FAL-02 M2AA2L2 MultiplicacionDivision uveg ok...FAL-02_M2AA2L2_MultiplicaciónDivisión Versión:...

FAL-02_M2AA2L2_MultiplicaciónDivisión Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Multiplicación y división con radicales

Por: Sandra Elvia Pérez

En la lectura “Los radicales y su simplificación”, se realizó el cambio de una expresión radical a una expresión exponencial. Una implicación o consecuencia de lo anterior, es que en las operaciones con radicales también pueden aplicarse las leyes de los exponentes. ¿Recuerdas las reglas de los exponentes? La siguiente tabla muestra un resumen de las reglas de los exponentes.

Tabla 1. Reglas de los exponentes



Multiplicación con radicales Las reglas de los exponentes sustentan las operaciones con radicales. En los siguientes ejemplos, se hace uso de ellas.

Ejemplo 1:

Realice la multiplicación 54 xx ∗ Comencemos por convertir cada uno de los radicales en expresiones con exponentes fraccionarios.

25

2454 xxxx ∗=∗

Aplicando la regla de los exponentes nmnm aaa +=⋅ tenemos,

29

25

24

25

2454 xxxxxx ==∗=∗

+

Si el resultado lo regresamos a su forma exponencial, tenemos

92954 xxxx ==∗

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación es:

954 xxx =∗ Observa como al multiplicar dos radicales del mismo índice, el índice se mantiene igual y los radicandos se multiplican. De esta observación se deriva la regla del producto para los radicales.



Regla del producto para los radicales.

Cuando se tiene la multiplicación de dos radicales del mismo índice, los radicandos se multiplican y el índice de la raíz se mantiene igual.

nnn abba =∗ Veamos algunos ejemplos aplicando la regla del producto de los radicales

Ejemplo 2

Realiza el siguiente producto de radicales. 3 83 4 22 ∗

Aplicamos la regla para el producto de los radicales nnn abba =∗ .

3 123 843 843 83 4 222222 ==∗=∗ +

Observa como los radicandos son bases iguales, por lo que se aplica la regla de los exponentes para el producto.

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación es: 3 123 83 4 222 =∗

Ejemplo 3

Realiza el siguiente producto de radicales. 55 32 ∗


5555 63232 =∗=∗

Por lo tanto, el resultado es: 555 632 =∗



Ejemplo 4

Realiza el siguiente producto de radicales. yx 23 ∗


( )( ) xyyxyx 62323 ==∗ Observa como al multiplicar los radicandos de las raíces se aplican las reglas básicas de la multiplicación, primero los coeficientes y luego las variables.

Por lo tanto, el resultado es: xyyx 623 =∗

Ejemplo 5

Realiza el siguiente producto de radicales. 4 54 32 23 xyyx ∗


( )( ) 4 834 5324 54 32 62323 yxxyyxxyyx ==∗

Por lo tanto, el resultado es: 4 834 54 32 623 yxxyyx =∗



Simplificación de radicales usando la regla del producto La regla del producto de los radicales se puede aplicar para la simplificación de radicales. Para llevar a cabo esto, es necesario utilizar la regla del producto de radicales en forma inversa, es decir,

nnn baab ∗= Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Simplifica el siguiente radical 64 yx Comencemos por utilizar la regla del producto de radicales en sentido inverso

nnn baab ∗= De esta forma

6464 yxyx ∗= Así podremos convertir cada raíz a su forma exponencial para luego simplificar, tenemos

3226

246464 * yxyxyxyx ==∗=

Por lo tanto el resultado de la simplificación es

3264 yxyx =



Ejemplo 2: Calculando raíces de números enteros

Calcula el valor de la raíz quinta de 243, es decir, 5 243

Observemos que 243 es un número entero. Si este número lo escribimos en su forma exponencial 51

243 y como 5/1 ya no se puede simplificar, podríamos pensar que no tiene raíz quinta.

Sin embargo, ¿qué te parece si calculamos los factores primos de 243? Lo anterior se hace porque el determinar una raíz quinta implica encontrar un número que multiplicado por sí mismo 5 veces el resultado sea 243.

243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1

Los factores primos de 5333333243 =∗∗∗∗= De esta forma:

333243 555 55 === Por lo tanto, la raíz quinta de 243 es 3.



Ejemplo 3

Simplifica el siguiente radical 4 32 Comenzamos por determinar los factores primos del número 32

32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1

Los factores primos del 32 son 52 Por lo tanto

454 54 2232 ==

Observa que no podemos simplificar la fracción pero podemos aplicar la regla del producto

nnn baab ∗= Es decir, en este caso separamos 52 en 224 ∗ y aplicamos la regla anterior

441

4444 44 44 54 22222222232 =∗=∗=∗==

Por lo tanto, la simplificación de 44 2232 =

En el caso anterior, la simplificación se pudo realizar sólo a 24; el 2 que no se pudo simplificar, se mantiene dentro del radical.



Ejemplo 4

Simplifica el radical 3 24 Podemos comenzar determinando los factores primos de 24

24 2 12 2 6 2 3 3 1

Los factores primos de 24 son 323 ⋅ . Utilizando nnn baab ∗= , tenemos

3313 323224 =⋅=

Por lo tanto, la simplificación de la raíz cúbica de 24 es 3 32

Observa, como el exponente del número 2 tiene división exacta, por lo tanto, este valor ya queda fuera de la raíz, sin embargo en el 3 su exponente ya no se puede simplificar por lo que lo seguimos representando como un radical.

31

31

333 33 32323224 ⋅=⋅=⋅=



Ejemplo 5

Simplifique el siguiente radical 4 11x

Aplicando la regla del producto de radicales y separando el radicando de forma que el exponente de uno de los factores sea el máximo número que pueda dividir al índice, tenemos:

4 324324

3484 34 84 384 11 ** xxxxxxxxxxx =∗===∗=

Por lo tanto, 4 324 11 xxx =

Teniendo como base los ejercicios anteriores podemos establecer algunas reglas para simplificar una expresión radical. Recomendaciones para simplificar una expresión radical: 1) Escribimos el número en su forma factorizada. 2) Escribimos la raíz en su forma exponencial.

nmn m aa =

3) Dividimos el exponente en el caso de que el numerador sea mayor que el denominador, en este punto podemos tener 2 casos: a) Si la división es exacta el número que se obtiene elevado al exponente queda fuera de la raíz. Ejemplo:

73

213 21 xxx == b) Si la división no es exacta:

Ejemplo 3173 17 xx =

* Separa en dos factores donde el exponente del primero debe tener la máxima división exacta entre el valor del índice y

el otro factor el resto para completar la suma de los exponentes. 3 2153 17 xxx ∗=

* Convierte a expresión exponencial. 32

3153 2153 17 * xxxxx =∗=

* Simplifica el factor que se pueda simplificar y regresa a su forma de radical el factor que no se puede simplificar3 253

23

153 2153 17 * xxxxxxx ==∗=



Ejemplo 6

Multiplique y simplifique 5423 26 yxyx ∗ Aplicamos la regla del producto para los radicales

( )( ) 7754235423 122626 yxyxyxyxyx ==∗

Para simplificar 7712 yx Determinamos los factores primos de 12 y separamos cada una de las variables

12 2 6 2 3 3 1

21

26

21

26

21

22662 3232 yyxxyyxx ∗∗∗∗∗=∗∗∗∗∗

xyyxyx 3212 3377 = El resultado simplificado del producto de las dos raíces.

xyyxyxyx 3226 335423 =∗

Simplificamos de tal forma que los radicandos que quedan con exponente entero quedan fuera de la raíz y los que se quedan con exponente fraccionario quedan dentro de la raíz.



Ejemplo 7

Multiplique y simplifique 3 523 74 2530 caba ∗ En este caso como son dos cantidades grandes es conveniente primero encontrar los factores primos de 30 y 25.

30 2 15

3

5

5

1

25 5 5 5 1

Aplicamos la regla del producto para los radicales.

3 57633 5223 743 523 74 53255322530 cbacabacaba ∗∗∗=∗∗∗∗=∗ Separamos cada una de las variables para simplificar.

32

33

31

36

36

33

31

313 5763 532532 ccbbacba ∗∗∗∗∗∗∗=∗∗∗

3 2223 2223 5763 65325532 bccbacbcbacba =∗∗∗=∗∗∗

El resultado simplificado del producto de las dos raíces.

3 2223 523 74 652530 bccbacaba =∗

Simplificamos de tal forma que los radicandos que quedan con exponente entero quedan fuera de la raíz y los que se quedan con exponente fraccionario quedan dentro de la raíz.



División con radicales De la misma forma que se tiene una regla para el producto de radicales, se tiene una regla del cociente para radicales, la cual está soportada por la regla de los exponentes.

Regla del cociente para los radicales. Cuando se tiene la división de dos radicales del mismo índice los radicandos se dividen y el índice de la raíz se mantiene igual.

nn

n

ba

ba= para 0≠b

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Realice las siguientes divisiones y simplifique al máximo.

a) 218

, b) 3

3

8216

c) 5

5

14448

a) 218

Apliquemos la regla del cociente para los radicales nn

n

ba

ba=

218

218

=

39218

218

===

Como la regla, nos permite incluir las dos raíces en una sola, observe como podemos

hacer la división de 9218

= y enseguida,

determinar la 39 =



Por lo tanto 3218

=

b) 3

3

8216

Nuevamente aplicamos la regla del cociente para los radicales y dividimos las dos expresiones.

333

3

278216

8216

==

Para simplificar, obtenemos los factores primos de 27 de lo que se obtiene que 3327 =

3327 3 33 ==

Por lo tanto, 382163

3

=

c) 5

5

14448

Aplicando la regla del cociente para los radicales.

555

5

3214448

14448

==

Para simplificar, obtenemos los factores primos de 32 de lo que se obtiene que 5232 =

2232 5 55 ==

Por lo tanto 2144485

5

=



Ejemplo 2

Realice las siguientes divisiones y simplifique.

a) 2564

, b) 3 9

8

yx

, c) 4 7

5

8116ba

a) =2564

Aplicamos la regla del cociente Para los radicales y simplificamos.

58

2564

2564

==

Por lo tanto

58

2564

=

b) 3 9

8

yx

En este caso no se puede simplificar, así que aplicamos la regla del cociente para los radicales.

3 9

3 8

39

8

yx

yx

=

Simplificamos separando en factores.

3

3 22

3 9

3 26

3 9

3 8

39

8

yxx

yxx

yx

yx

=∗

==

Por lo tanto

3

3 22

39

8

yxx

yx

=

Observa como en este ejemplo tenemos una sola raíz para la división, sin embargo podemos aplicar la regla del cociente para

los radicales en sentido inverso n

nn

ba

ba= donde nos

indica que una raíz la podemos dividir en dos raíces del mismo índice. Para este ejercicio, es más sencillo hacer el cálculo de cada una de las raíces por separado que simplificar.



c) 4 7

5

8116ba

En este caso no se puede simplificar, así que aplicamos la regla del cociente para los radicales.

4 7

4 54

7

5

8116

8116

ba

ba

=

Simplificamos separando en factores.

434 3

4

4 344

4 44

4 7

4 54

7

5

32

3

2

32

8116

8116

ba

ba

bb

aa

bbaa

ba

ba

==⋅⋅

⋅⋅==

Por lo tanto

43

47

5

32

8116

ba

ba

ba

=

Como pudiste darte cuenta, en los ejercicios anteriores para realizar una división de radicales debes de analizar qué te conviene hacer primero, hacer la división y luego simplificar la raíz ó simplificar y luego hacer la raíz. En algunas ocasiones, se tiene que hacer una combinación de ambas según convenga.



Ejemplo 3

Realice la siguiente operación y simplifique al máximo. =325

734

5480

bcacba

Podemos comenzar determinando los factores primos de 80 y 54

3253

73443

25

734

2352

5480

bcacba

bcacba

⋅⋅

=

Simplificamos lo que se encuentra dentro de la raíz, basándonos en las reglas de los exponentes.

33

5233

253

73443

25

734

352

2352

5480

acb

bcacba

bcacba

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

Separando el término c5 y simplificando, tenemos

23 ⋅5 ⋅b2 ⋅c5

33 ⋅a3 =

23 ⋅5 ⋅b2 ⋅c3 ⋅c2

33 ⋅a3 =

2c3

5b2c2

a3

Por lo tanto

80a4b3c7

54a5bc23 =

2c3

5b2c2

a3

Hasta el momento, hemos estudiado la multiplicación y división de radicales, utilizando las reglas correspondientes para estas operaciones y se realizaron simplificaciones de expresiones que incluían productos o divisiones. Es importante señalar que estas reglas sólo aplican cuando las expresiones radicales tienen el mismo índice.



Multiplicación y División de radicales con índices diferentes. ¿Qué sucede cuando los índices no son iguales? Si este fuera el caso, tanto en la multiplicación como en la división, las expresiones radicales se pueden convertir a expresiones exponenciales y aplicar directamente las reglas de los exponentes. Sin embargo, este método implica que para poder hacer una operación con diferentes variables, se tendrían que hacer varias sumas o restas con números fraccionarios, lo que nos complicaría el proceso. En esta lectura, te mostramos un método que se basa en las reglas de los exponentes, pero sin tener que hacer las sumas o restas de fracciones correspondientes. Sugerencias para el producto ó cociente de radicales con índices diferentes 1) Encuentre el m.c.m de los índices 2) Divida el m.c. m entre el índice de cada una de las raíces. 3) Multiplique el valor obtenido en el paso anterior, en cada raíz por el índice y el exponente del radicando. Esta operación igualará los índices de las raíces. 4) Aplicar la regla del producto o del cociente de los radicales según sea el caso.

Ejemplo 1

Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo.

a) 3 23 xx ∗ , b) 3 24 23 * abba , c) 5 23 62 yx ∗

a) 3 23 xx ∗ Los índices de las raíces son 2 y 3 por lo tanto el m.c.m es 6, si dividimos el m.c.m. entre el índice de la primera raíz será 6/2=3, de esta forma el índice y el exponente del radicando, se multiplicará por 3, de la misma forma para la segunda raíz el m.c.m. entre la raíz será 6/3=2, por lo que el índice y el exponente del radicando se multiplicarán por 2.

6 46 932 2223 3*33 23 xxxxxx ∗=∗=∗ ∗ ∗∗



Como ya tenemos igualados los índices podemos aplicar la regla del producto de los radicales

6 136 496 46 9 * xxxxx ==∗ Simplificamos

626 126 13 xxxxx =∗= Por lo tanto

623 23 xxxx =∗

b) 3 24 23 * abba

12 8412 6934 241443 23333 24 23 * babababaabba ∗=∗= ∗ ∗∗∗ ∗∗

Como ya tenemos igualados los índices podemos aplicar la regla del producto de los radicales

12 141312 8412 69 bababa =∗ Simplificamos

12 212 2121212 1413 ababbbaaba =⋅⋅⋅= Por lo tanto

12 23 24 23 * abababba =

Los índices son 4 y 3 por lo tanto el mínimo común múltiplo de 4 y 3 es 12 Para igualar los índices multiplicamos por 3 el índice y el exponente del radicando de la primera raíz y por 4 el índice y el exponente del radicando de la segunda raíz.



c) 5 23 62 yx ∗

10 42210 15552 22121225 35155 23 32232262 yxyxyx ⋅⋅∗⋅=⋅⋅∗⋅=∗ ∗ ∗∗∗∗ ∗∗ Como ya tenemos igualados los índices podemos aplicar la regla del producto de los radicales

10 4152710 42210 155 32322 yxyx ⋅=⋅⋅∗⋅ Simplificamos

10 4510 452710 45102710 41527 1152323232 yxxyxxyxxyx =⋅=⋅=⋅ Por lo tanto

10 455 23 115262 yxxyx =∗

Los índices son 2 y 5 por lo tanto el mínimo común múltiplo de 2 y 5 es 10 Para igualar los índices multiplicamos por 5 el índice y el exponente del radicando de la primera raíz y por 2 el índice y el exponente del radicando de la segunda raíz.



Para la división, utilizamos el mismo método de encontrar el m.c.m. de los índices y multiplicamos el índice y el exponente del radicando para igualar los índices. Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 2.

Divida los siguientes radicales.

a) xx3 2

, b) 4 2

3

32bab

, c) 23

4 2

yx

yx

a) xx3 2

6 3

6 4

23 13

32 223 2

xx

xx

xx

==∗ ∗

∗ ∗

Como ya tenemos igualados los índices podemos aplicar la regla del cociente de los radicales y simplificamos aplicando reglas de los exponentes.

663

4

6 3

6 4

xxx

xx

==

Por lo tanto

63 2

xxx

=

Los índices son 2 y 3 por lo tanto el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6 Para igualar los índices multiplicamos por 2 el índice y el exponente del radicando del numerador y por 3 el índice y el exponente del radicando del denominador.



b) 4 2

3

32bab

,

12 63

12 444

43 2313

34 141414

4 2

3

32

32

32

bba

bba

bab

==∗ ∗∗

∗ ∗∗∗


122

412

23

4412

63

444

12 63

12 444

2716

32

32

32

ba

ba

bba

bba

===

Por lo tanto

122

4

4 2

3

2716

32

ba

bab

=

Los índices son 3 y 4 por lo tanto el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12 Para igualar los índices multiplicamos por 4 el índice y el exponente del radicando del numerador y por 3 el índice y el exponente del radicando del denominador.



c) 23

4 2

yx

yx

4 46

4 2

22 2232

4 2

23

4 2

yx

yx

yx

yx

yx

yx==

∗ ∗∗


x2y4

x6y44=

x2yx6y4

4 =1x4y3

4

En este caso podemos simplificar nuevamente aplicando la regla del cociente de los radicales.

1𝑥!𝑦!

!=

1!

𝑥!𝑦!! =1

𝑥 𝑦!!

Por lo tanto

𝑥!𝑦!

𝑥!𝑦!=

1𝑥 𝑦!!

En esta lectura estudiamos la multiplicación y división de radicales cuando tienen el mismo índice y cuando tienen índice diferente Te invito a que practiques en la sección de ejercicios las operaciones de multiplicación y división de radicales.

Los índices son 2 y 4 por lo tanto el mínimo común múltiplo de 2 y 4 es 4 Para igualar los índices multiplicamos por 2 el índice y el exponente del radicando del denominador y el numerador ya no lo multiplicamos debido a que el índice es 4



Referencias

Allen, A. (2004 ) Álgebra Intermedia.(6ª ed). México: Prentice Hall.

Baldor, A. (1988). Álgebra. México: (1ª ed) Publicaciones Cultural.

Barnett,R., Ziegler, M., Byleen, K. (2000). Álgebra. (6ª ed). México: McGraw-Hill.

Bello Ignacio (1999) Álgebra Elemental. (1ª ed). México: Internacional Thomson Editores.

FAL-02 M2AA2L2 MultiplicacionDivision uveg ok...FAL-02_M2AA2L2_MultiplicaciónDivisión Versión:...

Documents

Transcript of FAL-02 M2AA2L2 MultiplicacionDivision uveg ok...FAL-02_M2AA2L2_MultiplicaciónDivisión Versión:...