Fase 1 ecuaciones diferenciales

7/18/2019 Fase 1 ecuaciones diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 1: APORTE

PRESENTADO A:

JUAN CARLOS AMAYA

PRESENTADO POR:

FENEY DEL PILAR GARCIA GALINDO

COD. 1094942473

GRUPO: 100412_4

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLAS! PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

10 DE SEPTIEMBRE DEL 201"



TRABAJO A DESARROLLARINDIVIDUAL

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

B. y dy

dx +(senx ) y3=e

x+1

• La ecuación diferencial no es lineal ya que la variable dependiente “y” es mayor al

grado

• El orden de la ecuación diferencial es uno por que la mayor derivada esdy

dx

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

!. resuelva la ecuación diferencial y

(¿¿ 2+ yx)dx− x2dy=0

¿

Es una ecuación de primer orden de bernoulli de la forma y' + p ( x ) y=q ( x ) yn

Dividimos por dx:

y2+ yx− x

2 d

dx ( y )=0

Reescribimos en la forma del primer orden de bernoulli

y ’+ p ( x ) y=q ( x ) yn p ( x )=

−1

x , q ( x )=

1

x2 ,n=2

−1

x y+

d

dx ( y )=

1

x2 y

2

La solución general es obtenida sustituyendo v= y1−n y resolviendo

1

1−n v ´ + p ( x ) v=q( x )

Transformamos en1

1−n v ´ + p ( x ) v=q ( x ):− d

dx (v ( x ) )−

v ( x ) x =

1

x2



Quedando:−1

x y+

d

dx ( y )=

1

x2 y

2

Dividimos los dos lados por y2

−1 x

y

y2 +

ddx

( y )

y2 =

1 x

2 y 2

y2

Refinando:d

dx ( y )

y2 −

1

xy=

1

x2

Si v ( x )= y1−n ( x ) entonces v

' =(1−n) y '

yn la ecuación puede ser transformada a linear

de v(x:

Sustituimos y−1 con v(x:

d

dx ( y )

y2 −

1

x v ( x )=

1

x2

!parte reali"amosd

dx (v ( x ) ):(−1

y2 ) d

dx( y )

d

dx( y−1) !plicamos ley de la cadena

d f (u)dx

=d f

du . d u

dx #acemos y$u

$ d

du(u−1)

d

dx( y )

¿− 1

u2

d

dx ( y) Des#acemos la sustitución

¿− 1

y2

d

dx( y)

"ustituimos (−1

y2 ) d

dx ( y ) con

d

dx ( v ( x))



x

v (¿)¿

1

−1

d

dx ¿

#efinando:

x

v(¿)¿

−d

dx ¿

#esolvemos

x

v(¿)¿

−ddx ¿

#eescribimos de forma de ecuación linear de primer orden as$:1

x v ( x )+

d

dx ( v ( x ) )=−1

x2

%actor integral:

d

dx ( μ ( x ) )= μ ( x )

1

x

!ividimos los dos lados por μ ( x )

μ ( x)

ln (¿)=1

xd

dx ( μ ( x ) ) μ ( x)

=1

x=¿

d

dx ¿

#esolvemos

μ ( x )= xec 1



#eescribimos μ ( x )= x

&rganizamos la ecuación de la forma ( μ ( x ) . y )' = μ ( x) . q ( x ):

1

x v ( x )+

d

dx ( v ( x ) )=−1

x2

'ultiplicamos por el factor integral, (

x d

dx (v ( x ) )+v( x)=

−1

x

)plicamos regla del producto

d

dx ( xv ( x ) )=−1

x

#esolvemos:

"i f ( x )=g ( x )entonces∫ f ( x )dx=∫ g ( x )dx

∫ d

dx ( xv ( x) ) dx=∫−1

x dx

"e integra cada lado de la ecuación

∫−1

x dx=−ln ( x )+c1

∫ d

dx ( xv ( x) ) dx= xv ( x )+c2

xv ( x )=−ln ( x )+c 1

!ividimos por (:



v ( x )=−ln ( x )+c 1

x

!evolvemos la sustitución v ( x )= y−1

y−1=−ln ( x )+c 1 x

1

y=−ln ( x )+c1

x

'ultiplicamos por (y:

( x )c1−ln ¿ x= y ¿

%actorizamos

( x )c1−ln ¿

y ¿( x )−c1

−(ln ¿)= x y ¿

!ividimos por c1−ln ( x)

y= x

c1−ln ( x)

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

*+ JAIME ESCOBARA. E%&!%')ES D'*ERE)%'!LES %) !+L'%!%')ESE) ,!+LE- rofesor titular de la -niversidad de )ntioquia ( gs. /0 1234 )rc5ivo!%0 -ltima consulta realizada el 61 de "eptiembre de 768, recuperado de:5ttp:99matematicas.udea.edu.co9;escobar9docs9libroE!.pdf

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/libroED.pdf

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/libroED.pdf



*7+ #icardo <omez =arvaez, 'odulo Ecuaciones !iferenciales. 76. -niversidad=acional abierta y a distancia. -=)!. almira, >alle del cauca.

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