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FAL-02_M2AA2L4_RacionalizaciónVersión:Septiembre2012Revisor:SandraElviaPérez

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1

Racionalización

¿Sabesloquesignificaracionalizaroracionalización?,¿aquétesuena?

Por:SandraElviaPérez Supón que después de realizar una operación como suma, resta, multiplicación o división, tienes como resultado la siguiente expresión:

21

Y se te pide que expreses este resultado SIN radicales en el denominador, ¿cómo puedes hacer esto?, ¿qué hacer para quitar 2 del denominador? Recuerda que un radicando se puede simplificar si éste tiene un exponente que se pueda dividir en forma exacta entre el valor del índice. En este caso, como es una raíz cuadrada el exponente que necesitas es 2.

Puedes multiplicar por la 2 , ya que si multiplicas 2222 2 ==∗ ¡Recuerda! para hacer una expresión equivalente multiplicas tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Para este caso como necesitas una 2 , entonces multiplicas el numerador y el denominador por 2 .

22

22

22

21

2==∗

A este proceso de encontrar una expresión equivalente sin raíces en el denominador se le llama racionalizar. Y se pueden presentar dos casos: a) Cuando el denominador de la fracción es un monomio. b) Cuando el denominador de la fracción es un binomio.

De esta forma tienes una expresión equivalente sin una raíz en el denominador.



2

Analiza cada uno de los casos. a) Cuando el denominador de la fracción es un monomio Encuentras una expresión que multiplicada por el denominador pueda simplificar la expresión de tal forma que se elimine el radical y para que la fracción sea equivalente, se multiplica por el numerador.

Vealgunosejemplos

Ejemplo1

Racionaliza: 53

Para poder simplificar la 5 , tienes que multiplicar por 5 el denominador y el numerador para obtener una fracción equivalente:

553

553

55

53

2==∗

Por lo tanto: 553

53=

Ejemplo2

Racionaliza 3 272x

Para poder simplificar la 3 27x , tienes que multiplicar por 3 27 x el denominador y el numerador para obtener una fracción equivalente:

xx

xx

xx

x 772

772

77

72 3 2

3 33

3 2

3 2

3 2

3 2==∗

Por lo tanto: xx

x 772

72 3 2

3 2=



3

Ejemplo3

Racionaliza a23

Para poder simplificar la a2 , tienes que multiplicar por a2 el denominador y el numerador para obtener una fracción equivalente:

aa

aa

aa

a 26

26

22

23

22==∗

Por lo tanto: aa

a 26

23=

b) Cuando el denominador de la fracción es un binomio Supón que ahora quieres racionalizar la siguiente expresión:

325+

Si multiplicas por 3 el numerador y el denominador como en el caso anterior, no vas a lograr eliminar la raíz del denominador:

33235

33235

33

325

2 +=

+=∗

+

¿Cómo lograr que desaparezca la raíz del denominador? Para este caso, utiliza las propiedades de los productos notables, en este caso especial el de los binomios conjugados. ¿Recuerdas cuál es la forma de un binomio conjugado?

( )( ) 22 bababa −=−+ Para este ejemplo, el denominador es: 32+ ¿Cuál será el conjugado de este binomio?

Observa como la raíz cambia de lugar , pero permanece en el denominador



4

Si observas la expresión de los binomios conjugados, mientras que un binomio tiene signo positivo, el otro tiene signo negativo, cumpliendo con esta regla se puede aplicar el producto notable.

Por lo tanto, si tienes 32+ , su conjugado será 32− y al multiplicar estos dos binomios te aseguras de tener como resultado una diferencia de cuadrados. No olvides que necesitas que la expresión sea equivalente, por lo que debes multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. Observa lo siguiente:

( ) ( )3510

13510

343510

32

35103232

325

22−=

−=

−−

=−

−=

−

−∗

+

Por lo tanto: 351032

5−=

+

Enresumen Para racionalizar un binomio en el denominador: 1) Determina el conjugado del denominador. 2) Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado. 3) Simplifica.

Veaalgunosejemplos

Ejemplo1

Racionaliza la siguiente expresión: 532

−

El conjugado de 53− es 53+



5

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado:

( ) ( ) 591023

53

10235353

532

22 −+

=−

+=

+

+=

−

Simplifica:

41023

591023 +

=−+

Ejemplo2

Racionaliza la siguiente expresión: 3231

−

+

El conjugado de 32− es 32+ Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado

1335

343332

3232

3231 +

=−

++=

+

+∗

−

+

Simplifica:

3351335

3231

+=+

=−

+



6

Ejemplo3

Racionaliza la siguiente expresión: yx −

1

El conjugado de yx− es yx+ Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado:

( ) ( ) yxyx

yx

yxyxyx

yx −

−=

−

−=

+

+∗

− 222

1

Simplifica:

yxyx

yx −

−=

− 2

1

En esta lectura aprendiste cómo racionalizar una expresión que tiene raíces en el denominador, debido a que es más sencillo hacer operaciones como la suma o resta de fracciones si en el denominador no existen radicales. Recuerda que el realizar operaciones con radicales permite no perder decimales en el proceso, sobre todo cuando se tienen que hacer varias operaciones. Existen varias fórmulas que utilizan radicales y por ello que es importante saber realizar operaciones con ellas. A continuación te muestro un ejemplo donde se aplican radicales en la solución de problemas.

Veelsiguienteproblema

Una fórmula utilizada para calcular la altura promedio en niñas de 1 a 60 meses es la siguiente: 193 += ma Donde a representa la altura en pulgadas y m es la edad de las niñas en meses. Edna está preocupada por la estatura de su hija porque es la más pequeña de la guardería y quiere saber si está muy debajo del promedio. La hija de Edna mide 26.5 pulgadas y tiene 32 meses. Ve cómo puedes calcular la altura promedio que debe tener la hija de Edna.



7

Como la edad de la hija de Edna es de 32 meses, por lo tanto 32=m si lo sustituyes en la ecuación:

193 += ma

10212

10223

1923

19323

2

5

+=

+⋅=

+=

+=

a

a

a

a

Para determinar la medida más aproximada determina el valor de 2 con tres decimales:

968.2610)414.1(12

10212

=

+=

+=

aa

a

La altura que debe tener en promedio una niña de 32 meses es de 97.26 pulgadasaproximadamente y la altura que tiene actualmente la hija de Edna es de 5.26 pulgadas,por lo que aunque está debajo del promedio la diferencia que existe es muy poca. Es importante que practiques las operaciones con radicales ya que en temas posteriores los vas a utilizar como herramienta, como en trigonometría donde se pueden calcular los valores de algunos ángulos a partir de relaciones establecidas.



8

Veunejemplo

Calcula el seno °105 , a partir de las funciones trigonométricas de °60 y °45 . Toma en consideración que: ( ) °°+°°=+=° 4560cos45cos604560105 sensensensen

Función trigonométrica Relación =°60sen

23

=°60cos

21

=°45sen

21

=°45cos

21

Solución A partir de la relación:

( ) °°+°°=+=° 4560cos45cos604560105 sensensensen Se puede decir que:

( )

+

=+

21

21

21

234560sen

Como hacer esta operación se complica, es conveniente racionalizar: 21



9

De esta forma:

22

22

21

=∗

Sustituyes los valores racionalizados:

( )

+

=+

22

21

22

234560sen

Haciendo operaciones:

( )426

42

46

22

21

22

234560 +

=+=

+

=+sen

Por lo tanto, el ( )426105 +

=°sen

Las operaciones con radicales las vas a utilizar en los siguientes temas, por lo que te invito a que practiques estas operaciones haciendo los ejercicios antes de contestar la tarea.



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Bibliografía

Allen,A.(2004).ÁlgebraIntermedia(6ª.ed.).México:PrenticeHall.

Baldor,A.(1988).Álgebra(1ª.ed.).México:PublicacionesCultural.

Barnett,R.,Ziegler,M.&Byleen,K.(2000).Álgebra(6ª.ed.).México:McGraw-Hill.

Bello,I.(1999).ÁlgebraElemental(1ª.ed.).México:InternacionalThomsonEditores.

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