FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA INSTITUTO DE...

_,·· ..

UNNERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

INFORME FINAL DE TEXTO

TEXTO: PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 1

AUTOR: Lic. FERNANDO HIPO LITO LA YZA BERMÚDEZ

(PERIODO DE EJECUCIÓN

Del 01 de junio de 2012 al31 de mayo del2014 Resolución Rectoral No.549-2012 R)

CALLAO- 2014

.. ;.;·

® rJUL 2014

PRÓLOGO

Como resultado de un trabajo de investigación se logró elaborar un Texto cuyo titulo lleva

por nombre Texto: Problemas Resueltos de Matemática l, que duro casi dos años de esfuerzo

teniendo mucho cuidado en la organización y desarrollo de los capítulos.

El objetivo que busca el autor es de plantear el problema para luego mediantes procesos

Matemáticos-Lógicos dar el resultado a éstos; y a la vez motivar a los estudiantes que el

proceso de resolver un problemas de matemática tiene que tener una base sólida de los

principios básicos de la ciencias de la Matemática.

Este texto se ha divido en 4 capítulos Fundamentales: Sistema de Números Reales, Teoría de

Funciones, Teoría de Límites- Continuidad y la Derivada ya que estos conceptos le servirán,

como base, cuando lleven las asignaturas de Matemática ll y Matemática lll.

Por la experiencia, en la cátedra de docente universitario, como profesor del curso de

Matemática I la mayor parte de problemas en este libro son inéditos cuyas resoluciones son

establecidos mediante una rigurosidad matemático.

Quisiera agradecer a todos los profesores que me ayudaron a fortalecer el desarrollo de éste

texto; así como también, a la Universidad Nacional del Callao por la subvención para la

realización de éste proyecto.

El Autor

:f5ecfíco eJte traliqÍo a mí rueríáa ~osa y a mü adOradO.f fi'ljos ..J!nnífor y !i;on~alo

ÍNDICE

1 ÍNDICE ......... ...................... ...... ......... ....... ......... ....... ............. ...... ......... ... ...... ....... 1

2RESUMEN .............................................................................................................. 2

3lNTR.ODUCCIÓN......... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ......... 4

4 MARCO TEÓRICO ........................... :....................................................................... 5

5 MATERIALES Y MÉTODOS ................ -: .............................................. , .. .. . .. . .. . .. . .... ...... 6

6 RESULTADOS... .. . . .. .. .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . ..... ... ... . 7

CAPÍTULO l... . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .... . 8

1 SISTEMA DE NÚMEROS REALES...... .. . .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. .. . . .. .. . . .. . . .. .. .. . .. .. .. .... .. ... 8

l. l.-DEMOSTRACIONES...................................................................................... 8

1.2.-ECUACIONES... ...... ... ... . .. ...... ... ...... ... ... ... .. . .. . ... ... ... ... ... ...... ... ... ... .. . ...... ... ..... 10

1.3.-INECUACIONES..................... ... . .. . .. .. . .. . .. . ... . .. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . ... .. . . .. ... .. . . .. .. .. .. . 14

CAPÍTULO ll... .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . 29

2 FUNCIONES... .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .... .. .. .. 29

2.1.-DOMINIO RANGO ............................................................................................. 29

2.2.-0PERACIONES CON FUNCIONES......... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. .. . .. 38

CAPÍTULO m... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .... .. .... .. . ...... 59

3 LÍMITES...... .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. 59

3.1.-DEMOSTRACIONES... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... ... . .. .. . ... ... ... ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 59

3.2.-CÁLCULO DE LÍMITES FINITOS ...................................................................... 68

3.3.-CÁLCULO DE LÍMITES AL INFINITO............................................................... 77

3.4.-CÁLCULO DE LÍMITES INFINITOS.................................................................. 90

3.5.-CÁLCULO DE LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ..................................................... 97

3 .6.-CÁLCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS ............................... 106

CAPÍTULO N ... ...................................................................................................... 112

4 CONTINUIDAD Y DERN ADA .................................................................................. 112

4.1.-DEFINICIÓN DE LA DERN ADA. ...................................................................... 112

4.2.-PROPIEDADES DE LA DERN ADA. ................................................................... 114

4.3 .-APLICACIONES DE LA DERN ADA: MÁXIMO Y MÍNIMOS .................................... 128

4.4.-L'HOSPITAL ................................................................................................ 135

4.5.-PROBLEMAS DE APLICACIÓN ........................................................................ 139

5 FORMULARIOS ................................................................................................. 146

7 DISCUSIÓN ........................................................................................................... 149

~ REFERENCIALES .................................................................................................... 149

9 APÉNDICE ............................................................................................................. 150

10 ANEXOS .............................................................................................................. 152

1

2RESUMEN

El Objetivo del presente trabajo de Investigación fue la elaboración de un texto

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, que servirá de reforzamiento al

estudiante sobre la teoría de los cursos que se dictan en los primeros ciclos de las

universidades, como Matemática I, y a la vez, permitirá un mayor entendimiento de la teoría

y la práctica.

El texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, contiene una gran cantidad de

problemas inéditos resueltos por el Autor y que han servido para la elaboración de distintas

prácticas y exámenes programados por la facultad de Ingeniería Química.

El texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA I, se ha desarrollado de una

forma sistematizada de acuerdo a la temática del silabo de matemática I del currículo antiguo

y se ha utilizado algunos paquetes de informática para poder graficar problemas de

aplicación.

La metodología utilizada para la elaboración de éste texto, se sustenta en la experiencia del

Autor como profesor en las asignaturas de matemática I, matemática II y matemática III.

En general, se ha logrado elaborar un texto con un lenguaje sencillo práctico de fácil

entendimiento especialmente para los estudiantes que inicien por primera vez el curso de

Matemática l. Por lo tanto, el texto desarrollado servirá a mis colegas como fuentes de

consulta y sobre todo a los estudiantes en proceso de enseñanza- aprendizaje de la asignatura

de Matemática l.

2

ABSTRACT

The objective of this research work was the development of a MATH PROBLEM SOL VED I

text that will serve as reinforcement to the student about the theory of the courses offered in

the first cycles of universities, such as Mathematics I, and simultaneously, allow a greater

understanding of the theory and practice.

The text RESOL VED MA TREMA TICS I, contains a lot of new problems sol ved by the

author and have served for the preparation of different practices and exams scheduled by the

Faculty of Chemical Engineering.

The text RESOL VED MA TH l, has been developed in a systematic way according to the

theme of the syllabus of the old math curriculum and I have used some computer packages to

graph word problems.

The methodology used for the preparation of this text, is based on the author's experience as a

teacher in the subj ects of Math I, Math II and Math III.

In general, it has been possible to produce a text with a practica! simple language easily

understood especially for students starting the first course of Mathematics l. Therefore, the

text developed serve my colleagues as reference sources and especially students in the

teaching-learning ofthe subject ofMathematics l.

PALABRA CLAVE: Problemas resueltos de Matemática I

3

3.-INTRODUCCION

En la experiencia docente de nuestra Facultad encontramos que parte de los estudiantes, de los

primeros ciclos especialmente, tienen dificultades de aplicación y comprensión de conceptos

teóricos del Cálculo Diferencial en la resolución de problemas, y vemos que encuentran una

aparente falta de secuencia lógica en la resolución de problemas, así como el fundamento teórico

puntual y a la vez didáctico de las mismas.

Una de las causas es que no se cuente con un texto que relaciones de n;tanera didáctica y práctica, la

teoría especifica con la resolución de problemas específicos y puedan guiarlos para enfocar y resolver

los problemas con rapidez y éxito. La mayor pmte de los textos de matemática I enfocan el curso de

manera pre-universitario sin la rigurosidad matemática, propiciando un escepticismo e antipatía de

parte de los estudiantes hacia el curso de matemática I presentando ejemplos que no contemplan

detalles ni técnicas de Cálculo

La Elaboración del Texto " Problemas resueltos de Matemática f' lo presento como un

material bibliográfico importante porque facilitará el proceso de enseñanza y aprendizaje de

los alumnos que por primera vez llevan el curso de matemática I de la Universidad Nacional

de Callao, en particular de nuestra facultad de Ingeniería Química, ya que el desarrollo

abarcará el área teórico y práctico, donde el alumno hará uso del razonamiento lógico y

capacidad de análisis, aplicando conceptos teóricos en resolución de problemas.

Además, por su magnitud, no solo se beneficiará alumnos de nuestra facultad, sino también a

todos los alumnos de las diferentes Universidades en cuyo currículo se encuentre el curso de

Matemática I y por su factibilidad, será viable desarrollar este texto por la profesión que tengo

y el bagaje del curso de matemática I.

4

4.- MARCO TEORICO

Respecto al título del proyecto de investigación, existen pocos textos que desarrollan la teoría

y la práctica. Por ejemplo, en mi trabajo de investigación cuyo título: Elaboración de un texto

Matemática I, para alumnos de Ingeniería Química (2002) desarrolle los principios teóricos

del cálculo diferencial con pocos problemas resueltos. En el libro del profesor Espinoza

Ramos titulado Análisis Matemático I (1998) resuelve problemas sin la debida secuencia

lógica. Así dentro del panorama descrito, se publican textos que tratan los conceptos y

principios del Cálculo diferencial, entre los cuales tenemos en cuenta las siguientes

referencias Bibliográficas:

1.-Stanley I. Grossman. "Algebra Lineal con aplicaciones". Editorial Me Graw-Hill . 4ta.

Edición. México-1992

2.-Elon larges Lima." Geometría Analítica y Algebra Lineal". Editorial IMCA. Rio de

Janeiro-2004.

3.-Layza Bermúdez Fernando. Texto: "Matemática I, para alumnos de Ingeniería Química",

UNAC-2002

5

S.-MATERIALES Y METODOS

S. l.-MATERIALES

Para la elaboración de este Texto se usaron los siguientes materiales:

1.- Materiales de oficina

2.-Materiales Bibliográficos y página Web

3.-Apuntes del Autor.

4.-Materiales de Informática Software Matemático.

5.2.-METODOS

Siendo el tema de la investigación la elaboración de un texto la metodología que se empleó

fueron

• Formulación del índice del Texto

• Identificación de la Información

• Análisis de la Información

• Redacción del Texto en función al índice y presentación del Texto.

• Revisión de la redacción efectuada y complementaria de la misma.

No se presentan datos estadísticos pues es un trabajo básico-practico

6

>

)

)

6.-RESULTADOS

El resultado de la presente investigación es el Texto PROBLEMAS RESUELTOS DE

MATEMATICA 1, contiene 4 capítulos fundamentales los cuales son: Sistema de Números,

Teoría de funciones, Teoría de Límites y la Teoría de la Continuidad y la Derivada.

El Texto presenta problemas inéditos resueltos por el autor de una manera sencilla, pero sin

perder la rigurosidad los principios lógicos y matemáticos.

En cada capítulo se propone y resuelve problemas tipos acorde con la teoría y tiene por

objetivo reforzar los conocimientos teóricos de la asignatura de Matemática 1

7

CAPITULOI

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

1.1.-DEMOSTRACIONES

l.-Demostrar que si a 2 +b 2 = 1 ::::::> -Afi ~a +b ~-Ji

DEMOSTRACIÓN

Se sabe que (a-bY ;;:: O, 'íla,b E R

Luego, (a-b)2 =a2 -2ab+b2 ~0=:}a2 +b2 ~2ab

Sumando a2

+ b2

se tiene 2(a2 + b2 );;:: a2 + 2ab + b2

Por hipótesis se tiene que a2 + b2 = 1

Reemplazando (2) en (1)

(1)

(2)

2(a2 + b2 )= 2(1)~a2 + 2ab +h2 = (a+b)2 =:}(a +b)2 ~ 2 ----?-J-2. ~a +b ~ J-2.

Por tanto, se ha demostrado la tesis

2.-Demostrar que si a2 + b2 =.JI\ e2 + d 2 = 1 ::::::> ac + bd ~ 1

DEMOSTRACIÓN

Se sabe que (ad- be Y ;;:: O, 'íla,b,e,d E R

Luego, (ad -beY= a 2d 2- 2abed +b 2e2

;;:: O::::::> a2d 2 +b 2c2;;:: 2abed

Sumando a 2 e 2 +b 2d 2 se tiene a 2d 2 +a2c2 +b2c2 +h2d 2 ~a2c2 +2abcd+b2d 2 (1)

Por hipótesis se tiene que a2 + b2 =lA e2 + d 2 = 1

Factorizando el primer miembro de (1)

a 2 (d2 +c2 )+b2 (c2 +d2 )= (a2 +b2 Xc2 +d2 )~a2c2 +2abcd+b2d 2 (3)


a2 (d2 +c2 )+b2 (c2 +d2 )= (a2 +b2 Xc2 +d2 )= (1X1)= 1 ~ (ac+bd)Z =:} (ac+bd)2 ~ 1

Por tanto, queda demostrado lo pedido (ae + bdY ~ 1 ::::::> ae + bd ~ 1

(2)

8

3.-Demostrar que \:fa,b,c,d: ab + ac+bc s a 2 + b2 + c2

DEMOSTRACIÓN

Sesabeque \:fa,bER:(a-bf 20, \:fb,cER:(b-cf 20, \:fa,cER,(a-cf 20

Sumando miembro a miembro se tiene:

Por tanto, se demostrado lo pedido

4.-Demostrar que si a >,b >O~ -J(ii) s a+ b 2

DEMOSTRACIÓN

Se sabe que \:fa,b E R: (a- b f 2 O~ a> O,b >O: (.Ja- Jb} 2 O

Luego, (.Ja- -Jb)2 =a- 2-Ja-Jb + b 2 O~ a; b 2 -J(ii)

Por tanto, se ha demostrado lo pedido

5.-Demostrar que \:fa,b,x,y E R: Jxy- abJ sJxJJy- bJ + JbJJx- aJ

DEMOSTRACIÓN

Se sabe que \:fa,b E R: Ja + bJ sJaJ +JbJ \:fa,b E R: Ja-bJ s.JaJ +JbJ

Sumando y quitando el término xb

\:fa,b,x,y E R: Jxy +xb- ab- xbJ = Jx(y-b)-b(a -x)J sJxJJy- bJ +J-bJJa- xJ

Luego, se demuestra que Va, b, x, y E R : J.xy- abJ sJxJJy- bJ + JbJJa- xJ

6.-Demostrar que \:fa,b,c E R: Ja +b- cJ s.JaJ + JbJ +JcJ

DEMOSTRACIÓN

Agrupando términos y aplicando la desigualdad triangular

\:fa,b E R: Ja+bJ s.JaJ +[b[ ~ J(a+b)- e[ s.Ja +bJ +J- cJ s.Ja[ +JbJ +JcJ

9

Luego, se demuestra que lo pedido

1.2.-ECUACIONES

En los siguientes problemas que a continuación se dan. Calcular el conjunto solución.

l.-Resolver 2x 4 -7x3 -llx2 + 22x + 24 =O

SOLUCIÓN

Factorizando se tiene

(2x + 3)(x + l)(x- 2)(x- 4) =O

Aplicando la propiedad a.b = O <=> a = O v b = O

3 X=-- V X= -1 V X= 2 V X= 4

2

Luego, Conjunto Solución para es= { -2

3 ,-1,2,4}

2.-Resolver x 4 - 4x3

- 3x 2 + 14x- 8 =O

SOLUCIÓN


(X + 2 )(X - 1) 2 (X - 4) = 0

Aplicando la propiedad a.b = O <=>a = O v b = O

X= -2 V X= 1 V X= 4

Luego, Conjunto Solución para es={- 2,1,4}

3.-Resolver 4x4 + 4x3 + x 2 + 4x- 3 =O

SOLUCIÓN


3 1 4(x +-)(x--)(x2 + 1) =O

2 2

Aplicando la propiedad a.b = O <=> a = O v b = O

10

3 1 x=--vx=-2 2

Luego, Conjunto Solución para es= {-%, ~} 4.-Resolver x 4

- 3x 3 -l5x2 + l9x + 30 =O

SOLUCIÓN


(x + 3)(x + l)(x- 2)(x- 5) =O

Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O '

X= -3 V X= -1 V X= 2 V X= 5

Luego, Conjunto Solución para es = {- 3, -1,2,5}

S.-Resolver x 5- 5x4 + 5x3

- 3x 2- 6x + 8 =O

SOLUCIÓN

F acto rizando se tiene

(x + l)(x -l)(x- 4)(x 2 - x + 2) =O

Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O

x=-1vx=1vx=4

Luego, Conjunto Solución para es= {-1,1,4}

6.-Resolver 2x3 + 7x2 + 2x- 3 =O

SOLUCIÓN


2(x + 3)(x + l)(x -1/2) =O

Aplicando la propiedad a.b = O <::> a = O v b = O

x=-3vx=-lvx=1/2

Luego, Conjunto Solución para es = {- 3, -1,1 1 2}

11

7.-Resolver (x 2 + 2x- 3)(3x- 4- x 2) =O

SOLUCIÓN


-(x+3)(x-l)(x 2 -3x+4)=0

Aplicando la propiedad a.b = O <:::> a = O v b = O

x=-3vx=l

Luego, Conjunto Solución para CS = {- 3,1}

8.- Resolver ~hx2 - 9x + 4 + 3-J2x -1 = ~2x2 + 21x -11

SOLUCIÓN

Usando las propiedades de los radicales

A: 2x 2 -9x+420 1\ 2x-L~:O 1\ 2x 2 +2lx-ll20

Luego, el conjunto solución para A= [4,+oo[ u{~}

Factorizando se tiene -J2x -1( -J x- 4 + 3) = -J2x -1( -J x + 11)

Luego

-Jx-4 +3=-Jx+11 ~x-4+6-Jx-4 =x+ 11~-Jx-4 =1~x-4=1~x=5

Por tanto, el conjunto solución será es={ 5, ~}

9.-Resolver -J x + 5 + -J X -1 = 1 + -J2x + 3

SOLUCIÓN

Encontrando el Universo U:

12

x+5~0Ax-l~OA2x+3~0

Luego U:=[l,+oo[

Hallando una solución parcial Sp:

Elevando al cuadrado ambos miembros y operando:

Nuevamente elevando al cuadrado

x 2 + 2x- 8 =O~ (x + 4).(x- 2) =O~ x = -4 v x = 2

Luego Sp: {- 4,2}

Por tanto, la solución será CS:= U nsp= {2}

10.-Resolver 2x2 +2x+6-3~x2 +x+3 = 9

SOLUCIÓN

Haciendo cambio de variable: u2 = x2 + x + 3 > O

2 ) 3 2u -3u=9-+(2u+3)(u-3 =0-+u=3vu=--2

Luego, Si u::::3-+9=x2 +x+3-+x2 +x-6=0-+(x-3)(x+2)=0~x=3vx=-2

Luego, CS:={3,-2}

13 '1\

, 1.3.-INECUACIONES

l.-Resolver x ~ \4x- 7\ ~ x + 5

SOLUCIÓN

Usando las propiedades de valor absoluto

X~ l4x- 71 ~X+ 5---+ X~ l4x- 71 1\ \4x- 7\ ~X+ 5

Se tiene

A: l4x-712 x-+4x-7 2x v 4x-7 ~-x

7 7 4x-72x-+x2- v 4x-7~-x-+x~-

3 5

Luego, Conjunto Solución para A: ]- oo, ~ J u [ ~, +oo[

B: \4x -7\ ~ x + 5---+ x +52 O 1\ -(x + 5) ~ 4x -7 ~ x + 5

2 x 2-5 1\ - (x + 5)::; 4x -7::; x + 5---+ -(x + 5)::; 4x -71\ 4x -7 ~ x + 5---+ x 2- 1\ x::; 4

5

Luego, Conjunto Solución paraB :[~,4]

Por lo tanto, el conjunto solución será: CS=[~,~J u [~,4]

2.-Resolver

SOLUCIÓN

15 lx-21<-

\x\

Usando las propiedades de valor absoluto

x:;t:O 1\ \x-2\.\x\ <15-+\(x-2)x\ <15-+-15<x2 -2x<l5

x:;t:O 1\ -15<x2 -2x<15~-14<x2 -2x+l<16-+-14<(x-1)2 <16

x:;t:O 1\ 14<(x-1)2 <16~-4<x-1<4-+-3<x<5

14

Luego, Conjunto Solución CS = }- 3,5[

3.-Resolver

SOLUCIÓN

¡----;;-

! x-l --<3

\3-x

Usando las propiedades de los radicales

x-l x-1 x-1 x-1 --2 0---+ --:::;O---+ 1:::; X <3A-- < 3 ---+---3 < 0 3-x x-3 3-x 3-x

10x-28 IOx-28 ---+ < 0---+ > 0---+ X< 2.8 V X> 3

3-x x-3

Luego, Conjunto Solución CS = [1,2.8[

4.-Dados los conjuntos A= x E R/-1::::; ---::::;; 1 y B = x E Rl-- < --. { x2

- 5 } { X+ 1 X }

4 2-x 3+x

Hallar el conjunto A-B

SOLUCIÓN

---+ (x E [1,+oo )u(- oo,-1DA (x E[- 3,3 D---+ x E[- 3,-1 ]u [1,3]

Luego, A=[- 3,-1]u [1,3]

B. x + 1 x x+l x

0 (x+ l)(x+3)-x(2 -x)

0 XE .--<-----+-----< ---+ < 2-x 3+x 2-x 3+x (2-x)(x+3)

2x2 +2x+3 ---+ <O---+ 2x2 + 2x + 3 >O, Vx ERA (2- x)(x + 3) <O

(2- x)(x + 3)

---+ (x- 2)(x + 3) >O---+ (x E}- oo,-3[ u ]2,+oo0

Luego, B = ]- oo,-3[ u ]2,+oo[

Por tanto, A- B = [- 3,-l]u [1,2]

15

5.-Resolver

SOLUCIÓN

lx- 21-lx -11 > O 1-lx-11 -

{x-2 x>2

Se tiene lx - 21 = ' -2-x,x<2

y 1 1 {x-1,x21

x-1= 1-x,x < 1

Zonificando

(2-x)-(1-x) 1 Si- X < 1 ----+ 2 o ----+- 2 o ----+X >o

1-(1-x) x

CS1 = p,1[

S.

1<

2 (2-x)-(x-1)

0 3-2x

0 1 _ X < ----+ 2 ----+ -- 2 1-(x-1) 2-x

Por puntos críticos o de referencia x = ~, x = 2 2

Se tiene x E ]- oo,% J u ]2, +oo[

(x-2)-(x-1) -1 1 Si- X 2 2----+ 2 o----+-- 2 o----+-- 2 o----+ X> 2

1-(x-1) 2-x x-2

Se tiene x E ]2,+oo[ n [2,+oo[

Luego, CS1II = ]2,+oo[

Por tanto, CS = CS1 uCSII uCSm =Jo,%] u )2,+oo[

16

6.-Resolver

SOLUCIÓN

x+4 x-2 --<--x-5- x+3

Trasponiendo términos se tiene y operando

x+4_x-2sO~ 7x+1 sO x-5 x+3 (x-5)(x+3)

Por puntos críticos tomando las zonas de signo negativo se tiene

7.-Resolver \x2 + 2x + 3\ + \x 2 -1\ s 6

SOLUCIÓN

El término x 2 + 2x + 3 siempre es positivo, entonces

Hallando el universo U:

3 -2x-x2 2:: O~ x 2 +2x-3 sO~ (x+3).(x-l) sO

Luego, U:=[- 3,1]

Detenninando una solución parcial Sp:

Por propiedad de valor absoluto:

-(3-2x-x 2) sx 2 -1 ~ 2xs 2 ~x s 1A

x 2 -1s 3-2x-x2 ~x2 +x-2 s 0 ~ (x+2).(x-1) s 0 ~-2 sx s1

Intersectando estás dos resultados se tiene que Sp: [- 2,1]

17

Por tanto, el conjunto solució~ CS:= Un Sp:= [- 2,1]

8.-Resolver

SOLUCIÓN

Universo: x > O

Calculando la solución parcial Sp:

Eliminando el término llxl- 41, con x * ±4

Se tiene lx21 < lixj:

41 ~ x2 .(JxJ +4) < x ~ x(x(x+4)-1) <O~ (x(x+4) -1) <0 ~ x(x+4) < 1

Luego, x(x+4) < 1 ~ x2 +4x+4 < 5 ~ (x+2)2 < 5 ~-JS <x+2 <-../5 ~ -2--..,[5 <x <-JS -2Por

tanto, CS:=UnSp:= p,-JS- 2[

-/x 2 -5x+4 -2 ·-----==,..--- ~X- 6

2--Jx-2 9.-Resolver

SOLUCIÓN


x2 - 5x + 4 ¿O 1\ x- 2 2 O~ (x- 4)(x -1) 2 O 1\ x ¿ 2 ~ x- 4 2 O~ x 2 4 (1)

Luego, U:= [4,+oo[

~x2 -5x+4 -2 Luego, ~ 2 O <H-

2--vx-2

A: -J x 2 - 5x + 4 - 2 2 O 1\ 2 - -J x - 2 > O

18

B: ~x2 -5x+4- 2 ~ 01\2--Jx- 2 <O

Solucionando A:

~ x 2 - 5x + 4 - 2 ::::: O 1\ 2 - -J x- 2 > O ~ ~ x 2

- 5x + 4 ::::: 2 1\ 2 > -J x- 2 ~ x 2 - 5x + 4 ::::: 4 1\

1\ 4 > X - 2 ~ X( X- 5) :;::: 0 1\ X < 6 ~ X ~ 0 V 5 ~ X < 6

Luego, el conjunto solución para A, CSA:= }- oo,O ]u [5,6[

Para B se demuestra que el conjunto solución es el conjunto vacío

Por tanto, El conjunto solución será: CS=UnCSA= [5,6[ pues es evidente que el tennino x-6

es negativo para todos los elementos del conjunto solución .

10.- Resolver .) x 2

- 5x + 4 - 2 -----===--- ~X- 6

2-.Jx+2

SOLUCIÓN


x 2 -5x+ 4::::: 0Ax+ 2:;::: O~ (x- 4)(x-1) ~ 01\x ~ -2 ~ -2 5x 51 v x ~ 4 (1)

Luego, U:= [-2,1]u[4,+oo[

.) x2 - 5x + 4 - 2

Luego, r--: ;:::: O ~ 2-~~x+2

~ (-J x 2 - 5x + 4 - 2 ;:::: O A 2- ~ x + 2 > O )v (-J x 2

- Sx + 4 - 2 ::; O A 2- -J x + 2 < O)

Solucionando A:

-Jx 2 -5x+4 -2:;::: 0/\ 2--fi+2 >O~ -Jx 2- 5x+4:;::: 2A2 > -Jx +2 ~ x 2 -5x+4::::: 4/\

1\ 4 > X + 2 ~ X( X- 5) :;::: 0 1\ X < 2 ~ X ~ 0

Luego, el conjunto solución para A, CSA:= }- oo,O]

19

Solucionando B:

-J x2 - 5x + 4 - 2 ~ O 1\ 2 - -J x + 2 < O -+ -J x2

- 5x + 4 ~ 2 1\ 2 < -J x + 2 -+ x2 - 5x + 4 ~ 4 1\

1\ 4 < X + 2 -+ X( X - 5) ~ 0 1\ X > 2 -+ 2 < X ~ 5

Luego, el conjunto solución para B, CSB:= ]2,5]

Por tanto, El conjunto solución será: CS=Un(CSAUCSB)= ]- 2,0[ u [4,5] ya que el termino

x - 6 es negativo para todos los elementos del conjunto solución.

11.-Resolver .J x 2- 2x -15 > x + 1

SOLUCIÓN


x2 -2x-1520-+(x-5)(x+3)20-+x~-3vx25 (1)

Luego, U:= ]-oo,-3]u[5,+oo[

Calculando la solución parcial Sp:

Elevando al cuadrado se tiene:

.J x 2 - 2x -15 > x + 1 -+ x2

- 2x + 15 > x 2 + 2x + 1-+ 4x < -16 -+ x < -4

Luego la solución parcial Sp : ]- oo,-4[

Por tanto, el conjunto solución CS: Un Sp = ]- oo, -4[

12.-Resolver x-2 < x+5 -- --x-4- x+3

SOLUCIÓN

Transponiendo términos:

x-2 _ x+5 ~O-+ (x-2)(x+3)-(x+5)(x-4) S: O-+ 14 S: O x-4 x+3 (x-4)(x+3) (x-4)(x+3)

Luego, CS= ]- 3,4[

20

B.-Resolver 116- 2xl- 61 ~ 6- x

SOLUCIÓN


Luego, U:= ]-oo,6]

Luego, 116- 2xl- 61 ~ 6- x ~ -6 + x ~ l2x- 61- 6 ~ 6- x ~ x ~ l2x- 61 ~ 12 - x

Si x::.:; 3 --)-l2x- 61 = -(2x- 6) = -2x + 6

Luego, x ~ -(2x- 6) ~ 12- x ~ x ~ -2x + 6 ~ 12- x ~ x ~ -2x + 6 A -2x + 6 ~ 12- x

3x ~ 6 A -6 ~ X ~ X ~ 2 1\ -6 ~ X A X ~ 3 ~ -6 ~ X ~ 2

Luego, x ~ 2x- 6 ~ 12- x ~ x + 6 ~ 2x ~ 18- x ~ x + 6 ~ 2x A 2x ~ 18- x

6 ~X 1\ 3x ~ 18 ~ 6 ~X 1\ X::_:; 6A X> 3 ~X= 6

Por tanto, CS: [- 6,2] u {6}

14.-Resolver

SOLUCIÓN

1 lx-21 -+--~X 3 3

1 lx - 21 lx - 21 1 1 Transponiendo términos: - + -- ~ x ~ -- ~ x-- ~ lx- 2¡ ~ 3x -1

3 3 3 3

1 3 lx- 21 ~ 3x -1 ~ X- 2 ~ 3X -1 V X- 2 ~ 1- 3x ~ -1 ~ 2X V 4x ~ 3 ~ X ~ --V X ~ -

2 4

Por tanto CS · ]- oo -_!_]u]- oo ~] ' . ' 2 '4

21

15.- Resolver 3::; J2x + 1J ~ 5

SOLUCIÓN

S. 1 1 1 X S -- ~ 3 S -(2x + 1) S 5 ~ 3 S - 2x -1 S 5 ~ 4 S - 2x S 6 ~ -2 ~ X ~ -3 1\ X S --

2 2

CS1:= [-3,-2]

S. 1 1 1 X > - - ~ 3 ::; 2x + 1 ::; 5 ~ 2 S 2x S 4 ~ 1 ::; X S 2 1\ X > -- ~ 1 S X S 2

2 2

CS2:=~,2]

Luego, el conjunto solución será, CS:=CS1UCS2=[-3,-2]U[1,2]

16.-Resolver 1::; x-a s 2 x+a

SOLUCIÓN

x-a -2a -2a -2a -2a 1s-- s 2-+1s 1+--s2-+0s-- s 1--+0 s--A-- s1

x+a x+a x+a x+a x+a

. -2a 2a SI a> O --+O s -- --+ -- s O --+ x +a < O --+ x < -a

x+a x+a .

(1)

S. 0 - 2a <

1 - 2~ _

1 <

0 - 2a- x-a <

0 - 3a- x < 0 3a + x > 0 Ia> --+ _--+ _ --+ _ --+ _ --+ _

x+a x+a x+a x+a x+a

3a+x -- ~ 0--+ X S -3a V X> -a x+a

De (1) y (2) se tiene.

CS1: = }-oo,-3a]

-2a Si a < O --+ -- ~ O --+ x +a > O --+ x > -a

x+a

(2)

(3)

S.

0 - 2a < 1 - 2a _ 1 < 0

- 2a- x-a < 0 - 3a- x < 0 3a + x > 0 1 a< --+ _ --+ _ --+ _ --+ _ --+ _ x+a x+a x+a x+a x+a

3a+x -- ~ 0--+ X~ -3a V X< -a (4) x+a

22

De (3) y (4) se tiene.

CS2=: [- 3a, +oo[

17.-Resolver lx- 51+ ix + 11 :::; 3 x-1

SOLUCIÓN

Transponiendo términos lx-5l+lx+11 lx-5j+lx+1l-3(x-1) -'-------'---'-----,---'- - 3 :::; o ~ :::; o

x-1 x-1

lx - s¡ + lx + 11- 3x + 3 :=:;o x-1

Usando zonas

S. -(x-5)-(x+1)-3x+3 -x+5-x-1-3x+3 -5x+7 Ix<-1~ :::;o~ ::;;o~ :::;o

x-1 x-1 x-1

-5

x_-_? ¿o~(x<1vx¿2)Ax<-1~x<-1 x-1 5

Luego CS1 := [- oo,-1[

S. 1

< 5

-(x-5)+(x+I)-3x+3 0

-x+5+x+1-3x+3 0

-3x+9 0 1- _x::;; ~ ::;; ~ :::; ~ :::;

x-I x-1 x-1

3X-

9 ¿ 0 ~ (x < 1 V X¿ 3 )A -1:::; X:::; 5 ~ (-1 :$;X< l)v (3:::; X:$; 5)

x-1

Luego, CS2:= [-1,1[ v [3,5]

S.

5 (x-5)+(x+1)-3x+3

0 x-5+x+I-3x+3

0 -x-1

0 1 X> ~ :::; ~ :::; ~ :::; x-I x-1 x-I

x+1 ( ) --¿O~ x:::;-1vx>1 Ax>5~x>5 x-1

Luego, CS3 := ]5, +oo[

Por tanto, el CS=CS1UCS2UCS3=[- oo,-1[ U[-1,1[ v [3,5]U ]5,+oo[

23

18.-Resolver jx 2- 9j- 4lx -11 ~ 3- x 2

SOLUCIÓN

Hallaremos el conjunto solución por zonas

Si x ~ -3-?- x 2 -9+4(x-1)-3 +x2 ~O-?- 2x2 +4x-16 ~O-?- 2(x+4)(x-2) ~O

Luego, el conjunto solución eS 1 := - 4 ~ X ~ 2 1\ X ~ -3 -?- -4 ~ X ~ -3

Si -3 < x ~ 1-?- -(x2- 9) + 4(x -1)- 3 + x 2 ~O-?- 4x + 2 ~O-?- x ~ _ _!_

2

Luego, el conjunto solución eS2:= x ~ _ _!_ 1\-3 < x ~ 1-?- -3 < x ~ _ _!_ 2 2

Luego, el conjunto solución es3 := x ¿ ~ 1\ 1 < x ~ 3 -?- ~ ~ x :$ 3 2 2

Luego, el conjunto solución eS4:= -~ + 1 ~ x ~ ~ + 1Ax > 3-?- 3 < x ~ ~ + 1

Por tanto, el conjunto solución total será: eST= es 1 UCS2UCS3UCS4

1 5 G CST:= -4~x~-3u -3<x~--u -~x~3u 3<x~\15+1

2 2

19.- Resolver -Jx2 -x-2 ------:==- ¿ X- 3 2--Jx+4

SOLUCIÓN


x 2- x- 2 2 O 1\ x + 4 2 O 1\2- -Jx + 4 >O-?- (x- 2)(x + 1) 2 O 1\ x 2-41\ x <O

24

Luego, U:= [-4,-1]

Por tanto el conjunto solución será: U=CS:= [- 4,-1] ya que x-3 es negativo en U

2x-1 x+2 x-1 20.- Resolver --+ -- 2:: --

x+4 3-x x+3

SOLUCIÓN

Transponiendo términos

{2x -1X3-x)(x+3)+ (x+ 2Xx +4Xx +3)- (x -1Xx +4X3- x) > 0

(x+4X3-x){.x+3) -

Operando se tiene

10x2 +31x+27 0

10x2 +31x+27 0

1 0 --,-------.--;---____.-;;----___. > ~ < ~ <

(x+4X3-xXx+3)- (x+4){x-3Xx+3)- (x+4Xx-3Xx+3)

( X 1 X ) <O~ (x+4Xx+3Xx-3)< O

x+4 x-3 x+3

Luego, CS= }- oo, -4[ u}- 3,3[

4x4 -20x2 +8 21.- Resolver < 8

x 4 -5x2 +4

SOLUCIÓN

Trasponiendo términos

Luego, CS= }-oo,-2[u ~~,--J2[u }-l,l[u }J2,~[u ]2,+oo[

25

-)24-2x-x2

22.- Resolver ~ 1 X

SOLUCIÓN

Trasponiendo ténninos

-)24-2x-x2 -)24-2x-x2 -)24-2x-x2 -x ----::;1~ -1::;0~ ::;o

X X X

Calculando el Conjunto Universo

24-2x-x2 ¿O~ x 2 +2x-24:::; O~ (x+6Xx-4):::; O

Luego, CU=[- 6,4]- {o}

Solucionando

Si

x > O J\ -)24- 2x- x 2 - x ~ O ~ x > O J\-) 24 - 2x- x 2 ~ x ~ x > O J\ 24- 2x - x2 ~ x2

x > O J\ 24- 2x- x2 ~ x2 ~ x > O J\ 2x2 + 2x- 24 2 O ~ x > O J\ (x + 4 Xx- 3) 2 O

Luego, tenemos que es 1 =a- oo, -4[ u ]3 + ooD n ]o, +oo[ = ]3, +oo[

Por tanto CS 1 = ]3, +oo[

Si x<OA-)24-2x-x2 -x20~x<0A-v'24-2x-x2 2x~24-2x-x2 20

Luego, tenemos que CS2= ]- oo,O[ n [- 6,4] = [- 6,0[

Por tanto CS2= [- 6,0[

Por tanto el conjunto solución total será CS=Un(CSI UCS2)= [- 6,0[ u [3,4]

~\x-3\-\x-1\ 23.- Resolver -'------? - 2 O

x- -9

SOLUCIÓN


\x-3\-\x-1\2 O~ \x-3\2\x-1\ ~ (x-3Y- (x-tY 2 O~ -2(2x-4)2 O~ x::; -2

26

Luego, Conjunto Universo es dado por CU= }-oo,-2]

Resolviendo la inecuación se tiene

)lx-3J-Ix-1J 2 ~ O ~ )lx - 3J-Ix -11 ~ O !\ x2

- 9 > O ~ x E CU !\ x2 > 9 X .-9

x ECU A(x< -3v x > 3)~x < -3

Por lo tanto, el Conjunto Solución CS= }- oo,-3[

.I-Jx2 -2x --Jx2 +4x > 0 24.- Resolver

V x 2 -1 -

SOLUCIÓN


G- oo,O]v [2,+ooDn G- oo,-4]v [O,+ooD~ ]- oo,-4]v [2,+oo[ v {o}

Luego, CU= }- oo,-4]v [2,+oo[ v {o}

Hallando una solución CSl: se tiene

Luego, el CS 1 = ]- oo, -1[

Hallando una solución CS2: se tiene

(x 2- 2x::::; x 2 + 4x )!\ (-1 < x < 1) ~ x ~O!\ (-1 < x < 1) ~O::::; x < 1

Luego, el CS2= [0,1[

Por tanto, el conjunto solución será CS=CUn( CS1UCS2)= ]- oo,-4]v {o}

27

Calcular AnB

SOLUCIÓN

Solucionando el conjunto A

Hallando el Universo: !xl- 3;:::: O--+ !xl ;:::: 3--+ x;:::: 3 v x ~ -3

Si x:::: 3--+ !x- x + 3! ?:: ~ x- 3 --+ 3:::: -) x- 3 --+ 9?:: x- 3--+ x::;; 12 => 3::;; x::;; 12

Luego, tenemos conjunto solución 1 CS1=[3,12]

Luego tenemos conjunto solución 2 CS2= }- oo,-3]

Por tanto, se tiene que CSA=CS1UCS2= }- oo,-3]u [3,12]

Solucionando el conjunto B

S. x2-7x+10>0 (x-2Xx-5)>0 1r1 2] [5 [

1 _ --+ _ --+ JV, u ,+oo X X

Luego, el conjunto solución para B= p,2] u [5, +oo[

Por tanto, el conjunto solución de AnB= [5,12]

28

CAPITULO 11

FUNCIONES

2.1.-DOMINIO RANGO

l.-En los problemas que se dan a continuación. Calcular el dominio y rango de las siguientes

funciones.

a).- f(x) = x 4 + x 2

SOLUCIÓN

Dominio:

Por tanto, Dom(f)= R

Rango:

Luego, Rang(í)= R;

b).-f(x)=~x' +1 x 2 -1

SOLUCIÓN

Dominio:

x 2 +1 De -

2 - ;:::: O ---) x2

- 1 > O ---) x2 > 1---) x > 1 v x < -1 X -l

Por tanto, Dom(f)= ]- oo,-1[U },+oo[

Rango:

Despejando x en términos de y se tiene

(I)

29

Luego, de (I) y (II), y > 1

Por tanto, Ran(f)= ),-roo[

lxl-1 c).-f(x)=-

x

SOLUCIÓN

Dominio:

(II)

Como no existe la divisibilidad por cero se concluye que el dominio es todo los reales menos

es cero. Por tanto, Dom(f)= R/{0}

Rango:

lXI ·.= {X, X 2 Ü Redefiniendo el valor absoluto de x como -x, x<O

X -1 1 Si x20~y=--~x=--~y;z:1

X y-1

-x-1 -1 o si x<O~ y= ~x=--~ y;z:-1

·X y+1

Por tanto, Rang(f)= R !{± 1}

d).-f(x)=x 2 +2x+2

SOLUCIÓN

Dominio:

Como la función es una función entera cuadrática el dominio son todos los números reales

Por tanto, Dom(f)=R

Rango:

De f(x) = x 2 + 2x + 2 ~ f(x) = (x 2 + 2x + 1)+ 1 = (x + 1Y + 1 ~y 21

Por tanto, Rang(f)= [1,+oo[

30

e).- f(x) = x 2 -2lxl +4

SOLUCIÓN

Dominio:

Como la función/ es entera cuadrática con valor absoluto en x se concluye que el dominio son

todos los reales.

Por tanto, Dom(f)=R

Rango:

e e men o a nc10n f(x) = ~ f(x) = R d fi . d 1 fu . , {X 2 - 2x + 4, x ~O {(x -1Y + 3, x ~O

x 2 +2x+4, x<O (x+1Y +3, x<O

Luego, Rang(f)= [3, +oo[

f).- f(x) = ~Ln(x2 +x)+1

SOLUCIÓN

Analizando dentro del radical

] -!5 +1[ ]-!5-1 [ Luego, Dom(f)= - oo,-2

u 2

,+oo

2.- Hallar el rango de la siguiente función.

{·V X 2

- 2x + 5, 2 S X S 5 f(x) =

1 + ~3 + 2x- x 2, -1 < x < 2

31

SOLUCIÓN

a).-Rangoparalafunción h(x)=~x2 -2x+5 =-\}(x-1) 2 +4, 2~x~5

De 2 ~ x ~ 5 entonces

Luego -J5 s; y s; -J20 ~ -15 s; y s; 2-/5

Por tanto, el rango para la función h será Rang( h) = [-!5 ,2-/5]

b).-Rango para la función g(x) = 1 + -J3 + 2x- x 2 = -)4- (x -1)2, -1 < x < 2

De -1 < x < 2 entonces

- 2 < x -1 < 1 ~Os; (x -1)2 < 4 ~ -4 < -(x -1)2 s; O~ 4 > 4- (x -1)2 ?:: O

Luego 1 s; y < 3

Por tanto, el rango para la función g será Rang(g) = [1,3[

Por lo tanto el rango para la función f será:

Rang(f) = Rang(h) u Rang(g) = [J5,2-/5]u [1,3[


~JxJ+2, -7~x<-2

f(x)= [~]+x', JxJ~2

1-Jx+ lJ 2<x~5

2x-1 '

32

SOLUCIÓN

~JxJ + 2, -7 ~ x < -2

f(x)- [x2]+x2

, -2~x~2 La función es equivalente a -

-x 2x-1'

Calculando el rango para cada función se tiene

Rang(~Jxl + 2 )=

De - 7 s x < -2 ~ 7 ~ lxJ > 2 ~ 9 ~ ~~ + 2 > 4 ~ --./4 < JxJ + 2 s -J9 ~ 2 < ~lxl + 2 s 3

Luego, el Rang(~lxl + 2 )= ]2,3]

Desdoblando el dominio de [ ~ J + x2 en los siguientes intervalos

-2sx<Ov0sx<2vx=2

Si - 2 s x < 0 ~ 0 < x 2 s 4 ~ -1 < [ 1 J + x 2 s 3 ~ -1 < y s 3

Si O s x < 2 ~ O s x2 < 4 ~ 0 s [; J + x2

< 4 ~ O s y < 4

Luego, el Ran~[ ~] + x') = }-1,3]v [0,4[ v {s}

33

Rang -- =Rang ----- = ( -x ) ( 1 112 )

2x-1 2 2x-1

. 1 1 1 1 112 1 De 2 < x ~ 5 ~ 4 < 2x ~ 1 O~ 3 < 2x -1 ~ 9 ~- > -- 2 - ~- > --2-

3 2x- 1 9 6 2x - 1 18

1 112 1 2 1 1/2 5 2 5 De ~--<---~--~--<-----~--~--<y~--

6 2x -1 18 3 2 2x -1 3 3 9

( -X ) ( 1 112 ) ] 2 5] Luego, el Rang -- = Rang ----- = --,--

2x - 1 2 2x - 1 3 9

Luego, el rango de la función dada será: Rang{,j¡~ + 2 )u Ran{[; J + x2) U Rang( ~:

1 J

Por tanto, Rang(¡) = ]2,3]u }-1,3]u [0,4[ u {5}u ]- ~,-%]


3 x+sgn(x2 -9)'

5

x::; 2,x :;t: ±1

f(x)=

x+-, X

SOLUCIÓN

Simplificando el sgn( x 2 - 9)

¡1,

sgn(x2 - 9) = O,

-1,

x;;::5

3 x+l' 3

' X

La función se reduce a f ( x) = 3 x-1'

5 x+-,

X

x>3vx<-3

X=±3

-3 <x < 3

x<-3 x:;t:-1 '

x=-3

34

Ranj-3 )= 5 (x+1

' 1 1 3 3 3 De x<-3~x+1<-2~0>-->--~0>-->--~0> y>--

x+1 2 x+1 2 2

Luego, Rang( x: 1) =]-%,o[

3 De x=-3~-=-1~ y=-1

-3

Luego, Ran{ ~) = {-1}

Ranj-3 )= 5 (x-1

1 1 De -3 <x ~ 2~-3< x <1 v1 <x ~ 2 ~ -4 <x-1 <OvO< x-1 ~1~-- > -v

4 x-1

1 3 3 3 3 V-~ 1~-- >--V--~ 3 ~ -- > yv y~ 3

x-1 4 x-1 x-1 4

Luego, el Rang( x ~ 1) = ]- oo,- %[u [3, +oo[

( 5) (x2 +5] Rang x+~ = Rang x =

Luego, Rang( x + ~) = ~ oo.- 2-JS]u [2-JS,+oo[

Por tanto, el Rang{[) = } ~ ,{ v {-1 }v ]-oo,-¡[ v [3, +oo[ v ]- oo,-2-JS]v [z-JS ,+oo[ '1 35

5.- Hallar el rango de la siguiente función

f(x)=

x-2' x+5

lx-21 > 3

-)x2 +4x+4, O<x<l

2 + l2x -11, 2 ~ x ~ 3

SOLUCIÓN

Calculemos el rango para cada función

Ranj x+S)=Ranj1+-1 )= 5~x-2 5~ x-2

Desarrollando jx- 21 > 3 -+ x > 5 v x < -1

Si

1 1 7 7 7 7 10 10 x >5-+x-2>3-+0<--<- -+0<-- <--+1<1+--<-+1=- -+1 <y<-

x-2 3 x-2 3 x-2 3 3 3

Si

1 1 7 7 7 7 4 x < -1-+x-2 <-3 -+0 > -- > ---+ 0>-- > ---+ 1 > 1+-- > --+1= ---+

4 -+ 1> y>--

3

x-2 3 x-2 3 x-2 3 3

Luego, el Ran~:~~) = }.~[ v ]-~.{

Rang(-J x2 + 4x + 4 )= Rang(~Cx + 2)2 )= Rang(lx + 21) =

Si O < x < 1 -+ 2 < x + 2 < 3 -+ 2 < lx + 21 < 3 -+ 2 < y< 3

Luego, Rang(lx + 21) = ]2,3[

Rang(2 +l2x- 51)= Rang(2 + 2lx- 5/2j)=

Redefiniendo (2 + ~x- 5121) en 2 ~ x ~ 5 se tiene

36

Si 2::;; x <51 2 ~ 2- 512::;; x-51 2 <O~ _ _!_::;; x-51 2 <O~_!_ 2lx- 5121 >O 2 2

12 2lx-5/2l >O ~3 2 2+2/x-5121 > 2 ~ 2 <2+2lx-5/2l::;; 3 ~ 2 <y::;; 3 (1)

Si 512 ::;; x ::;; 3 ~ O ::;; x-51 2 ::;; _!_ ~ O ::;; lx-51 2\ ::;; _!_ ~ O ::;; 2\x- 51 2\ ::;; 1 2 2

Luego, de (1) y (2) el Rang(2 + 2lx- 5/21) = [2,3]

Por tanto el Rang(f) ~ r~[ u]-Hu [2,3]

6.-Hallar el rango de la función f(x) = -~x2 + 2lx\ + 2

SOLUCIÓN

Redefiniendo la función se tiene

{- ~ x2 + 2x + 2,

f(x)= -~x2 -2x+2,

x20

x<O

Luego para la primera función el rango es Rang~ ~(x + 1)2 + 1 )= ~ oo,--fi]

Si

Luego, para la segunda función el rango es Rang(- ~(x -1)2 + 1 )= ~ oo,--fi[

Por lo tanto, el rango para la función Rang (!) = ]-OC), -_,_fi]

37

2.2.-0PERACIÓN CON FUNCIONES

l.-Dado la función

Calcular f' si existe.

SOLUCIÓN

Para que exista f' la función f debe ser inyectiva

En efecto

Sean X¡ y x2 E Dom(f) = {x 1 x > O 1\ x * 4} .Por definición de inyectividad se tiene

f( ) ( x; -1 x; -1 ( 2 X 2 ) ( 2 X 2 ) x1 =f x 2 )---) 2

= 2

---) x1 -1 x2 -16 = x1 -16 x2 -l X -16 X -16 1 2

Desarrollando y simplificando se tiene que: x1 = x2

Por tanto, la función fes inyectiva. Luego, la función inversa existe

Ahora Calculemos la función inversa,/*

x2 -i . 2 i-i6y i6y-i ~i6y-i De y = se tiene x = = ---) x =

x2 -16 1-y y-1 y-1

Cuyo será: Dom(f*) = {y 1 y s 116 1\ y > 1}

Por tanto, La función inversa será definida por

2.-Dados las funciones

y

Calcular

La regla de correspondencia y el dominio de f o g; el rango de f o g

SOLUCIÓN

a).-Aplicando la definición de composición entre dos funciones se tiene:

38

Sacando extremos se tiene que:

15- x 2

(Jog)(x) = 2

X

Ahora, calculemos su dominio, por definición de dominio de la composición de f o g

b ).- Dom(fog) = {x 1 x E Dom(g) 1\ g( x) E Dom(f)} (1)

Antes de calcular Dom(f o g), hallemos el Dominio de g:

Luego, el Dom(g) = {x 1-4 s; x s; 4} (2)

De (1) y (2) se tiene:

- 4 s; x s; 4 1\ 16 - x2 > O 1\ 16 - x2 :;t: 16

-4<x<4 1\ x:;t:O

Luego,

Dom(fog )= {xl X E }-4,4[ /\X :;t: 0}

15 -x2

Por tanto, (Jog )( x) = 2 , - 4 < x < 4 1\ x :;t: O X

e).- Calculando el Rango dejo g

2 1 1 15 15 15 15 1 De -4 < x < 4 1\ x :;t: O~ O< x ::::; 16 ~-;::::- ~-;::::- ~- -1;::::- -1 = --

x2 16 x 2 16 x 2 16 16

Luego, Rang(fog) ={y E R/ y¿ - 1~}

39

{-J16x2 -17x+1, x~2

3.-Dados las funciones f(x) = , -J x 2

- 3x + 2, x ::; 1

Calcular fg*

SOLUCIÓN

Demostraremos que existe g*

En efecto

Luego, g es inyectiva Por tanto existe g*

Calculo de g*

x2

-1 r6y-l De y= 2 =?x= =g*(y) X -16 \ y-1

Calculo del Dom(g*)=Rang(g)

16y -1 1 x 2 = ~ O => y ::; - v y > 1

y-1 16

Por tanto, la función inversa para g es dado por: g * ( x) = ~ 16x -

1 , x ::; __!_ v x > 1

x-1 16

Ahora calculemos f g*

( \r [{~(16x-1)(x-1), f.g*,..,_x) =

~(x -1)(x- 2),

Por lo tanto

{

16x-1,

(¡.g *)(x) = ~(x- 2)(16x -1),

x ~ 2] (~ 16x- 1 1 J {16x -1, x ~ 2 . , x=s;-vx>1 =

x:-:;1 x-1 16 .V(x-2)(16x-1),

x~2

1 x::;-

16

1 X::;-

16

40


f(x) = ' {

x 2 -5x x < -2

lx- 21- 2x, x ~ -2 y g(x)=x2 +3x, x~-3/2

Calcular

a).-f+ g* b).- Dom(f + g *)

SOLUCIÓN

a).-f+ g*

Primero calculemos la función inversa de g, g*

Probaremos que g es inyectiva

En efecto

xf + 3x1 + 914 = x; + 3x2 + 914 ~ (x1 + 3/2)2 = (x2 + 3/2)2 ~ x1 + 3/2 = x2 + 3/2

x1 = x2

Por tanto, g es inyectiva Por tanto, existe la inversa de g

Calculo de g*

y= (x+3/2) 2 -9/4-+ y +91 4 = (x+3/2) 2 -+ x+3/2 = JY"+9! 4-+ x = -312+~y+91 4

Por tanto, x = g *(y) = -3 12 + ~y+ 914, y ~ -9 14

En términos de x :

g*(x) = -312+-Jx+91 4, x ~ -9/4

Luego,

{x2

- 5x x < -2 ¡ f(x)= l l ' +g*(x)=-312+-vx2 +914, x~-9/4

x-2 -2x, x~-2

f(x)+g*(x)=x 2 -5x-312+-Jx2 +914, -9/4:$;x<-2

41


f(x)=2x-3, -2~x~3 g(x)=x-~x!l -2~x~l

Calcular f 1 g, Dom(f 1 g), y Rang(f 1 g)

SOLUCIÓN

(f!g)<x)= f(x) = 2x-3 g(x) x -llxll

Dom(f f g): (-2 ~X~ 3A-2 ~X~ 1)/{x/x-llxll = 0}

Dom(f 1 g): (- 2 ~ x ~ 1)/{x 1 x = -2,-1,0,1}

Dom(f 1 g) = {- 2 < x < 1} 1\ x =f:. O, -1

Calculo del rango

Para calcular el rango redefinimos la función

2x-3 -2<x<-1

x+2'

(j 1 g)<x) = f(x) = 2x-3 = 2x-3 -l<x<O

g(x) x-llxll x+l' 2x-3

O<x<l X

Simplificando la función

7 -2<x<-1 2---

x+2'

(¡ 1 g)<x) = f(x) = 2x-3 = 5 -l<x<O 2--

g(x) x-llxll x+l' 3

O<x<l 2--' X

1 7 7 De -2 < x < -1~0 <x+2 < 1~ -- > 1~--- < -7 ~ 2--- < -5 (1)

x+2 x+2 x+2

Luego, Rang(l) = y < -5

1 5 7 De -1 < x <O~ O < x + 1 < 1 ~- > 1 ~ --- < -5 ~ 2--- < -3

x+1 x+2 x+2 (2)

Luego, Rang(2) = y <-3

42

1 3 3 De 0<x<1~->1~--<-3~2--<-1

X X X

Luego, Rang(3) = y < -1

Por tanto, Rang(f 1 g) = Rang(l)u Rang(2) u Rang(3) = ]- oo,-1[


f(x)=1-2x, -2:::;;x:::;;3 g(x) = 2x2 - x, JxJ:::;; 2

Calcular gof * Dom(gof*), y Rang(gof*)

SOLUCIÓN

Calculo y existencia de f*

Existencia de/*

Por tanto,/ es inyectiva luego existe f*

Calculo de/*

1-y y =1-2x ~2x=1-y~x =f*(y)=-

2-, -5:::;; y::;; 5

En términos de x se tiene

1-x f*(x)=-, -5:::;;x:::;;5

2

Ahora, calculemos gof * Dom(gof*)

l-x 1-x 1-x 1 x ( ) ( )

2 ( ) 2 (gof*)(x):=g(f*(x)):=g -2- :=2 -2- - -2- =-2+2

1-x Dom(gof*) := -5:::;; x:::;; 51\ -2:::;; --:::;; 2

2

- 5 :::;; X:::;; 51\ -4:::;; 1- X s 4 ~ -5 s X s 51\ -5 :::;; -X s 3 ~ -5:::;; X s 51\-3 s X s 5

-5 s x s 51\-3:::;; x s 5 ~ -3 s X s 5

Luego, Dom(gof*) := -3 s x :::;; 5

(3)

43

Calculo Rang(gof*)

x 2 25 1 x 2 26 -::=;-~--+-:s;;-~y:s;;13 2 2 2 2 2

Por tanto, Rang (gof*) = }- oo,13]

7.-Sea f: [1,6]--) [ 2, 3:]. Se define f(x) = x+!

a).-Demostrar que la función fes biyectiva

b ).-Calcular la función inversa

SOLUCIÓN

a).-1.-Demostración de la inyectividad

En efecto

Por tanto,/ es inyectiva, luego /tiene inversa

2.-Demostremos que fes sobreyectiva que es equivalente que el conjunto de llegada coincide

con el rango de la función

En efecto

Como fes inyectiva entonces Rang(f) = [f(l),/(6)]= [ 2):] Luego, el rango coincide con el conjunto de llegada, entonces fes sobreyectiva

Por tanto, de 1 y 2 se tiene que fes biyectiva

b).-Calculo def *

44

1 x2 +1 y+~y2 -4 y= x+- = --~ .xy= x2 +1 ~ x2 -.xy+1 =O ~x = f*(y) = ----"---

x X 2

con Dom(f*) = [ 2, 3:]


f*(x)=x+~~2-4' 2:::;x:::;3:

8.- Dados las funciones

f(x)=3--Jx-2, 2:s;;x g(x) = lxl, -1 s x S 4

Calcular gof-1 si existe

SOLUCIÓN

Demostraremos que fes inyectiva

Sea

Luego, fes inyectiva. Por tanto, existe la inversa

Calculo del rango de la función f

X ¿_ 2 => X - 2 ¿_ 0 => -J X- 2 ¿_ 0 => --J X - 2 ::;; 0 => 3 - -J X - 2 ::;; 3 => y ::;; 3

Por tanto, Rang(f)= ]- oo,3]

La inversa de fserá: ¡-1(x) = 2 + (x -3)2, x:::; 3

Ahora calculemos go¡-r

Luego,

(go¡-r Xx) = (x- 3)2 con dominio Dom(go¡-r) = [3- -Ji,3]

45

9.- Dados las funciones

f(x)=x 2 -1, -1::::;;x::::;;1

Calcular

a).- f 1 g, Dom(f 1 g)

b).-Rang(f 1 g)

e).- ¿Exite (f 1 gr1 ? Justifique su respuesta

SOLUCIÓN

f(x) x2

-1 2 [ ] a).-(f/g)(x):=-= ., =1-- Dom(f/g)= -1,1 g(x) x-+1 x 2 +1

b).-Rang(f 1 g)=?

1 1 -2 -1 ~ x ~ 1--? O~ x 2 ~ 1--? 1 ~ 1 + x 2 ~ 2 --?- ~ - 2- ~ 1--? -2 ~ - 2- ~ -1

De 2 x +1 x +1 -2

-1 ~ 1+-2- ~o --?-1 ~y~ o X +1

Por tanto, el Rang(f 1 g) = [-1,0]

e).- ¿Exite (f 1 gr1 ? Justifique su respuesta

Como el cociente f 1 g es una función par en su dominio entonces no existe la inversa de la

función cociente.

10.- Dado la función

a).- Demostrar que la función es inyectiva

b).- Calcular la función inversa

SOLUCIÓN

Antes de demostrar calculemos el dominio

46

x + 1/ x~ + l >O~ >J x- + 1 > -x ~ ~ ~ {x>O~VxeR:~x2 +1+x>O

• X <0~ ~X2 +1 >-X~ x 2 +1 >X~ 1 >Ü

a).- Demostración de la inyectividad

En efecto

sea x1,X2 E R: f(x 1) = f(x 2 ) <=> Ln(x1 +R+!) = Ln(x2 +~x; +1) ~

x1 + ~ x; + 1 = x2 + ~ x; + 1 ~ x1 - x2 = ~ x; + 1 - ~ x; + 1 ~

2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 o ( )2 o x1 x2 + x1 + x2 + = + x1 x2 + x1 x2 ~ x1 + x 2 - x1 x2 = ~ x1 - x 2 = ~ x1 = x2

Por tanto,¡ es inyectiva

b).- Calculo de la función inversa

Por tanto, la función inversa será

X -X

¡-1(.x)= e ~e , Dom(f-1)=R

11.-Sea f: A~ [-9,-1]

a).-Determinar A

3+4x dada por f(x) =

3 _ x

b ). -Demostrar que fes inyectiva

e).-¿ fes sobreyectiva? Justifique su respuesta

SOLUCIÓN

a).-Determinar A

El conjunto de llegada es dado por el intervalo cerrado [- 9,-1]

47

3+4x Luego -95,f(x)= S,-1

' 3-x

Despejando x

3+4x 15 15 - 9 s, s, -1 ---+ -9 S, -4 + -- s, -1 ---+ -5 s -- s, 3

3-x 3-x 3-x

15 15 Luego - 5 S, -- 1\ -- S, 3

' 3-x 3-x

Desarrollando cada inecuación

5 < 15 15

5 0 15+15-5x

0 6-x

0 x-6

0 - ------+--+ ¿ ---+ ¿ ---+--¿ ---+--¿ 3-x 1-x 3-x 3-x x-3

Luego, x < 3 v x ~ 6 (1)

15 <3

15 3 0 15-9+3x < 0 6+3x 0 x+2 0 -- ~--- < ~ ~ < ~-->

De otro lado, 3-x- 3-x - 3-x - 3-x - x-3-

Luego, x s, -2 v x > 3 (2)

De (1) y (2) se tiene que

b ).-Demostrar que fes inyectiva

Simplificando la función se tiene f(x)=-4+~ 3-x

Demostración

Luego,fes inyectiva

e).-¿ fes sobreyectiva? Justifique su respuesta No pues para y= -4 No existe x E A tal que

y= f(x)


f(x)=-~x2 +6x-7, xs-7 g(x)=x+3, -10sxs-7

Calcular g of-1 si existe, Dom (g of-1)

48

SOLUCIÓN

Calculo de la existencia def-1

Por tanto,¡ es inyectiva entonces existe ¡-l

Calculo de la funciónf- 1

x=f*(y)=-3-~y2 +16, y~O


f*(x)=-3-~x2 +16, x~O

Calculo de g o ¡-I si existe, Dom (g o ¡-I)

¡-::---

x~OI\-7~--Jx2 +16 ~-4~x~OA492x2 +16216~x~OA332x2 20

Luego, el Dom(gof *):= l- -J33,oj

13.-Dados las funciones g(x) = 2xii~JI, -2 < x < 2

Calcular

a).-f + g, Dom(f +g) b).- El rango de/ +g

49

SOLUCIÓN

a).-f + g, Dom(f +g)

(J + g):x) = f(x)+ g(x) := x2

+2x\\;l\, -1 ~ x ~ 1

Redefiniendo la suma

b).- El rango def +g

Luego, Rang(l): O< y~ 3

-l~x<O

O~x~l

De O ~ x ~ 1 ~ O ~ x 2 ~ 1 ~ O ~ y ~ 1

Luego, Rang(2): O~ y~ 1

Por tanto, Rang(f + g) := Rang(l) u Rang(2) = [0,3]


Calcular g o ¡-1 si existe, Dom (g o ¡-1)

SOLUCIÓN

Calculo de la existencia de ¡-1

Demostraremos que 2 + x 2 es inyectiva

En efecto

Ya que X1 + X2 * O

Por tanto, la función 2 + x 2 es inyectiva

(2)

{

x+2 g(x) = x '

X,

50

También demostraremos que la función 1-~ X 2 + llxll + 4 = 1- -J X 2 + 3

Es inyectiva

En efecto

Ya que x1 + X2 * O

Por tanto, 1-~ X 2 + llxll + 4 = 1-~ X 2 + 3 es inyectiva

Falta ver que la intersección de los rangos de estas funciones sea el vacío

En efecto

Rango(2 + x 2) = [f(l), f(2)] = [3,6]

Rang(l- -J x 2 + 3) = lrc -l),f(O)[ = ~ 1,1- v'J[

Luego, Rang(2 + x2) n Rang(l- -,j x 2 + 3) = r/J

Por tanto la función fes inyectiva, entonces existe la inversa

Calculo de la función inversa

Paralafunción y=2+x2 ~x2 =y-2~x=±)y-2 ~x=)y-2, 3:-::;y:-::;6

En términos de x se tiene ¡-1(x) = -.Jx- 2, 3 ~ x ~ 6

Para la función

y =1-~x2 +3 ~-Jx2 +3 =1- y ~x2 +3 =(1- y) 2 ~x =±·)-3 +(1- y) 2, -1 <y< 1--13 En

En términos de x se tiene ¡-1 (x) = --J x 2- 2x + 3, -1 < x < 1- vS

Por tanto, la función inversa será

1 {~X- 2, 3 :::; X :::; 6 ¡- (x) = · - -J x 2

- 2x- 2, -1 < x < 1-~

51

Calculo de gof-1

({ ,--- J {~+2 (

_1\- ( _1 ) --Jx-2 e-;; , ............... (1) gof A X) = g f (X) = g l = \1 X- 2

-\IX2 -2x-2 ~-------Jx2 -2x-2, .......... (2)

Calculo del dominio para la función (1)

De 3 ~ x ~ 6 /\ (o ~ -J x - 2 ~ 4 v ~J x- 2 ~ -4)

3 ~ X ~ 6 /\ ( 0 ~ X- 2 ~ 16 V X E r/J) ~ 3 ~ X ~ 6 /\ (2 ~ X ~ 18) ~ 3 ~ X ~ 6

Luego el dominio para la función (1) Dom(1) = [3,6]

De -1 < x < 1-~ /\ (o ~ --J x2 - 2x- 2 ~ 4 v --J x2

- 2x- 2 ~ -4)

-1 < x < 1- -.J3 /\ (x E rjJ v -~ x2- 2x- 2 2 4)~ -1 < x < 1-~ /\ (Cx -1)2 219)

-1 <X< 1- -fj /\(ex -1)2 ¿ 19 )~ -1 <X< 1- -!3 /\ ~ ¿ -/19 + 1 V X~ 1- )i9)~ -1 <X< 1- -fj

Luego el dominio para la función (2) Dom(2) = ~ 1,1-~[

15.-Sea la función definida por

f(x) = {2- x,---z '_ I--Jx2 -4,

a).-La fun~ión f es inyectiva?

b ).-En caso de serlo, hallar la inversa

c).-Construir la gráfica de la función/

SOLUCIÓN

Usando la definición de inyectividad se tiene

Para la primera función

Para la segunda función

x~-4

52 Y\

Faltaría demostrar que Rang(2- x 2) n Rango(l- -J x 2

- 4) = fjJ

Luego, el Rang(2- x 2) = [- 2,-1]

Luego, el Rang(l- ~ x2 - 4) = ~ oo,l- 2-J3]

Por tanto Rang(2- x 2) n Rango(1- -J x2

- 4) = [- 2,-1] n ~ oo,1- 2-J3] = fjJ

Por tanto, la función dada es inyectiva

b).-En caso de serlo, hallar la inversa

De la función despejando x en termino de y se tiene

que si f(x) = {2

--Jxr---:2

'_

1- x 2 -4 '

-f3sxs2

xs-4

Entonces f- (y)= 1 {~2- y, -2 s y s -1 . - ~ 4 +(y -1)2

, y s 1- 2-J3

Por tanto la función inversa es dado por

1 {~' ¡- (x)= ,-----~4+(x-1)2,

-2sxs-1 {;;;

xs1-2'-13

c).-Construir la gráfica de la función/

53

·1

-2

.;

·l

16.-Dado la función f(x) = ~x',- 25 , x 2 5 X -9

a).-Demostrar que la función es inyectiva

b).-Calcular la función inversa y su dominio

SOLUCIÓN

y

a).-Usando la definición de inyectividad se tiene

Para la primera función

Por tanto, se demuestra que la función es inyectiva

\

D 1 ~ ·, d · d . d . . ¡-le ) J9x' -25 e a 1uncton espeJan o x en termmo e y se tiene que s1 x = . 2 X -!

Calculando el dominio

1 1 16 De x;;=:5 -?x 2 :;::25---? x 2 -9 :;::16 ---?0 <-- ~----?0<-- ~1

x 2 -9 16 x 2 -9

16 16 r. [ O > 2

;;:: -1 ---? 1 > 1- -2-- ;;:: O ---? 1 > y ;;:: O ---? Rang(f) = L0,1

X -16 X -16

Por tanto de la definición Dom(f1)=Rang(f)= [0,1[

5.5 6 6_5

54


Calcular f o g -l si existe, Dom (/o g -1)

SOLUCIÓN

x-1 g(x)=-

2-, x=t:2 -x

Existencia de g-1 mediante la inyectividad. En efecto

X -1 X -1 {} g(x1 ) = g(x2 ) ~ - 1- = - 2

- ~ x1 = x2 , con x1,x2 E Rl 2 2-x 2-x 1 2

Luego, la función g es inyectiva. Por tanto, existe la inversa

Calculo de g-1

D 1 fu . , d . d . d . . -1 ( ) 2x + 1 1 e a nc10n espeJan o x en termmo e y se tiene que s1 g x = --, x * x+1

Calculando f o g -I si existe, Dom (/o g -1)

Calculando el dominio f o g -I

1 O < 2x + 1 < 4 1 0 < 2x + 1 2x + 1 4 1 0 < 2x + 1 2x + 3 > 0 X;:f:. 1\ _--- ~X;:f:. 1\ _--/\---$ ~X;:f:. 1\ _--/\ _ x+1 x+1 x+l x+1 x+1

Por tanto, el Dom(fog -l) = ]- oo,-% J u [- ~, +oo[


1 g(x) = 2x+ [2x1 lxl <-

2

55

Calcular

a).-f + g en su forma más simple

b).-El rango def+ g

e). -Construir la gráfica de la funciones f y g y de f + g

SOLUCIÓN

a).-Redefmiendo la función signo

x 2 -1 1, -· - > 0 ~ -1 <X< 0 V X> 1

X

sgn(x';l)~ O, x2 -1 --=0~x=±1

X

x 2 -1 -1, --<0~x<-1v0 <x<1

X

Luego, la función queda escrita como

{- x 2 + 2, -1 <X< 0

f(x)= - X

2, 0 :=::;X< 1

Redefiniendo la función g se tiene

2x-1 '

g(x)=

2x,

1 --<x<O

2 1

O:=s;x<-2

-x2 +2x+1, 1

--<x<O 2

Por tanto f(x) + g(x) == '

-x2 +2x, 1

O:=s;x<-

-(x-1Y +2, f(x)+ g(x) ==

-(x-1Y+1,

1 --<X< 0

2 1

O:=s;x<-2

2

56

b ).-El rango de f + g. Es fácil calcular el rango

Luego, el rango de Rang(f + g) ~ ]-! .{u [O, ! [ e).- Construcción de la gráfica de la funcionesf(color azul) y g (color rojo)

y

-3 -2

Construcción de la gráfica de f + g

y

19.-Dada la función graficar fy f* en un mismo plano

{x 2 + 2x + 2, x < -1

Siendo f(x) = ~ -,¡x+1, x2-1

SOLUCIÓN

{-1- .)X-1 X > 1

Es fácil calcular f * (x) = 2

' (colorazul) x -1 x~O

57

y

4

2

-4 -3 -2 1' 2 4

-4

58

CAPITULO 111 ·

LÍMITES

3.1.-DEMOSTRACIONES

Usar la definición de límite para demostrar los siguientes problemas.

1 D L, 2x

0 .- emostrar que lm -. - = x-?o 3x -1

DEMOSTRACIÓN

1 2x 1 Dado & > O, 3 8 > O tal que x :;t: 1/3 J\ O < lxl < 8 ~ ¡---O < & 3x-1

El objetivo es de hallar a > O tal que se cumpla la definición de limite

En efecto

De ~~~ = 2lx[l-1-l < 28.k 3x-1 3x-1 (1)

Tenemos que acotar la función-1- dando un valor particular para a

3x-1

N 1 fun . , 2x . , .

1 1

otamos que a c1on --tiene una asmtota vert1ca en x = -3x-1 3

la-x 1

Por lo cual el a se debe tomar como 8 = 0 donde a es la asíntota vertical y x0 es el punto 2

de acumulación.

l!-ol En efecto, al reemplazar a y Xo en la formula se obtiene que 81 = _1

3-- = _! 2 6

Para nuestro ejemplo tomaremos 81 = _! 6

1 1 1 1 1 3 1 2 1 Luego O <lxl <-~-- <x<-~ --- <3x<-~ -- <3x-1<--~-->-- >-2

6 6 6 2 2 2 2 3 3x -1

Tomando el valor absoluto en la última inecuación

59

2 1 1 1 -< --¡<2~k=2 3 3x-l


1~~ = 2lxll-1

1 < 28.2 = 48 3x-1 3x-1

En esta última expresión basta tomar 48 = 8 ~ 8 = 8

4

(2)

Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{ ~, ¡}

Por lo que queda demostrado que Lím ~ = O x-?o 3x-1

2.-Demostrar queLím x + 11

= 4 x--?1

x--2

DEMOSTRACIÓN

Dado 8 > O, :3 8 > O tal que x * 112 1\ O < lx- 1/ < 8 ~ 1 x + 1

- 41 < 8 x-1/2

El objetivo es de hallar a> O tal que se cumpla la definición de límite

En efecto

De 12x+2-8x+41 = 6lx-111-1-l < 28.k 2x-1 2x-1

Tenemos que acotar la función-1- dando un valor particular para a

2x-1

N 1 fu ., x+1 . , .

1 1

otamos que a ncton tiene una asmtota verttca en x = -x-112 2

(1)

la-x 1

Por lo cual el a se debe tomar como 8 = 0 donde a es la asíntota vertical y Xo es el punto 2

de acumulación.

60

1_!_ -11

En efecto, al reemplazar a y Xo en la formula se obtiene que 81 = -2--~ = _!_ 2 4

Para nuestro ejemplo tomaremos 81 = _!_ 4

1 1 13 53 51 3 21 Luego O <lx-11 <-=> -- <x-1 <- =>- < x <- =>- <2x <- =>- < 2x-1 < -=>-<-- < 2

4 4 4 4 4 2 2 2 2 3 2x-1

Tomando el valor absoluto en la última inecuación

~ < 1-1-1 < 2 ~k= 2 3 2x-1


61 x- 1 ~ = 6Jx-1JI-1-I < 68.2 = 128

2x-1 2x-1

En esta última expresión basta tomar 128 = & ~ 8 = .!____ 12

(2)

Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{l_, & } 12 4

Por lo que queda demostrado que Lím x + 1 = 4

x--+t x-1/2

3.-Demostrar que Lím(x2 -1) = 3 X-72

DEMOSTRACIÓN

Dado & > O, :3 8 > O tal que O < Jx- 2J < 8 => lx2 - 1- 31 < &


En efecto

De lx2

- 41 = Jx- 2JJx + 2J < oJx + 2J. < o.k

Tenemos que acotar la funciónx + 2 dando un valor particular para a= 1

(1)

0 < lx- 21 < 1 => -1 <X- 2 < 1 => 1 <X < 3 => 2 < X+ 1 < 4 => 2 < lx + 11 < 4 ~ k = 4 (2)

61


En esta última expresión basta tomar 4o = & :::::> o = 6

4

Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar o = Min{ 1, :}

Por lo que queda demostrado que Lím(x2 -1) = 3 x--->2

, x 2 + 1 5 4.- Demostrar que Ltm -

2- =

x--->2 X -1 3

DEMOSTRACIÓN

llx2+1 5 Dado & >O, :¡- o> O tal que x :;t: ±1/\ O < \x- 2\ <o-==:;, - 2 - +- < &

X -1 3


En efecto

De ¡x2 +1_21=13x2 +3-5x2 +51J 8-2x21=21 x2 -4~=~1-1-llx-2llx+21<~-k¡k28 (1) x2 -1 3 3(x2 -1) 13(x2 -1) 3(x2 -1) 3 x 2 -1 3

Tenemos que acotar la función-/-' X+ 2 dando un valor particular para a X -1

N 1 fi · ' x2

+ 1 · d ' · 1 1 1 otamos que a uncwn -2 -tiene os asmtotas vert1ca es en x = x = -

X -1

\a-x \ Por lo cual el a se debe tomar como o = 0 donde a es la asíntota vertical y xo es el punto

2

de acumulación.

\1-2\ 1 \-1-2\ 3 En efecto, al reemplazar a y x0 en la formula se obtiene que o1 = -- = - 02 = = -

2 2 2 2

Para nuestro ejemplo tomaremos o = Min{_!_, ~} = _!_ 2 2 2

62

1 1 1 3 5 Luego O < \x- 2\ <- => -- < x- 2 <- => - < x < -

2 2 2 2 2

Acotando las funciones dadas anteriormente

3 57 9 7 9 9 De- <x <- ~- <x+2<-~- <\x+2\ <-~k =-

2 2 2 2 2 2 2 2

De -<x<-~-<x <-~-<x -1<-~->-->-~-> -- >-~k1 =-3 5 9 2 81 5 2 77 4 1 4 4 1 1 1 4 4 2 2 4 4 4· 4 77 x 2 -1 5 77 x 2 -1 5 77

Reemplazando k1,k2 en (1) se tiene

x 2 +1 5 2 2 9 4 ----=<-.k k o=-- -o=& x 2 -1 3 3 1 2 3 2 77

E '1 . . , d . d 231 n esta u tuna expreswn espeJan o 8 =- s 36

Por tanto, para que se cumpla la definición de límite se debe tomar 8 = Min{_!_, 2315}

2 36

, x 2 + 1 5 Por lo que queda demostrado que Ltm -

2 - = -

.H2 X -1 3

5.-Deinostrar que Lím f(x) = L <::::> Lím(J(x)- L )=O x~a x~a

DEMOSTRACIÓN

Lím(J(x)- L)= O<::::> V&> 0,38(&) >O talque O< \x-a\< a=> \f(x)- L-O\< & => \f(x)- L\ < & x~a

Por tanto Lím f(x) = L <=> Lím(J(x)- L)= O x~a x~a

6.-Demostrar queLím(5x- 2)= 3 x~l

DEMOSTRACIÓN

Usando la definición de límite se tiene

Dado &>0,38(&)>0 talque 0<\x-l\<8=>\5x-2-3\<e (1)

De \5x- 2-3\ =\5x- 5\ = 5\x-1\ <58=&

63

Luego &

58=&=> 8 =-5

Por tanto existe 8 = 6

· 5

Talque Dado &>0,38(&)=~>0 talque ü<lx-11<6

=>l5x-5l<s 5 5

7.-Demostrar queLlm(x2 -2)= -1 x~l

DEMOSTRACIÓN


Dado &>0,38(&)>0 talque O<ix-1i<o=>lx2 -2+1i<s (1)

De ix2 - 2 +ti = lx2

- 11 = ix -1¡.¡x + 11 < o.¡x +ti (2)

Dando un 8 = 1 para acotar el termino x + 1

Se tiene que lx-11 <1=> -1 <x -1 <1=> O <x<2=> 1 <x + 1 < 3=> 1 <lx + 11 <3 (3)


Por tanto existe 8 = 6

. Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se 3

cumpla la definición de límite, es decir 8 = Min{ 1, ; }

Por tanto

64 ~1

8-Demostrar queLím(l- x2 )= -3 .t'-72

DEMOSTRACIÓN


Dado e>0,38(e)>0 talque 0<Jx-2J<8=>/l-x2 +3/<e (1)

De /4- x2/ = /x 2

- 4/ = Jx- 2J.Jx + 2J < 8.Jx + 2J (2)

Dando un 8 = 1 para acotar el termino x + 2

Se tiene que 2 <1 :::>-1< x-2 <1 => l<x <3:::::>3 <x+2<5 :::::>3<Jx + lJ <5 (3)


Se tiene /x 2 -4J<8.Jx+2J<58=e

Por tanto existe 8 = 8 . Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se

5

cumpla la definición de límite, es decir 8 = Min{ 1, ~}

Por tanto

OBSERVACIÓN

Hay casos en que la función es racional y se requiere demostrar cierto límite entonces se

Jx -al escoge un delta muy particular de la forma a = 0 donde a representa una asíntota

2

vertical a la gráfica de la función.

65

1 x-1 9.-Demostrar que Lím-x--72 x(x + 1) 6

DEMOSTRACIÓN

Dado e>O, ¿"3.8(e)>O?/ x:t=O,J\x:t-11\0<lx-21<8 => x-1

_..!_<e · x(x + 1) 6

1 x-1 _ _!_1 = x2 '-5x+6 = lj(x-3)(x-2)1 = 1 lx-3l~x-21 =k¡ kz o (1)

x(x+1) 6 x(x+1) x(x+1) lx(x+l)J · ·

Como existen dos asíntotas verticales entonces

J2-0J 81 =--=1

2

Entonces tomando el menor delta 81 = 1 que nos servirá para encontrar los valores de k ¡y k 2

En efecto, reemplazando el delta en

X =t 0, 1\ X:¡!: -11\ Ü < [x- 2[ < 1 =>X =t 0, 1\ X =t -11\-1 <X- 2 < 1 ::::> 1 <X< 3

1 Luego, acotando las funciones y x- 3 se tiene

x(x+ 1)

1 1 1 1 De 1 < x < 3 => 2 < x + 1 < 3---;. 2 < x(x + 1) < 9 =>- > >- => k1 = (2)

2 x(x+1) 9 2

Reemplazando

Reemplazando (2) y (3) en (1)

Se tiene

66

28 Luego 8=-

3

Por tanto basta tomar a = Min{ l, 2;} para que se cumpla la definición

Dado e> 0,.3 o =Mín{1, ~}>o 1 X :t=O 1\ X :f:: 1/\ o <lx- 21 < o=>ji(x) -%1 <e

, -/X-1 1 10.-Demostrar que Lun = --

x-->4 X+ 1 5

DEMOSTRACIÓN

Ob . d . 1 . L' y - 1 1 temen o su eqmva ente se tiene 1m-2- = -

y-->2 y + 1 5

1 1

y-1 1! Dado &>0, ¿:38(&)>0?/ y;t:-1A0< y-2 <O:::}

2 --¡<&

y +1 5

y-1 _ _!_ = y2 -5y+6 = (y-2)(y-3 = 1 ¡y-3l8<kl.k2.0 y 2 +1 5 5(y2 +1) 5(y2 +1) 5(y2 +1)

Dando un o = 1 para acotar el tennino ; y Y - 3 se tiene que 5(y +1)

(1)

/Y- 2/ < 1:::} -1 <y- 2 < 1:::} 1 <y< 3:::} -2 <y-3 <O:::} O< /Y- 3! < 2 = k1 (2)

jy- 2/ < 1:::} -1 < y- 2 < 1:::} 1 < y < 3:::} 1 < y 2 < 9:::} 2 < y 2 + 1 < 1 O:::} 1 O< 5(y2 + 1) < 50

1 1 1 1 10 < 5(y2 + 1) <50:::}-> 2 >-:::} k2 =-

10 5(y +1) 50 10 (3)

Reemplazando (3), (2) en (1)

. y-1 11 1 Se ttene 2 -- =< k1.k2 .8 = 2.-.a =e=> a= 5e

y + 1 5¡ 10

67

Por tanto existe a = 5s . Como hay dos deltas se toma el mínimo de ellos de tal forma que se

cumpla la definición de límite, es decir a = Min{l,5s}

Por tanto

3.2.-CALCULO DE LÍMITES FINITOS

~V-9x+l-2 l.-Calcular Lím Vx+i1

x->-3 2 - 3 X + 11

SOLUCIÓN

Factorizando

, (~V=9x + 1- 2 XJv=Tx" + 1 + 2 x4 + 2Vx+i1 + ~(x + 11)2)

~-!~ (2-\lx+lllJV-9x +1 +2X4+2Vx+ll +~(x+l1)2 ) Simplificando

, (~Hx -3~ 4+2~x+ll +~(x+11)2 ) • (V-9x -3~ ~(-9x)2 +3~-9x +9 )( 4+2~x+ll +~(x+11)2 ) Llm = Llm ----'------;-~~=-----;~==--==---~-----'-x->-3 (8-(x+ll){~~-9x+1+2) H-

3 (8-(x+ll){~~-9x+1+2)(~(-9x)2 +3V-9x+9)

Evaluando y simplificando

~/-9x +1-2 Por tanto Lím Vx+i1 = 1

x->-3 2 - 3 X + 11

2.-Calcular L, -J3x2 -8 -xVx+6 +x2 -2 ¡nz -----=-----=----

x->2 x3 - 2x2 + X - 2

SOLUCIÓN

Ordenando en el numerador

~ 68

Factorizando

Pacto rizando

Simplificando y evaluando

P 1 L, -J3x2

- 8 - xV x + 6 + x 2 - 2 _ 29

or o tanto, zm 3 2

-x~2 X -2X +x-2 30

ffx --Js-x 3.-Calcular Lím -J

H2 3x - 2 15- 3x

SOLUCIÓN

Al evaluar el límite directamente nos da la expresión Q que en matemática se lo llama forma o

indeterminada por lo cual debemos de eliminarlo usando los artificios del cálculo elemental.

Factorizando en el numerador y denominador en la función

Simplificando

69

Lím 4(x-2) 3x+2-J15-3x = J6 x~2 {x-2X3x+1o -fJX+-Js-x 12

Por lo tanto , $x ---J8-x -/6

Lzm -H2 3x- 2-)15- 3x 12

, JFx -3 4.-Calcular Lzm ~

x~J -v3x -3

SOLUCIÓN

Al evaluar el límite nos da la expresión Q o

Factorizando en el numerador y denominador en la función

, ~{9; -3 2 Por tanto, Lzm ~ = -

H3 -v3x -3 3

w -2Vx+1 5.- Calcular Lím

2 Hl (x-1)

SOLUCIÓN

L , ~R"- 2Vx + 1 L, (Vx -1)2

L, (~Jx -1]2

L, ((Vx -1)(W + v.x + 1)]2

zm = 1m = zm = un ~-~=-----'-HI (x-1)2

Hl (x-1)2 HI x-1 HI (x-l)(W +Vx+l)

L , ((Vx-l)(W +Vx+I)J2

L' ( x-1 J2 (L' 1 J

2

1 zm - zm - zm = HI (x-1)(W +Vx +1) - Hl (x-1)(W +Vx +1) - Hl W +Vx +1 9

P L , w- 2Vx + 1 1 or tanto, zm

2 = -

HI (x-1) 9

70

, ~+1 6.- Calcular Lun ~ ¡;;;---:--_

H--1 ~ 2 + X + X

SOLUCIÓN

, V1+2x +1 1 Por tanto L1m -----=

' x-+-1 V2+x +x 2

\ll-2x +1 7.- Calcular Lím 3 ~

x--+1 '\/ 2 - X - X

SOLUCIÓN

Haciendo cambio de variable y= -x

Si X ~ 1 => y ~ -1

, VJ=2x+1 , ~+1 Luego Ltm ¡-;;;--- = Llm ~~

'x--+l ~¡2-x-x .v--+-l\j2+y+y

Si comparamos este último límite con el ejercicio anterior resulta que es el mismo límite

;z/1- 2x + 1 1 P t t Lím -or an o, 3 r;:;----2

-2 X--+l '\/L. - X - X

2 1

8 e 1 1 L, x ---vx

.- a cu ar un ~e Hl ~X -1

SOLUCIÓN

Haciendo cambio de variable

6 . X= y se tiene

71

, x 2 --E 9 Por tanto, Lzm ~ r = -

Hl ~X -1 2

x2 --E 9.-Calcular Lím , r

x-ti ~X- X

SOLUCIÓN


X 6 . =y setlene

, x2- ,/x 9

Por tanto, Llm Vx = --x--+1 3 X- X 4

x--Fx 10.-Calcular Lím r

x--+1 ~\} X - X

SOLUCIÓN


6 . X= y se tiene

, x-Fx 3 Por tanto, Lzm ~ r = --

HI ~X -X 2

11.-Calcular LímVX+f5x ~

H03 x+1-\1-x

72

SOLUCIÓN

Lím Sx(~)z +v.x+i~ +w-x)z) = Lím s(~)z +~Jx+I~ +vo-x)z) = 15 x~O 2x x~O 2 2

P L, 5x 15

or tanto, zm r--:1 1

,...---:: = x~o ~JX+1-;z¡1-x 2

12 e 1 1 L, U +3-J~ -3x-1

.- a cu ar un--------==--Hl x+ifX -V -1

SOLUCIÓN

En el Numerador sumando y restando 4, y en denominador sumando y restando 1

adecuadamente se tiene

, U -1 + 3~ - 3 - 3x -1 + 4 Lrm---------==---HI x-1+Vx -1-'Vx2 +1

Factorizando

(U -1) ~W+1 +3(~-1)(~+ 1) -3(x u +1 (-vlx+1)

-1)

X - 1 + (ifX -1) ~ +~Jx+1 -(~ -1) ~ +Vx+1

(x3 -1) +3 (x-1) -3(x-1)

Lím (U+ 1) ( ~ + 1) .

HI (x _ 1) + (x -1) _ (x113 _ 1)(xl/3 + 1) (~ +ifX+l)

73

Eliminando el termino ( x -1 ) se tiene

Aplicando el límite

, -J;3 +3~-3x-1 Por tanto Lzm ,

1 , ¡::¡ = O

x-->l X + ~X - \¡ X 2 -1

'}j;_¡ 13.- Calcular Lím-;¡¡=

x~I tx -1

SOLUCIÓN

Haciendo cambio de variable x = y 12

' v; -1 4 Por tanto Lzm -;¡¡==-. =

x~l -'.IX -1 3

74

' ~2+3.Jx -2 14.- Calcular Llm-=----X--)8 x-8

SOLUCIÓN

L , ~2+if; -2 L' ~2+if; -2 zm = 1m....:....,--.,.----x--)8 X - 8 X--)8 (v;) _ 8

Haciendo cambio de variable 3.Jx =y

Si x~8:::::> y~2

15 e 1 1 L, ~"/x+3 +6 +-Jx+8 -5x2

.- a cu ar zm-'---------· X-)] X -1

SOLUCIÓN

Sumando y restando 5 en el numerador, luego separando en fracciones parciales se tiene

L, ~-Jx +3 +6- 2 +-Jx+ 8 -3-(5x2 -5) L' ~-Jx+3 +6 -2 -Jx+ 8-3 5(x2 -1) zm = zm + - ___,_ _ ___¿_

X-)] X - 1 X-)] X -1 X - 1 X - 1

Aplicando límite a una suma de funciones

L, ~-Jx+3 +6 -2 L' -Jx+8 -3 L' 5(x

2 -1) zm + zm - zm __ _,_____L X-)] X -1 X-)] X -1 X-)] X -1

Evaluando por separado

75

Lím (~+3 +6 - 8) = Lím (-5+3 - 2)

.Hl (x-1{V(Jx+3+6J +2~-Jx+3+6+4) Hl (x-1{\/(~x+3+6J +2~~x+3+6+4)

Lím (-JX+3- 2lJX+3 + 2) = l_ Lím x - 1 = l_ .!_ = _!_ Hl (x-1{~Ux+3+6Y +2V-Jx+3+6+4)·-Jx+3+2) 12 x~l (x-1X~Jx+3+2) 12'4 48.

L' x-1 1 = x~(x-1X-Jx+8+3)=6

Lím 5(x2 -

1) = Lím 5(x- 1Xx + 1) = 5Lím 5(x+ 1) = 10 x~l X -l x~l X - 1 x~l 1

P t L, V-Jx+3 +6 +-Jx+8 -5x2 1 1

10 157

or anto, lm =-+-- =--Hl x-1 48 6 16

16 e 1 1 L, -[; - 3x + 2

.- acuar un----x~l x-1

SOLUCIÓN

, .[¡ -3x + 2 , .[¡ -x- 2x+ 2 , (.._}x -x)- 2(x-1) , (-[;- x 2(x -1)) Llm = Lun = Lnn - - = Llm - -'---'-x->1 X -1 x~l X -1 x~l X -1 x~l X -1 X -1

Aplicando el límite a una suma de funciones se tiene

Lím(-J; -x- 2(x- 1)) = Lím-[; -x -Lím 2(x- 1) = _1__ 2 = -~ x~! X -1 X -1 x~l X -1 x~l X -1 2 2

, -[; -3x+2 5 Por tanto, Llm = --

x~l x-1 2

17 e 1 ul L, V-Jx+3 +6 +.._}x+8 -5x2

.- a e ar lm--'----=------Hl -.Jx -3x+2

SOLUCIÓN

Dividiendo al numerador y al denominador por (x-1) y luego aplicando el límite a un cociente

de funciones se tiene

76

L, V~x+3 +6 +~x+8 -5x2

1111-'-----------x-1 x--'>1 x-1

Lí111----==-"-=----=------ = -----=-.=..:...__-=--------X--"1 ~ -3x+2 L' ~ -3x+2 1m----

x-1 ~~ x-1

Usando los ejercicios 15 y 16

L, V~x+3+6+~x+8-5x2 157 1111--'--------------~1 x-1 16 314

------==-'"-'-------"------ = --=--rx -3x+2 5 8o Lím----x--'>1 x-1 2

3.3.-CALCULO DE LÍMITES AL INFINITOS

x2 -3 Vx 2 +1 +3 l.-Calcular Lím( · - x- 3)

x--'>+oo x- 3

SOLUCIÓN

L , (x2

-3.Vx2

+1 +3-(x-3)(x+3)J L' (x2

-3.JJx2

+1 +3-x2

+9] 1111 = zm --------x--'>+oo X - 3 X--'>+oo X - 3

4 ~ Lím( 12 - 3·~J=Lím3(4-~J=3Lím x x. =0 X--'>+oo X - 3 X--'>+oo X - 3 X--'>+oo 1 - ~

X

, x 2 -3.Vx2 +1 +3 Por tanto, Llm( - x- 3) =O

x--'>+oo x-3

2 e 1 1 L , (\12+Vx +if; -4J .- a cu ar mz ------x--'>+oo X- 8

SOLUCIÓN

~2+if; +Vx -4 /2+Vx ~lx 4

L , (~2+~{; +Vx -4) L' ( x ) L' (~ x 2 +~7 -~) O 1m ~ zm ~ tm = X--'>+oo X - 8 . X--'>+oo X - 8 X--'>+oo 8

1--X X

77

( ~2+~fX +VX -4J Por tanto, Lím 8

= O x--H<>O X-

3 L' X

3.-Calcular x!! x(x + 1)2

SOLUCIÓN

3

P t Lím--x--=1 or tan o, ( + 1)2

X~ X X

4.-Calcular Lím( x3

2 - xJ x~ (x+l)

SOLUCIÓN

, ( x3 J , (x

3-x(x

2+2x+l)]-L' -2x

2-l __ 2 Lzm - x = Lzm

2 - 1m

2 -

X~ (X+l)2 X-700 (X+l) X~X +2X+l

Por tanto Lím( x3

2 - xJ = -2 'x~ (x+l)

5.-Calcular Lím (x~ X 2 + 1 + X 2)

X-7--oo

SOLUCIÓN

78

2x -3x 6.-Calcular Lím

4x

9x

X-+--oo +

SOLUCIÓN

zx -3x 7. -Calcular Lím

4x

9x

X-H-00 +

SOLUCIÓN

3x( 2 x 1] 3x[(2)x -1J zx-3x zx-3x 3x 3

Lím = Lím = Lím = Lím -~-~-::-

32x -+1 32x - +1 x-Hoo4x +9x x-Hoo22x +32x x-+--oo [z2x J x~+oo ·[(2)2x J 32x 3

79

2x -3x Por tanto Lím = O

' x-HOC> 4x + 9x

SOLUCIÓN

1 Haciendo cambio de variable X = -

y

Si X ~ +oo =>y ~ 0+

Lfm(x2 +1 +~]= Lfm

x-Hoo x - 1 _v--)oo+

1 -+1 Y2_+4{T

!-1 YY y

Lím y2

· +4- = +oo ( 1+

2

~TJ X--)-0+ 1- y y

~ 2 J , X +1 4 Por tanto Lzm -- + -J-; = +oo

, X-)-+ X -1

, (x3 +1 tj 2 J 9. -Calcular Lzm --2- + · x + 2 - 2x

X -)-+OC> X + 1

SOLUCIÓN

1 Haciendo cambio de variable x = -

y

Si X ~ +oo => y ~ o+

80

Lím(x: +1 +~x2 + 1-2xJ = Lím

x~oo x + 1 y~o+

Lím y~+

Lzm y y + = Lzm y y + y = , [ 2( -1) (~ -1)(~Y2 +1 +1)] , [ ( -1) 2 J

x~o+ y(1 + y2

) y(~ y2 + 1 + 1) x~o+ (1 + y 2) y(~ y2 + 1 + 1)

Lím[y(y-1) + y ]=0

x->0+ (1 + Y2) ( ~ Y2 + 1 + 1)

, (12x3

+ 6x2

- 3 ~ 3 2 J 10.-Calcular Lzm 2 + x + 3x + 1 -7x x~ 2x +7

SOLUCIÓN

L , (12x3

+6x2

-3 ~ 3 3 2 1 7 ) L' (12x3

+6x2

-3 6 ~ 3 3 2 1 ) 1m 2

+. x· + X + - X = lm 2

- X+ X + X + -X x--H-oo 2x + 7 x--+-too 2x + 7

81

2( 3 42J 2( 1 J X 6---- X 3+-, x 2 x x 2

xl:1'! 2( 7 J + ( ( J2 ( J J X 2+ 3 1 J 1 -;z x2

3 +-;+~ +x23 1+-;+~ +x

2

,~12x3 +6x

2 -3 V 3 2 J Por tanto Lzm 2 + x + 3x + 1 - 7 x = 4

' x--+ 2x + 7

..,. ( x2

+ 1 J 11. -Calcular el valor de a y b para que x~'!\ x + 1 - ax - b = O

SOLUCIÓN

Lím( x2 +1_ax-bJ= Lím(32 +1_ (ax+b)(x+1)J= Lím( x2 +1_ ax2 +x(a+b)+b]= X-+~ X + 1 x--++oo X + 1 X + 1 X-+~ X + 1 X + 1

Lím( x2

+1-ax2

-x(a+b)-bJ= Lím( x2(1-a)-x(a+b)-b+1J=o

X-++~ X + 1 X-+~ X + 1

82

Para que este límite sea cero entonces

1-a= 01\a+b =o~ a= 11\b = -1

12.-Calcular el valor de a y b para que Lím (~ x 2 - x + 1 - ax- b) =O

x~+oo

SOLUCIÓN

(~x2 -x+1 +(ax+b)) { 2 . '')22 \ .

Lím ( ~ x 2 - x + 1 - ( a.x + b)) = Lím \X - x + 1- ( a.x ~ =

X~+oo ( ~X2 -X+1 +(a.x+b)) X~( ~X2 -X+1 +(a.x+b))

Lím (x2

-x+1-a2x

2 -2abx-b

2) = Lím (x

2(1-a

2)+x(1-2ab)-b2 +1)

x~+oo (~x2 -x+l+(ax+b)) x~+oo (~x2 -x+l+(a.x+b))

Para que este límite sea cero entonces

2 1 1- a = O 1\ 1- 2ab = O ~ a = 1 1\ b = -2

( ~ x3 + 6x

2 - 16 - x J

13. -Calcular Lím x~+oo ~x2 +2x+1-·~x2 -x

SOLUCIÓN

83

2x2(3--;-) L

, X

x--!~ ( 1 ) 3x 1+-3x

2( . 6 16 2 2 6 16 2J x 3 (1+---) +x 31+--- +x x x3 x x 2

2x2(3--;-) L

, X

X~!_! ( 1 ) 3x 1+ 3x

Simplificando y evaluando el límite

L , ( ~ x 3 + 6x

2 -16 - x J _ 4

Por tanto lm . - -' x-?+oo ~x2 +2x+1-~x2 -x 3

SOLUCIÓN

2 2 a+b J ax +-2

~ 84

Lím a~+oo

L ' 1 mz-a-H«> 2

Simplificando

L ' 1 1m-a-H«> 2

o-k) ck-1)

[F+ x':H~+:,)f[F+ :,+H~+:,)J Evaluando el límite

=

L ' 1 1m-a~+oo2

b b o--J <--IJ ( J

[ F + x' :-'(-'+~) f[ ~ + :, +-'(-'+~) J :~ ~~- 3~~ :0 a 2 a a 2 \ a 2 a a 2

Lím 15.-Calcular x~+oo

~x(x+a) -x

85

SOLUCIÓN

, ~x(x+a)-x (~x(x+a)+xJ x~'! F"h 2 [1] Ux(x+a)+x) x-3x +x +5-

Lím X~+

ax

x

L, X

a x-!':! 2 ( 1 [ 1 ]J -X 1+5--x2 x

Simplificando

L, 1

a x-!'! ( 1 [ 1 ]J - 1+5 x2 x

Evaluando el límite

a(_2_J = _ 3a -2 2

~ +Vx'r' +x' +t] +~ (x' +x' +smJ' (~x(x+a) +x)

x'( ~;· +3l+~+s~[~}~ ('+~+sM~JJ' J

x(f0+']

86

, ~x(x+a) -x Lzm

Por tanto, x-Hoo / 3 2 [ 1 ] x-3x +x +5-

~ X

3a =

2

SOLUCIÓN

Evaluando el límite

L, 1 zm-

x~+a:> 5x =Ü

l+(U (3J

2

x 1+ -5

, (~ 2 2 a- b 3 3 3 b2

- a2 J 17.-Calcular Lzm a x +-- -. a x +--

a~+oo 2 2

SOLUCIÓN

= Lím_!__ x~+a:> 5x

l+(H (

3J2x 1+ -5

87

Lím a~

UN·T~~V·'·'·T·~] ['·'"·~~~~-N-'"·~J' .w.~.~~J

1 L' - zm 2 a~+oo

Ua2x2+a;b+axJ -3

[ 3 3 b

2 - a

2 ]2

~( \.13vl 3 3 b2

- a2 ~( )6 a x +-- + \axr a x +-- + ax

2 2

2 ( 3 b2

1 J2

2 3 b2

1 2 2 a 3 x +--- +a x3x +---+a x 2a3 2a 2a3 a

F acto rizando a

1 {1-~) a'( ~-lJ 2 t!~ (~ 2 1 b J - [ ( 2 J2

1 2 J a x +--- +x 2 3 b 1 3 b 1 2 a 2 2 a 3 x +--- + x3 x +--- + x

a 2a3 2a ~ 2a3 a

Simplificando y evaluando límite

88

1 ' (1-~) (~-1) 2 !:~'! (~ 2 1 b ) - [ ( 2 )

2 2 J X +---+X 3 b 1 3 b 1 2

a 2 2 3 x +--- +x3x +---+x a \ 2a3 2a 2a3 a

1 1 -1

2 (Jx2 +xr (M u'P +X2) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 3x + 2) 3x + 2

= 2 2x + 3x2 = 2x 2 + 3x = 2x 6x = 12x2

, [~ 2 2 a- b 3 3 3 b2

- a2 J _ 3x + 2 Por tanto Lzm a x +----,a x + - 2

' a---H<XJ 2 2 12x

SOLUCIÓN

, x3(FJ}+~) !-;'! l 3 1 1 )(mi 1) X ~/l+- 1+-+-+-

V x3 ~ x x2 x


89

1 =-=1

1

3.4.-CALCULO DE LÍMITES INFINITOS

x2 +2 l.-Calcular Lím-

2 -

x---+2+ X -4

SOLUCIÓN

, x 2 + 2 6 Por tanto, Lnn - 2 - = - = +oo

x---+2+ X -4 0+

2.-Calcular Lím lxl+ 3 X-+[+ X -1

SOLUCIÓN

Si,x ~ 1+ =>X> 1 => lxl > 1 => lxl-1 >o=> lxl-1 ~o+

Por tanto, , x+3 4

Lzm-- =- = +oo Hi+ lxl-1 o+

x2 +ffxff+2 3.-Calcular Lím ·-:-"--"--

x--+-f5: X 2

- 2

SOLUCIÓN

De otro lado Si,x ~-Ji+=> ffxlf = 1 ,

Reemplazando (1) y (2) en el límite, se tiene

x2 +ffxlf+2 2+1+2

Por tanto Lím = = +oo ' x-+12+ x 2

- 2 o+

(1)

(2)

90

x 2 +2 4.-Calcular Lím -----=-

2 -

x~-z+ X -4

SOLUCIÓN

, x 2 +2 6 Por tanto Ltm = -- = -oo

' x~z- x 2 -4 o-

, 2x+l 5. -Calcular Llm ---=-

2 --

x~-z+ X -X-6

SOLUCIÓN

L' 2x+1 Factorizando el denominador se tiene xJ!!J (x + 2)(x _ 3)

Si,x--+-2* ~ x >-2 ~ x+2 > O~x+2 --+0+

, 2x+1 -3 Por tanto, Lzm = = +oo

' x~-z+ (x + 2)(x- 3) - 5.0+

, x 2 +3x+l 6.-Calcular Ltm

31 Hz- ~4-xz

SOLUCIÓN

, x 2 +3x+ 1 11 Por tanto, Lun V = - = -oo

x~z- 3 4-x2 o-

, ~16-x2

7.-Calcular Ltm----=2-

x~4- X -16

SOLUCIÓN

Pero

91

8 e 1 1 L, x 2

- x + 1 .- a cu ar un

2 x~I+ 2-X-X

SOLUCIÓN

L' x2 -x+1

Factorizando el denominador se tiene x~'(! _ (x + 2)(x -1)

Si, X ~ 1 * => X > 1 => X -1 > o => X -1 ~ o+

, x 2 -x+1 1 Por tanto, Lrm = --- = -oo

H!+ -(x+2)(x-1) 3.0+

, x+lxl +2 9.-Calcular Lrm 2 l l

x-H+ 2x -X -1

SOLUCIÓN

X+ lxl + 2 X- X+ 2 2 Simplificando el valor absoluto Lím 2

1 l l = Lím 2 = Lím 2 x~-1+ 2x - X -1 x~-I+ 2x +X -1 x-+-1+ 2x + X -1

Factorizando el denominador se tiene Lím 2

2 = Lím 2

H--1+ 2x + x -1 .H--1+ (2x -1)(x + 1)

Si, x ~ -1 * => x > -1 => x + 1 >o=> x + 1 ~o+

, x+lxl+2 2 Por tanto, Lmz 2 l l = = -oo

H-1+ 2X -X -1 -3.0+

.Jx2 -1 1 O. -Calcular Lím ------::

2,-----

x-+I+ X -1

SOLUCIÓN

Si, 'X ~ 1 * => X > 1 => x2 > 1 => x2 -1 > o => x2 -1 ~ o+

-~ 1 1 Por tanto, Lím

2 = Lím ¡-;¡----; = - = +oo

x-+1+ X -1 x.-+1+ '\j X2 -1 0+

· x 2 -5 11. -Calcular Lím -

2 -

x.-+-2+ X -4

92

SOLUCIÓN

x 2 -5 -1 Por tanto, Lím

2 = - = +oo

x~-2+ X -4 o-

3

L' X 12.-Calcular lm ( 1)2

x~-1· X+

SOLUCIÓN

x3 -1 P Lím ----oo or tanto, + ( 1)2 - o+ -

X--+-l X+

x3 B.-Calcular Lím_ ( 1)2

x~-l X+

SOLUCIÓN

Si,x~-r =>x<-l=>x+l<0=>(x+1)2 >0=>(x+l)2 ~o+

x 3 -1 P Lím ----oo or tanto, - ( 1)2 - o+ -

X--+-l X+

, ifil -2Vx +H +JJ; -3x 14.-Calcular Lzf11 (

1)2

x~l x-

SOLUCIÓN

o Si evaluamos el límite directamente se obtiene

0

Por lo tanto usaremos un artificio del cálculo para evitar esta fonna indetenninada

93

Lím ($ -1L +()~ - 1L x->1+ (x -1)2

Haciendo cambio de variable x == y 6

Luego,

, ($-Ir +(Fx -Ir_ , &2 -Ir +&3 -Ir_ , (y-1Y[ (y+1Y +(y-1:(y2 + y+11J

Lzm 2 - Lzm 6 2 - Lzm { \2 x->1+ (x -I) y->1+ (y -1) . y->1+ (y -l)\Y5 + y4 + y3 + y2 +y+ IJ


L' if;2 -2~/x +N +3Fx -3x 1 Por tanto, l71! (

1)2 = -9 X->1 X-

, ~-9x +$ -2 15.-Calcular Lzm -----

x->-1+ X+ 1

SOLUCIÓN

o Si evaluamos el límite directamente se obtiene

0

Por lo tanto, usaremos un artificio del cálculo para evitar esta forma indetenninada

Haciendo cambio de variable -x =y

, FY +FY -2 , 3fY +-~ -2 Luego Lzm = Lzm--'---'-----

' y->r 1- y y->1- · 1- y

Nuevamente cambiando de variable y= t6

94


, ·~-9x +~ -2 7 Por tanto Lzm = --

' x~-1+ x+ 1 6

1/t,'f- 3[x]+-h-x L' ~ 3 2

16.-Calcular zm3

_ ~ 2 x~ · 9sgn(x-1)-x

SOLUCIÓN

o Si evaluamos el límite directamente se obtiene 0

Por lo tanto, usaremos un artificio del cálculo para evitar esta forma indetenninada, pero antes

redefiniremos el máximo entero y el signo

{[x]< 3-+ [x]= 2 Si X-+ 3- =>X< 3 =>

X - 1 < 2 -+ sgn( X - 1) = 1

Luego,

~~-3 L

, ¡y Calculemos 111'!. ( r::;-----

3 )

x~3 \].:J- X

95

1 , Jx3J- 27 1 , 27- x3

-J3f~~u3 xij~~+3~r ~f~~u3 xXJPI+3~r ~Lím (3-x)(9+3x+x

2) =

.J3 ,_., (~xXfx'¡ +3~) == -1 Lím (3- x )(9 + 3x + x

2) = _-1 Lím "/3=X 9 + 3x + x

2) = 0

-J3 x~T (~3 X XJPI + 3-J3) -J3 x~T -JPI + 3-J3 (2)


_)/x3J_ 3[x]+-J3-x L , V 3 2 1

Por tanto zm = rr ' x~r ~9sgn(x -1)- x2 -v6

, H+VX-2 17.~ Calcular Lzq 2 x~-1 -x + 1

SOLUCIÓN

, ~ x+\Íx-2 Lzm 2 = oo x~-1+ -x + 1

Calculo del signo de infinito

El valor del límite del numerador es ~3

96

Falta calcular del valor de límite del denominador

, ~+?fX-2 Luego, Lzm 2 = +oo

x~-1+ -x + 1

3.5.-CALCULO DE LÍMITES TRIGONOMETRICOS

, 1-cos3x l.-Calcular Lzm---

x~o 1-cos4x

SOLUCIÓN

L, (1-cos3x)(1+cos3x)(1+cos4x) L' (1-cos2 3x)(1+cos4x) Li sen2 3x.(l+cos4x) zm = zm = m---,----'-----'-

HO (1- cos4x)(l + cos4x)(1 + cos3x) x-70 (1- cos2 4x)(l + cos3x) x-XJ sen2 4x.(l + cos3x)

sen2 3x.(1 +2

cos4x) _9

Lím (3x) = Lím 9(1 + cos 4x) = .2_ HO sen2 4x.(1 + cos3x) .1

6 ;HO 16(1 + cos3x) 16

(4x)2

, 1-cos3x 9 Por tanto, Lzm = -

HO 1- cos4x 16

2 e 1 1 L , tagx- senx

.- a cu ar zm 3

x~o X

SOLUCIÓN

senx ---senx

L , tagx- senx L' cosx L' senx- cosxsenx L' senx(l- cosx) zm = zm = zm = zm _ ____..::. __ _..:_ x~O x3 x~O x 3 x~O x 3

, COS X x~O X 2. COS X

P L, 1-cosx 1

ero zm 2

=-X-70 X 2

senx ---senx

L L , tagx-senx L' cosx L' senx-cosxsenx L' senx(1-cosx) 1 uego zm = zm • = zm = zm = -

> X-70 x3 X-70 x3

X-70 x3 .COSX X-70 .xx2 .CQSX 2

, tagx- senx 1 Por tanto, Lzm 3 = -

x-Xl X 2

97

, 1- cosax 3.-Calcular Lzm

2 X-?0 X

SOLUCIÓN

L , 1- cos ax _ L, 2 1- cos ax _ L , 2 1 - cos ax _ a2

zm 2

- zm a . 2 2

- zm a . 2

-X-?0 X X-?0 a X x-70 (ax) 2

, 1-cosa.x a2

Por tanto, Lzm 2

= -X-?0 X 2

4 e 1 1 L, x - senax

.- acuar zm--x-?o X + senbx

SOLUCIÓN

x- senax 1_ a.senax

a. 1 L , x-senax L' ax L' ax -a zm = zm -= zm = x-?o x + senbx X-?O b. x + senbx X-?O

1 + bsenbx 1 + b

bx bx

, x - senax 1 - a Por tanto, Llm = --

HO x+senbx l+b

x3 +1 5. -Calcular Lím

2 x+I sen(1- x )

SOLUCIÓN

1 , x3 + 1 L, x3 + 1 ,zm =- zm----X-7-I sen(1- x 2

) H-I sen(x2 -1)

Haciendo cambio de variable se tiene

, 1- cif.Y+1)3 , (1- c~fy+1)3 ~ + cVY+t /) , 1- (y+ 1)3

- Lzm =-Lzm { y-- = - Lzm { ) y-?O seny Y-7° seny.\1 +(~'y+ 1)3

) >HO seny.\1 +(~'y+ 1)3

, 1-(y+1)3 , 1- y 3 -3y2 -3y-1 , y(-y2 -3y-3) 3

-Llm ( )=-Lw ( )=-Llm ( )=-Y-70 seny.1+(~'y+l)3

y-?O seny.1+(~'y+l)3 y-?O seny.l+Cv:Y"+I/ 2

, x 3 + 1 3 Por tanto, Lzm

2 =

2 x-H sen(1 - X )

Y\ 98

-fix2 6.-Calcular Lím-~;====

HO tagx.-Jsecx -I

SOLUCIÓN

L , -fix2 - L, x. -fix - L, -fix - ¡,:;2 L , x x~o tagx.)seCX -I .HO fagX -JseCX -I x~O -JseCX -I x~O I- COSX

1m - un- - 1m -Y.L. Jm~-

cosx

= -fi Lím x = -fi Lím x~.-JI + cosx = -fi Lím x~.-JI + cosx x~o I-COSX .HO -JI-cosx.-JI+COSX x~o -J1-cos2 X

cosx

= -fi Lím x~.--JI + cosx = Ji Lím x~.-JI + cosx = 2 x~o -JI- COS2 X x~o sen:x

-fix2 Por tanto, Lím = 2

HO tagx.-fSecx -I

7 e 1 1 L, -JI+ cosx- Ji

. - a e u ar zm x. / x~ , I-cosx

SOLUCIÓN

L, -JI+ cos X - -fi -JI+ cos X + !i - L, (I + cos X- 2) x!!'ou. -Jl+cosx+-fi I-cosx - x~x.(-JI+cosx+.fi}JI-cosx

, -JI+cosx -Ji Por tanto, Llmx. -J =O

.Ho I-cosx

8.-Calcular Lím n.tag(~) 11~- n

SOLUCIÓN

X tag(-)

Lím n.tag(~) = Lím I n 11~+«> n 11~+«>

n

99

Haciendo cambio de variable _! = t n

X

x tag(-) tag(tx) Luego, Lím n.tag(-) = Lím

1 n = Límx = x

n-H-a:> /1 n-Hoo t+O+ fX

Por tanto, Lím n.tag( x) = x n->+a:o n

9.-Calcular Lím(secx- tagx) tr

."1'->-2

SOLUCIÓN

n

L , ( ) L' ( 1 senx) L' (1-senx)(l+senx) L' (1-sen2

x)( 1 ) zm secx- tagx = zm ------ = un = zm ---x....;!.. ·"___,.!!.. COSX COSX x->'!_ CQSX 1 + senx X____;!. COSX 1 + senx

2 2 2 2

L ,~cos2 x)( 1 ) L' r { 1 ) 0 z = zm\cosx =

x....;!.. cosx 1 + senx x....;!.. 1 + senx 2 2

Por tanto, Lím(secx- tag.x) =O tr

x->-2

lo e 1 ul L, -JI+ senx- -JI- senx

.- a e ar zm X->0 X

SOLUCIÓN

L , 1 + senx- 1 + senx L, 2senx L , 2 1 x->O x~l + senx +-JI- senx x->O x~l + sem + -~1- senx x->O~l + senx +-JI- senx zm ( ) = zm ( ) = zm ( ) =

P L, -JI+senx --JI-senx

1 or tanto, zm = x->0 X

, (1- senx)3

11.-Calcular Lzm 3 x....;!.. 1 +cos2x)

2

100

SOLUCIÓN

L , (1- senx)3

L' ( 1- senx )3

L' ((1- senxX1 + senx)J3

L' ( (1- sen2x) J3

zm = zm = zm = zm ---l-----,---'-----c-

x~ 1+cos2x)3 H!_ 1+COS2X ;r~ 2COS2 x(1+senx) H!_ 2COS2 x(1+senx)

2 2 2 2

L , ( cos2

x J3

L, ( 1 J3

1 ~ = ~ = x~ 2cos2 x(1+senx) H!_ 2(1+senx) 64

2 2

, (1- senx)3 1 Por tanto, Lzm

3 = -

x~ 1 + cos2x) 64 2

12 e 1 ul L, .7l"-2arccosx

.- a e ar zm x~O X

SOLUCIÓN

Haciendo cambio de variable sea y = arccos x ~ cos y = x

. o .7l" Sl X~ =>y~-

2

Luego

{ .7l") .7l"- z+-Lím.7l"-2arccosx =Lím.7l"- 2Y =Lím 2 =Lím - 2z =2 x~O X 1!_ COSy z~O ( .7l") z~ - senz

Y~2 cos z+-2

P L, .7l"-2arccosx

2 or tanto, zm = .,~o X

13.-Calcular Lím .7l" tag(11X) x~O X 2

SOLUCIÓN

11X 11X tag(-) 2 tag(-) .7l"2

Lím .7l" tag(11X) = .7l" JrLím 2 = !!_ Lím 2 = x~O X 2 2 x~ .7l" 2 !_;r~ .7l" 2

-x 2 -x 2 2

.7l" 1lX .7l"2 Por tanto, Lím-tag(-) = -

x~ X 2 2

101

14.~Ca1cular Lím tagx x-to cos(tagx) - 1

SOLUCIÓN

L , tagx L, (cos(tagx) + 1)tagx L, f cos(tagx) + 1)tagx zm = zm = zm _,_\'-~~---"--=:-

x--+0 cos(tagx) -1 x-to ( cos(tagx) -1 X cos(tagx) + 1) x-to cos2 (tagx) -1

Lím (cos(tagx)+1)tagx = -Lím (cos(tagx)+1)tagx = -Lím (cos(tagx)+1)tagx x-+O cos2 (tagx)-1 x-.+O 1-cos2(tagx) x--.o sen2(tagx)

2 L, tagx _

2 - zm --tagx-.+o sen2 (tagx)

Por tanto, Lím tagx = -2 x-+O cos(tagx) -1

, 1-~cosx 15.-Calcular Lzm

2 x-.+0 X

SOLUCIÓN

_! Lím sen2 x = _! Lím(senx)2 = _! (Lím senx)2 = 1 4 x--+0 X2 4 .Y--+0 X 4 x--+0 X 4

, 1-~cosx 1 Por tanto Lzm--- =-

' x--+0 x2 4

16 e 1 1 L, xsen(sen2x) . ~ a e u ar zm --'--------'-

x-to 1- cos(sen4x)

SOLUCIÓN

L, xsen( sen2x) L, xsen( sen2x )(1 + cos( sen4x )) L, xsen( sen2x )(1 + e os( sen4x )) zm = zm = un------'----'--'---'----------~

x-to 1-cos(sen4x) x-tO (1-cos(sen4x)Xl+cos(sen4x)) x-to 1-cos2 (sen4x)

xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) zm -----'------=-

2L, xsen(sen2x)

2L, xsen(sen2x) 2L, sen4x 2 x-+O sen4x.sen4x

zm = zm = zm = x-tO 1- cos\sen4x) .Ho sen2(sen4x) x-to sen2(sen4x) , sen2(sen4x)

( )2 .sen4x Llm ( )2 sen4x x-.+O sen4x

102

L, xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) zm zm-----'--~

2 X-70 sen4x.sen4x = 2 .Ho sen4x.sen4x = 2Lím xsen(sen2x) = 2Lím xsen(sen2x)

L, sen2(sen4x) 1 HO sen4x.sen4x .Ho sen4x.2sen2xcos2x 1m ( )2

sen4x-,>O sen4X

L , xsen(sen2x) L' xsen(sen2x) L' sen(sen2x)L·, x 1 L' 4x 1 zm = zm = 1m zm = - zm =

.HO sen4X.Sen2XCOS2X x-,>0 Sen4X.Sen2X senx-.-)0 .Sen2X x-,>0 Sen4X. 4 4x-.-)0 Sen4X. 4

P L, xsen(sen2x) 1

or tanto, zm = X-70 1- cos(sen4x) 4

17 e 1 ul L, 2 - _,j COS X - COS X

.- a e ar 1m 2 x-70 X

SOLUCIÓN

Lím 2- -JC0S;- cosx = Lím {1- -JCOS;)- (cosx -1) = Líj {1- -JCOS;) _ (cosx -1)) X-,>0 X2 x-,>0 X2 x..;ó\ X2 X2

Lím (1- -JCOS;)- Lím (cosx - 1) = L- M X-.-)0 X2 x-,>0 X2

(1)

Calculando L

Calculando M

Lím (cosx-1) = Lím (cosx -1Xcosx.+ 1) = _!_Lím cos2

x -1 = _ _!_Lím sen2x = _ _!_=>M= _ _!_

x-,>0 X2 x-,>0 x2 (cosx + 1) 2 X-.-)0 X 2 2 X-.-)0 X2 2 2

Reemplazando estos resultados en (1), se tiene

P L, 2- ,/cosx- cosx 3

or tanto, 1m 2 = -• .--->0 X 4

103

18 e 1 1 L, 2tagx- arcsenx

.- a cu ar zm------x~o senx

SOLUCIÓN

_2ta_g._x -_a_~_c_se_n!_ Lím 2tagx- arcsenx Lím( 2tagx- arcsenx)

L, 2tagx- arcsenx L, X x-XJ X x~O X zm = zm = ____ ::.o_ __ = _ ____;__ _____ -=-

x-X> senx x-Xl senx L, senx 1 zm--X ·'"~ X

L, ( 2tagx- arcsenx)

x~lf! x = 2Lím tagx- Lím arcsenx = 2-1 = 1 1 x~O X x-'>0 X

P L, 2tagx- arcsenx

1 or tanto, zm = x~o senx

19 e 1 1 L, sen(~ -2)

.- a cu ar zm 2 x~O X

SOLUCIÓN

, sen(~y+4 -2)Uy+4 -2) , sen(~y+4 -2) , ~y+4 -2 , ~y+4 -2 Lzm = ,L.Jm .Lzm- = 1.Lzm y~O y(~y+4 -2) .yy+4-2~0 ~y+4 -2 y~O y y~O y

P L, sen(-Jx2 + 4- 2) 1

or tanto, zm 2

=-x~O X 4

20 e 1 1 L, l00sen3x + 200cosx

.- a cu ar un X~- X

SOLUCIÓN

La función seno y coseno son funciones acotadas entre -1 y 1

Es decir -1 :::; sen3x :::; 1 --+ -100 :::; 1 OOsenx :::; 100

Y -1 :::; cosx:::; 1--+ -200:::; 200cosx:::; 200

(1)

(2)

104

Sumando (1) y (2) y dividiendo por x, se tiene

-300 ~ 100sen3x + 200cosx ~ 300 X X X

Aplicando la regla de Sandwich

Lím -300 ~ Lím(100sen3x+200cosx) ~ Lím 300 ::::> 0 ~ Lím(IOOsen3x +200cosx) ~ 0 x-H<JO X x-¡.~ X x-¡.+oo X x-¡.+oo X

P L, 100sen3x+200cosx

0 or tanto, zm = X-)>+oo X

21 e 1 1 L, -Jx4 -x4sen2x

.- acuar zm-----x-+0 1-cosx

SOLUCIÓN

L , ~x4 - x4sen2 x L' x2 -J1- sen2 x L' x2 L' x2 (1 + cosx) 2L, x2

zm = zm zm---- = zm = zm---;HO 1-cosx HO 1-cosx x--¡.0 1-cosx x-)>Ü (l-cosxX1+cosx) x-)>Ü 1-cos2

X

2Lím x2

= 2Lím-x-2

- = 2Lím(_!_)2

= 2 x--¡.0 1- COS2 X . x--¡.0 sen2 X x--¡.0 senx

~x4 -x4sen2x Por tanto, Lím = 2

x--¡.0 1 - COS X

22 e 1 ul L, 1 - e os 3x

.- a e ar zm--x-¡.O 1-cos4x

SOLUCIÓN

1- cos3x 9 Lím 1- cos3x Lím 1- cos3x = Lím x 2 = HO (3x Y = 9(1 1 2) __ 9 X--)>0 1-cos4x x-)>Ü 1-cos4x 16L' l-cos4x 16(112) 16

xz xJm (4xY

105

x3 +1 23.-Calcular Lím 2

x--+-1 sen(l- x )

SOLUCIÓN

x3 +1 L' x3 + 1 L' x3 + 1 L' x3 + 1 x 2 -1

zm-- zm-- zm--Lím =

x~-1 x2 -1 =

x~-1 x2 -1 x~-1 x2 -1 =

x--+-1 - sen(x2 -1) L, sen(x2 -1) L, sen(x2 - 1) 1 x 2 -1

- zm zm 2 x~-1 x2 -1 x2-l~O X -1

= - Lím x3 + 1 = - Lím (x + 1 Xx2 + x + 1) = - _l_ = ~ x-+-Ix

2 -l x--+-1 (x-tXx+l) -2 2

x3 +1 3 Por tanto, Lím 2

x--+-1 sen(l- x ) 2

3.6.-CALCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARITMICOS

1- e3x l.-Calcular Lím--

.Ho 1-cosx

SOLUCIÓN

e3x -1 e3x -1 1- e3x 2 x2 , e3x -1 o e3x -1 o 1

Lím =- Lím x =- Lím---'--'-- =- 2Lzm = -2 3Lzm--- Lzm-x~o 1- cosx x~O 1- cosx x-70 1/2 X~ x 2

o 3x~O 3x o X~ X

o 1 = -6.Lzm- =±<X:>

x~O X

x2

l-e3x Por tanto, Lím = ±<X:>

x~o 1-cosx

L , (llx) 2.-Calcular lme

X4Ü

SOLUCIÓN

Calculando el limite por la derecha e izquierda del punto de acumulación O

a).-Líme(ux) = e-IW =+<X:> yaquee >O x~o+

106

b).- Líme(ttx) = e-oo =O x~o-

3.-Calcular Líma-Jx2

+x, X~ -<lO

SOLUCIÓN

1 yaqueO <- <1

e

0<a<1

T rab,Yando dentro del radical .J x' + x ~ ( x + i)' 1 4

Lim ~ x2 +x +oo Aplicando el límite a la potencia ax--+-<0 = a = 0 ya que 0 < a < 1

Por tanto Lím a -J.·hx = O ,

4.-Calcular Líme(ll.t2

)

x~-oo

SOLUCIÓN

Analizando la potencia

1

S.-Calcular Límex-t x~l+

SOLUCIÓN

Analizando la potencia

107

__!__ Lim __!__ Luego, Límex-I = e._,¡+x-I =e+"" = +oo

x--¡.J+

1

Por tanto, Límex-I = +oo x--¡.J+

, (1+x)3 -1 6.-Calcular Llm

2 x--¡.() Ln(x +1)

SOLUCIÓN

Dividiendo por x2 al cociente, se tiene

(l+x)3 -1 L' (1+x)3 -1 L' (l+x)3 -1 2 zm 2 lm 2 . (1 )3 1 (1 1)( 2 1) Lím X = x--¡.0 X = x--¡.0 X = Lím +X - = Lím +X- X +X+

HO Ln(x2 +1) L' Ln(x2 +1) 1 x--¡.0 x2 x--¡.0 x2 lm-~--'-

x2 x2--¡.0 x2

, (l+x)3 -1 Por tanto, Llm

2 = +oo

HO Ln(x + 1)

7.-Calcular Lím ~nx X-)1 X -1

SOLUCIÓN

Haciendo un cambio de variable, se tiene

x-1=y=>x=y+1 Si x~1=> y~O

Luego,

Lím Lnx = Lím Ln(y + 1) = Lím Ln{y + 1) = Lím Ln{y + l) .Lím 1 =l._!_=_!_ HI x2 -1 y-)o {y+1Y -1 y--¡.o {y+1-1h+1+1) y-)o y y-)o (y+1+1) 2 2

P L, Lnx 1

or tanto, zm-2

- = -x--¡.J X -1 2

x-2 S.-Calcular Lím---

H2 Lnx-Ln2

108

SOLUCIÓN

Haciendo un cambio de variable, se tiene

X- 2 = y => X = y+ 2 Si X --} 2 =>y --} o

Luego,

y

Lím x- 2 =Lím y =Lím y = 2Lím 2 = 2 H2 Lnx-Ln2 y~o Ln(y+2)-Ln2 y~o {y+2) !:--+0 {y ) L -- 2 L -+1

x-2 Por tanto, Lím == 2

H2 Lnx-Ln2

x-a En general se demuestra que Lím = a

x-'>a Lnx- Lna

1

9.-Calcular Lím(1 + tagxJ:;;;;

x--+0 1- tagx

SOLUCIÓN

Llevando al número e

2 2

1

,~1+tagxJs~zx , ( 2tagx J(~::::)(:~:JsetLY Lz =Llm 1+---x-'>o 1 - fagX .HO 1 - fagX

2tagx Y a que x --+ O =:> --+ O

1-tagx

1 l

,~1 + tagxJ:;;;_; ( )Lfm( 2tagx)senx Luego, L1 == e x--.o 1-tagx x-'>o 1- tagx

senx

Desarrollando Líj tagx J-1- = Lím ~ 1 = Lím 1 = 1

x--:~\ 1- tagx senx HO 1- tagx senx HO (1- tagx )cos x

l 1

Reemplazando se tiene Lím =(e )x-->~ I-tagx = 1 (1 + fagxJsenx Lí ( 2tagx )senx

x--+0 1- tagx

109

1

Por tanto, Lím · = 1 (1 + tagxJsenx

HO 1-tagx

1

(1 + senxJsen2

x 10.- Calcular Lím ---HO 1-cosx

SOLUCIÓN

Usando el número e

1

, (1+senx)se~2x , ( senx+COSX)(se:::.o:x)(se~:o~::x)sen2x Lzm = Lzm 1 + -----x~ 1-cosx ~ 1-cosx

. senx+cosx Ya que sz,x~O=> ~oo

1-cosx

1 1

Luego, Lím = e .~ senxtcosx ( 1 + senx )senx ( )L' ( 1-cosxx Jsen2x

x--?0 1-cosx

Desarrollando

L , ( 1- cos X J 1 L, ( 1 - cos X J 1 L, ( 1- cos X J 1 zm --- zm - zm ----HO senx+cosx sen2x- HO senx+cosx (1-cos2 x)- x~ senx+cosx (1-cosxX1+cosx)

_ Lí.,.,( 1 J 1 _ 1 - x~\senx+cosx (1+cosx) -2

1 1

(1+senx)senx J 1-cosxx )smi'-; 1

Reemplazando se tiene Lím =(e )..::ó\seiiX+cosx " =-.Ho 1-cosx 2

1

Por tanto, Lzm =-, ( 1 + senx )sen2x 1 -"~ 1-cosx 2

1

11. -Calcular Líny{x )sen2x X-?Ü

SOLUCIÓN

1 1- x-1

( ) 1 ( ) -sen2x Lím-Lím 1 +X -1 sen'x = Lím 1 +X -1 (x-

1) (x-l) = ex->'Jsen2

x =e -oo =o x~o -"~

110

1

Por tanto, Lím(x )sen2x =O X--?0

l

12.-Calcular Lím(1 + sen2xJcosx-l x-?O+ 1- sen2x

SOLUCIÓN

_1 _ 1-sen2x 2sen2x _I _ i ZsenZx ~ , (1+sen2x)cos:c-1 , ( 2sen2x )2sen2x·1-se112xcos:c-l Lit0 -1_ 2 . _1 Lzm = Lzm 1 + =e·_, se, x cosx

x-?D+ 1- sen2x Ho+ 1- sen2x

Lím(2sen2x) 1 =Lím(2sen2x) (cosx+1) =Lím(4senxcosx) 1 =-oo HO 1-cosx (cosx-1) HO 1-cosx (cosx-1)(cosx+l) HO 1-cosx -sen2x ·

1

(1 + sen2x)cos:c-1 Luego, Lím = e-oo =O

x-?D+ 1- sen2x

111

CAPITULO IV

CONTINUIDAD Y DERN ADA

4.1.-DEFINCIÓN DE LA DERIVADA

En los problemas siguientes usar la definición de la derivada. f' ( x0 ) = Lím f ( x) - f ( Xo)

l.- Calcular f' ( x0

) de la siguiente función f (X) = 'Jj;;x

SOLUCIÓN

Debemos de calcular la derivada en un punto del dominio de la función

a Por tanto, f' (x0 ) = ~ r::.

3\¡ax0

2.- Calcular f'(x)de la siguiente función f(x) = x5

SOLUCIÓN

x-">-.'"o X-X0

! '( )-L' (x+h)5-x

5 -L' (x+h-x)((x+h)

4+ .......... +x

4)_L' ( h)4 4_ 5 4 x - zm - zm - zm x + + .......... + x - x

h-'>'Ü h h-">-0 h h-'>'Ü

Luego, f'(x) = 5x4

3.- Calcular f'(x)de la siguiente función f(x) =ex

SOLUCIÓN

112

Luego, /'(x) =ex

4.~ Calcular /'(x) de la siguiente función f(x) = sen2x

SOLUCIÓN

f' ( x) = Lím sen2( x + h)- sen2x = Lím sen(2x + 2h)- sen2x = h--'>0 h h--'>0 h

l, sen2x.cos2h+sen2h.cos2x-sen2x L' sen2x(cos2h-1)

2L, sen2hcos2x = ,zm = zm + zm----

h--'>0 h IHO h h--'>0 2h

2 2 L, {cos2h-1)

2 2 , sen2h

sen x zm + cos xzm--IHO 2h h-40 2h

Y L, (cos2h-1)

0 aque zm = y 21H0 2h

Luego, f'(x)=2cos2x

Límsen2h =l 2/HO 2h

5.~ Calcular f'(x) de la siguiente función f(x) = Lnx

SOLUCIÓN

f'(x)=LímLn(x+h)-L11X =Lím L{ ~) =Lím!L{x+h)=LímLn(x+h)i h--'>0 h h--'>0 h h--'>0 h X h--'>0 X

{ )

_1_ ( )_1_ ( )!_ !!__1_ 1 x+h 11 x+h 1z h ll"xh - 1 LímL -- =LnLím -- =LnLím 1+- =Lnex =-h--'>0 X h--'>0 X h--'>0 X X

1 Luego, f'(x) =

X

6.-Demostrar que (kf)'(x) =kf'(x)

SOLUCIÓN

(kf)'(x) = Lím (kf)(x+h)-(kf)(x) = Límk(f(x+h))-kf(x) = Límk(f(x+h)- f(x)) h--'>0 h h--'>0 h . h--'>0 h

kLímf(x+h)- f(x~ = kf'(x) h--'>0 h

113

Luego, (kf)'(x) = kf'(x)

4.2.-PROPIEDADES DE LA DERIVADA

1.- Calcular f'(x) de las siguientes funciones

a).- f(x) = x 6 (l- cos2x)6

b).- f(x) = (arctagx}"

SOLUCIÓN

a).- f(x) = x 6 (l- cos2x)6

f' (x) = 6x5 (1- cos2x )6 + 6x6 (1- cos2x )5 (- 2sen2x)

f'(x) = 6x5 (1-cos2x)6

-12x6 (1-cos2x)5(sen2x)

b).- f(x) = (arctagx)x

f(x) = (arctagx}" ~ Ln(f(x)) = xLr/...arctagx) ~ f' (x) = Ln(arctagx) + x 1

(-1

-2

)

f(x) arctagx l+x

f'(x) = f(x)(Ln(arctagx)+x 1

(-1- 2 )J arctagx l+x

2.-Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto P, cuya abscisa es x=l, de la curva

3 2 X y 5

e·-+-=-. y2 x3 3

SOLUCIÓN

Para funciones dadas en forma implícita, la recta tangente tiene por ecuación

Calculando dy(xo,Yo) dx

x3 y2 5 De la curva C:-+- =

Y2 x3 3

114

Luego dy(x,y) = 3Y dx 2x

-Ji -Ji r;; r;; Los puntos de tangencia serán: P., (1,- 2 ), P2 (1, 2 ), ~ (1, --v 2) y P4 (1, -v 2)

3-/i Lt3 :y--Ji =-(x-1)

2

3-/i Lt4 :y+-/i =-(x-1)

2

3.-Calcular la ecuación de la recta tangente en el punto P de la gráfica de la función cuya

abscisa es x=a si x2 - a.JXY + y 2 = a2

, a > O

SOLUCIÓN

Calculo de la ordenada, reemplazando x=a en la ecuación

Luego, y= a Por tanto el punto P tiene como coordenadas P(a,a)

Calculo de la pendiente / = mr

ay 2x---

2 ay 1(. ax 2 J 1 2-foY 4x.JXY -ay x- 2-Jzy =y 2-[XY- y =>y = ~-2y = ax-4y.Jzy

2fXY

115

. . I 4a-f¡W - aa 3a2

Evaluando la pendtente en el punto P(a,a), se tiene y = _¡¡¡;; = -~2 = -1 aa-4a aa -3a

Por tanto, la recta Tangente en Pes dado por Lr :y- a= -1(x- a)

{

x, O <x<1

4.-Analizar la derivabilidad de la siguiente función f(x) = 2- x, 1 :S: x :S: 2

3x-x2 x > 2 '

SOLUCIÓN

Para analizar la derivabilidad de la función debemos de tener presente que la función sea

continua en un punto. Luego, mediante definición de la derivada, se calcula la derivada en ese

punto. Por ejemplo, Analizaremos la continuidad de la función en los puntos x= 1 y en x =2

Análisis de la continuidad para x= 1

a).- /(1) = 2-1 = 1

{

Lín}(2 - x) = 1 b).-Límf(x)= x-:I ~Límf(x)=1

x-ti Lzm X = 1 x-ti x-ti+

e).- f(l) = Lím f(x) = 1 x--tl

Por tanto, la función es continua en x = 1

Analizando la derivabilidad en x = 1

¡ , x-1 _

1 f_(1)=LÍ11'j-=1

f'(1)=Límf(x) /()= x-ti x- 1 ~/'(1)Noexiste x--tl x -1 ~~ (1) = Lím 2- X -1 = _1

x--tl+ X -1

Por tanto la función no es derivable enx =1

Análisis de la continuidad para x=2

a).- /(2) = 2- 2 =O

116

{

Lím(2-x)= O b).-Límf(x) = x---1>

2-(

2) ~ Límf(x)noexiste

x42 Lím 3x-x = 2 -"41

X42+

Luego, la función no es continua en x =2. Por tanto, la función no es derivable en ese punto

{

2-x2 x <2 5.-Analizar la derivabilidad de la siguiente función f(x) = 2 l' l

X -4X +2, X 2 2

Analizando la continuidad en x = 2

a).- f(2) = 22 - 4121 + 2 = -2

{

LíJ1!(2 - x 2) = -2 b).-Límf(x)= H

2 ( ) ~Límf(x)=-2

x42 Lím x2 -4lxl +2 = -2 H2 H2+

e).- /(2) = Lím f(x) = -2 X42

Por tanto, la función es continua en x =2

Analizando la derivabilidad en x =2

f'(2)=Límf(x)- /(2) = x42 x-2

f , (2) L, 2 - x2 + 2 L, 4 - x2 4 = lln = lln =-- x42- 2 X -121 HT x- 2 ~ /'(2) No existe , x -4x +2+2

/+(1) = Lím =O x42• x-2

Por tanto la función no es derivable en x =2

6.-Analizar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función

[2+ ~} x<-3 f(x)=

3/x+3 x2-3 -v~·

SOLUCIÓN

Analizaremos la continuidad en x= - 3

a).- f( -3) =O

117

b).-Límf(x) = x~-3 L, ~X + 3 O zm3 -- =

x~-3+ x-3

Lím_([2 + 3_JJ = 2 + Lím_([3_JJ = 2 -1 = 1 x~-3 X x~-3 X

~ Lím f(x) No existe ~-~-3

Por tanto, la función es no continua en x =-3

Analizando la derivabilidad en .X =-3

Como la función no es continua en x =-3 se concluye que la función no es derivable en x =-3

7.-Calcular las derivadas laterales de la siguiente función. Existe la derivada en x =O?

SOLUCIÓN

x>O

x:s:;;O

{x 2 + 4x+ 5,

Simplificando la función, se tiene f (X) = 5

_ X 2, '

Calculo de las derivadas laterales

{2x+4,

f'(x) = -2x

'

x>O x<O

Existencia de la derivada en x =O

x>O

x:s:;;O

L, x

2 +4x+5-5 L' x

2 +4x

4 zm = zm = f'(O)=Límf(x)-f(O)= H-O- x H-0- x ~f'(O)Noexiste

x~O X-0 5 X 2 5 Lím - - =0 x~-o+ X

Por tanto, la función no es derivable en x =O

8.-Calcular la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = X2 +X+ 1

Sabiendo que dicha recta pasa por el punto P(37,0)

SOLUCIÓN

La ecuación de la recta tangente en un punto P(xo yo) de la gráfica de la función es dada por

118

Y la recta normal en P(xo,Yo) es dada por

Calculo de la pendiente de la recta tangente f' (x) = 2x + 1

1 Calculo de la pendiente de la recta normal -

2x +

1

La recta nonnal pasa por el punto P(37,0), y por el punto de tangencia P(Xo,Yo) luego su

pendiente será

. 1 _ Yo -0 x0 -37 _ y0 (2x0 +1) mN. - =>- - =>

2x0 + 1 x0 - 3 7 1 1

Luego, el punto de tangencia hallado será P(2,y0 ) = P(2,7)

Por tanto, la recta nonnal a la gráfica en el punto P(2, 7) es dada por la ecuación

1 LN :y-7 = --(x-2)

5

9.-:Hallar la derivada de la función

SOLUCIÓN

Aplicando logaritmo natural se tiene

Derivando implícitamente

(1)

119

Sea t = Xex . Aplicando nuevamente logaritmo natural a es nueva función y derivando

implícitamente se tiene

Lnt = e' Lnx ==> :· = e' Lnx + e: ==> t' = x''( ex Lnx + e: J (Z)

Reemplazando (2) en (1) se tiene que

y'= / [ [ x'' (e' Lnx + e: ) )Lnx + x:· J

10.-Dada la ecuación xarctagy + yarctagx = tr 2

a).-Hallar la derivada de y

b ).-Calcular la recta tangente en el punto P(1,1)

SOLUCIÓN

a).-Derivando implícitamente

ff 1 1 xarctagy + yarctagx =- => arctagy + x.--

2 .y'+y' actagx +y. --

2 = O

2 1+y 1+x

Despejando/,

1 arcatagy +y. --

2 y'=_ 1+x

1 x. --

2 + arctagx

1+ y

b ). -Calculando la recta tangente en el punto P(1,1)

Reemplazando, se tiene

1 arctag(1) + 1.--

2 y' (1,1) = - 1 1 + 1 = -1

1.--2

+ arctag(1) 1+1

120

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 1) es dada

LT :y-1=-1(x-1)

SOLUCIÓN

Derivando

2 x3

-1 1 ( - 2x J( 2 ) 1 r:-2 y'= x arccosx +- -- x +2 - -"1/1- x- .2x 3 -J1- x 2 9 2~1- x 2 9

Simplificando

, 2 x3

1 ( x J( 2 ) 2x ~ y = x arccos x- +- x + 2 -- '\} 1- x 3~1-x2 9 ~1-x2 9

2 3x3 x3 2x 2x ~ y'= x arccos x- r::--? + r::--? + r::--? - 9 '\} 1- x-

9--J 1 - x2 9\} 1 - x2 9\} 1 - x2

3 2 3 , 2 2x x y = x arccos x - r::--? + r::--?

9\} 1- x2 9\} 1- x2

1 2 Por tanto, y = x arccos x

12.-Calcular y1 siendo y= ~senx- sen2x +arcsen.J1- senx

SOLUCIÓN

Derivando

, cosx-2senx.cosx 1 1 y= + -cosx

2 1 2 1 { ¡ \2 2-J1- senx '\} senx- sen x \fl- \'V 1- senx}

¡~

Simplificando

r cos x(1 - 2senx) y---;=~=~~

- 2-J senx -JI- senx

cosx

cosx ( ) y'= 1- 2senx -1 2 .,J senx ")1 - senx

y'= cosx.senx ~1- sen2x.senx -JI- senx")l + senx.senx

-J senx-JI- senx = -..} senx-J1- senx =- -J senx-Jl= senx

Por tanto, y'= -.,JI+ senx . .,J senx

B.-Calcular y1 siendo y= x(arcsenx )2 - 2x + 2~I- x2 .arcsenx

SOLUCIÓN

Derivando

f )2 1 2( -2x) ~ 1 y'= \arcsenx + x.2arcsenx. r.:--? -2 + r.:--;¡ .arcsenx + 2\fl- x- r.:--;¡

xJ1- x2 2xJ1- x2 1}1- x1

Simplificando

{ )2 2xarcsenx 2x y'= \arcsenx + r.:--? - 2- ¡:----= .arcsenx + 2

xJ1-x2 \,11-x2

Por tanto, y'= (arcsenx Y

I4. -Calcular y1 siendo Y = arctag( ~) + arctag( ~)

SOLUCIÓN

Derivando

Simplificando

-2 2 y'= + =Ü

x2 +4 x1 +4

122

Por tanto, y'= O

2 15.-Calcular y1 siendo Y= 3arctg

SOLUCIÓN

Derivando

2 1 5tag(~)+4 y'=-

3 5tag(~)+4

2 3

1+ 3

Simplificando

1 2 1 1 2( X) 1 =- 5sec - .-3

5tag(~)+4 2 3 2 2

1+ 3

y'=~ 9 .~sec2(x} ~5 sec2(~} ~ 3 ( (x) J2

6 2 9+25tag2x+40tagx+16

9+ 5tag - +4 2

y'~ sec2(1) ~ __ 1 __

sec2( ~X 5sen

2G) + 8sen(~ )co{ ~) + 5 cos2( ~) J 5

+ 4

senx

123

t 1 Por tanto, Y =

5 4 + senx

2 16.-Calcular y1 siendo Y= 3arctg

SOLUCIÓN

-arccotg

Stag - +4

[ (X) J Del ejemplo anterior Basta calcular la derivada de B=arccotg 3

2

En efecto

Bl= -1 5tag(~)+4 1 -1 1 2( X) 1 = 2 35sec 2 .2

5tag(~)+4 2 3

5tag(~)+4 1+ 1+

3 3

Simplificando

1 - 9 5 2 ( x) 15 sec

2

( 1) y= ( (x) J2 .6sec 2 = -2 9+25tag2x+40tagx+16 =

9+ 5tag - +4 2

124

reemplazando se tiene

' 1 (3 1) 5 y = 5 + 4senx - - 2 · 5 + 4senx = 1 O+ 8senx

' 5 Por tanto, Y= 10 8 + senx

17.-Calcular y11(xJ'). Siendo y 2 = 2ax3

SOLUCIÓN

Calculo de y1

· 3ax2

Si y 2 = 2a.x3 ~ 2Y.Y'= 6ax 2 ~ y'(x,y) = -y

Calculo de y11

S . '( )_3ax2

"( )_6a.x.y-3a.x2y'

1 y x,y - =>y x,y -2 y y


6 2 9 2 4 "( ) _ a.xy - a x y x,y - ~

y'

3 1 2 · 5 +4senx

(1)

(2)

18.-Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto Po(xo, 2) de la gráfica de la

función da por: f(x) = ~lxl + x

SOLUCIÓN

125

Derivando:

1 1(12 )-2/3( 2x ) 1 (x J 1 (x+lxiJ l(x)=-\]x- +x . - 12 +1 = ( t 3 -

11

+1 =~\273 -~-~ 3 2\fx- 3{;2 +x x 3\{;2 +xj x

, 1 (x+!xiJ ~xl +xt3

Y 1 Y Simplificando 1 (x) = 3~xl +xt3 -lxl- = 3lxl = 3lxl ~ 1 (x) = 3lxl

1 Por tanto Lt : Y- 2 = 6 ( x- 4) y LN: Y- 2 = -6( x- 4)

19.-Calcular y'"(x,y) siendo x2 + y 2- a2 =O

SOLUCIÓN

Derivando ambos miembros y despejando y1 : y'= - x

y

x2 + 2 a2 Derivando por segunda vez y''= ---/- = - 3 y y

3x(x2 + y 2) 3xa2 Derivando por tercera vez y'"=- = ---

ys ys

20.- Calcular y' siendo ysenx+ xseny- k= O

SOLUCIÓN

Derivando ambos miembros y : y' senx+ ycosx + seny+ y' xscos y= O

despejando y1 y'(senx+xcosy) = -ycosx-seny

P . , ycosx+seny

or tanto, y= (senx+xcosy)

{x = te1

21.- Calcular y' siendo y= te-1

SOLUCIÓN

126

dy

Usando y'= dt dx dt

. e-1 - te_, e-2'(1- t) Se tiene y'= ~ y'= ---.-'--....----:.-

e' +te' (1 + t)

e-2'(1- t) Por tanto y'= ___..,.--'---~

' (1 +t)

{

X= tesent 22.- Calcular y' siendo

Y= tecost

SOLUCIÓN

. ecos/ - tsentecost . ecos ti (1- tsent) Se tiene y'= ~y!= -----.,.:'-------7

esent +tcosteset~tl esent(1+tcost)

' ecost-sent (1- tsent) Por tanto, y = ( )

1 +tcost

{x=tagt

23.- Calcular y' siendo y= cotgt

SOLUCIÓN

. -cosec2t 4 Se tiene y'= 2 ~y'= -cosec t

sec t

Por tanto, y'= -cosec4t

{x=t-sect

24.- Calcular y' siendo y=t-cosect

SOLUCIÓN

S . , 1+cosect.cotgt , sect.tagt+1 e tiene y = ~ y = ----;-.;o__ _____ )

1- sect.tgt sect.tagt(l- sect.tagt

P , sect.tagt+l

or tanto, y = ----,--=------sect.tagt(I- sect.tagt)

> :.··

127

4.3.-APLICACIONES DE LA DERIVADA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS

3

l.-Dado la función f(x) = x 2

, x ;t: -1 (x+1)

Calcular

a).-Los puntos críticos si hubiera

b).-Los intervalos de crecimientos o decrecimientos

c).-Los intervalos de concavidad y el punto de inflexión si hubiera

d).-Las asíntotas oblicuas si hubiera

SOLUCIÓN

a).-Los puntos críticos si hubiera

Calculando la derivada de la función f

Hallando los puntos críticos x2

(x + ~) = O ~ x = O v x = -3 (x+1)

Luego, los puntos críticos son PC = {- 3,0}

b).-Los intervalos de crecimientos o decrecimientos

Calculando los intervalos de crecimiento

Si x < -3 ~ f' (x) >O~ f crece en }- oo,-3[

Si -3 < x < -1 ~ f'(x) <O~ f decrece en }3,-1[

Si -1 < x ~ f'(x) >O~ f crece en }-1,+oo[

c).-Los intervalos de concavidad y el punto de inflexión si hubiera

Calculando la segunda derivada de la función f

f"(x) = 6x (x + 1)3

128

6x Hallando los puntos críticos de inflexión = O ---+ x = O

(x + 1)4

Luego, los puntos críticos son PCI = to}

Analizando la concavidad, teniendo presente que existe una asíntota vertical en la recta x =-1

Se tiene

Si x < -1---+ f" (x) <O---+ f es convava hacia abajo en ]- oo,-1[

Si -1 < x < O---+ / 11 (x) <O ---+ f es convava hacia abajo en ]-1,0[ (1)

Si O < x ---+ f' 1 ( x) > O ---+ f es convava hacia aarriba en p, +oo[ (2)

De (1) y (2) la función tiene un punto de inflexión que es P(O,O)

d).-Las asíntotas oblicuas si hubiera

Una asíntota oblicua está representada por la recta y= mx+ b, m ::f:. O

Donde m= Lím f(x) y b = Lím(f(x)- mx) X--)±oo X X---)±00

x3

(x+1)2

x3

( x3 J Calculando m= Lím = Lím

2 = 1 b = Lím

2 -x = -2

X-)±<>:> X X--)±oo x( X + 1) X--)±oo (X + 1)

Por tanto la única asíntota oblicua es la recta y = x- 2 .

2.-Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimientos, extremos relativos, los

intervalos de concavidad y puntos de inflexión de la siguiente función

x4 x3 2 f(x)==----x +1

12 9

SOLUCIÓN

Por ser un polinomio el dominio es el conjunto de números reales

Derivando para hallar los puntos críticos

x3 x2 /

1(x)==----2x 3 3

129

f'(x)==O<=>~- x2

-2x=0=> x(x2

-x- 6) =0=> x(x+ 2)(x- 3) =O:=>x=O x=-2 x=3 3 3 3 3 ' '

Luego, los puntos críticos son PC = {- 2,0,3}

Calculo de los intervalos de crecimientos y de decrecimientos

Analizando el signo de la derivada en los intervalos siguientes

Si x < -2 => f'(x) <O~ luegolafunciónesdecrecieneenelintervalo} oo,-2[

Si -2 < x <O~ f'(x) >O=> luegolafunciónescrecienteenelintervalo }2,0[

Si O< x < 3 => f' (x) <O=> luego la función es decreciene en elintervalo ]o,3[

Si 3 < x => f'(x) >O=> luegolafunciónescrecienteenelintervalo ]3,+oo[

Por tanto, en los puntos P(-2,- 2), Q(3,-17

) la función tiene mínimos relativos y en el punto 9 4

R(OJ) tiene un máximo relativo.

Calculo de los intervalos de concavidad

3 2 2 De f'(x)==3__3__2x~ f"(x)=x 2 -~-2

3 3 3

2x 1-$9 1+$9 f"(x)==0<=>x 2 ---2=0~3x2 -2x-6=0~x1 = ~-1,12vx? = ~1,79

3 3 ~ 3

Calculo del signo de la segunda derivada

Si x < -1,12 => f"(x) >O=> luego la función es concavahaciaarribaen el intervalo} oo,-1,12[

Si -1,12 < x < 1,79 => f"(x) <O~ luegolafunciónesconcavahaciaabajoen el intervalo} 1,12,1,7s{

Si 1,79 < x => f"(x) >O~ luego la función es concavahaciaarriba en elintervalo ),79,+oo[

Por tanto, la función tiene dos puntos de inflexiónT0 (-1,12,0,03), T¡ (1,79,-1,99)

3.-Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la función

130

SOLUCIÓN

. 1( 3 )-2/3 2 x2 -1

Denvando: f'(x) =- 4x -12x .(12x -12) = ( \213 3 4x3 -12x)

PC = ~-J3,-1,0,1,"/3}

{x < -1: f'(x) >O

Si 1>x>-1:f'(x)<0 Luego f(-l)= 2 valormáximorelativo

{-1<x<l:f'(x)<O

Si 1 < x: f' (x) > o luego /(1) = - 2 valor mínimo relativo

Por tanto intervalos de crecimientos: x < -1, x > 1

Y de decrecimiento: -1 < x < 1

4.- Graficar y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos de la

funciónf(x) = (x2 -tt2

SOLUCIÓN

Debemos de encontrar el dominio

Luego, Don(f) = }-oo,-1]u[l,+oo[

Buscando los puntos críticos de la función

Derivando f'(x) = _¿(x2 -lt 2.2x =O=> x = 1 v x = -1 v x =O

2 Como x=O no pertenece al dominio entonces los puntos críticos serán

PC = {-1,1}

Analizando los intervalos de crecimiento

Si x > 1 => f'(x) >O, luego, la función crece en [1,+oo[

Si x < -1 => f'(x) <O, luego, lafuncióndecreceen J. oo,-1]

131

La función solo posee un valor mínimo absoluto igual a O en x=-1 , x=1

Grafica


funciónf(x) = ( 1 Y

x-1

SOLUCIÓN


Dom(f) = R/{0}

Luego, Dom(f) == R/{0}


Derivando f' ( x) = -2(x - 1 Y3 no existe la derivada en x = 1

El punto crítico será PC = {1}


Si x > 1 => f'(x) <O, luego,lafuncióndecreceen [l,+oo[

Si x < 1 => f'(x) >O, luego, la función crece en }oo,-1]

Función no posee máximo ni mínimo

132

Grafica


funciónf(x) = + X +4

SOLUCIÓN


Dom(f)=R

Luego, Dom(f) = R


-x2 +4 Derivando f'(x) = ( \2 = 0=> x = 2 v x = -2

x2 +4J

Los puntos críticos serán PC = {- 2,2}


Si x < -2 => f'(x) <O, luego,lafuncióndecreceen }oo,-2]

Si - 2 < x < 2 => f' ( x) > O, luego, la función crece en[- 2,2]

Si x > 2 => f' (x) < O, luego, la función decrece en[2, oo[

Notamos que hay cambio de signo en las derivadas

Luego, la función posee un valor mínimo igual-114 en x =-2

133

Y un valor máximo igual a Y4 en x=2

Grafica

-1

-2

-3

134

4.4.-L'HOSPITAL

l.-Usando L'Hospital. Calcular los siguientes límites:

L , (tagx-senx) a). zm ----==-----x-->0 sen3x

SOLUCIÓN

b). Lím cos 2 ( J

3x2

x~+oo X

L , (tagx-senxJ O L' (sec2 x-cosxJ L' ( 2sec

2 xtagx+senx J a). zm = - ~ zm = zm

x-->0 sen 3x o x-->0 3sen2x.cosx x-->0 6senx.cos 2 x-3sen 3x

Simplificando:

L , (tagx- senx) L' ( 2sec3

x + 1 J 1 w = w =-x-->0 sen3

X x-->0 6. COS 2 X - 3sen 2

X 2

P ta t L , (tagx-senx) 1 or no, 1m =-x-->o sen3x 2

Ln( cos~) 3 2 ( 2) 3 Lím 1 x

( 2 J x Lím 3x2 Ln cos- .x->+«>

b). Lím cos- =1 00 =ex->+<IJ X =e X2

x~+oo X

Simplificando

Ln(cos2J [co:2J.-sen~.- 2 x12 tag(-~J sec2(2J.--; 3L . X 3L' X 3L' X 3L' X X 1m

1 = un _

2 =- 1m----=- 1m

x~oo x~oo x~ 1 x~oo -1

X

Simplificando

Ln( cos~) sec2( ~ }2

-3Lim x = -3Lim x = -6 x~oo 1 x~oo 1

x2

3x2

Por tanto Lím(cos 2 J = e -6 ' x~+oo X

135

2.-Usando L' hospital. Calcular Hz:( co{ fJ) r SOLUCIÓN

Aplicando L'Hospital a la potencia

Lnco{P§J

b 1

X

Luego, aplicando limite y reemplazando se tiene

( (fJJJbx 5 5a --ah

Lím cos - =e 2

x-+t«> X

, 5a -513ab Por tanto Lzm cos {5a = e ( ( JJ

bx

'H-1® ~---.;

L, cos(senx) -1 3.-Usando L' hospitaL Calcular x~n; sen(cosx)+x

SOLUCIÓN

Derivando el numerador y a la vez el denominador

S t . L' cos(senx)-1 L' -sen(senx)cosx 0 e1~e n = n =

HO sen( cos x) + x HO - cos( cos x )senx + 1

L, cos( senx) -1

0 zm -Por tanto, HO sen( cos x) + x -

136

4.-Usando L' hospital. Calcular ~~~xLnx

SOLUCIÓN

Acomodando la función como xLnx = L~ X

Luego, reemplazando se tiene

1

Lím xLnx = Lím Lnxl = Lím xl = Lím- x = O x--tO x--tO x--tO x--tO

Por tanto, Lím xLnx = O x--tO

e3x -3x-l

5.-Usando L' hospital. Calcular Lím 2

x--tO Sen 5x

SOLUCIÓN

Derivando el numerador y el denominador

, e3x - 3x -1 , 3e3x - 3

L~ =L~ =oo x--tO Sen2 5X x--tO 2sen5X COS 5x.5

e3x -3x-l

Por tanto, Lím 2

= oo x--tO Sen 5X

. , xcosx- senx 6.-Usando L' hospital. Calcular Lzm

3 x--tO X

SOLUCIÓN


L, xcosx-senx L' cosx-xsenx-cosx L' -xsenx L' -senx lj zm = zm = zm = zm = - 3 x--tO X3 x--tO 3x2 x--tO 3X2 x--tO 3X

, xcosx- senx 1 Por tanto, Lzm

3 = --

x--to X 3

137

L' Lnx 7.-Usando L' hospital. Calcular x1~ ~

SOLUCIÓN

1

L , Lnx L' x L' 1 O lm--= zm-= zm-= x-+t«> X x~O 1 x~+oo X

Por tanto, Lím Lnx = O x~+oo X

8.-Usando L' hospital. Calcular Lím Lnx.Ln(x -1) x~l+

SOLUCIÓN

Ln(x-1) Acomodando Lnx.Ln(x -1) =

1

Lnx


1 1 2 2 2Lnx.-

LímLn(x-1) =Lím x-1 =-LímxLn x ~-Líml.Ln x =--Lím x =0 -~~¡+ 1 x~l+ 1 1 x~l+ X -1 x~l+ X -1 x~l+ 1

----Lnx Ln2x" x

Por tanto, Lím Lnx.Ln(x -1) =O x~l+

9.-Usando L' hospital. Calcular Lím tagx x~O fag5X

SOLUCIÓN


2 Lím tagx = Lím sec x == 1/ HO tag5x HO sec2 5x.5 15

, tagx 1 Por tanto, Lzm --=

HO tag5x 5

138

4.5.-PROBLEMAS DE APLICACIÓN

l.-Hallar las dimensiones de un rectángulo de área 2a2 pulgadas cuadradas de modo que la

distancia de una esquina al punto medio de un lado no adyacente sea mínimo.

SOLUCIÓN

Haciendo un bosquejo del rectángulo

x/2 x/2

y

Sabemos que el área de un rectángulo es dado por

A(x,y) = x.y (1)

Y por Pitágoras la distancia de d(x, y) ~ ~y' + (1 J (2)

Por dato área es 2a2• Reemplazando en (1) se tiene 2a2 = x.y =::>y=

2a

2

(3)

4a4 x 2

Reemplazando (3) en (2) d(x) = --2- +

X 4

X

Derivando la función distancia para hallar las dimensiones del rectángulo, se tiene que

Luego, en x = 2a2 la distancia de una esquina al lado No adyacente es mínimo

139

32 Por tanto, las dimensiones del rectángulo serán x = 2a2 y y = -

az

2.-Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados que pueda

inscribirse en la región limitada por las parábolas P1 3y = 12- x 2 y P2 6y = x2 -12

SOLUCIÓN

Bosquejando el rectángulo entre la región limitada por las 2 parábolas

y.., (12-x"2)/3: -4,000000 <= :< <'"" "1.000000

y"' (:¡,....,2-12)/6; -<l,QQQQ00 <-X <- 4.000000

X

-3

Sea S la función área del rectángulo. Luego el área es dado por S(x,y) = x.y

De la gráfica tenemos que la base tiene longitud 2x y la altura por y = YI - Y2

Reemplazando se tiene que la función área es dado por S(x) = 2x(~(12- x 2 )- ~(x2 -12))

Simplificando S(x) = 12x- x 3

Calculandolospuntoscríticos Si S(x)=l2x-x3 ::::>S1(x)=12-3x2 =0=>x=2

Luego, obtenemos un solo punto crítico x = 2

Calculando la segunda derivada y luego comprobar que en x = 2 obtenemos el área del mayor

rectángulo.

Reemplazando se tiene que S11 (2) = -12 <O

Por tanto, El área del mayor rectángulo que se puede inscribir en la región limitada por las dos

parábolas es dado por S(2) = 12(2)- 23 = 16 u2

3.-Se tiene una rectangular de lados a y b, a< b. Se desea hacer con ella una caja sin tapa,

cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente las partes restantes.

Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen sea el

mayor posible.

SOLUCIÓN

· Haciendo el bosquejo de la caja

X

8-2x

X

8-2x l5-2x 15-2x

El volumen de la caja es dado por V(x) = x(15- 2x Xs- 2x)

Derivando para hallar los puntos críticos

Si V(x) = x(a- 2x Xb- 2x )=> V 1(x) = (15- 2x Xs- 2x )+ x(- 2X8- 2x )+ x(15- 2x X- 2)

Simplificando y hallando los puntos críticos

V 1 ( x) = l2x 2

- 92x + 120 = O =:> V 1 ( x) = (3x - 5 Xx - 6) = O =:> x = 513 v x = 6

Hallando la segunda derivada para obtenemos el volumen máximo

V 11 (x) = 24x-92

Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos

141

V11 (5/3) = 24(513)-92 =-52< O (1)

vu (6) = 24(6)- 92 =52 >o (2)

Luego, en (1) notamos que el valor de la segunda derivada en x=5/3 es negativo por lo que en

x=5/3 el volumen de la caja será mayor posible.

Por tanto, V(5/3) = (s13X15 -2(513)Xs-2(513))= 2450

u 3

27

4.-Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje X, los otros dos lados están

respectivamente sobre las rectas y = x 4y+5x = 20

Hallar el valor de y para que el área del rectángulo sea máximo.

SOLUCIÓN

20-4y Donde y= x1, X 2 = --'---

5

' (20-4y ) (20-9y) Area del rectángulo A= basexaltura =>A= y.(x2 -x1) =y. 5

-Y =Y· 5

·

Derivando para calcular y

Para que el área sea máxima la segunda derivada evaluada en y debe ser negativa. En efecto

Por tanto, para que el área sea máxima el valor de debe ser y = 10

9

5.-Determinar el rectángulo de área máxima contenido en la circunferencia de radio l.

SOLUCIÓN

La ecuación de la circunferencia de radio 1 es dado por C: x 2 + y 2 = 1

El área de un rectángulo es dado por A(x,y) = x.y

(1)

(2)

142

De (1) despejando la variable y y reemplazando en (2) se tiene

D . d ,1 . fun . , A'( ) 1- 2x2

envan o es u tlma cwn x = ~ 'J'1-x 2

e l 1 d 1 , . 1 - 2x2

0 + -fi

a cu an o os puntos cnticos ~ = ---+ x = _-'\/1-x2 2

Como el lado de un rectángulo no es negativo se tiene que x = -Ji . 2

Para el área sea máxima es cuando la segunda derivadas de A evaluado en el punto crítico

debe ser menor que cero

En efecto

A" (-Ji) =< O 2

-ti -ti Luego, el rectángulo es un cuadrado de lados x = - y = -

2 2

e , , . A(-fi Ji) -/2 -Ji 1 uyaareamax~maes -- =-.-=-

2 ' 2 2 2 2

6.-Un caño vierte agua en un cono recto invertido a razón de 18 cm3/seg. La altura del cono es

5/2 de su diámetro. A qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 12

cm. El cono?

SOLUCIÓN

V= Volumen del agua en cm3 cuando el nivel está ah cm. de profundidad

r= radio en cm. De la superficie de agua a una altura de h c.

1 5 h V= -Jt.r 2h y h = -(Diametro) = 5r---+ r =-

3 2 5

1 h2 Jt 3 Luego V= -Jt.-h = -h

3 25 75

143

D . d · al . dv tr h2 dh envan o respecto tiempo - = - -dt 25 dt

dv dh 25 Por dato-= 18cm3 Ah= 12cm ~-=-cm/ seg m m 8tr

7.-Hallar el área del mayor trapecio comprendido en la curvas y = 4 x- x2 y el eje x

-2 -1

Sabemos que el área del trapecio de base mayor B y base menor b y altura h es dado por

1 A=-(B+b).h

2

Llamaremos base menor a b=4-2x, altura y= 4x- x2 , la base mayor es 4

Buscando la función que dependa de x : A( x) = ! ( 4 + 4- 2x )( 4x- x2)

2

Derivando para obtener los puntos críticos

1 1 A'(x) = -(-2x)(4x-x2 )+ -(-2x)(4- 2x) = 3x2 -16x+ 16

2 2

4 Luego, A'(x) =O=> x = -v x = 4

3

Para saber si el área es el mayor posible hallamos la segunda derivada

A"(x) = 6x -16

144

Evaluemos en los puntos críticos, se tiene

A"(4/3) = 6(4/3)-16 = -8 <O

Lo que significa que en x = 4 1 3 el área será máxima

Por tanto, el área será: A=_!_ (8- 2( 41 3))( 4( 41 3)- ( 41 3)2) = 2561 27u2

2

xz yz 8.-Hallar el área del mayor rectángulo que puedan inscribirse en una elipse - +- = 1

9 4

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

El área de un rectángulo es dado por A= B.H

Tomemos B= 2x y la Altura H =2y y busquemos una función que dependa de x

,/36- 9x2 . ¡----:-

Luego A= 2x.2y = 4xy = 4x. = 2x-J36- 9x2

2

Buscando los puntos críticos A'= O:::> x =Ji

Analizando la derivada cerca de x = Ji se tiene en este punto encontramos el área del

rectángulo mayor

Por tanto, el área es A== 2J2-J18 = 12u2

145

S.-FORMULARIOS

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

2.- sen2u = 2senu. cos u

3.- cos 2u = cos2 u- sen2u

4 2 l-eos 2u .-sen u=---

2

5 2 l+cos2u .-cos u=---

2

6 t 2 1- cos 2u

.- ag u=---l+cos2u

7 ll+V U-V . - senu + senv = 2sen(--). cos(--)

2 2

8 U+V U-V . - sen u - senv = 2 cos(--).sen(--)

2 2

9 u+v u-v . - cos u + cos v = 2 cos(--). cos(--)

2 2

lo u+v u-v . - cos u- cos v = -2sen(--).sen(--)

2 2

. 1 11.- senu.senv =- (cos(u- v)- cos(u + v))

2

1 12.- cos u. cos v =- (cos(u -v) + cos(u + v)) 2

1 13.- senu. cos v =- (sen(u + v) + sen(u- v)) 2

1 14.- cosu.senv = 2(sen(u + v)-sen(u -v))

146

FÓRMULAS HIPERBÓLICAS

e" -e-11

l.~ senhu = ----2

e" +e-u 2.~cohu=---

2

.... eu -e-u ::>.- taghu = --

e u +e-u

eu +e-11 4.- cotaghu=--

eu -e-u

2 5.- sechu =--e" +e-u

6.- cosechu=--2

-e'' -e-11

8 /'coshu-1

.- senh(u 1 2) = ~ --2--

lo h senhu

.-tag. u=-coshu

11 hu coshu

.-cotg: =-senhu

1 12.-cogthu=-

taghu

13 h( / 2) ~coshu-1 .-sen u = 2

147

DERIVADAS DE FUNCIONES

1.- ~(cu)=cu'

d ) '+ 1 2.- -(u±v =u_v dx

3.- ~(uv) =u'.v+u.v'

d u u'v-uv' 4.- Á.-(-)= 2

UA V V

d 5.- dx(x)=l

7.- ~ (senu) = ( cosu)u'

8.- ~ (cosu) = (-senu)u'

d 2 1 9.- dx(tagu)=sec u.u

d ) 2 1 10.- dx (cotu =-cose u.u

11.- ~ (secu) = secu.tagu.u1

12.- ~ (cosecu) =-cosecu.cotag.u1

d u' 13.- - ( arcsenu) = r:---:¡

dx l/l-u 2

d -u' 14.- - (arccosu) = r:---:¡

dx l/l-u2

d u' 15- -(arctagu)=--

2 dx 1+u

d -u' 16.- -(arccotgu) =--

2 dx 1+u

d u' 17.- -(arcsecu)= ~

dx iuil/u--1

d -u' 18.- Á .. (arccossecu) ~

UA lullfu2 -1

19.- ~ (senhu) = coshu.u'

20- !!_(coshu) =senhu.u' 'dx

d h? 1 21 - - (taghu) = sec -u.u 'dx

d ) h2 1 22- -(cotaghu =-cos u.u 'dx

23.- ~ (sechu) = -sechu.taghu.u1

24.- ~ (coschu) =-cosechu.cothu.u1

148

7.-DISCUSION

El Texto PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 1, que es resultado del

presente trabajo de investigación, se caracteriza por la forma sistematizada que contiene cada

capítulo, con un lenguaje sencillo de tal forma que todo estudiante del primer ciclo lo pueda

entender de manera muy fácil.

En cada capítulo se desarrolla problemas desde lo más sencillo hasta los más difíciles.

De otro lado, existen textos de nivel universitario que resuelven problemas de matemática I,

de forma técnica sin respetar la rigurosidad matemática, teniendo como consecuencia el

tecnicismo y no el razonamiento lógico.

S.-REFERENCIALES

l. EARL. W. SMOKDWSKI., Cálculo con Geometría Analítica Ed.

Iberoamericana México - 1988.

2. ESPINOZA RAMOS, EDUARDO, Análisis Matemático l. Lima-Perú.

3. HOWARD ANTON. Cálculo con Geometría Analítica (VOL) Ed. Limusa

México 1984.

4. LARSON/HOSTETLER/EDWARD. Cálculo (VOL) Ed. Me. Graw- Hill.

España 1995.

5. LEITHOLD. Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Harla México- 1990.

6. NORMAN B, HAASER Y OTROS, Análisis Matemático 1, Editorial Trillas

México.

7. PISKUNOV N., Cálculo Diferencial e Integral (VOL) 1 Ed. Limusa México-

1996.

8. STEIN S.K 1 BARCELLOS. A., Cálculo con Geometría Analítica (VOL) Ed.

Me. Graw- Hill. Colombia 1994.

9. www.educaplus.org

149

9. www.educaplus.org

9APENDICE

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

SÍLABO

1.1.NOMBRE DE LA ASIGNATURA 1.2. CODIGO DE LA ASIGNATURA 1.3. SEMESTRE ACADÉMICO 1.4. CICLO ACADÉMICO 1.5. CRÉDITOS 1.6. HORAS TEORÍA 1.7. HORAS PRÁCTICAS 1.8. DURACIÓN 1.9. PRE - REQIDSITO 1.10. PROFESOR(ES)

l. SUMILLA

MATEMÁTICA! FM101 2013-B 1

CUATRO TRES TRES 17 SEMANAS NINGUNO

LIC. ROJAS ROJAS VICfORIA LIC. FERNANDO LAYZA BERMUDEZ

Números reales. Funciones. Límites. Continuidad. Incremento y relación de incrementos. Derivada de una función, Interpretación fisica y geométrica. Concepto de pendiente. Aplicaciones: máximos y mínimos. Velocidad y aceleración Puntos de Inflexión. Series convergente y divergente. Serie de Taylor y Maclaurin.

11. OBJETIVOS

A. GENERALES Comprender el significado, el uso y la importancia que tienen de los números reales, las funciones, los límites y la derivada, en su aplicación a los problemas fisicos, geométricos resaltando su enlace con los cursos de Ingeniería.

B. ESPECIFICOS. 3.1 Resolver los diferentes tipos de inecuaciones con números reales 3.2 Identificar, graficar e interpretar el dominio y rango de las funciones elementales. 3.3 Operar con funciones y entender la aplicación a problemas de la realidad concreta. 3.4 Identificar, operar y aplicar las propiedades de las funciones trascendentes. 3.5 Entender el concepto de límite y aplicación a los problemas concretos de la realidad. 3.6 Manipular las reglas de los límites para cálculo de los mismos. 3. 7 Establecer la diferencia entre la continuidad en un punto, la continuidad en un intervalo

de una función continua. 3.8 Entender y manejar el concepto de derivada de una función. Operar con las diferentes

reglas de derivación de funciones elementales y trascendentes. 3.9 Comprender y aplicar la regla de la cadena. 3.1 O Calcular derivadas do orden superior y de funciones dadas en forma implícitas. 3.11 Aplicar correctamente las fórmulas y propiedades de las derivadas a problemas fisicos y

geométricos. 3.12 Comprender y aplicar correctamente las series y sus criterios de convergencia ..

150

m. PROGRAMA ANALÍTICO

PRIMERA SEMANA Definición axiomática de los números reales. Intervalos. Valor absoluto: propiedades.

SEGUNDA SEMANA Ecuaciones e inecuaciones: Cuadráticas, polinómicas, racionales, con radicales, con valor absoluto y mayor entero.

TERCERA SEMANA Función: definición. Dominio y Rango. Funciones especiales: Constante, Lineal, Cuadrática, Polinómica Valor Absoluto, Raíz Cuadrada, Mayor entero, Signo. PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

CUARTA SEMANA Operaciones con funciones. Composición de funciones. Clases de funciones: Inyectiva y sobreyectiva. Función Inversa: Propiedades ..

QUINTA SEMANA Definición de Límite de una función. Propiedades. Cálculo de límites. Límites laterales.

SEXTA SEMANA Límites al infinito. Propiedades. Limites infinitos: Propiedades. SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA

SÉPTIMA SEMANA Funciones trigonométrica, exponencial y logarítmica. Límites de funciones trigonométricas, Exponencial y logarítmicos.

OCTAVA SEMANA PRIMER EXAMEN PARCIAl,

NOVENA SEMANA Definición de continuidad .. Aplicaciones Tipos de discontinuidad- Propiedades

DECIMA SEMANA La Derivada: Definición. Interpretación geométrica. Recta tangente y normal a la gráfica de una función. Propiedades. Regla de la cadena.

UNDÉCIMA SEMANA Derivada de la función implícita. Derivación de funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas. Hiperbólicas. TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA

DUODÉC~ASEMANA Derivada de funciones inversas y paramétricas. Derivada de orden superior.

DEC~OTERCERASEMANA

Aplicaciones de la derivada. Funciones creciente y decreciente. Máximos y mínimos. Problemas de aplicación.

DEC~OCUARTASEMANA

Concavidad y puntos de inflexión. Problemas de aplicación. Construcción de Gráficos. Cálculo de límites indeterminados. CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA

DEC~OQUINTASEMANA

Serie: Serie de Taylor y de Maclaurin. Criterios de convergencia.

151

DEC~OSEXTASE~A

EXAMEN FINAL

DEC~OSÉPT~ SEMANA EXAMEN SUSTITUTORIO

IV. METODOLOGÍA

El desarrollo de los temas se hará de forma teórica- práctica, propiciando que los alumnos empleen los conocimientos impartidos en la solución de problemas. El alumno deberá asistir a la clase obligatoriamente, estudiando los temas tratados y repasando el tema que el profesor desarrollará. Esto permitirá una mejor participación del alumno en clase. Los alumnos podrán ser atendidos personalmente por el profesor, para aclarar sus dudas en tomo a un concepto y/ o un problema relacionado con la asignatura.

V. EVALUACIÓN

La evaluación del rendimiento de los alumnos es objetiva, teniendo en cuenta para el promedio de las prácticas calificadas:

5.1 Asistencia a clases. 5.2 Participación e intervención en las clases. 5.3 Entrega de trabajos oportunamente. 5.4 Orden y secuencia lógica en el desarrollo y respuestas de las evaluaciones.

La nota final se obtendrá de la siguiente manera:

NF= EP+ EF+ PP 3

donde: E.P. =Examen Parcial E.F.= Examen Final P.P. = Promedio de Prácticas

Si la nota fuese desaprobatoria rendirá un examen sustitutorio, el que será único y abarcara todo el curso y cuya nota reemplaza a la nota más baja de los exámenes parciales.

lO.- ANEXOS

En el presente Trabajo de Texto matemático no se usó Anexos, por ser problemas realizados por mi Autoría.

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