Fabricacion y Caracterizacion de Redes de Periodo Largo Como Derivadores Fraccionarios

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

Departamento de Física Aplicada yElectromagnetismo

CARACTERIZACIÓN DE REDES DE PERIODOLARGO EN FIBRA ÓPTICA COMODERIVADORES FRACCIONARIOS

Trabajo de fin de Master

Física Avanzada

Autor:

Santiago Martinez Clavijo.

Director:

Dr. José Luis Cruz Muñoz.

Septiembre 2012

Agradecimientos.

Quiero agradecer a mi director el doctor Jose Luis Cruz por su colaboración durante

todo mi proceso de aprendizaje desde que llegué aquí y por su guía en el desarrollo teórico y

experimental de mi investigación.

Agradezco también al doctor Christian Cuadrado Laborde por su acompañamiento en

el trabajo realizado y su ayuda en la resolución de dudas con las medidas y simulaciones y

enseñarme el uso del software Mathcad.

Me gustaría dar las gracias al doctor Miguel Andrés Bou y al Departamento de Física

Aplicada y el grupo de investigación por darme la oportunidad de estar acá en su universidad,

ha sido una estancia muy productiva de muchas experiencias y aprendizajes.

Dedicado a mi familia

i

Índice General.

Agradecimientos. I

Lista de Figuras. V

1. Introducción. 1

1.1. Redes de Periodo Largo en Fibra Óptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Cálculo Fraccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Teoría de LPG. 9

2.1. Teoría de Modos Acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Solución de Ecuaciones de Modos Acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Representación Matricial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Acoplo Máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Derivada Fraccional Mediante LPGs. 15

3.1. Derivada Fraccional de un Pulso Óptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. LPG como derivador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Desarrollo Experimental. 21

4.1. Grabación por radiación UV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Método de Grabación Usado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3. Reducción del Ancho de Banda de las Redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

iv Índice General.

5. Resultados Experimentales. 29

5.1. Método por Modulación a Radiofrecuencia (MPS). . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2. Respuesta en Amplitud y Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones. 41

Bibliografía. 43

Lista de Figuras.

1.1. Estructura de una Red de Periodo Largo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Funcionamiento de una LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Espectro de una LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1. Respuesta en Fase de un Derivador Fraccional de Orden 0,68 . . . . . . . . . 18

3.2. Relación entre la fracción de Longitud z/L y el orden de derivación n . . . . 19

3.3. Pulso Gaussiano y su Derivada Fraccional en una LPG . . . . . . . . . . . . . 20

4.1. Sistema de Grabación de LPG usado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2. Difracción Debido a la Rendija y la Fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Espectro de Redes Grabadas a Distintas Velocidades . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4. Grabación con doble rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5. Redes grabadas con una y dos rendijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6. Espectro de Red grabada sin rendija con Λ = 335µm . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1. Montaje para medición por MPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2. Modulación a Doble Banda Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3. Espectro en Transmisión de la LPG medido por el Analizador Espectral Óptico 33

5.4. Respuesta en Amplitud Medida por el Analizador de Redes . . . . . . . . . . 33

5.5. Espectro en Transmisión de la LPG (simulación) . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.6. Fase Medida por el Analizador ∆φmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.7. Retraso de Grupo de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.8. Retraso de Grupo y Fase de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

v

vi Lista de Figuras.

5.9. Respuesta en Fase de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.10. Escalón en Fase de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.11. Respuesta en Amplitud y Fase de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.12. Simulación de la Fase Eléctrica Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.13. Simulación del Retraso de Grupo de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.14. Simulación de la Respuesta en Fase de la LPG . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

CAPÍTULO 1

Introducción.

Las redes de difracción en fibra óptica son una perturbación periódica de las propieda-

des ópticas y/o físicas de la fibra, generalmente del índice de refracción del núcleo,

que permiten el acoplo entre modos que en ausencia de perturbación se propagarían inde-

pendientemente; estas pueden ser de dos tipos dependiendo del tamaño del periodo de la

perturbación: FBG (Fiber Bragg Gratings) redes de Bragg o de periodo corto, y LPG (Long

Period Gratings) redes de periodo largo. Para lograr este patrón periódico de índice en forma

de rejilla se pueden usar varias técnicas siendo las más comunes las basadas en la exposición

a luz ultravioleta.

Las FBG cuyo descubrimiento fue hecho por Hill en 1978 [1], tienen periodos de alrededor

de medio micrómetro y acoplan de un modo propagante a un modo contra-propagante en el

núcleo, en estas solo la onda incidente cuya longitud de onda cumpla la condición de Bragg

(1.1) es reflejada mientras que las otras son transmitidas:

λFBG = 2neffcΛ (1.1)

Siendo λFBG la longitud de onda de Bragg, neffc el índice efectivo del modo del núcleo y

Λ el periodo de la red. FBGs puede haber de distintos tipos dependiendo de sus parámetros

ópticos y geométricos, hay uniformes donde Λ, neffc y λFBG son constantes y la amplitud de

modulación de índice ∆n también se mantiene constante, hay redes con chirp donde λFBG es

variable y redes apodizadas donde ∆n es variable. Las FBG tienen variedad de aplicaciones

1

2 Introducción.

en filtros, multiplexores, compensadores de dispersion, reflectores, láseres y sensores.

El primer trabajo sobre LPG data de 1986 desarrollado por Blake [2] mediante técnicas

mecánicas y posteriormente implementado por Vengsarkar [3] mediante técnicas de radiación

ópticas. Las LPG tienen periodos típicamente de cientos de micrómetros y acoplan del modo

propagante del núcleo a modos de la cubierta que se propagan en la misma dirección, entonces

al contrario de las FBG en las LPG no se presenta reflexión, se tiene un acoplamiento co-

propagante intermodal, este acoplo se dará a la longitud de onda que cumpla la condición

de fase dada por (1.2) donde λLPG es la longitud de onda de acoplo, neffc es el índice

efectivo del modo del núcleo, neffcl es el índice efectivo del modo de la cubierta y Λ es el

periodo de la red. El modo de la cubierta al cual se acopla el modo del núcleo depende de los

parámetros de la fibra y el periodo de la red. La profundidad el ancho y la posición del pico

de atenuación en el espectro depende de la amplitud de modulación, la longitud y el periodo

de la red, y de las condiciones externas como temperatura, estiramiento e índice de refracción

del medio donde esté la fibra, por esta razón las LPG son objeto de estudio frecuentemente

para aplicaciones como sensores de magnitudes físicas y químicas [4]. Esto las convierte en

un tema muy importante en investigación, existiendo una gran cantidad de publicaciones

relacionadas con su estudio caracterización y aplicabilidad.

λLPG = (neffc − neffcl)Λ (1.2)

Pero además de tener bastantes aplicaciones en el dominio de la frecuencia, las LPG

tienen interesantes aplicaciones en el dominio del tiempo, una de ellas es su uso para formar

derivadores o integradores ópticos [5], [6]. La función de transferencia de un LPG bajo ciertas

aproximaciones es la misma que la de un derivador en el tiempo, realizando también el

corrimiento en fase correspondiente al que haría un derivador; si ponemos una señal óptica

en la entrada, la red nos da la derivada en el tiempo de la envolvente compleja de la señal, y

no solamente esto, además una derivada fraccional que es una generalización de la derivada

que permite hacer derivadas de ordenes no enteros.

En el creciente desarrollo de las tecnologías ópticas, un punto que ha acaparado bastante

atención es el diseño de circuitos ópticos operacionales análogos a su contra parte electró-

nica, con este fin es necesario desarrollar los bloques de operaciones base como derivadores,

integradores, sumadores y restadores. Esto convierte a las LPG en una buena opción para

ser usadas en el desarrollo de estos circuitos ya que podrían actuar como bloques base de

operaciones de integración y derivación. Los circuitos ópticos son una tecnología emergente

1.1 Redes de Periodo Largo en Fibra Óptica. 3

que podría posicionarse como la nueva era sobre los circuitos electrónicos debido a que es-

tán basados en dispositivos ópticos, esto permite aprovechar las ventajas inherentes a estos

como la alta velocidad de operación, la inmunidad a interferencia, el ancho de banda y la

reducción de costos al tener compatibilidad con sistemas ópticos simplificando la conversión

óptica-electrónica-óptica. El propósito de este trabajo es mostrar mediante datos teóricos, de

simulación y experimentales, el uso de LPG como derivador fraccional, para esto se trabajó en

la grabación de redes buscando parámetros óptimos y una vez obtenidas las redes necesarias,

se realizaron medidas de amplitud y fase usando el método MPS (Modulation Phase Shift)

para corroborar que efectivamente cumplen las condiciones para actuar como derivadores.

En cuanto a la estructura del trabajo, está dividido en 5 capítulos. Un primer capítulo

de introducción donde se trata de manera general las redes de periodo largo y la teoría del

cálculo fraccional. En el segundo capítulo se desarrolla la teoría de modos acoplados para una

LPG. En el tercero se hace énfasis en la aplicación de las LPG como derivadores fraccionales,

siguiendo en el capítulo 4 describiendo la fabricación de las redes y finalizando en el capítulo 5

con los datos de simulación, los métodos de caracterización en amplitud y fase y los resultados

experimentales obtenidos.

1.1. Redes de Periodo Largo en Fibra Óptica.

Una red de periodo largo es una modulación periódica del índice del núcleo de la fibra que

induce un acoplo entre el modo del núcleo y los modos copropagantes de la cubierta [7]. En la

figura 1.1 vemos la estructura de la red y su parámetros, allí nc es el índice de refracción del

núcleo, ncl es el índice de refracción de la cubierta y na es el índice de refracción del aire, Λ es

el periodo de la red, L la longitud, neff es el índice efectivo del núcleo y ∆n es la amplitud de

modulación que es la variación del índice del núcleo en cada perturbación, y que normalmente

tiene valores entre 10−4 y 10−3. Como su nombre lo dice las LPG son rendijas de difracción,

entonces cuando un haz de luz incide en una discontinuidad en el núcleo de la fibra con

un ángulo θ1 es difractado con un ángulo θ2, la ecuación (1.3) nos da la relación necesaria

para que haya interferencia constructiva, donde m es el orden de difracción. Sabiendo que

las constantes de propagación del núcleo βco y la cubierta βcl vienen dadas por (1.4) y (1.5),

llegamos a la condición de ajuste de fase en la ecuación (1.6), como se puede ver se necesita

un periodo muy largo para lograr el acoplo, en comparación con la ecuación (1.1) para una

FBG que necesitará un periodo corto.

4 Introducción.

neffcsenθ2 = neffclsenθ1 +mλ

Λ (1.3)

βc = 2πλneffc (1.4)

βcl = 2πλneffcl (1.5)

Λ = 2π(βc − βcl)

(1.6)

Figura 1.1: Estructura de una Red de Periodo Largo

La cubierta generalmente soporta muchísimos modos en su interfaz con el aire hasta apro-

ximadamente 104, ya que el diámetro de la cubierta es generalmente mucho más grande que

la longitud de onda de luz y la diferencia de índice de refracción cladding-aire es muy grande.

Sin embargo solo algunos de ellos tienen una componente de campo eléctrico suficientemente

alta y con la simetría angular adecuada en el núcleo para el acoplo, esto se ve expresado

en la integral de traslape con el modo fundamental del núcleo dada por (1.7), donde Ec es

la amplitud del campo eléctrico en el núcleo y Ecl es la amplitud del campo eléctrico en la

cubierta, y se toma sobre la sección donde se realiza la modulación del índice, esta integral

determina la eficiencia de conversión intermodal, su valor solo es significativo para los modos

HE1m [8]. En cuanto al modo del núcleo, en una fibra óptica con perfil de salto de índice, el

único modo guiado con longitud de onda λ > λc es el modo fundamental HE11, siendo λc la

longitud de corte de la fibra dada por (1.8) donde a es el radio del núcleo, NA es la apertura

numérica y 2.405 es el valor de la frecuencia normalizada en λc.

I =∫ a

0∫ 2π

0 EcE∗clrdrdϕ(∫∞

0∫ 2π

0 EcE∗c rdrdϕ)1/2 (∫∞

0∫ 2π0 EclE

∗clrdrdϕ

)1/2 (1.7)

λc = 2πaNA2,405 (1.8)

1.2 Cálculo Fraccional. 5

Durante el proceso de fabricación, se quita el revestimiento protector de la fibra en el

espacio donde se va a grabar la red, formando la interfaz cladding-aire necesaria para la

propagación de los modos de la cubierta, en esta región se inducen cambios en el índice

de refracción del núcleo, grabando un patrón en forma de rejilla, la figura 1.2 representa

el funcionamiento de estos dispositivos, entonces, si se tiene una onda incidente, a medida

que esta se va desplazando a través de la fibra, al pasar por cada punto en la rejilla, va

generando una onda en la cubierta y va perdiendo energía, entre estas ondas generadas habrá

interferencia constructiva y acoplo en fase si el periodo Λ cumple la condición dada por (1.6).

Al continuar propagándose, los modos de la cubierta experimentaran una alta atenuación

debido a perdidas por dispersion en la interface o por curvaturas en la fibra y finalmente

dejan de existir cuando llegan a la región que vuelve a tener el revestimiento protector el cual

es un polímero que tiene un índice de refracción igual o más alto que el del vidrio, entonces

la luz acoplada a estos modos se pierde y en el espectro de transmisión se puede ver una serie

de bandas de atenuación correspondientes al acoplo a diferentes modos de la cubierta como

se ve en la figura 1.3.

Figura 1.2: Funcionamiento de una LPG

1.2. Cálculo Fraccional.

El cálculo fraccional es una rama de la matemática que estudia la generalización de las

operaciones de integración y derivación con órdenes de números reales no solamente enteros

como se acostumbra. Del cálculo diferencial e integral podemos calcular la primera, segunda

o la enésima derivada o integral de una función, pues resulta muy interesante pensar en las

posibilidades y consecuencias de realizar una enésima operación siendo el índice un número

no entero, por ejemplo racional. La primera aparición de la idea de un cálculo fraccional

6 Introducción.

Figura 1.3: Espectro de una LPG

data de 1695 cuando L’Hopital le envía una carta a Leibniz donde haciendo referencia a la

notación de la derivada de una función dada por ∂nf(x)∂xn pregunta qué pasaría si se asumiera

un valor de n de ½, a lo que Leibniz respondió que esta es “Una aparente paradoja, de la

cual se extraerán fructíferas consecuencias algún día”.

Después de la carta de L’Hopital se siguieron haciendo acercamientos a la definición de

derivadas e integrales fraccionarias. En 1812, Laplace definió una derivada fraccional, luego

Lacroix llega a una expresión para la enésima derivada generalizada, después Fourier expresa

la derivada en términos de integrales, y en 1823 Abel muestra la primera aplicación de cálculo

fraccional en la resolución de la integral del problema llamado de la isócrona, luego Liouville da

la primera definición formal de la derivada fraccional que en 1847 es modificada por Riemann

y se conoce como la integral de Riemann-Liouville, después se han dado nuevas definiciones

dadas por matemáticos como Laurent, Heaviside, Weyl o Caputo. El primer texto de cálculo

fraccional data de 1974 de Oldham y Spanier [14]. Existiendo así al final varias definiciones

que son aplicadas dependiendo cual de ellas se adapta más a las características del problema

a solucionar. En nuestro caso y como se explicará en el capítulo 3, se usa una generalización

de la enésima derivada proveniente de la transformada de Fourier.

Aunque los orígenes del cálculo fraccional datan de muchos años atrás, solo hasta años

recientes se han empezado a realizar estudios sobre esta rama y sus aplicaciones. Una de las

1.2 Cálculo Fraccional. 7

características más interesantes del cálculo fraccional es que las derivadas o integrales fraccio-

nales no son una propiedad local, es decir que considera efectos distribuidos históricamente

y no localmente, en donde el comportamiento de un objeto no es influenciado solamente por

el estado actual sino también por estados anteriores.

Entonces una derivada de orden no entero en un cierto punto en tiempo o espacio contiene

información acerca de la función en puntos anteriores en tiempo o espacio, manifestándose un

efecto de memoria. Debido a esta propiedad estas derivadas fraccionales pueden ser usadas

para construir modelos de elementos como por ejemplo materiales visco elásticos o polímeros

y sus características de fluidez y deformación. Actualmente se están estudiando aplicaciones

en campos como la teoría de la dispersión, probabilidad, estadística, estudio de elasticidad y

viscosidad, sistemas de control automático, tratamiento de señales y electromagnetismo.

Se han publicado diferentes trabajos donde exploran aplicaciones del cálculo fraccional,

por ejemplo el de Olmstead [9] sobre la difusión, además, Diethelm y Freed [10] presentan un

modelado de la visco-elasticidad de ciertos materiales donde utilizan ecuaciones diferenciales

de orden fraccional; en el tema de procesado de señales, Unser y Blu [11] y [12] dan un

desarrollo de la teoría de wavelets (descomposición de señales en pequeñas funciones para

obtener características de espacio tamaño y dirección), por su parte Podlubny [13] muestra

varias herramientas para el análisis en el dominio del tiempo de de sistemas de control de

orden fraccional y controladores fraccionales. También ya se han publicado bastantes textos

que tratan el tema del cálculo fraccional como los textos de Spanier [14] y Herrmann [15].

CAPÍTULO 2

Teoría de LPG.

La interacción entre el modo del núcleo y los diferentes modos de la cubierta puede ser

modelada usando la Teoría de Modos Acoplados, en la cual la modulación del índice

de refracción es tomada como una pequeña perturbación mostrada como un cambio en la

permitividad dieléctrica. Se tiene un sistema inicial cuya solución son los modos de la fibra,

los cuales se propagan independientemente, estos modos se toman como base para expresar

un nuevo sistema perturbado donde habrá acoplo entre modos.

2.1. Teoría de Modos Acoplados.

Para el sistema sin perturbar se toma la ecuación de propagación de onda en una fibra

óptica:

∇2 ~Ei = µ0ε(x, y)∂2 ~Ei∂t2

(2.1)

cuyas soluciones modales para las componentes transversales a la propagación son dadas

por:

~ET i(x, y, z) = ~ET i(x, y)e−jβizejwt (2.2)

donde ~ET i son las componentes de campo transversal de cada modo i, y βi son las constan-

tes de propagación correspondientes, valores propios que satisfacen la ecuación de Helmholtz:

9

10 Teoría de LPG.

∇2xy~ET i(x, y) +

(β2i − µ0w

2ε(x, y))~ET i(x, y) = 0 (2.3)

Considerando una perturbación en el índice de refracción del núcleo a través del eje z

∆n(z), la relación con la constante dieléctrica viene dada por (2.4) y (2.5) donde εprt(z) y ε

son las constantes dieléctricas del sistema perturbado y sin perturbar respectivamente.

εprt(z) = ε+ ∆ε(z) = (n+ ∆n(z))2 = n2 + 2n∆n(z) + (∆n(z))2 ≈ n2 + 2n∆n(z) (2.4)

∆ε(z) = 2n∆n(z) (2.5)

La ecuación de onda dada que regirá la propagación del sistema perturbado será:

∇2 ~E = µ0(ε+ ∆ε(z))∂2 ~E

∂t2(2.6)

Se puede dar una buena descripción de la interacción de los modos en una LPG solamente

tomando el modo del núcleo y un modo del cladding [16]. Entonces, tomando dos modos co-

propagantes que sigan las ecuaciones dadas por (2.1) y (2.2), se asume una solución expresada

en (2.7) como una superposición de los dos modos, donde A1(z) y A2(z) son funciones que

varían a lo largo de z y corresponden a las amplitudes de cada modo, el subíndice 1 será para

hacer referencia al modo del núcleo y el 2 para referirse al modo del cladding.

~E(x, y, z) = A1(z) ~ET1(x, y)e−jβ1zejwt +A2(z) ~ET2(x, y)e−jβ2zejwt (2.7)

Luego reemplazando (2.7) en (2.6), simplificando, y teniendo en cuenta que la modulación

del índice de refracción es una perturbación muy pequeña, se puede usar la aproximación de

la variación lenta de la envolvente (SVEA) en la cual se requiere que la amplitud del modo

cambie poco en una distancia de la longitud de onda de la luz, se considera entonces que varía

lentamente a lo largo de z (2.8), entonces se omitirán los términos resultantes de segundo

orden de Ai(z) llegando a la ecuación (2.9) .

∣∣∣∣∣∂2Ai∂z2

∣∣∣∣∣ <<∣∣∣∣βi∂Ai∂z

∣∣∣∣ (2.8)

− j2β1 ~ET1(x, y)∂A1(z)∂z

e−jβ1z − j2β2 ~ET2(x, y)∂A2(z)∂z

e−jβ2z =

−µ0w2∆ε(z) ~ET1(x, y)A1(z)e−jβ1z − µ0w

2∆ε(z) ~ET2(x, y)A2(z)e−jβ2z (2.9)

2.1 Teoría de Modos Acoplados. 11

Con el fin de introducir la perturbación del índice del núcleo en los cálculos, expresada

como la variación en la permitividad dieléctrica, esta se puede escribir como una serie de

Fourier y de periodo Λ:

∆ε(z) =∑m

amej 2πm

Λ z (2.10)

Para una perturbación cuadrada, los coeficientes vendrán dados por:

am = a∗−m = j

πm∆ε con m impar (1, 3, 5...) (2.11)

a0 = 12 (2.12)

Introduciendo la perturbación (2.10) en (2.9) y multiplicando por ejβ1z y ejβ2z se obtienen

las ecuaciones:

− j2β1 ~ET1∂A1(z)∂z

− j2β2 ~ET2∂A2(z)∂z

ej(β1−β2)z =

−w2µo∑m

amej 2πm

Λ z ~ET1A1(z)− w2µ0∑m

am ~ET2A2(z)ej(β1−β2+ 2πmΛ )z (2.13)

− j2β1 ~ET1∂A1(z)∂z

ej(β2−β1)z − j2β2 ~ET2∂A2(z)∂z

=

−w2µo∑m

am ~ET1A1(z)ej(β2−β1+ 2πmΛ )z − w2µ0

∑m

amej 2πm

Λ z ~ET2A2(z) (2.14)

En las ecuaciones (2.13) y (2.14), aplicando la aproximación síncrona, se descartan todos

los términos que oscilan muy rápido y no llegan a producir cambios significativos en las am-

plitudes de los modos y se mantienen solamente aquellos términos que no oscilen en absoluto

o aquellos cuya fase se aproxime a cero, llegando a las ecuaciones (2.15) y (2.16). En (2.13)

y (2.14) los términos con fase de la forma βz son de variación rápida. De los términos de

la sumatoria con exponencial 2πmΛ z solo es lento el termino m = 0, a0, que corresponde al

valor medio de la modulación. Para los términos con (β2 − β1 + 2πmΛ ) y (β1 − β2 + 2πm

Λ ) solo

serán validos aquellos cuya fase se aproxime a cero, llevando a la condición de acoplo dado

por (2.17), que garantiza que bajo estas ecuaciones las interacciones estén en ajuste de fase y

permitan acoplo resonante. La longitud de onda λ a la cual ∆β = 0 será la longitud de onda

de resonancia que fue dada en la ecuación (1.2).

− j2β1 ~ET1(x, y)∂A1(z)∂z

= −µ0w2am ~ET2(x, y)A2(z)ej(β1−β2− 2πm

Λ )z

−µ0w2a0 ~ET1(x, y)A1(z) ; m > 0 (2.15)

12 Teoría de LPG.

− j2β2 ~ET2(x, y)∂A2(z)∂z

= −µ0w2am ~ET1(x, y)A1(z)ej(β2−β1+ 2πm

Λ )z

−µ0w2a0 ~ET2(x, y)A2(z) ; m > 0 (2.16)

∆β=β2 − β1 + 2πmΛ ≈ 0 (2.17)

Luego multiplicando por el campo transversal e integrando sobre la sección transversal

de la guía S, se encuentran las ecuaciones de acoplo que describen la interacción entre las

amplitudes de los modos del núcleo y la cubierta:

∂A1(z)∂z

= k11A1(z) + k12A2(z)ej∆βz (2.18)

∂A2(z)∂z

= k22A2(z) + k21A1(z)e−j∆βz (2.19)

donde k12, k21, k11, k22 son las constantes de acoplo dadas por:

k12 = −jw2µ0a

∗m

2β1

∫∫S

~ET2 ~E∗T1dxdy (2.20)

k21 = −jw2µ0am2β2

∫∫S

~ET1 ~E∗T2dxdy (2.21)

k11 = −jw2µ0a02β1

∫∫S

∣∣∣ ~ET1∣∣∣2dxdy (2.22)

k22 = −jw2µ0a02β2

∫∫S

∣∣∣ ~ET2∣∣∣2dxdy (2.23)

2.2. Solución de Ecuaciones de Modos Acoplados.

Con la solución de las ecuaciones (2.18) y (2.19) se encuentran las expresiones para las

amplitudes de los modos del núcleo y la cubierta:

A1(z) = 1klcej(∆β−A)z

(−(jA+ k22)(Ce−jBz +DejBz) + jB(−Ce−jBz +DejBz)

)(2.24)

A2(z) = e−jAz(Ce−jBz +DejBz) (2.25)

2.3 Representación Matricial. 13

donde,

A = (k′22 + k

′11 + ∆β)2 (2.26)

B =

√√√√(∆β2

)2 (1 + 2

∆β (k′11 − k

′22))

+ |k|2(

1 +(k

′11 − k

′22

2 |k|

))(2.27)

k′11 = k11

−j, k

′22 = k22

−j, |k|2 = −k12k21 (2.28)

Como condiciones iniciales del sistema, se define el valor del modo del cladding en el punto

de inicio de la red como A2(0) = 0, ya que en este punto no ha empezado el acoplo. Y en

cuanto al modo del núcleo se define con un valor inicial conocido A1(0) = A1o, entonces se

hallan las constantes C y D en (2.24) y (2.25) quedando:

A1(z) = A1oe−j(∆β−A)z

(cos(Bz)− j(A− k′

22)sen(Bz)B

)(2.29)

A2(z) = A1ok21e−jAz sen(Bz)

B(2.30)

Haciendo los coeficientes de auto-acoplo k11 y k22 igual a cero tenemos:

A1(z) = A1oe−jAz

(cos(Bz)− jAsen(Bz)

B

)(2.31)

A2(z) = A1ok21e−jAz sen(Bz)

B(2.32)

A = ∆β2 , B =

√A2 + |k|2, |k|2 = −k12k21 (2.33)

2.3. Representación Matricial.

Una red de periodo largo puede ser caracterizada por medio de matrices de la forma

(2.34) [17], en la cual la función de transferencia viene determinada por los campos ~Ei(z)

dados por (2.35), tanto de entrada ~Ei(0) como de salida ~Ei(L), siendo z = 0 y z = L los

puntos de inicio y final de la red, donde L es la longitud de la LPG. Expresando finalmente

en forma matricial como (2.36). Primero se toman las condiciones iniciales A2(0) = 0 y

A1(0) = A1o usadas anteriormente donde se obtuvieron las ecuaciones (2.31) y (2.32), luego

14 Teoría de LPG.

se hace el mismo procedimiento con A2(0) = A2o y A1(0) = 0, para completar las ecuaciones

que conforman la matriz de dispersion F dada en (2.37).

~E1(L)~E2(L)

= F

~E1(0)~E2(0)

(2.34)

~Ei(z) = Ai(z)e−jβiz (2.35)

~E1(L)~E2(L)

=

A1(L)e−jβ1L

A2(L)e−jβ2L

= F

~E1(0)~E2(0)

(2.36)

F =

e−jAL 0

0 e−jAL

. cos(BL)− jA sen(BL)

B k21sen(BL)

B

k21sen(BL)

B cos(BL) + jA sen(BL)B

(2.37)

donde se puede ver que:

F11 = F ∗22, F12 = F21 (2.38)

2.4. Acoplo Máximo.

La energía dada por las ecuaciones (2.36) y (2.37) normalizada con condiciones iniciales

A1(0) = 1 y A2(0) = 0, después de aplicar la condición de acoplo ∆β = 0, simplificar y sacar

el modulo al cuadrado, viene dada por:

∣∣∣ ~E1(L)∣∣∣2 = cos2(kL) (2.39)

De aquí que para que haya un cero en transmisión, encontramos la condición de acoplo

máximo:

∣∣∣ ~E1(L)∣∣∣2 = 0 ⇒ kL = π

2 (2.40)

La ecuación (2.39) muestra un comportamiento oscilante, que se evidencia en el proceso

de grabación punto a punto, cuando la red llega al acoplo máximo y se continua grabando,

la banda suprimida en transmisión comenzará a subir hasta desaparecer, lo que esta pasando

es que después de haber acoplado toda la energía a los modos del cladding, esta vuelve a ser

acoplada al modo del núcleo y así continuaría cíclicamente.

CAPÍTULO 3

Derivada Fraccional Mediante LPGs.

3.1. Derivada Fraccional de un Pulso Óptico.

La derivada fraccional o de orden arbitrario α de una función exponencial de la forma eat

esta dada por [18]:

Dα[eat]

= aαeat , α ∈ <+ (3.1)

Un pulso cuya envolvente compleja esta dada por la función e(t) y centrado la frecuencia

w0 vendrá definido por la expresión:

E(t) = e(t)ejw0t (3.2)

Cuya trasformada de Fourier, aplicando la propiedad del corrimiento en frecuencia, será:

E(w − w0) = F[e(t)ejw0t

](3.3)

En la ecuación (3.4) se define Ω como la frecuencia de banda base, donde w es la frecuencia

óptica y w0 la frecuencia portadora. Entonces la función E(Ω) sera la trasformada de fourier

del pulso y su trasformada inversa vendrá dadas por la ecuaciones (3.5) y (3.6).

Ω = w − w0 (3.4)

15

16 Derivada Fraccional Mediante LPGs.

E(Ω) = F[e(t)ejw0t

]= F [E(t)] (3.5)

F−1 [E(Ω)] = 12π

∞∫−∞

E(Ω)ejΩtdΩ = E(t) (3.6)

Definiendo la funciónαE(t) como la derivada temporal fraccional de orden α:

Dα [E(t)] =αE(t) = ∂αE(t)

dtα(3.7)

Aplicando la definición dada por (3.1) y (3.7) en (3.6), se llega a la expresión de la derivada

fraccional del pulso óptico en el dominio espectral:

αE(t) = 1

2π

∞∫−∞

E(Ω)(jΩ)αejΩtdΩ (3.8)

F

[αE(t)

]= (jΩ)αE(Ω) (3.9)

αE(Ω) = (jΩ)αE(Ω) (3.10)

La igualdad (3.10) es la expresión generalizada a cualquier orden α de la propiedad de la

transformada de Fourier de una función y su derivada para un n entero dada por (3.11).

F

[∂nE(t)dtn

]= (jΩ)nF [E(t)] (3.11)

Se puede ver en la ecuación (3.10), que en el dominio frecuencial la derivada de la función

es el espectro original por una función de transferencia H(Ω) definida en la ecuación (3.12).

Una red de periodo largo podrá reproducir esta función de trasferencia y entonces actuar

como un derivador.

αE(Ω) = H(Ω)E(Ω) , H(Ω) = (jΩ)α (3.12)

3.2 LPG como derivador. 17

3.2. LPG como derivador.

Tomando la función de transferencia dada por la ecuación (3.12), se pueden ver dos

propiedades importantes. La primera es una dependencia con la frecuencia de banda base Ω.

La segunda, que la función se hace cero en la frecuencia portadora w0. Estas dos propiedades

implican un desplazamiento en fase de απ a través de la frecuencia central w0. Para ver mejor

lo anterior se puede reescribir la función de transferencia para Ω < 0 osea para frecuencias

menores a w0 y para Ω > 0 osea para frecuencias mayores a w0, en amplitud y en fase:

H(Ω) =

ejα(−π2 ) |Ω|α w < w0

ejα(π2 ) |Ω|α w > w0(3.13)

φH =

α(−π

2)

w < w0

α(π2)

w > w0(3.14)

Entonces por ejemplo para un derivador de orden 1, se cumplirá que habrá un salto de

fase de π. En la figura 3.1 se tiene la respuesta en fase de un derivador de orden 0, 68 con una

frecuencia de resonancia de w0 = 198,94THz (1508nm). Se puede ver que efectivamente se

presenta un escalón de fase de 0,68π radianes en w0. Una LPG será capaz de realizar todas las

derivadas fraccionarias hasta el orden 1 y se reflejará en su respuesta en fase el desplazamiento

de απ radianes. Primero se hará la aproximación para que la función de transferencia de una

LPG actúe como la del filtro derivador explicada anteriormente.

De la función de transferencia dada en la ecuación (2.37) y con constantes A,B dadas por

la ecuación (2.33) se tiene que:

~E1(L)~E1(0)

=(

cos(BL)− jAsen(BL)B

)e−jALe−jβ1L (3.15)

Teniendo,

w = 2πcλ, w0 = 2πc

λLPG(3.16)

La función en (3.15) se puede aproximar para valores de w cercanos a la frecuencia de

resonancia w0 (donde se cumple la condición de acoplo ecuación (2.17)), quedando en la

forma:

~E1(L)~E1(0)

≈(

cos(kL)− jAsen(kL)k

)e−jβ1oL = T (w0) (3.17)


Figura 3.1: Respuesta en Fase de un Derivador Fraccional de Orden 0,68

Donde β1o es la constante de propagación en el núcleo en w0, y T (w0) es la función de

transferencia aproximada de la LPG en los alrededores de w0. El termino e−jβ1oL es un factor

de fase lineal que no aporta a la respuesta en fase, por lo cual no se toma en cuenta.

Si ahora en la ecuación (3.17) aplicamos la condición de acoplo máximo dado por la

ecuación(2.40), se tiene:

T (w0) = (−jAL) (3.18)

Ahora aproximando el factor de desintonía ∆β2 (ecuaciones (2.33) y (2.17)) alrededor de

w0 usado series de Taylor [5]:

A = ∆β2 ≈ ∆β1 · (w − w0) (3.19)

donde,

∆β1 = 12

[∂β1odw− ∂β2o

dw

](3.20)

donde β2o es la constante de propagación en la cubierta en w0.

Entonces, reemplazando (3.19) en (3.18) y con la ecuación (3.4):

T (w0) ≈ (−j∆β1ΩL) ∝ (−jΩ) (3.21)

3.2 LPG como derivador. 19

de la ecuaciones (3.12) y (3.21) se tiene:

T (w0) ∝ (−jΩ) ≈ H(Ω) , α = 1 (3.22)

Se puede ver que la función de transferencia de una LPG en acoplo máximo en las cercanías

de la frecuencia de acoplo es la misma que la de un derivador fraccional de orden 1. Se podrá

obtener una derivación fraccional de orden α para fracciones z/L dadas de la longitud L de la

red, desde α = 0 para z = 0 hasta α = 1 para z = L, entonces, si se considera un pulso que se

propaga en el modo del núcleo desde la entrada (z = 0) hasta la salida (z = L) de una LPG,

éste irá experimentando derivadas fraccionales desde de orden 0 hasta de orden 1 [26]. En la

figura 3.2 se presenta la relación entre la fracción de longitud z/L y el orden de derivación

fraccional obtenido para una LPG con L = 5cm, como se puede ver, la dependencia no es

lineal.

Figura 3.2: Relación entre la fracción de Longitud z/L y el orden de derivación n. [26]

En la figura 3.3 se muestra un pulso gaussiano, de la forma dada en la ecuación (3.23), a la

entrada de una LPG y a una fracción z/L = 0,96 de la longitud L, para formar un derivador

fraccional de orden 0,82. Se presentan las gráficas ideal y simulada del pulso derivado.

e(t) = e− 1

2

(tT0

)2

, T0 = 0,3ps (3.23)


Figura 3.3: Pulso Gaussiano y su Derivada Fraccional en una LPG. Pulso a la entrada (linea

entrecortada). Derivada ideal del pulso (puntos). Derivada simulada del pulso en la LPG

(linea sólida).[26]

CAPÍTULO 4

Desarrollo Experimental.

La modulación del índice de refracción del núcleo en la fibra para fabricar redes de periodo

largo se puede lograr por medio de distintos métodos, se han publicado varios trabajos

que muestran diferentes opciones como: por radiación ultravioleta [19], difusión de dopantes

en el núcleo [20], irradiación usando láseres de dióxido de carbono CO2 [21], implantación de

iones [22], y por descargas eléctricas [23]. También existen métodos de fabricación basados

en la deformación física de la fibra, [24],[25]. En el presente trabajo desarrollado se grabaron

las redes usando el método de radiación UV.

4.1. Grabación por radiación UV.

La grabación de redes de periodo largo por radiación ultravioleta hace uso del fenómeno

de fotosensibilidad, que hace que con la exposición a luz UV el índice de refracción del núcleo

cambie, esta propiedad fue vista por primera vez por Hill (1978) [1]. Entonces se utiliza una

fibra óptica cuyo núcleo esté dopado con elementos como boro o germanio, siendo este ultimo

dopante el más comúnmente usado. Existen varios modelos para explicar las causas de la

fotosensibilidad en las fibras ópticas, en el caso de la dopada con germanio se plantea que

se debe a defectos en la estructura del vidrio por deficiencias de oxígeno en los enlaces con

germanio GeO que hace que se provoquen enlaces directos sin oxígeno que se caracterizan

por tener un pico de absorción en la banda de 240 − 250 nm, entonces al estar expuestos a

luz UV de esta longitud de onda, estos enlaces se rompen liberando un electrón y cambiando

21

22 Desarrollo Experimental.

la estructura de la molécula llevando a un cambio en la polarizabilidad y a su vez el índice de

refracción del material. Es importante anotar que la cubierta de la fibra es trasparente a la

luz UV, mientras que como se explicó anteriormente el núcleo si es sensible a esta radiación.

En este método de grabación existen dos técnicas principales, una es usando una mascara

de amplitud que es un elemento que tiene un patron periódico pre-grabado, y la otra es la

llamada punto a punto en la que se va grabando periodo a periodo sobre la fibra. Para este

trabajo se uso la técnica de grabación punto a punto.

4.2. Método de Grabación Usado.

En la figura 4.1 se presenta un diagrama de el montaje usado para la grabación de las

LPG. Se utiliza un laser cuyo haz es focalizado por una lente con f = 20 cm para luego

pasar a través de una rendija vertical de 50 µm de ancho. En el punto inicial, el rayo del

laser cuyo ancho ha sido modificado por la rendija, incide sobre la fibra óptica cambiando el

índice de refracción del núcleo de la misma, entonces dos motores DC m1 y m2 hacen mover

a la par el haz y la rendija respectivamente hasta completar medio periodo Λ que ha sido

previamente calculado para cierta frecuencia de resonancia. Después el motor m1 desplaza

la rendija otro medio periodo mientras que el haz permanece en la misma posición, entonces

al moverse impide el paso del haz del laser, por lo cual en este segundo tramo no habrá

cambio en el índice de refracción. Para completar el ciclo, el motor m2 alcanza la posición del

motor m1 volviendo a quedar alineados dejando pasar el laser para empezar un nuevo ciclo

de grabación. El control de movimiento se realizó por ordenador usando el software incluido

con los motores de la empresa Physik Instrumente. El motor m1 se mueve a una razón de

29,64 cuentas (pasos de motor) por micrómetro y tiene un rango de 20 cm, mientras que el

motor m2 se mueve con mas exactitud a una razón de 16,89 cuentas por micrómetro y tiene

un rango de 2,5 cm. El laser usado es un Coherent Innova 300C Fred doblado de Argon a

244 nm, manejando potencias para la grabación entre 85 y 105 mW .

Con el fin de monitorizar el espectro durante el proceso de grabación, se usa una fuente

LED a la entrada de la red centrada a 1485 nm, dado que se trabajó con longitudes de onda

alrededor de los 1500 nm. A la salida de la red se conecta un (OSA) Analizador Espectral

Óptico ANDO A-6315A para apreciar como evoluciona el espectro de la LPG a medida que se

van grabando los periodos en el núcleo. La fibra usada para la grabación es una fotosensible

Fibercore PS1250/1500 con apertura numérica de 0,12 a la cual se le ha quitado previamente

el polímero protector en la zona donde se realizará la grabación.

4.3 Reducción del Ancho de Banda de las Redes. 23

Figura 4.1: Sistema de Grabación de LPG usado. Donde m1 es el motor 1, m2 el motor 2 y

OSA el analizador de espectros óptico

Para evitar errores en la grabación es necesario verificar en el punto inicial que el haz

está incidiendo de forma correcta centrado en la rendija y sobre la fibra. Primero se debe

corroborar que al poner la fibra esta queda correctamente contra la rendija sin ninguna

desviación horizontal o vertical, para realizar cualquier corrección, los puntos donde se asegura

la fibra están sobre posicionadores horizontales y verticales. Luego se deja pasar el laser por la

rendija sin fibra hacia una superficie, con el fin de poder ver el patron de difracción horizontal

generado por la rendija, figura 4.2(a). Luego se empieza a mover el motor m1 poco a poco

hasta encontrar un patron simétrico. Se bloquea la luz y se pone la fibra contra la rendija

y después de desbloquear el paso de luz, se verifica rápidamente que se vea con claridad el

patron de difracción vertical debido a la fibra, figura 4.2(b). Sino es así, entonces se corrige la

inclinación del haz con el espejo reflector. Una vez calibrado el sistema ya se puede empezar

el proceso desde el ordenador.

4.3. Reducción del Ancho de Banda de las Redes.

Con objeto de que el cambio de fase del derivador se produzca en rangos frecuenciales de

cientos de GHz es necesario que las LPGs tengan un ancho de banda del orden de 10-15 nm

[26], punto que no es sencillo de obtener en fibras compatibles con fibras de telecomunicación

en las bandas C-L (habitualmente resultan anchos de 40 nm o más).


Figura 4.2: Difracción Debido a la Rendija (a) y la Fibra (b)

El ancho espectral a 3 dB de la banda suprimida se puede calcular de las ecuaciones (2.37)

y (2.39) y para redes cercanas al acoplo máximo viene dado por:

2∆λ = 2(λ− λLPG) ≈ λ2LPG

(neffc − neffcl)L(4.1)

Expresado en términos del periodo:

2∆λ = λLPGΛL

(4.2)

Se puede ver la dependencia de la anchura espectral con la longitud de la red, entonces si

se quieren redes mas estrechas se tendrá que aumentar la longitud, lo que implica experimen-

talmente aumentar la velocidad de grabación, de tal manera que la variación en el índice de

refracción ∆n por cada periodo grabado disminuya y se necesiten mas periodos para llegar al

acoplo máximo. Pero a su vez aumentar la velocidad de grabación tendrá como consecuencia

el corrimiento del pico de resonancia a la izquierda. El montaje de grabación usado tiene

una limitación al querer grabar redes mas angostas y es la longitud de desplazamiento de los

motores, especialmente del motor m2, las máximas longitudes a las que se podía llegar con

el montaje inicial eran cercanas a 2,5 cm (límite de m2). Entonces se hicieron modificaciones

para mejorar este aspecto.

En la figura 4.3 se presentan tres redes grabadas con Λ = 335µm. La primera con una

potencia del laser de P = 104mW , y una velocidad de grabación de v = 20µm/s (velocidad

del paso del laser por cada zona donde se induce el cambio en el índice), alcanzando una

longitud L = 1,11cm y una longitud de onda de acoplo λLPG = 1576nm, se puede ver que la

anchura de la red a 3dB es de ∆λ = 71,36nm. Para la segunda red se aumenta la velocidad a


v = 34µm/s con una una potencia del laser de P = 103mW , se observa un corrimiento hacia

λLPG = 1559nm, la anchura de la red es ∆λ = 61,53nm, entonces se tiene una reducción

de 9,83nm con respecto a la anterior y se alcanza una longitud L = 1,21cm. Luego, en una

tercera red, con la misma potencia del laser, se aumentó la velocidad a v = 169µm/s para

llegar a un máximo en longitud L = 2,14cm y λLPG = 1504nm, obteniendo ∆λ = 29,20nm,

reduciéndose el ancho 32,33nm.

Figura 4.3: Espectro de Redes Grabadas a Distintas Velocidades

Llegando al límite con este sistema, se implementó una modificación para obtener redes

de longitud mayor y por ende más estrechas. La idea fue usar dos rendijas montadas en la

placa en vez de una sola. En la figura 4.4 se ve un diagrama del proceso de grabación, que se

describe a continuación: se parte del mismo punto inicial en donde los motores m1 y m2 están

alineados, (t1). En este caso el haz entra por la rendija de la izquierda, y continua el proceso

de grabación anteriormente explicado hasta llegar a completar el último periodo al límite de

avance del motor m2, (t2). Momento en el cual el motor m2 se devuelve hasta dejar el haz

alineado esta vez con la segunda rendija, (t3). Empezando un segundo ciclo de grabación

hasta nuevamente llegar al máximo de longitud que da m2, (t4). Durante la construcción de


este montaje fue de gran importancia que las dos rendijas estuvieran correctamente ubicadas

paralelamente ya que cualquier inclinación de una con respecto a la otra produciría un cambio

en el periodo de la red dañando la continuidad de la grabación y el espectro.

Figura 4.4: Grabación con doble rendija

En la figura 4.5 se tiene la última red grabada usando solamente una rendija de L =

2,14cm, v = 169µm/s y ∆λ = 29,20nm y λLPG = 1504nm (figura 4.5). Manteniendo Λ =

335µm y con una potencia de laser de P = 102mW se muestra otra red grabada usando

doble rendija llegando a una longitud de L = 2,62cm con v = 506µm/s, ∆λ = 22,94nm y

λLPG = 1496nm. Se puede apreciar una disminución de 6,26nm en el ancho de la red y de

nuevo un corrimiento de la longitud de onda de acoplo.

Para llegar a longitudes aun mayores, se realizó otra modificación al montaje, se optó por

grabar los periodos de la red sin rendija, haciendo que el haz incidiera directamente sobre

la fibra, el haz focalizado tiene una anchura de unos 70 µm a 3dB, entonces se modifico el

software para trabajar como si se tuviera una rendija de 70 µm, el proceso es el siguiente, en

el punto inicial el haz incide directamente en la fibra, entonces el motor m1 va desplazando

hasta completar medio periodo, luego el motor m1 se moverá otro medio periodo pero a una

velocidad tal que no haya un cambio significativo en el índice de refracción.

En la figura 4.6 se tiene el espectro de una red grabada sin rendija con periodo de Λ =

335µm, con una potencia de laser de P = 97mW velocidad de grabación de v = 1012µm/s,

alcanzando un longitud L = 6,03cm y un ancho espectral de ∆λ = 10,92nm y λLPG =

1488nm. Se puede ver que se obtuvo una disminución en el ancho espectral de 12,02nm y

que a su vez continúa el corrimiento en longitud de onda a la izquierda.


Figura 4.5: Redes grabadas con una rendija (linea continua) y con dos rendijas (puntos)

Figura 4.6: Espectro de Red grabada sin rendija con Λ = 335µm

CAPÍTULO 5

Resultados Experimentales.

Se realizaron medidas para corroborar que en una red de periodo largo efectivamente se

presenta un salto de fase característico de un derivador fraccional como se explico en

los capítulos anteriores, para esto se utilizó el método (MPS) Modulation Phase Shift para

ver la respuesta en amplitud y el retraso de grupo de una LPG y con ello su fase.

5.1. Método por Modulación a Radiofrecuencia (MPS).

En la figura 5.1 se presenta un diagrama del montaje usado para las mediciones, el método

MPS se basa en la modulación de una fuente de luz con una señal de radiofrecuencia, esta

señal óptica modulada se hace pasar por el dispositivo a estudiar, en este caso la LPG, luego

es detectada para pasar a un Analizador de Redes que medirá el cambio de fase ∆φ de la

señal de entrada con referencia a la señal RF moduladora la cual a su vez es generada por el

mismo analizador.

La modulación se hace a doble banda lateral por un modulador electro-óptico Mach-

Zehnder JDS 100-13001 alpha1, 40Gb/s, el cual hace una modulación en amplitud interfero-

métricamente basado en una modulación en fase. En el modulador la luz se divide en dos

caminos en uno de los cuales se hace una modulación en fase, luego los rayos son recombinados,

el cambio en la fase determinará si hay interferencia constructiva o destructiva controlando

así la amplitud de la señal de salida que vendrá dada por:

29

30 Resultados Experimentales.

Figura 5.1: Montaje para medición por MPS. Donde MOD es el modulador electro-óptico y

VDC es la fuente de de alimentación DC del modulador.

(1 + cos(Ωt))ejwt = 12e

j(w−Ω)t + ejwt + 12e

j(w+Ω)t (5.1)

donde w es la frecuencia óptica y Ω la de modulación de RF.

El analizador de redes usado es un Agilent Technologies E8364B 10MHz − 50GHz

PNA series cuyo sistema se basa en la medición de los parámetros S, entonces se toma el

dispositivo como un bloque de dos puertos P1 y P2 donde en cada uno estará una señal de

entrada a1, a2 y salida b1, b2, el bloque se describe de manera matricial como:

b1

b2

=

S11 S12

S21 S22

a1

a2

(5.2)

cuyos parámetros S vienen dados por:

S11 = ReflejadaIncidente

= b1a1

∣∣∣∣a2=0

, S21 = Transmitida

Incidente= b2a1

∣∣∣∣a2=0

(5.3)

y de manera inversa:

S22 = ReflejadaIncidente

= b2a2

∣∣∣∣a1=0

, S12 = Transmitida

Incidente= b1a2

∣∣∣∣a1=0

(5.4)

La medida que se toma para la medición de la fase será sobre el coeficiente de transmisión

S21, en la figura 5.2 se ve la señal modulada a dos bandas, el analizador medirá el desplaza-

miento de fase eléctrico ∆φmed de la señal detectada, cuya relación con la diferencia entre las

fases ópticas φ+ y φ− de las bandas laterales viene dada por:

5.1 Método por Modulación a Radiofrecuencia (MPS). 31

∆φmed ≈φ+ − φ−

2 (5.5)

El retraso de grupo del componente τgcomp se puede aproximar con la variación de fase

medida ∆φmed y la frecuencia de modulación fm por medio de la relación:

τgcomp = −∂φcomp∂w

≈ −∆φmed(grad)∆w = −∆φmed(grad)

360fm(5.6)

Luego la fase del componente (LPG) vendría dada por:

φcomp = −∫∂φcomp∂w

dw ≈ −∫ ∆φmed(grad)

360fmdw (5.7)

Figura 5.2: Modulación a Doble Banda Lateral

Como fuente de luz se usó un laser sintonizable V elocity TLB-6326, que tiene una repe-

tibilidad de 0,1nm. Para el experimento el laser hace un barrido en longitud de onda desde

1485 a 1530 nm, con una potencia de 3mW y haciendo incrementos a ∆λ = 0,11nm/s, luego

la luz pasa por un controlador de polarización para llegar al modulador óptico, figura 5.1.

Entonces por cada incremento en λ del laser, se produce una modulación de doble banda a

la frecuencia w correspondiente y una medida de fase ∆φmed formando un punto de medida

en el analizador de redes. El analizador es configurado para tomar un total de 1601 puntos

de medida en un barrido. Estos parámetros fueron los mejores encontrados para garantizar

una buena sincronización entre el Laser y el Analizador.

Tomando la función de la LPG en modulo y fase, a una frecuencia W dada por:

R(W ) = |R(W )| ejϕ(W ) , W = w,w + Ω, w − Ω (5.8)


Y usando la ecuación (5.1) del modulador, se obtiene la señal modulada después de la

red:

E0 = 12R(w − Ω)ej(w−Ω)t +R(w)ejwt +R(w + Ω)1

2ej(w+Ω)t (5.9)

El detector óptico genera una corriente proporcional a la corriente óptica, la señal a la

salida será:

Ed ≈ |E0|2 (5.10)

Finalmente, la señal medida Ed en amplitud y fase vendrá dada por:

A = |R(w)|√

(a)2 + (b)2 (5.11)

∆φmed = arc tan[b

a

](5.12)

donde,

a = |R(w + Ω)| cos(ϕ(w + Ω)− ϕ(w)) + |R(w − Ω)| cos(ϕ(w)− ϕ(w − Ω)) (5.13)

b = |R(w + Ω)| sen(ϕ(w + Ω)− ϕ(w)) + |R(w − Ω)| sen(ϕ(w)− ϕ(w − Ω)) (5.14)

De (5.12), (5.13) y (5.14) para Ω << w y variaciones suaves de amplitud y de fase con

w se obtiene (5.5) y en consecuencia (5.6) y (5.7). Además A en la ecuación (5.11) da como

resultado el cuadrado de la reflectividad ( A ≈ |R(w)|2 ).

5.2. Respuesta en Amplitud y Fase.

Para la medición de la respuesta de una LPG en amplitud y fase con MPS se utilizó una

red con los siguientes parámetros: longitud Lr = 6,46cm, periodo Λ = 340µm, longitud de

onda de resonancia λLPG = 1508nm, ancho espectral a 3dB ∆λ = 10,1nm y profundidad de

la red de 15,76nm. La frecuencia de modulación usada fue de fm = 4GHz. En la figura 5.3

se encuentra el espectro en transmisión de la LPG medido con el analizador espectral óptico

OSA y la fuente LED usados en la sección 4,2.

En la figura 5.4 se tiene la medida de amplitud en función de la frecuencia dada por el

analizador de redes, se puede ver la banda suprimida en 198,94 THz (1508nm), es importante

anotar que en el espectro que da el analizador, la profundidad de la red se muestra duplicada

ya que se esta realizando una doble conversion al pasar la señal primero por el detector y

5.2 Respuesta en Amplitud y Fase. 33

luego al entrar al analizador, (2dB eléctricos = 1dB óptico), por lo tanto la anchura de la

red (a 3dB) se mide a 6dB dando 10,8nm y la profundidad de 29,21nm representa el doble

de la que tiene la red.

Figura 5.3: Espectro en Transmisión de la LPG medido por el Analizador Espectral Óptico

Figura 5.4: Respuesta en Amplitud Medida por el Analizador de Redes (2dB eléctricos = 1dB

óptico)


En la figura 5.5 se presenta el espectro en transmisión teórico de la LPG, para este trabajo

las simulaciones se realizaron usando el softwareMathcad. En la simulación se tomaron como

datos la longitud de onda de acoplo λLPG, la longitud Lr y el periodo de la red Λ medidos

experimentalmente, se modeló la red usando las ecuaciones (2.37) y (2.33), y con la longitud

Lr dada se varió el coeficiente de acoplo k (ecuación (2.40)) para ajustar la profundidad

de la red. Con estas características, la anchura espectral de la red simulada es de 6,4nm.

La diferencia en la anchura a 3 dB entre el espectro en amplitud experimental y el simulado

puede deberse a imperfecciones en la fabricación de la red por cuestiones como la desalineación

del haz incidiendo sobre la fibra, esto provoca variaciones en la amplitud de modulación del

índice de refracción a lo largo de la red y en consecuencia una mayor anchura de la banda

suprimida.

Figura 5.5: Espectro en Transmisión de la LPG (simulación)

Esta es una red cercana al acoplo máximo de longitud Lr, por lo cual se puede considerar

la longitud Lr como una fracción de una longitud máxima Lm que sería la que la red hubiera

tenido si hubiera llegado al acoplo máximo. La longitud Lm calculada es de 6,98cm, lo que nos

da una fracción de longitud: Lr/Lm = z/L = 0,93. A continuación se describen las gráficas

del proceso de obtención de la respuesta en fase de la LPG desde los datos experimentales. En

la figura 5.6 se encuentra la variación de fase medida ∆φmed en grados de la señal modulada

que entra al analizador después de pasar por la LPG (figura 5.1), en la gráfica se puede

ver que se presenta una oscilación en frecuencia centrada en el mínimo de la respuesta en

amplitud.


Figura 5.6: Fase Medida por el Analizador ∆φmed

La fase medida ∆φmed se aproxima al retraso de grupo τgcomp del componente (LPG)

mediante la relación dada por la ecuación (5.6), en la figura 5.7 se muestra el retraso de

grupo aproximado de la LPG en picosegundos, la gráfica presenta la misma forma que la fase

medida. El tiempo τ que tardaría la luz en atravesar una distancia L de 6,46cm (longitud

de la red) sin ninguna perturbación en la fibra es calculado en la ecuación (5.15) usando la

velocidad de grupo vg, obteniendo un tiempo de 312, 23ps, el rango de 0 a 2 ps en la figura

5.7 muestra que la presencia de la red representa una variación muy leve en el tiempo de

propagación de la luz guiada. Finalmente, para obtener la respuesta en fase de la red, se debe

integrar el retraso de grupo con respecto a la frecuencia w (ecuación (5.7)), esta operación se

realizó usando el software OriginPRO haciendo integración numérica.

τ = L

vg≈ L

c/n= 6,46 ∗ 10−2m

3∗108m/s1,45

= 312, 23ps (5.15)

En la figura 5.8 se tienen las gráficas normalizadas del retraso de grupo (invertido por

el signo en la ecuación (5.7)) y el resultado de la integración que es la fase de la LPG, ahí

ya se puede ver el escalón de fase que efectivamente sucede alrededor de la frecuencia de

resonancia.


Figura 5.7: Retraso de Grupo de la LPG

La fase de la LPG obtenida en π radianes se tiene en la figura 5.9, en la figura 5.10 se

muestra en detalle el salto de fase producido, su altura es de 0,63π y se da en un rango de

0,34THz, para efectos de comparación se ha centrado la curva alrededor de cero en el eje y.

Figura 5.8: Retraso de Grupo y Fase de la LPG (unidades arbitrarias)


Figura 5.9: Respuesta en Fase de la LPG

En la figura 5.11, están las curvas experimentales normalizadas de respuesta en amplitud

y fase de la red usada, el cambio en fase se da cuando se alcanza el 82 % del total de atenuación

de la red y termina mas allá de la frecuencia de resonancia al 72 % del total de atenuación.

Figura 5.10: Escalón en Fase de la LPG


Figura 5.11: Respuesta en Amplitud y Fase de la LPG (unidades arbitrarias)

En la figura 5.12, se encuentra la simulación de la fase eléctrica medida por el analizador,

se observa también un hoyo en la frecuencia de resonancia, para esta simulación se usaron

las ecuaciones (5.12), (5.13) y (5.14). En la figura 5.13 se encuentra el retraso de grupo de la

LPG obtenido dividiendo la fase eléctrica simulada por 360fm (ecuación (5.6)).

Figura 5.12: Simulación de la Fase Eléctrica Medida


Figura 5.13: Simulación del Retraso de Grupo de la LPG

La figura 5.14 muestra la respuesta en fase teórica de la LPG, para esta simulación se

usaron las ecuaciones (2.37) y (2.33), se puede ver que se presenta un salto de fase en la

frecuencia de resonancia como lo haría un derivador, el salto se da en un rango de 0,50THz,

la altura del escalón de fase es de de 0,68π, por lo cual el orden del derivador con esta red

es de α = 0,68 que se acerca al valor experimental mostrado anteriormente. La fase para un

derivador fraccional ideal de orden 0,68 a la misma frecuencia de resonancia de la red, ha

sido presentada anteriormente en la figura 3.1.

Figura 5.14: Simulación de la Respuesta en Fase de la LPG


Comparando las medidas y las simulaciones matemáticas de las mismas en las figuras an-

teriores podemos observar que tienen buena correspondencia, tanto cualitativa como en orden

de magnitud; en consecuencia, la red fabricada responde al objetivo con que fue diseñada que

es operar como derivador fraccional.

Sin embargo sería necesario optimizar los procesos de cálculo y medida para poder rea-

lizar un ajuste fino entre la teoría y la experiencia: por una parte al modelo teórico habría

incorporarle un procedimiento de simulación de las irregularidades de la red (en particular

de las variaciones de la modulación de índice de refracción); por otra parte se debe mejorar

la precisión de la medida de fase en el analizador de redes de microondas y para ello se

debe sincronizar la medida con el barrido del laser sintonizable que en este momento son

independientes.

Por último debo comentar a la vista de los resultados que se puede proceder a estudiar

cómo responden estas redes ante pulsos de luz y a optimizar el diseño para que realicen las

operaciones deseadas.

Conclusiones.

La propiedad de las LPG de actuar como derivadores las convierte en un punto impor-

tante en el desarrollo de circuitos ópticos, pudiendo operar como bloques base de derivación.

En este trabajo se buscó evaluar desde punto vista experimental si las redes de periodo largo

son viables como derivadores fraccionales tal y como predicen los modelos teóricos, primero

fabricando redes adecuadas para tal fin y segundo haciendo las medidas correspondientes.

Las LPGs han de tener un ancho de banda suficientemente pequeño para que operen

como derivadores en rangos de frecuencia útiles. El ancho espectral de una red de periodo

largo tiene una dependencia inversa con la longitud de la misma. Durante el proceso de fa-

bricación, aumentar la velocidad de grabación lleva a longitudes más largas y por ende redes

con menor ancho de banda, sin embargo el aumentar la velocidad también conlleva a un

corrimiento de la banda de atenuación a longitudes de onda mas cortas. En este trabajo se

hicieron modificaciones al sistema de grabación punto a punto existente con el fin de obtener

redes que tuviesen las características necesarias para la realización de las medidas. Se obtuvo

la respuesta en fase de la red escogida y se confirmó que esta se caracteriza por presentar un

escalón alrededor de la frecuencia de resonancia, de la misma forma que un derivador. La altu-

ra del salto de fase expresado como fracción de pi radianes corresponde al orden del derivador.

Se deben mejorar dos aspectos para optimizar la fiabilidad de las medidas y de los cálculos:

En las mediciones de fase de la red por el método MPS (Modulation Phase Shift) es

importante tener una buena sincronización entre la fuente óptica y el analizador de redes y

usar una frecuencia de modulación adecuada para lograr mayor exactitud y calidad en las

medidas. En la actualidad no existe sincronización entre el laser y el analizador de redes.

41

42 Conclusiones.

Es necesario realizar ajustes en las simulación de la red para obtener un espectro más

exacto en anchura, de manera que se tenga en cuenta las posibles imperfecciones que puede

tener la red durante el proceso de grabación.

Además de realizar estas mejoras, el siguiente paso será comprobar experimentalmente que

efectivamente al propagar un pulso gaussiano por una LPG este experimenta las diferentes

derivadas fraccionales de 0 a 1, luego trabajar con arreglos de redes para obtener derivadores

de orden mayor a 1.

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