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EEM N°2 DE 14 "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, Prof: Marcelo Stigliano

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS en Q (racionales) FAQ ¿Qué es factorizar un polinomio? Es expresarlo como un producto (por eso lo de "factorizar") de otros polinomios de grado igual o menor a él

¿Para qué factorizar un polinomio? Para poder ver rápidamente sus raíces y tener una idea de su gráfica (comportamiento)

¿Qué es la raíz de un polinomio? Son todos aquellos valores numéricos que al reemplazar la x por ellos en el polinomio y hacer las cuentas

indicadas todo da cero, es decir: P(a)= 0 siendo a un número real

¿Todos los polinomios se pueden factorizar? Algunos polinomios no son factorizables (salvo numéricamente) en el conjunto de los números racionales; se

los llama irreducibles en los racionales (es decir, no tienen raíces racionales)

¿Cómo queda un polinomio ya factorizado por sus raíces? Si tiene tantas raíces como el grado quedará así:

)xx)...(xx)(xx).(xx.(aP n321n)x( −−−−=

Siendo an el coeficiente principal; x1 , x2 , … xn las raíces (números) de P(x) y "n" su grado

Ej: )4x)(3x)(1x).(2x.(2P )x( ++−−= siendo an = 2; sus raíces son x1= 2; x2= 1; x3= -3; x4= -4

Si tiene menos raíces que el grado quedará así:

)x(321n)x( Q).xx)(xx).(xx.(aP −−−= con )x(Q irreducible

Ej: )1x)(2x).(1x.(3P 2)x( ++−−= siendo an = -3; sus raíces son x1= 1; x2= -2 ; con C(x)= x

2+1

Multiplicidad A veces una misma raíz aparece más de una vez en la factorización de un polinomio. Esto determina su multiplicidad. Ej 1:

32)x( )1x)(1x()2x(2)1x)(1x)(1x)(1x)(2x)(2x(2P +−−−=+++−−−−=

Sus raíces son: 2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización) 1, de multiplicidad 1 o simple (porque apareció una sola vez en la factorización) -1, de multiplicidad 3 (porque apareció tres veces en la factorización) Ej 2:

4233)x( )7x()3x(x5)7x)(7x)(7x)(7x)(3x).(3x(x5P +−=++++−−=

Sus raíces son: 0, de multiplicidad 3 (porque apareció tres veces en la factorización) 3, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización) -7, de multiplicidad 4 o simple (porque apareció cuatro veces en la factorización)

¿Cómo se factoriza un polinomio? Existen varios métodos o casos de factoreo, unos más generales que otros, que combinados permiten

factorizarlos al máximo usando sus raíces

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Algunos Casos de Factorización de Polinomios

Factor Común

Es la operación que deshace la propiedad distributiva. Se trata de encontrar el o los factores que están presentes en TODOS los términos de un polinomio.

Numérico

Ej: )4x33(2x 12x9x6 7373 −−=−−

Como el máximo común divisor entre los coeficientes del polinomio (6; -9 y -12) es 3, éste será nuestro factor común numérico. Para obtener los términos dentro del paréntesis dividimos cada coeficiente por 3, respetando la regla de los signos. La indeterminada x y su grado quedan igual.

Literal

Ej: )xx114(3x x xx11x4x3 34625628 −+−=−+−

Como todos los términos tienen la misma indeterminada (la "x") ésta será nuestro factor común. Tomaremos como su grado el menor de los que aparezca en el polinomio (en este caso: 2). Para obtener los términos dentro del paréntesis mantenemos los coeficientes como estaban. Los grados de cada término los obtenemos dividiendo cada indeterminada con su grado por nuestro factor común literal (en este caso: x2) siguiendo la

regla: baba x x:x −= Si la "x" es factor común entonces 0 es raíz del polinomio

Numérico y Literal

Ej: )x2x34 (-5x x10x15x20 422642 +−=+−−

Combinamos los dos primeros casos y listo! (coeficiente con coeficiente, letra con letra) Normalización (el coeficiente principal como factor común forzoso)

Ej: )2x36(x 12x18x6 3535 −−=−−

Ej: )32x-x5(- 15x10x5 3737 +=−+−

Ej: )x6x2

3x

2

1x2( x12x3xx2 54365436 +−−=+−−

Ej: )4

14(x- 1x4 99 −=+−

1) Saquen el factor común numérico, cuando sea posible:

a) =+ 2x2 4

b) =++ 5x5x5 36

c) =+++ 6x6x6x6 237

d) =− 2x2 4

e) =−− 5x5x5 36

f) =−+− 6x6x6x6 237

g) =+−− xx7x7x7 723

h) =+ 4x2 4

i) =++ 02x5x10 56

j) =+++ 21x9x3x6 237

k) =− 8x2 4

l) =++− 02x5x10 56

m) =−+−− 27x9x3x12 357

n) =−+− 2x3x2x6 243

2) Saquen el factor común literal, cuando sea posible:

a) =+ x x 4

b) =++ x7x8x5 746

c) =+++ x5xx2x 954

d) =− xx 74

e) =−+− xx5x3 956

f) =−+ xx2x10 8710

g) =−−− xxx 8710

h) =−+− 2x2x2 3 3) Saquen los factores comunes numérico y literal, cuando sea posible:

a) =+ x2x2 44

b) =++ x8x61x4 326

c) =+++ x01x30x20x20 729

d) =− x3x3 94

e) =−− x8x61x4 326

f) =−+− x10x10x5x20 876

g) =+− 2x6x3 34

h) =++− xx2x 53

Es "forzoso" porque nos obliga a usar

fracciones

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3 4) Saquen los máximos factores comunes que sean posibles:

a) =+− x36x2 4

b) =−− 8x4x8 39

c) =+−−− x6x18x12x6 639

d) =+ 3x 4

e) =+−+− 7 x7x7x7x7 7345

f) =−++− 10x48x16x8 437

g) =+ 2x 2

h) =+− xxx 354

i) =− 1x 2

j) =++ 324 5x7x- x3x

k) =++ 1x2x2

l) =−++− x75x100x50x125 359

Trinomio Cuadrado Perfecto

Es el desarrollo del cuadrado de un binomio del tipo: ( ) 2 22axa2 x)ax)(ax( ax +±=++=±

x2 es, obviamente, el cuadrado de x

Ej: =++ 9x6x 2 9 es el cuadrado de 3

Se verifica que el doble de ambos da el tercer término luego: ( )22 3x 9x6x +=++

es decir: 2.x.3 = 6x

Método: 1°) Dado un trinomio, buscamos reescribir dos de los tres términos como cuadrados de otras expresiones (numéricas y/o literales)

2°) Verificamos que el doble del producto entre ambas expresiones sea igual al tercer término del trinomio

3°) Expresamos el trinomio como el cuadrado del binomio hallado: ( )22 2 axaxa2 x ±=+±

Recuerden que si al verificar el tercer término la diferencia es sólo de signos, lo único que hay que hacer es cambiar

el signo del segundo término, es decir, ( )22 3x como expresado quedará 9x6x −+−

5) Expresen, cuando sea posible, los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio:

a) =++ 4x4x 2

b) =++ 1x2x2

c) =++ 25x10x 2

d) =++ 16x8x 2

e) =+− 4x4x 2

f) =+− 1x2x 2

g) =+− 36x12x 2

h) =−+ 4x4x2

i) =+− 49x14x 2

j) =++ 9x9x 2

Diferencia de Cuadrados

Se aplica a binomios del tipo a2 - b2 que resultan de aplicar una doble distributiva a la expresión (a+b)(a-b)

Ej: )2x)(2x(2x4x 222 −+=−=− (el segundo paso no es necesario escribirlo)

7) Factoricen los siguientes binomios, cuando sea posible, usando diferencia de cuadrados:

a) =−1x 2

b) =− 9x 2

c) =−16x 2

d) =− 64x 2

e) =−4

1x2

f) =−9

1x2

g) =−9

4x2

h) =− 4x3

i) =+ 3x2

j) =−25

4x 2

l) =− 36x 2

m) =− 25x2

n) =−25

1x 2

o) =−9

49x 2

p) =− 4x4 2 q) =+1x2

r) =−16

1x4 2


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Gauss - Ruffini Este método de factorización se aplica a cualquier polinomio que tenga TODOS sus coeficientes enteros ( za

i∈ ) y su término independiente distinto de cero ( 0a

0≠ ).

Nota: Nosotros en el curso vamos a factorizar por Gauss-Ruffini solamente polinomios que tengan tantas raíces racionales como su grado (aunque pueden "repetirse", es decir, que tengan multiplicidad mayor a 1) Ejemplo 1:

4x2x2P 2)x( −−= Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; -2; -4) y que 0a

0≠

Entonces podemos aplicar Gauss que consiste en lo siguiente:

1) 4a0 −= buscamos todos sus divisores { }4 2; ;1p ±±±=

2) 2an = buscamos todos sus divisores { }2 ;1q ±±=

3) Todas las combinaciones q

p (irreducibles y sin repetir) son:

±±±±2

1 4; 2; ;1 que serán las posibles

raíces (Gauss) y no existen otras.

4) Reemplazamos la "x" por las posibles raíces q

p. Empezamos con los números enteros más "chicos", primero

los positivos y después los negativos (los de cuentas más fáciles). Si encontramos dos que sean raíz (la cuenta da cero) entonces la factorización se acabará:

sirve on 0P 41.21.2P )1(

2)1( ⇒≠⇒−−=

2x 0P 42.22.2P 1)2(2

)2( =⇒=⇒−−=

sirve no0P 44.24.2P )4(2

)4( ⇒≠⇒−−=

( ) ( ) 1x 0P 41.21.2P 2)1(

2

)1( −=⇒=⇒−−−−= −−

Como el polinomio es de grado 2 y encontramos dos raíces terminamos el ejercicio, y reescribimos:

1)2)(x-2(x 4x2x2P 2)x( +=−−= y ya está!

Por suerte no hizo falta probar con las fracciones!! Ni tampoco usar Ruffini

Nota: Si se toman el trabajo de hacer todas las distributivas verán que llegarán al polinomio original:

4x2x2P 2)x( −−=

X1

X2 an

Importante:

Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como su grado; por ejemplo, si es de grado 4 tendrá como máximo cuatro raíces, pudiendo tener tres, dos, una o ninguna raíz pero nunca cinco o más.


5 Ejemplo 2:

4x3xP 23)x( +−= Vemos que todos sus coeficientes son enteros (1; -3 y 4) y 0a0 ≠

Entonces podemos aplicar Gauss:

1) 4a0 = siendo todos sus divisores { }4 ;2 ;1p ±±±=

2) 1an = siendo todos sus divisores { }1p ±=


p (irreducibles y sin repetir) son: { }4 2; ;1 ±±± (no hay fracciones!!)

4) Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos.

sirve on 0P41.31P )1(23

)1( ⇒≠⇒+−=

2x0P42.32P 1)2(23

)2( =⇒=⇒+−=

( ) sirve no0P44.34P 423

)4( ⇒≠⇒+−=

( ) ( ) 1x 0P41.31P 2)1(

23

)1( −=⇒=⇒+−−−=−

( ) ( ) sirve no0P42.32P )2(

23

)2( ⇒≠⇒+−−−=−

( ) ( ) ( ) sirve no0P4434P 4

23

)4( ⇒≠⇒+−−−=−

Como el polinomio es de grado 3 y sólo encontramos 2 raíces (mala suerte…) debemos usar Ruffini para encontrar la expresión factorizada del polinomio: Empezamos usando las raíces halladas, en forma sucesiva:

1 -3 0 4 2 2 -2 -4 1 -1 -2 0 -1 -1 2 1 -2 0

Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir,

C(x): x-2 como es de grado 1 terminamos la factorización:

)1x()2x()2x)(1x)(2x(1P 2)x( +−=−+−=

Sus raíces son: 2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización) -1, de multiplicidad 1 o simple (porque apareció una sola vez en la factorización)

Ejemplo 3:

8x8x6x4x2P 234)x( +−−+= Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; 4; -6;-8; y 8) y 0a

0≠

Entonces podemos aplicar Gauss:

1) 8a0 = siendo todos sus divisores { }8 ;4 ;2 ;1p ±±±±=

2) 2an = siendo todos sus divisores { }2 ;1p ±±=


p (irreducibles y sin repetir) son:

±±±±±2

1 8; 4; 2; ;1

X1

Resto: si lo hicimos bien SIEMPRE debe dar CERO

Coeficientes ordenados y completos de P(x)

X2


6 4) Igual que antes probamos con todos; empezamos con los números enteros más "chicos", primero los positivos y

después los negativos.

1x 0P81.86.11.41.2P 1)1(234

)1( =⇒=⇒+−−+=

sirve on 0P82.86.22.42.2P )2(234

)2( ⇒≠⇒+−−+=

sirve on 0P84.86.44.44.2P )4(234

)4( ⇒≠⇒+−−+=

sirve on 0P88.86.88.48.2P )8(234

)8( ⇒≠⇒+−−+=

sirve on 0P8)1.(86.(-1))1.(4)1.(2P )1(234

)1( ⇒≠⇒+−−−−+−= −−

2x 0P8)2.(86.(-2))2.(4)2.(2P 2)2(234

)2( −=⇒=⇒+−−−−+−= −−

sirve on 0P8)4.(86.(-4))4.(4)4.(2P )4(234

)4( ⇒≠⇒+−−−−+−= −−

sirve on 0P8)8.(86.(-8))8.(4)8.(2P )1(234

)8( ⇒≠⇒+−−−−+−= −−

sirve on 0P82

1.8

2

16.

2

1.4

2

1.2P

2

1

234

2

1 ⇒≠⇒+

−

−

+

=

sirve on 0P82

1.8

2

16.

2

1.4

2

1.2P

2

1

234

2

1 ⇒≠⇒+

−−

−−

−+

−=

−

−

Como el polinomio es de grado 4 y sólo encontramos 2 raíces (otra vez mala suerte…) debemos usar Ruffini para encontrar la expresión factorizada del polinomio: Empezamos usando las raíces halladas (porque no existen otras), en forma sucesiva:

2 4 -6 -8 8 1 2 6 0 -8 2 6 0 -8 0 -2 -4 -4 8 2 2 -4 0 1 2 4 2 4 0

Coeficientes ordenados y completos del último polinomio cociente, es decir,

C(x): 2x+4 como es de grado 1 nos queda:

)2x.(2).2x()1x()4x2)(1x)(2x)(1x(P 2)x( ++−=+−+−=

Es decir, 22

)x( )2x()1x(2P +−=

Sus raíces son: 1, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización) -2, de multiplicidad 2 (porque apareció dos veces en la factorización)

X1

Resto: si lo hicimos bien SIEMPRE debe dar CERO

Coeficientes ordenados y completos de P(x)

X2

Resto: si lo hicimos bien SIEMPRE debe dar CERO Volvemos a

probar con X1

Como el resto dio cero significa que x1 es múltiple

Normalizando (factor común 2)

Las que "funcionaron" con Ruffini


7

Resumen Gauss-Ruffini Si se cumplen las condiciones (todos sus coeficientes son enteros y su término independiente es distinto de cero) debemos seguir los siguientes pasos:

1.- Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del término independiente ( 0a ), llamados "p"

2.- Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del coeficiente principal (n

a ), llamados "q"

3.- Armar todas las combinaciones q

p posibles (irreducibles y sin repetir)

4.- Reemplazamos la "x" por los q

p en el polinomio y nos quedamos con los que verifiquen 0P

q

p=

, es decir,

con aquellos que son raíz del polinomio (x1; x2; etc.)

Si tenemos suerte, encontraremos rápidamente una cantidad de raíces igual al grado, con lo cual no es necesario hacer más cuentas porque podemos poner:

)xx)...(xx)(xx).(xx(aP n321n)x( −−−−= y listo!

Si la cantidad de raíces halladas es menor al grado del polinomio debemos continuar…

5.- Dividimos a P(x) por )xx( 1− usando la regla de Ruffini y hallamos el polinomio cociente, 6.- Repetimos el proceso con el resultado usando la siguiente raíz; seguimos hasta agotar todas las halladas 7.- Con el último resultado probamos otra vez con todas las raíces para ver cuáles son múltiples (puede que con

alguna no nos dé resto cero) 8.- Terminamos cuando llegamos a un polinomio de grado 1 (quedan sólo dos números en la fila) 9.- Finalmente reconstruimos el polinomio usando sus multiplicidades

d

3c

2b

1n)x( )xx()xx()xx.(aP −−−= (vean que b+c+d = n)

8) Factoricen los siguientes polinomios usando, cuando sea posible, Gauss-Ruffini:

Raíces reales distintas

a) =−+− 6x11x6x 23 b) =−++ 8x2x5x 23 c) =+− x5x2x 23 d) =++− 6xx4x 23

e) =−++ 12x5x6x 23 f) =+++ 2x2

1x4x 23 g) =−− 6x7x 3 h) =−− 20x21x 3

Raíces reales simples, dobles y/o triples

i) =++++ 27xx9x5x 234 j) =+−− 1xxx 23 k) =++− 8-4xx6x5x 234

l) =+−−+ 4x4x3x2x 234 m) =+++ 1x3x3x 23 n) =−+− 1x3x3x 23

Casos Combinados El objetivo de combinar los casos de factoreo es lograr que el polinomio quede factorizado de la manera más fácil y rápida posible. Nosotros sólo vimos algunos casos pero existen otros más; no obstante, para trabajar en el curso nos limitaremos a los vistos. La mejor estrategia para factorizar un polinomio es ir tratando de aplicar los distintos casos siguiendo el mismo orden en el que los vimos, es decir:

1. Factor Común 2. Trinomio Cuadrado Perfecto 3. Diferencia de Cuadrados 4. Gauss- Ruffini 5. Normalización (de ser necesario)


8 Ejemplo 1:

( ) ( )2323345

)x( 1x x1x2x .xxx2xP +=++=++=

Factorización terminada. El polinomio tiene cinco raíces reales: 0 (multiplicidad 3) y -1 (multiplicidad 2)

Ejemplo 2:

=−−+=−−+= )2xx2x.(36x3x6x3P 2323

)x(

( ) ( ) ( )1x.2x.1x.3P )x( ++−=

Factorización terminada. El polinomio tiene tres raíces reales: 1, -2 y -1 (todas de multiplicidad 1 o simples)

Ejemplo 3:

−

+=

−

+=−+=−=

2

1x.

2

1x.4

2

1x.2.

2

1x.2)1x2).(1x2(1x4P 2

)x(

Factorización terminada. El polinomio tiene dos raíces reales: 2

1 y

2

1− (de multiplicidad 1 o simples)

9) Factoricen los polinomios de la siguiente tabla por sus raíces según el o los casos que sean necesarios.

N° Polinomio Raíces N° Polinomio Raíces

1 2x + 4 11 X5 - 3x

4 - 3x

3 + 7x

2 + 6x

2 x2 + 2x +1 12 2x

4 - 8x

2

3 x3 - 4x

2 + x + 6 13 x

3 - 6x

2 + 12x - 8

4 x3 - 7x - 6 14 x

3 - 4x

2 + 5x - 2

5 x3 + 6x

2 + 5x - 12 15 x

4 - 2x

2 + 1

6 x3 + 6x

2 + 11x + 6 16 x

4 – 2x

3 + 2x - 1

7 x4 - 7x

2 + 6x 17 x

7 - x

6

8 x3 - 6x

2 + 11x - 6 18 2x

4 + 10x

3 + 4x

2 – 16x

9 4x3 + 4x

2 19 6x

2 – 9x + 3

10 9x2 – 9 20 9x

2 - 1

Factor común x3 Trinomio Cuadrado Perfecto

Factor común 3 Está en condiciones de Gauss

Diferencia de Cuadrados: 4x2 = (2x)2 y 1 = 12

Suma y resta de las bases

Normalización: El 2 como factor común

forzoso en ambos binomios

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