancho de base1.2 metros y taludes laterales 1V:1.5H a una velocidad de2.5 mts/seg. Cul es la elevacin de la superficie conrelacin al fondo del canal?.

28. Sale agua de un embalse por intermedio de un canalcircular de pendiente fuerte. Si la profundidad a la salidaes de 0.4271 metros y la diferencia de cotas entre lasuperficie libre y el fondo del canal es de 0.5981determinar el caudal que fluye.

29. Cul debe ser la diferencia de cotas entre el fondo de uncanal circular de dimetro 0.80 metros y la superficie librede un lago para poder extraer 0.50 m3/seg.

30. Cul es la profundidad de un canal de seccin circular dedimetro 0.50 metros, que corresponde a un caudal de0.80 m3/seg y a un nmero de Froude de 2?.

31. En un canal de 1.2 metros de dimetro se presenta unflujo supercrtico a una profundidad de 0.85 metros. Si unobservador estacionado en la orilla observa que unaperturbacin se propaga hacia arriba a una velocidad de0.7228 mts/seg. Cul es el nmero de Froude?.

32. Un canal circular de dimetro 1.20 metros transporta unflujo con una energa especfica de 1.1168 metros y unnmero de Froude de 2. Encontrar el caudal transportado.

33. En un canal circular de dimetro 0.9 metros, laprofundidad crtica que corresponde a un caudaldeterminado es 0.4118 metros. Si la energa especfica enun punto determinado del canal es 0.5701 metros. Cul esel nmero de Froude?.

Gern

n G

aviln


33

5.4 Referencias

1. ASCE, (1985) Hydraulics and hydrology in the smallcomputer age : proceedings of the Specialty Conference.New York, N.Y.

2. Aramburo, L.E. (1987). Hidrulica Aplicada I, Editorial UIS

3. Brebbia, C. A., Connor, J.J. (1976) Finete ElementsTechnoques for Fluid Flow, Butterworth, Londres.

4. Chadwick, A., Morfett, J. (1998) Hydraulics in Civil andEnvironmental Engineering. E & FN Spon Chapman &Hall. Nwe York.

5. Chanson, H. (1999) Hydraulics of Open Channe Flow,John Wiley & Sons, New York.

6. Chow Ven Te (1959) Open Channel Hydraulics, Mc Graw-Hill, Tokio

7. Cunge, J.A., Holly Jr, F.H., Verwey, A. (1980) PracticalAspects of Computational River Hydraulics, Pitman,Londres.

8. Daugherty, R. L, Long, R. (1885) Hydraulics; a text onpractical fluid mechanics. McGraw-Hill, New York.

9. French, R.H. (1986) Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill, Singapure.

10. Gnther G. (1987) Hydraulics and hydraulic research : ahistorical review. Rotterdam ; Boston.

11. Hanif, C. M. (1993) Open-channel flow. : Prentice-HallEnglewood Cliffs, N.J.

12. Henderson, F.M. (1966) Open Channel Flow, Macmillan,New York.Knight, D. (1989) Hydraulics of FloodChannesls. . Wiley, Chichester.

13. Koutitas, C.G. (1983) Elements of ComputationalHydraulics. Pentech Press, Plymouth.

14. Parmley, R. O., (1992) Hydraulics field manual. McGraw-Hill, New York.

15. Simon, A.L., (1986) Hidraulics, John Wiley & Sons. NewYork

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