Fase Regional – Almería 21 AL 25 DE MAYO 2013

FELIZ CUMPLEAÑOSFELIZ CUMPLEAÑOS

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EL CUMPLEAÑOS:

Pitagorín se ha apostado un refresco con Pascalina. Si Pascalina adivina su fecha de cumpleaños, invita él; pero si no es capaz de hacerlo, será Pascalina quien lo invite.Pitagorín le ha dejado una tabla que asigna a cada mes un número:

Y le ha dado tres pistas:a) El número del mes de mi cumpleaños tiene una cantidad impar de divisores.b) La suma del día y del mes de mi cumpleaños da como resultado un número primo.c) Si multiplico el día por el mes de mi cumpleaños, obtengo un número de tres cifras en el que la suma de la primera y última cifra es igual a la segunda cifra.Indica razonadamente la fecha del cumpleaños de Pitagorín para ayudar a Pascalina.

Enero: 1 Febrero: 2 Marzo: 3 Abril: 4 Mayo: 5 Junio: 6

Julio: 7 Agosto: 8 Septiembre: 9 Octubre:10 Noviembre: 11 Diciembre: 12

Solución 1:

Si sumamos el mes y el día en el caso de abril y septiembre (estos dos meses tienen 30 días) se obtienen los siguientes números.

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En la tabla siguiente analizamos el número de divisores de los números del 1 al 12, lo que nos permite deducir que los meses posibles de su nacimiento son enero, abril o septiembre.

Nº del mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nº de divisores 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

5 6 7 8 9 1011

12 13 14 1516

17 18 1920

21 22 23 2425

26 27 28 2930

31 32 3334

10 1112

13 14 1516

17 18 19 2021

22 23 2425

26 27 28 2930

31 32 33 3435

36 37 3839

Enero no puede ser porque de la multiplicación de 1 por el día del mes (un número comprendido entre 1 y 31) no podemos obtener como resultado un número de 3 cifras.

Hemos sombreado los que son primos

Solución:

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Analicemos los productos del día por el mes para los números posibles, aquellos que tengan 3 cifras:

a) 14 × 9 = 126b) 20 × 9 = 180c) 22 × 9 = 198 d) 28 × 9 = 252

El único caso en el que la suma de la 1ª y 3ª cifra es la 2ª es el 22 de septiembre.

Mes de abril:

a) 25 × 4 = 100b) 27 × 4 = 108

Mes de septiembre:

22 × 9 = 198

a) 126 1 + 6 = 7 7 ≠ 2 NO b) 180 1 + 0 = 1 1 ≠ 8 NO c) 198 1 + 8 = 9 9 = 9 SI d) 252 2 + 2 = 4 4 ≠ 5 NO

Solución 2:

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El análisis de casos se reduce si tenemos en cuenta la condición c, es decir que el producto tenga 3 cifras:

108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 216 225 234 243 252 261 270

Veamos las condiciones propuestas: 198 es el único resultado cuya 2ª cifra es la suma de la 1ª y la

última. 22+9=31 y también cumple la condición de que la suma del

mes y el día es un número primo.

Abril:a) 4·25 = 100b) 4·26 = 104c) 4·27 = 108d) 4·29 = 116e) 4·30 = 120

No hay ningún caso que cumpla las dos condiciones.

Septiembre:Los resultados de los productos por 9 a partir de 12 son:

Solución:

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Por tanto, la fecha del cumpleaños de Pitagorín es el 22 de septiembre.

HEMOS ENCONTRADOLA SOLUCIÓN...

… pero, ¿habrá otra forma de hallarla?

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