PRIMER TRABAJO COLABORATIVO - FASE 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

NADIA YISELA CARDENAS ARANZALES

CÓDIGO: 1056780413

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CEAD IBAGUÉ

2015

ACTIVIDAD

Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma individual.

TEMÁTICA 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación

SOLUCIÓN

Para la temática propuesta escogeré el ejercicio E para resolverlo a continuación

E. x y '− y=x2

Es claro que cada término que acompaña a la variable dependiente y, es constante o un polinomio de la variable independiente x. además la mayor derivada es la primera derivada de la variable dependiente. Por tanto esta es una Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

TEMÁTICA 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

A.dydx

+sen ( y )=0.

B. y ' '+ y '+ y=0.

C. d2 yd x2

+ dydx

−5 y=ex

D.(2 y+1 )dx+( y2 x− y−x )dy

E. x y '− y=x2

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencia

( dydx

)+ y2+ yx− 1x2

=0

dydx

=−2xy

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2 xy dydx

+ y2−2x=0

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

(3 xy+ y2 )dx+ (x2+ yx )dy=0

D. Resuelva la ecuación diferencialdydx

= yx+ xy

E. Resuelva la ecuación diferencial4√ yx+ y '=0

Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

SOLUCIÓN

Para la temática propuesta escogeré el ejercicio D para resolverlo a continuación

D. Resuelva la ecuación diferencialdydx

= yx+ xy

Procedemos a reescribir la ecuación

dydx

= yx+( yx )

−1

Ahora realizaremos una sustitución para solucionar la ecuación por separación de variables

siu= yx

(1 )→ y=u∗x (2 )→dydx

=x dudx

+u dxdx

=u+x dudx

(3 )

Reemplazando (1) y (2) en la ecuación inicial se obtiene

u+x dudx

=u+u−1

x dudx

=1u

udu=1xdx

Ahora podemos integrar ambos lados de la ecuación

∫udu=∫ 1x dx

u2

2+c1=ln x+c2

Reagrupando las dos constantes

u2=2 ln x+2 (c1+c2)

u=± 2√2 ln x+2 (c1+c2 )

u=± 2√2 ln x+C

Ahora remplazando (2) en la solución que hallamos

y=±x 2√2 ln x+C

La solución de la ecuación por el método de variables separables es y=±x 2√2 ln x+C