FACTORIZACIÓN

1. DEFINICIÓN:

Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados factores primos, dentro de un conjunto numérico

2. METODOLOGÍAS DE FACTORIZACIÓN.

2.1 Factorización de un polinomio con factor común monomio.

Factor común monomio, es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, esta formado por el M.C.D. de los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente.

Ejemplo:

Factorizar: 8 x2 y+6 x3 yz−10 x y2wResolución:Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 8; 6; 10

Luego vemos cuales son las variables comunes que aparecen en los tres términos del polinomio, en nuestro polinomio las variables son “x” e “y”; escogemos aquellas que tengan el menor exponente.

Estas son “x” con exponente igual a 1 y “y” con exponente igual a 1.

8 x2 y+6 x3 yz−10 x y2w=2xy (4 x+3 x2 z−5 yw)

TALLER DE EJERCICIOS

1) a3bx+3a2b2 y−5a4b3 z

2) −ab2+8a2by−5ab x2

3) 25a2 x−30a4 y+35a3 z

4) −12 x2 y+18 x y2−24 xyz

5) 21a3bx−15a2 xy−9a4b x2

6) 15a2b3c−9 a3b−6abx

7) −24 x3 y+16x2 y2−8 x2 y z2

8) 50a3b3−40a2b4+30ab5 x

9) 512x3 y−3

8x2 y3+ 1

4x y2

10) 221x3 y3− 2

14x2 y2 z+ 4

35x y3 z3

2.2 Factorización de un polinomio con factor común polinomio.

En caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, sea aplicando la propiedad distributiva.ab+ac=a (b+c)

Ejemplo 01

Factorizar: 3a ( x−2 y )+6b2(x−2 y )

Resolución:1) Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 3

y 6:

2) El menor exponente del polinomio ( x−2 y ) es 1. Por lo tanto el factor común es 3 ( x−2 y ).

Luego: 3a ( x−2 y )+6b2 ( x−2 y )=3 ( x−2 y )(a+2b2)

Ejemplo 02Factorizar:8a2 ( x−2 )4+16a3 (x−2 )2−24a5(x−2)3

Resolución:

1) Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 8 16: 24, así:

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

8 6 10 2

4 3 5

M.C.D.(8:6;10)=23 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2

3 6 3

1 2M.C.D.(3;6)=3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

8 16 24 2

4 8 12 2

2 4 6 2

1 2 3

M.C.D.(8;16;24)=8

2) El menor exponente del polinomio ( x−2 ) es 2, o sea ( x−2 )2 y el menor exponente de la variable “a” es 2, o sea a2. Por lo tanto el factor común es: 8a2(x−2)2. Luego:

8a2 ( x−2 )4+16a3 (x−2 )2−24a5 ( x−2 )3=¿

8a2 ( x−2 )2 [ ( x−2 )2+2a−3a3(x−2) ]TALLER DE EJERCICIOS

1) 3 x (5a−2b )+2 y (5a−2b)

2) 12a (x2− y2 )+5(x2− y2)

3) 4 x2 ( y−1 )−9 ( y−1 )

4) 7 x (8m+3 )+8m+3

5) x+2 y−3 z ( x+2 y )

6) x y2 (2−a )+x2 y (2−a )

7) ( x−3 )2 ( x+2 )+ ( x−3 )(x−1)

8) 8ab c3 ( x+3 y )−7a2bc (x+3 y )

9) (3 x−2 )3 ( x−2 )−(3 x−2 )2(x+1)

10) ( x+2 )3 ( x+5 )+( x+5 )2(x+2)2

2.3 Factorización de polinomios por agrupación de términos.

El proceso para factorizar por agrupación de términos consiste en agrupar convenientemente los términos de un polinomio, a fin de obtener, en cada grupo formado, un factor que sea común a todos los términos, luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: factorizar: ac+ad+bc+bd

Resolución:Agrupamos convenientemente:

(ac+ad )+(bc+bd )

Luego sacamos el factor común en ambos paréntesis:

a (c+d )+b (c+d )(c+d ) (a+b )

TALLER DE EJERCICIOS

1. mx−m−x+1

2. 2 x2+2 xc−3bx−3bc

3. 3 y2−2ax+3 x−2a y2+4a−6

4. x2+ 15x+5 x+1

5. x3+ xz+x2 y2+ y2 z

6. x2−3 xz+2xy−6 yz

7. 3 x3−2 x2 y+3 xy−2 y2

8. ax−2ay+3bx−6by

9. 10ax+by−2ay−5bx

10. 21 x2 y+3 x−14 xy−2

2.4 Factorización de una diferencia de cuadrados.

Hemos visto en los productos notables ya estudiados que una diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, o sea;

Luego: dada una diferencia de cuadrados para hallar sus factores:

1. Se extrae la raíz cuadrada de cada término.

(a+b ) (a−b )=a2−b2

Diferencia de cuadrados.

2. Se forma dos factores uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la diferencia de dichas raíces.Ejemplo:

x2−49

Extraemos las raíces cuadradas de cada término:

Luego: x2−49=( x+7 )(x−7)

TALLER DE EJERCICIOS

1. 25 x2− y4

2. 36a2−254

3. 3 x2−300

4. 80a2n−5

5. (2 x− y )2−(3 y+z )2

6. x2−121

7. 64−x2

8. 36 x2−1

9. 49−16 x2

10. 25 x2−4 y2

3 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS.La suma de cubos es un producto igual a la

suma de bases, multiplicada por el trinomio

que se forma del cuadrado de la primera

base menos el producto de sus bases y

más el cuadrado de la segunda base.

Factorizar: 27a3+64b3.

Para factorizar dicho binomio se extrae la

raíz cúbica de ambos términos; la suma de

estas raíces es el primer factor binomio.

TALLER DE EJERCICIOS

1) 125 x3+1

2) x6+ 18y3

3) 0,027 x3+0,001 y3

4) 8 x3+1

5) x3+64

6) 125 x3+27 y3

7) 8+1000 x3

8) 1+27 x6

9) 1+ 18x3

4- FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS.

La diferencia de dos cubos es un producto igual

a la diferencia de las bases, multiplicada por el

trinomio que consta del cuadrado de la primera

base más el producto de las bases y más el

cuadrado de la segunda base.

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

√ x2=x

√49=7

a3+b3=(a+b )(a¿¿2−ab+b2)¿Suma de cubos.

a3−b3=(a−b )(a¿¿2+ab+b2)¿Diferencia de cubos.

facctorizar: 8 x3−27.

Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la suma de estas raíces es el primer factor binomio.

TALLER DE EJERCICIOS

1) 125 x6− y3

2) a3−a−6

3) 64 x3−(3 x−1)3

4) 8 x3n−27 y3n

5) x3−1

6) 8− y3

7) 64 x3− y3

8) x3−125 y3

9) x6−27 y9

10) x9− y6

5-MÉTODO DEL ASPA SIMPLE.

Es empleado cuando la expresión es de la

forma:

O cualquier otra expresión transformable a una

de las formas anteriores.

Para factorizar a éste tipo de polinomios deberá

tenerse en cuenta las siguientes reglas:

1. Descomponemos el primer y tercer término,

a las cuales vamos a llamar términos fijos,

en sus factores primos.

2. Efectuamos el producto de los factores

primos en aspa, tratando de verificar el

segundo término.

3. Cuando el tercer termino tiene signo (+), sus

factores tendrán signos iguales, dados por

el signo del segundo término.

4. Cuando el tercer término tiene signo (-), sus

factores tendrán signos diferentes,

colocando el signo del segundo término al

producto mayor que se obtiene al efectuar

en aspa.

5. Los factores se toman sumados en forma

horizontal.

Factorizar: P ( x )=x2+10 x+21

Descomponiendo los términos fijos en sus

factores y efectuando en aspa:

TALLER DE EJERCICIOS

1) x2+9 x+18

2) x2−7 x+12

3) a4−16 a2+64

4) x2n+2 xn−15

5) x2+11x+24

6) x2+13 x+22

7) x2+9 x+20

8) x2+14 x+13

9) x2+15x+54

10) x2+16 x+28

P ( x )=A x2n+B xn+C

P ( x )=A x2m+B xm yn+C y2nm ,n∈Z+¿¿

x2+10x+21= (x+3 ) ( x+7 )

=

+

+10x

+7x

+3x

+7x

+3x

P ( x )=x2+10 x+21

=