FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA · Construcción del Modelo Dual 1. Definir una variable...

MG. JESSICA PÉREZ RIVERA

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

ANÁLISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD

EL PROBLEMA DUAL

Mg. Jessica Pérez Rivera

INTRODUCCIÓNEn el mundo real los ambientes de decisión rara vez permanecen estáticos, por lo tanto esesencial determinar como cambia la solución óptima cuando cambian los parámetros delmodelo. Eso es lo que hace el análisis de Sensibilidad.


DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUALEs una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original ( o primal) de programación lineal.

Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha, que la solución óptima del uno, produce en forma automática la resolución óptima del otro.


Programa primal y dualPrimal:

Dual:

max 𝑧 = 𝑐′𝑥

𝑠.𝑎. 𝐴𝑥 ≤ 𝑏

𝑥 ≥ 0

min𝑤 = 𝑏′𝑦

𝑠.𝑎. 𝐴′𝑦 ≥ 𝑐

𝑦 ≥ 0


Requisito PrevioEl problema primal, debe estar en la forma de ecuaciones , es decir en forma estándar. Lado derecho no negativo y variables no negativas.

Max o Min


Construcción del Modelo Dual1. Definir una variable dual por cada restricción primal. (y1, y2, …, ym)

2. Definir una restricción dual por cada variable primal.

3. Los coeficientes de restricción de una variable primal definen los coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual, y su coeficiente objetivo define el lado derecho.

4. Los coeficientes objetivo del dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de restricción primal.


Reglas para construir el problema Dual

Objetivo del problema Primal

Problema Dual

Objetivo Tipo de Restricciones

Signo de Variables

Maximización Minimización ≥ No restringido

Minimización Maximización ≤ No restringido


EjemplosEncontrar el Dual de los siguientes primales:

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 5𝑥1 + 2𝑥2𝑠. 𝑎. −𝑥1 + 𝑥2 ≤ −22𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 5𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 5𝑥1 + 2𝑥2𝑠. 𝑎. 6𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 23𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 ≥ 5𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2𝑠. 𝑎. 2𝑥1 + 𝑥2 = 53𝑥1 − 𝑥2 = 6


Solución Dual Óptima

La soluciones primal y dual se relaciona en forma tan estrecha que la solución óptima del problema primal produce en forma directa (con algunos cálculos adicionales) la solución óptima del dual.

Método:

(Valores óptimos de las variables duales)= (Vector renglón de los coeficientes objetivos originales de las variables básicas óptimas primales) x (Inversa primal óptima)

Importante: Los elementos del vector renglón mencionados, aparecen en el mismo orden que aparecen las variables básicas en la columna de la tabla Simplex.


Ejemplos

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 5𝑥1 + 12𝑥2 + 4𝑥3𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 102𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 8𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3𝑠. 𝑎. 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3

2𝑥1 − 𝑥2 = 4𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0


Valor objetivo primal y dualSi un PP es de maximización el PD debe ser de minimización, y viceversa.

Los valores objetivos se relacionan de la siguiente manera:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛

≤ (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛)


La solución indica que para todas las soluciones primales y duales factibles, el valor

objetivo en el problema de minimización establece siempre una cota superior del

valor objetivo en el problema de maximización.

En el curso de las iteraciones, se llegará a un punto de equilibrio donde los valores

objetivo de maximización y minimización deben ser iguales, esto es, z = w.


Interpretación económica de la dualidadEl modelo de PL se considerará como un modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar utilidades o ingresos, sujetos a recursos limitados.

Se considerará la siguiente representación:

Primal Dual

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 =

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑗𝑥𝑗

s.a.

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,… ,𝑚

𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 =

𝑖=1

𝑚

𝑏𝑖𝑦𝑖

s.a.

𝑖=1

𝑚

𝑎𝑗𝑖𝑦𝑖 ≥ 𝑐𝑗 , 𝑗 = 1,… , 𝑛

𝑦𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… ,𝑚


Interpretación económica de variables dualesHemos analizado que la solución óptima de ambos problemas P y D, hacen z = w.

Como bi representa la cantidad disponible de unidades del recurso i, la ecuación z=w, se expresaría:

$ = 𝑖(𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑖) ∗𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑖

Z=Utilidad y W=Valor de los recursos.

Es decir yi representa el valor por unidad de recurso i.

yi también se conoce como precios duales.


EJEMPLO 1Ferretería “Unión” produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

“Unión” desea determinar la mezcla óptima de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

Ton de Materia Prima

Pinturas para

Exteriores

Pinturas para

interiores

Disponibilidad diaria

Máxima (ton)

Materia Prima, M1

Materia Prima, M2

Utilidad por Ton

(miles de $)

6

1

5

4

2

4

24

6


EjercicioToyco arma tres juguetes: trenes, camiones y coches, con tres operaciones. Los

límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son 430, 460 y 420

minutos, respectivamente, y las utilidades por tren, camión y coche de juguete son

s/.3 , s/.2 y s/.5 , respectivamente. Los tiempos de armado por tren, en las tres

operaciones son 1, 3 y 1 minutos respectivamente. Los tiempos respectivos por

camión y por coche son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo cero indica que no se

usa la operación). Realizar el análisis respectivo del problema, si la empresa desea

maximizar sus utilidades.


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