Diagrama fasorial

Un fasor es la representación gráfica para un número complejo, dibujado como un vector con un extremo en el centro del diagrama (el módulo es la longitud del vector), y un ángulo medido en grados a partir de una referencia fija, usualmente asociada al eje horizontal. La proyección de este vector sobre el eje X se denomina la componente real, mientras que la proyección del vector sobre el eje Y representa la llamada componente imaginaria. Sus componentes conforman un triángulo rectángulo (las componentes como catetos perpendiculares, junto con el vector mismo como la hipotenusa) de forma tal que al aplicar trigonometría simple podemos realizar el intercambio en la representación analítica desde la forma “Rectangular”, utilizando diferenciadamente las componentes real e imaginaria, a la forma “Polar”, empleando un módulo y un ángulo; y viceversa.

V x=módulo∗Coseno( fase)V y=módulo∗Seno ( fase)V⃗=V x+ j∗V y expresado en coordenadas rectangulares

Nota: para diferenciar la parte imaginaria se utiliza la letra j en lugar de i, mayormente asociada con la variable de corriente.

módulo=√ V x2+ V y

2

fase=arctan (V y

V x

)

V⃗=módulo< fase expresado en coordenadas polares

En electricidad, la utilidad de los fasores se deriva de la posibilidad que ofrecen de representar desplazamientos en el tiempo de una señal eléctrica, respecto a una referencia, una dimensión adicional que se añade suponiendo además que los fasores están rotando (se considera que la representación de un diagrama fasorial es como una fotografía en un instante cualquiera de la rotación de los vectores, con el que se puede determinar la diferencia angular entre ellos en ese momento). Se denomina una rotación positiva cuando lo hace en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativa cuando rota en el mismo sentido del reloj.

Los fasores son particularmente útiles cuando aplicamos un voltaje de amplitud fija que varía sinusoidalmente en el tiempo y además lo hace a una frecuencia fija. En este caso hablamos de “Régimen Sinusoidal Permanente” (RSP), es decir, la aplicación de una señal de voltaje sinusoidal a un circuito durante un período que se prolonga más allá de su respuesta transitoria. Inclusive, para efectos prácticos de cálculo, el transitorio en circuitos de potencia eléctrica, es decir, el decaimiento exponencial de la respuesta natural del circuito, se linealiza y se considera como una secuencia de períodos cuasiconstantes, a partir de los cuales se generan los términos subtransitorio, transitorio y permanente que serán utilizados ampliamente más adelante.

En este gráfico se puede apreciar que, mientras el fasor gira los 360 grados del diagrama la señal sinusoidal va recorriendo su rango de valores, de forma tal que cuando el fasor completa un giro, también se completa el período de la señal. Esta es la base de la representación que nos facilita el diagrama fasorial, la rotación del vector representa el valor de la función en el tiempo. En un mismo diagrama se pueden representar simultáneamente los voltajes y las corrientes en varios elementos de un circuito, de acuerdo con la respuesta que tenga cada uno.

Si embargo, por razones de conveniencia y simplicidad visual se recomienda que en un diagrama fasorial se represente la respuesta de un circuito ante el estímulo de fuentes sinusoidales que tengan sólo una misma frecuencia. Si hace falta resolver un caso que combine fuentes de varias frecuencias es preferible aplicar el principio de superposición y hacer un análisis por separado, para luego combinar los resultados.

Nos interesa estudiar la fase como un lapso entre la aplicación y la reacción. Este tiempo se puede representar utilizando fasores si se coloca un extremo del vector en el centro del diagrama y se rota el segmento hasta que tenga un ángulo respecto a una referencia (puede ser por ejemplo el semieje positivo de X) que sea proporcional al tiempo. Para convertir los segundos en grados basta tomar como base el tiempo de un período (inverso de la frecuencia) y relacionarlo con un giro completo, de 360 grados o 2Π radianes.

Una fase es simplemente un período, un pedazo de tiempo. En el estudio de las señales eléctricas, la fase es el tiempo que ha transcurrido desde el momento que se considera como el inicio, lo que se toma como referencia; lo que ocurre entre la aplicación del voltaje y la reacción de la corriente que circula por el elemento. Cuando se habla de una fase se hace en alusión a una distancia medida en segundos o en grados. También puede ser la diferencia de tiempo entre la ocurrencia de dos señales. En el análisis de un circuito eléctrico, más importante que conocer el ángulo de cada fasor, es conocer la fase o la distancia entre los fasores.

Relación entre voltajes y corrientes para estudios en Régimen Sinusoidal Permanente

Veamos ahora el procedimiento de transformación de un circuito con elementos R, L y C a un diagrama de impedancias, y su representación con fasores.

Cuando se aplica una diferencia de potencial a un elemento circuital, la fase de su reacción depende enteramente de lo que le ocurre a la energía que lo atraviesa. Se considera que hay tres tipos básicos de reacción en un circuito eléctrico, o una combinación de ellos: los resistores, los condensadores y los inductores. Los resistores son elementos circuitales en los que la energía se transforma inmediatamente, pasa de su forma eléctrica a la forma calórica, lumínica, movimiento, u otros, razón por la que usualmente se denominan “elementos activos”. Los condensadores, al igual que los inductores son elementos que no transforman la energía sino que la almacenan, en forma de un campo eléctrico en el primero y de un campo magnético en el segundo. Se denominan “elementos reactivos”, y de acuerdo con su naturaleza tienen siempre una reacción que no es inmediata, sino que se desplaza en el tiempo. Es esta última dimensión, la temporal, es la que hace tan útil el uso de los fasores en electricidad.

Como se mencionó antes, en un resistor no se almacena la energía sino que se transforma, por lo que la relación entre el voltaje y la corriente no presenta ningún desplazamiento temporal. Según Ohm, la relación entre voltaje y corriente es R=V / I . Si tenemos un voltaje V (t )=V max∗seno (wt) y una corriente I ( t)=I max∗seno(wt ) , entonces:

Resistencia en ohmios = R=V max∗seno (wt)

I max∗seno(wt )=V max

I max

En un condensador la energía sí se almacena, en forma de campo eléctrico. En el primer instante de la energización de un condensador descargado este se comporta como si fuese un cortocircuto y la corriente que se provoca va cargándolo exponencialmente. La relación entre el voltaje y la corriente en un condensador de capacitancia C es:

IC=C∗dV (t)dt

Si aplicamos un voltaje V (t )=V max∗seno (wt) y sustituimos, tenemos IC=C∗V max∗seno(wt )

dt

derivando, obtendríamos la corriente I ( t)=C∗w∗V max∗coseno(wt )

Considerando que j=1< 900 , si multiplicamos un Seno(wt) por j, la señal se adelanta 90 grados y sería equivalente a un Coseno(wt). Así podemos asumir que coseno(wt )= j∗seno(wt ) y con esta relación tenemos:

I ( t)=C∗w∗V max∗coseno(wt )= j∗C∗w∗V max∗seno (wt )

Luego, la relación entre voltaje y corriente nos queda:

X C=V max∗seno(wt )

j∗C∗w∗V max∗seno (wt )=

1j∗C∗w

=− jC∗w

recordar que 1j=− j

Se define entonces la relación entre el voltaje y la corriente en un condensador como la Reactancia Capacitiva:

Reactancia capacitiva X C=− jC∗w

El mismo análisis lo realizamos ahora con un inductor, en donde la energía se almacena en forma de campo magnético. Al aplicar un voltaje a una bobina, la respuesta la hace comportarse como un circuito abierto por lo que la corriente se retrasa, mientras progresivamente se van conformando las líneas del campo magnético. La relación entre el voltaje y la corriente en un inductor de inductancia L es:

V L=L∗dI L( t)

dt

Si aplicamos un voltaje V (t )=V max∗seno (wt) y sustituimos, tenemos I L=1L∗∫V max∗seno(wt )dt

obtendríamos la corriente I ( t)=1L∗

−V max

w∗coseno(wt )

Considerando que j=1< 900 , si multiplicamos un Seno(wt) por j, la señal se adelanta 90 grados y sería equivalente a un Coseno(wt). Así podemos asumir que coseno(wt )= j∗seno(wt ) y con esta relación tenemos:

I ( t)=−V max

L∗w∗coseno(wt )=

− j∗V max

L∗w∗seno(wt )

Luego, la relación entre voltaje y corriente nos queda:

X C=V max∗seno(wt )

− j∗V max

L∗w

=j

L∗w

Se define entonces la relación entre el voltaje y la corriente en un inductor como la Reactancia Inductiva:

Reactancia inductiva X L= j∗L∗w

La combinación en serie o en paralelo de estos elementos se realiza con un procedimiento y reglas similares a la combinación con resistores simples, con la diferencia que ahora todos los cálculos se deben realizar con números complejos. La aritmética de números complejos es bien conocida y hay suficiente literatura al respecto, por lo que se supondrá que la manejas adecuadamente.

Al unir elementos activos con reactivos inevitablemente aparecen números complejos que tienen tanto parte real como imaginaria. A estos valores de relación entre voltajes y corrientes se les denomina impedancia, así como a su inverso se le denomina admitancia. La conductancia (G) es el inverso de la resistencia (R) y la susceptancia (B) es el inverso de la reactancia (X).

Tenemos así que la impedancia Z=R+ j∗X , en ohmios y la admitancia Y=G+ j∗B , en mhos.

Para completar el análisis en RSP se asume además que el módulo de los fasores que representan las fuentes de voltaje se calculan como el valor pico de la señal dividido entre la raiz de 2 ( V RMS=V pico /√ 2 ), atendiendo a una conversión al valor medio cuadrático o eficaz (RMS por las siglas en inglés de Root Mean Square). Este factor representa, sólo en el caso particular de una señal perfectamente sinusoidal como V Pico∗Seno(α) , la misma potencia que se disiparía con una hipotética señal de voltaje contínuo con V RMS voltios. El mismo razonamiento se aplica con la señal de corriente y de esta forma todos los cálculos se hacen y se refieren a este concepto.

Veamos el ejemplo de un circuito convertido en impedancias utilizando la frecuencia de la fuente w=377 (60Hz).

Cada elemento se transforma según las relaciones mostradas antes y se conectan del modo original. La reducción serie-paralelo según el procedimiento convencional con resistores:

1Z e

=1

j10Ω+

1− j5Ω

ZT= j10Ω+ Ze

Procesando se obtiene: ZT=(10− j10)Ωy la corriente finalmente es: I = 0,85+j0,85 amperios.