TALLERDE NIVE-LACIONLIBERIA

2014

TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

11 de febrero de 2014

Metodos de factorizacion

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FACTOR COMUN, AGRUPAMIENTO,DIFERENCIA DE CUADRADOS, INSPECCION

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A¿Que es factorizar?

Factorizar un polinomio en una variable real x consiste enexpresarlo como producto de polinomios de grado menor.Para factorizar existen diversos metodos que estudiaremoshoy, empezando por factor comun, agrupamiento, diferenciade cuadrados e inspeccion.

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2014FACTOR COMUN

Cuando tenemos un polinomio primero debemos fijarnos sien sus terminos existen factores comunes. Observemos esteejemplo:

3x2y4z + 6xy3 + 9xy2

el factor comun que encontramos en cada termino es 3xy2.Lo siguiente sera extraer el factor comun del polinomio y loexpresamos como un producto, de la siguiente forma:

3xy2(xy2z + 2y + 3)

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AGRUPAMIENTO

Algunas veces se nos presenta un polinomio en el que noencontramos factores comunes y se nos dificulta realizaraplicar la tecnica anterior, es entonces cuando podemosconsiderar el metodo de agrupacion o agrupamiento queconsiste en agrupar terminos en los que se encuentrenfactores comunes para luego aplicar el metodo que acabamosde aprender. Tenemos el siguiente polinomio:

a2x + bx− a2z − bz

En este caso podemos agrupar los terminos de la siguienteforma:

(a2x + bx) + (−a2z − bz)

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AGRUPAMIENTO

Luego extraemos los factores comunes de cada parentesis:

x(a2 + b) + (−z)(a2 + b)(a2 + b)(x− z)

NOTA: Tambien se pueden agrupar los terminos de modoque nos quede una formula notable. Ejemplo:

x2 − y2 + 10x + 25= (x2 + 10x + 25)− y2

= (x + 5)2 − y2

= (x + 5 + y)(x + 5− y)

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DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se utilizara la tercera formula notable para metodo defactorizacion:

(a− b)(a + b) = a2 − b2

Ejemplos:Factorice 3x3 − 3xy2

= 3x(x2 − y2)= 3x(x + y)(x− y)

Factorice x6 − z6

= (x3 − z3)(x3 + z3)= (x− z)(x2 + xz + z2)(x + z)(x2 − xz + z2)

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INSPECCION

Este en un metodo muy util para factorizar trinomios de laforma rx2 + sx + t. Utilizando el siguiente ejemplo lopodremos comprender mejor:

x2 + 7x + 12x 4x 3

Mulpliticamos en X y sumamos los terminos: 3x + 4x = 7xobserve que la suma de esos terminos nos da como resultadoel termino del centro, eso nos dice que la inspeccionesta bien hecha, por lo que la factorizacion queda de lasiguiente forma: (x + 4)(x + 3)

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COMPLETAR CUADRADOS, TEOREMA DELFACTOR Y DEL RESIDUO

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2014COMPLETAR CUADRADOS

En este metodo lo que hacemos es sumar y restar un mismotermino para completar un trinomio cuadrado perfecto.Veamos el siguiente ejemplo:

x2 + 2x− 5= x2 + 2x + 1− 1− 5 (Sumamos y restamos 1)

= (x + 1)2 − 6 (Formula Notable)(x + 1−

√6)(x + 1 +

√6) (Diferencia de cuadrados)

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COMPLETAR CUADRADOS

A¿Como saber que valor debemos sumar y restar?

La expresion x2 + 2x− 5 es de la forma ax2 + bx + c dondea = 1, b = 2, c = −5.El valor que debemos de sumar y restar al trinomio es el que

corresponde a (b

2a)2, en este caso tenemos (

2

2(1))2 = 1

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TEOREMAS IMPORTANTES PARAFACTORIZACION

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TEOREMA DEL FACTOR

Si P (x) es un polinomio y c ∈ R es un cero de P (x) si y solosi x− c es un factor de P (x).

TEOREMA DEL RESIDUO

Si P (x) es un polinomio, el residuo que se obtiene al hacer ladivision P (x)÷ (x− c) donde c ∈ R, es igual a P (c)

TEOREMA

1 Un polinomio de grado n con coeficentes reales tiene alo sumo n ceros reales.

2 Un polinomio con coeficientes reales, de gradoimpar,tiene al menos un cero real.

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TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES

Si P (x) es un polinomio de grado n tal que a0 es el terminoconstante y an es el coeficiente principal, entonces todo ceroracional de P (x) es de la forma p

q donde p es un divisor dea0 y q es un divisor de an

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Esto nos dice que los posibles ceros racionales de unpolinomio se encuentran entre los cocientes que se formancon los divisores del termino constante del polinomio entredivisores del coeficiente de la potencia mayor del polinomio.

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APLICACION DE ESTOS TEOREMAS

Los teoremas enunciados anteriormente nos son utiles parafactorizar frecuentemente polinomios de grado mayor a 2.Trabajemos en algunos ejemplos para ver la aplicacion deellos:

1 2x3 + x2 − 13x + 6

2 x4 − 5x3 − 5x2 + 23x + 10

3 x4 − 3x3 − 3x2 + 11x− 6

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A¡Hagamos algunos ejercicios!