Factorizacion LU

Alexis Vera PerezInstituto de Estadıstica & Sistemas Computarizados de Informacion

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Rıo Piedras

Agosto 2007

En el momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales de n ecua-ciones en n desconocidas, podemos recurrir a diferentes metodos. Uno de losmetodos mas utilizados lo es el metodo de eliminacion de Gauss el cualconsiste en convertir la matriz aumentada (A|b), donde A es la matriz decoeficientes del sistema de ecuaciones, en la forma escalonada.

Si U es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales sondiferentes de cero, entonces el sistema lineal Ux = b puede ser resuelto sintener que transformar la matriz aumentada (U |b) a la forma escalonada. Lamatriz aumentada esta dada por

u11 u12 u13 . . . u1n b1

0 u22 u23 . . . u2n b2

0 0 u33 . . . u3n b3...

......

. . ....

...0 0 0 . . . unn bn

y la solucion se obtiene por el siguiente algoritmo (sustitucion en reversa):

xn =bn

unn

xn−1 =bn−1 − un−1nxn

un−1n−1

...

xj =

bj −j−1∑

k=n

ujkxn

ujj

j = n, n− 1, . . . , 2, 1

1

De forma parecida, si L es una matriz triangular inferior cuyos elementosdiagonales son diferentes de cero, entonces el sistema lineal Lx = b puedeser resuelto de la siguiente forma: La matriz aumentada tiene la forma

`11 0 0 . . . 0 b1

`21 `22 0 . . . 0 b2

`31 `32 `33 . . . 0 b3...

......

. . ....

...`n1 `n2 `n3 . . . `nn bn

y la solucion se obtiene por el siguiente algoritmo (sustitucion hacia ade-lante):

x1 =b1

`11

x2 =b2 − `21x1

`22

...

xj =

bj −j−1∑

k=1

`jkxk

`jj

j = 2, . . . , n

Ejemplo 1 Para resolver el sistema lineal

4x1 = −36

3x1 + 2x2 = 11

x1 + x2 + x3 = 16

utilizamos sustitucion hacia adelante y obtenemos que

x1 =−36

4= −9

x2 =11− 3x1

2= 19

x3 = 16− x2 − x1 = 6

Ası que la solucion para el sistema de ecuaciones triangular inferior dado es

x =

−9196

2

Supongamos que una matriz An×n puede ser escrita como el producto deuna matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U , esto es,

A = LU

Entonces decimos que A tiene una factorizacion LU. Esta factorizacionnos permite resolver el sistema lineal Ax = b. Sustituyendo LU por A,obtenemos

(LU)x = b (1)

esto implica queL(Ux) = b (2)

Si Ux = z, entonces tenemos que

Lz = b (3)

Como L es una matriz triangular inferior, podemos resolver para z utilizandosustitucion hacia adelante. Luego, como U es una matriz triangular superior,resolvemos Ux = z por sustitucion en reversa.

Ejemplo 2 Considere el sistema lineal de ecuaciones

2x1 + 3x2 + 4x3 = 6

4x1 + 5x2 + 10x3 = 16

4x1 + 8x2 + 2x3 = 2

cuya matriz de coeficientes es

A =

2 3 44 5 104 8 2

y su factorizacion LU es

L =

1 0 02 1 02 −2 1

y U =

2 3 40 −1 20 0 −2

3

Utilizando la ecuacion (3)

1 0 02 1 02 −2 1

z1

z2

z3

=

6162

Por sustitucion hacia adelante obtenemos

z1 = 6

z2 = 16− 2z1 = 4

z3 = 2 + 2z2 − 2z1 = −2

Ası que

z =

64−2

Ahora resolvemos Ux = z,

2 3 40 −1 20 0 −2

x1

x2

x3

=

64−2

y obtenemos

x3 = 1

x2 =4− 2x3

−1= −2

x1 =6− 4x3 − 3x2

2= 4

Por lo tanto, la solucion para el sistema lineal dado es

x =

4−21

El siguiente ejemplo ilustra como encontrar una1 factorizacion LU para unamatriz.

1En general, una matriz puede tener mas de una factorizacion LU.

4

Ejemplo 3 Para encontrar la factorizacion LU de la matriz

A =

2 3 0 14 5 3 3−2 −6 7 78 9 5 21

Primero convertimos en cero todos los elementos debajo del primer elementodiagonal de A. Para esto, sumamos (-2) veces la primera fila de A a lasegunda fila de A. Luego sumamos la primera fila de A a la tercera fila deA, y por ultimo sumamos (-4) veces la primera fila de A a la cuarta fila deA, obteniendo la siguiente matriz

U1 =

2 3 0 10 −1 3 10 −3 7 80 −3 5 17

Mientras tanto, comenzamos la construccion de una matriz triangular inferior,L1,con 1’s en la diagonal principal. Para hacer esto, colocamos los opuestos delos multiplicadores utilizados en las operaciones de fila en la primera columnade L1 debajo del primer elemento diagonal de L1 y obtenemos la siguientematriz

L1 =

1 0 0 02 1 0 0−1 ∗ 1 04 ∗ ∗ 1

Ahora sumamos (-3) veces la segunda fila de U1 a la tercera fila de U1 ysumamos (-1) veces la tercera fila de U1 a la cuarta fila de U1. Colocamoslos opuestos de los multiplicadores debajo del segundo elemento diagonal deL1 y obtenemos

U2 =

2 3 0 10 −1 3 10 0 −2 50 0 −2 9

y L2 =

1 0 0 02 1 0 0−1 3 1 04 1 ∗ 1

Ahora sumamos (-1) veces la tercera fila de U2 a la cuarta fila de U2. Luegocolocamos el opuesto de este multiplicador debajo del tercer elemento diagonalde L2 y obtenemos las matrices

5

U3 =

2 3 0 10 −1 3 10 0 −2 50 0 0 4

y L3 =

1 0 0 02 1 0 0−1 3 1 04 1 1 1

Las matrices U3 y L3 componen una fatorizacion LU para la matriz A.

6