Factorizacion

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL

DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N.

ESCUELA DE INGENIERIAS

AREA DE CIENCIAS BASICAS

LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

FACTORIZACION La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos llamados factores. En el

caso de números reales utilizamos los números primos que, al multiplicarlos resulta el termino original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factoriza a x a.

Cuando se factoriza un polinomio como 652 xx su resultado es 23 xx

.

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

FACTOR COMUN Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte literal con menor

exponente común de un polinomio. Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el

polinomio dado por el factor común.

Ejemplos

)2(4

comunFactor

48 22

baab

abba

)3(3

comunFactor

93

aby

yaby

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

222 2 yxyxyx

Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante. Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichos términos que surgen de las raíces.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.





LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO Ejemplos:

1.

222

2

2

22

)3+2(=9124 :Entonces

Perfecto Cuadrado Trinomioun Es

123.2.2

39

24

9124

zxzxzx

xzzx

zz

xx

zxzx

2.

2336

33

36

36

)4

1+2(=

16

14 :Entonces

Perfecto Cuadrado Trinomioun Es

4

1.2.2

4

1

16

1

24

16

14

xxx

xx

xx

xx

CUBO PERFECTO

33223 33 yxyxyyxx

Se identifican los cubos perfectos Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.

Luego calculo: El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.

El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la segunda Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,

Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.

Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.





LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO Ejemplos:

1. 33223

22

22

3 3

3 3

3223

3b)-2(=2754368 :Entonces

Perfecto Cuboun Es

54)3).(2.(3

36)3.()2.(3

327

28

2754368

ababbaa

abba

baba

bb

aa

babbaa

2.

323

2

22

3

33

23

)1-2

1(=1

2

3

4

3

8

1 :Entonces

Perfecto Cuboun Es

2

3)1.(

2

1.3

4

3)1.()

2

1.(3

11

2

1

8

1

12

3

4

3

8

1

xxxx

xx

xx

xx

xxx

DIFERENCIA DE CUADRADOS

))((22 yxyxyx

Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno) Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichos términos.

Ejemplos:

1.

9 25

9 3

25 59 25 3 5 3 5

2 2

2

2

2 2

x y

x x

y yx y x y x y

Entonces: ( )( )

2.

4

9

4

9

2

34

9

2

3

2

3

6 4 2

6 3

4 2 2

6 4 2 3 2 3 2

x z y

x x

z y z y

Entonces x z y x z y x z y

:





LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA

baxx 2

Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.

Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término y sumados el segundo término del trinomio

bxaxabxbaxdcxx 22

Ejemplos:

656.5653011 22 xxxxxx

23232365 22 xxxxxx

45454520 22 xxxxxx

573522 xxxx

SUMA DE CUBOS

2233 babababa

El procedimiento de factorización en este caso es: Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces cubicas.

El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.

Ejemplo:

Factorizar 13 x

Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx

Se obtiene como resultado: 111 23 xxxx

RESTA DE CUBOS

2233 babababa

El procedimiento de factorización en este caso es:

Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio. El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces cubicas.

El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz cubica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.





LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO Ejemplo:

Factorizar 13 x

Aplicando el caso de factorización 223 1111 xxxx

Se obtiene como resultado: 111 23 xxxx

TRINOMIO DE LA FORMA

cbxax 2

Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.

Se factoriza de la siguiente manera: Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto en el segundo

término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma: baxx 2

Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.

Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma baxx 2

Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.

Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.

Ejemplo:

Factorizar 26 2 xx 26 2 xx

Se obtiene como resultado: )12(2326 2 xxxx

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