FACTORIZACIN Qu es factorizar?Es descomponer una expresin en dos o ms factores, o dicho de otra forma, es expresar en multiplicandos una expresin cualquiera.Por ejemplo:Si tenemos la expresin 25 16. Podemos expresarla como: 52 42 = (5 4)(5 + 4)Es lo que haremos con cualquiera de los trminos que tengamos, pero con expresiones algebraicas.Para FACTORIZAR, vamos a construir diferentes grupos de expresiones y las formas en las cuales se van a descomponer en factores.Factor Comn Factor Comn Monomio

Factor Comn por Agrupacin de Trminos

Binomios Diferencia de Cuadrados

Suma y Diferencia de Cubos

Suma y Diferencia de n-sima potencias

TrinomiosTrinomio Cuadrado Perfecto

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Veamos paso a paso como FACTORIZAR en cada caso:FACTOR COMN MONOMIOEl factor comn se determina as: 1) El factor numrico el M.C.D. de los coeficientes del polinomio.2) El factor literal est formado por aquellas letras que estn en todos los trminos y elevados al menor exponente.Ejemplo 1:27x3y2z - 18xyz2+ 9x2y3z = 9xyz (3x2y - 2z + xy2)Ejemplo 2: 55x8/3+ 5x5/3- 15x2/3 = 5x2/3(11x6/3+x3/3-3) = 5x2/3(11x2+ x- 3)FACTOR COMN POR AGRUPACIN DE TRMINOSPara factorizar factor comn por agrupacin de trminos:1. Se mira si el polinomio tiene un monomio comn.2. Si no tiene, se asocia teniendo en cuenta los signos de tal manera que cada grupo tenga un monomio comn. 3. Se factoriza el polinomio comn que genera la factorizacin de la agrupacin anterior.Ejemplos: factorizar1. 4ay 2by + 2az bz = 2y(2a b) + z(2a b) = (2a b) (2y + z)

2. 7ax + ay 7bx by = (7ax +ay) (7bx + by) = a(7x + y) b(7x + y) = (7x +y)(a b

EJERCICIOS:Factorizar completamente cada polinomio por agrupacin:1. 6x 6y by + bx2. xm2 + 2a + am2 + 2x3. a ab + b b2 + c bc4. axy bcz + bcxy az5. a4 + a3 + a2 + a6. 3a 3b + 3(a + b)27. 8m3 2m2 2mn + 8m2n8. 12xy 4y2 6x + 2y9. (a + b) (a b) + 4a 4b10. x3b2 x2ya2 + x3a2 x2b2y

FACTORIZACIN DE DIFERENCIA DE CUADRADOSUna diferencia de cuadrados es igual a la suma de las races cuadradas de los trminos, multiplicada por la diferencia de las misma.x2 y2 = (x + y) (x y)Ejemplo: Factoricemos 49a2 9b2 = (7a + 3b) (7a 3b) 49a2 9b2

7a 3b

EJERCICIOS:1. a2 1_ 25 2. 16x2 25y23. a 2 x2 b2 y24. x2 y2 a2 b2 5. x2a y2b6. a4b4 625c8 7. x4 81 8. (x a)2 (x + b)2

SUMAS Y DIFERENCIA DE CUBOS1. Una suma o una resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio.2. El binomio est formado por la suma o resta de races cbicas.3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raz; producto de las dos races y cuadrado de la segunda raz. 4. Los signos del trinomio son: a) Para suma de cubos: (+), (), (+)b) Para diferencia de cubos: (), (+), (+)x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2)Ejemplos:1. 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)[(2x)2 (2x)(3y) + (3y)2]

3 8x3 3 27y3 2x 3y = (2x + 3y)(4x2 6x3y + 9y2)

2. (a + b)3 64 = (a + b 4)[(a + b)2 + (a + b)4 + 42] 3 3 (a + b)3 64 = (a + b 4)(a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 16)

EJERCICIOS:1. c3 d32. 8a3 + 27b33. a3 + 14. (a b)3 1255. 8(m + n)3 (3x)36 a3 b3216 1257. a6 b68. a3 + b3 a b9. y9 + (m3 1)310. 64(m n)3 8(m

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)Un trinomio se llama cuadrado perfecto, si dos veces el producto de las races de los dos trminos cuadrados perfectos, equivale al otro trmino.Ejemplo:a) 4x2 20xy + 25y2 = (2x 5y)2 Es TCP 4x2 = 2x 2.2x.5y 25y2 = 5y b) 16a4 + 12a2b2 + 9b4 No es TCP 16a4 = 4a 2.4a.3b2 9b4 = 3b2EJERCICIOS:* Completar el trmino que falta para que el trinomio sea cuadrado perfecto:1. x2 +2xy + ____ 2. a2 + ____ + 25

3. 9x2 +18xy +_____

4. m2___ ___ + n2

5. 81a2 18ab +___

6. 4x2___ ____ + 9

7. ___ +4ab +b2

8. 9y2 + 6xy + ___

9. 100a2___ ___ + 16

10 z2 12zx _____

* Determinar cules de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos:

1. m2 2m + 12. t2 10t + 253. z2 6z + 94. x2 3x + 65. p2 pq + q26. 4b2 4b + 17. 4x2 12x + 98. 81u2 9uv + v2

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + cUn trinomio es de la forma x2 + bx + c si existen nmeros m y n nmeros reales que cumplen m.n = c y b = (m + n), tales que x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + m.n.

Ejemplo: a) x2 + 5x + 6 = x2 + (3 + 2)x + 3.2 = (x + 3)(x + 2) b) x4 9x2 22 = x4 + ((11) + 2)x2 + (11).2 = (x2 11)(x2 + 2)EJERCICIOS:Factoriza:1. x2 2x 152. y2 13y + 223. c2 12c 284. b2 + 19b + 845. x2 + 7x 186. a2 2ab 3b27. z2 + 15z + 268. (m n)2 19(m 2n) + 189. x6 + 3x4 40x210. a4 + 7a2 18

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + cPara factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, a 1, se expresa b como la suma de m y n enteros, tales que m.n = a.c y se agrupa para extraer el polinomio comn as:

Ejemplo:a) 3x2 + 7x + 2 = 3x2 + 6x + x +2 = 3x(x + 2) + (x + 2) 7 = 6 + 1 = (3x + 1)(x +2)

3.2 = 6.1

b) 6x2 23x + 15 = 6x2 18x 5x + 15 = 6x(x 3) 5(x 3) = (x 3)(6x 5)

EJERCICIOS:Factoriza:1. 6x2 13x + 62. 12m2 19m 183. 2x2 3xy 2y24. 15z2 + 17zy 4y25. 7x2 13y + 26. 12x2 22x 147. 32x + 108x2 14x38. 33x2 25xy + 2y29. 2x4 x3 + 2x2 9x + 410. 2x2(x 1) x2 + 7x 6