1. COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE SONORADirector GeneralMtro. Jorge Luis Ibarra MendvilDirector AcadmicoProfr. Julio Alfonso Martnez RomeroDirector de Administracin y FinanzasC.P. Jess Urbano Limn TapiaDirector de PlaneacinMtro. Pedro Hernndez PeaMATEMTICAS 4Mdulo de Aprendizaje.Copyright , 2010 por Colegio de Bachilleresdel Estado de Sonoratodos los derechos reservados.Primera edicin 2011. Impreso en Mxico.DIRECCIN ACADMICADepartamento de Desarrollo CurricularBlvd. Agustn de Vildsola, Sector SurHermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280COMISIN ELABORADORA:Elaborador:Alma Lorenia Valenzuela ChvezRevisin Disciplinaria:Margarita Len VegaCorreccin de Estilo:Flora Ins Cabrera FregosoSupervisin Acadmica:Mtra. Luz Mara Grijalva DazEquipo Tcnico RIEMSDiseo:Joaqun Rivas SamaniegoMara Jess Jimnez DuarteEdicin:Bernardino Huerta ValdezCoordinacin Tcnica:Claudia Yolanda Lugo PeuuriDiana Irene Valenzuela LpezCoordinacin General:Profr. Julio Alfonso Martnez RomeroEsta publicacin se termin de imprimir durante el mes de diciembre de 2010.Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraBlvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, MxicoLa edicin consta de 10,064 ejemplares.2PRELIMINARES

2. DATOS DEL ALUMNONombre: _______________________________________________________________Plantel: __________________________________________________________________Grupo: _________________ Turno: _____________ Telfono:___________________E-mail: _________________________________________________________________Domicilio: _____________________________________________________________________________________________________________________________________ Ubicacin Curricular COMPONENTE: HORAS SEMANALES: FORMACIN BSICA 05CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMTICOCRDITOS:10PRELIMINARES3 3. 4PRELIMINARES 4. ndicePresentacin ......................................................................................................................................................... 7Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ...... 9Secuencia Didctica 1: Relaciones y funciones ................................................................................................10 Diferencia entre relaciones y funciones......................................................................................................12 Dominio y rango ..........................................................................................................................................21 Formas de representar una funcin ...........................................................................................................23Secuencia Didctica 2: Clasificacin de funciones ...........................................................................................32 Segn su forma analtica ............................................................................................................................36 Segn la presentacin de su forma analtica .............................................................................................63 Segn su grfica .........................................................................................................................................66Secuencia Didctica 3: Operaciones de funciones ...........................................................................................81 Suma de funciones .....................................................................................................................................82 Resta de funciones .....................................................................................................................................86 Multiplicacin de funciones ........................................................................................................................90 Divisin de funciones ..................................................................................................................................94 Composicin de funciones .........................................................................................................................99BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRFICAS. ................. 105Secuencia Didctica 1: Funciones especiales ................................................................................................106Funcin inversa ..........................................................................................................................................108Funciones definidas por partes .................................................................................................................122Secuencia Didctica 2: Transformaciones de grficas de funciones .............................................................141Translacin horizontal ................................................................................................................................144Traslacin vertical.......................................................................................................................................146Reflexin con respecto al eje X ..................................................................................................................149Reflexin con respecto al eje Y ..................................................................................................................153Reflexin con respecto a la recta de 45 ...................................................................................................156Contraccin y expansin de funciones .....................................................................................................157BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES ......................................................................... 161Secuencia Didctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos .................................................164Concepto de funcin polinomial de una variable ......................................................................................166Caractersticas de las funciones polinomiales .......................................................................................... 166Influencia de los parmetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representacin grfica .... 168Secuencia Didctica 2: Funciones polinomiales de grado tres y cuatro ........................................................194Comportamiento y bosquejo de grficas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro ...............195Teorema del residuo y del factor ...............................................................................................................205Teoremas sobre las races de una ecuacin ............................................................................................208BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES .............................................................................. 215Secuencia Didctica 1: Funcin racional .........................................................................................................216Concepto de funcin racional ...................................................................................................................217Funcin racional reducible .........................................................................................................................221Secuencia Didctica 2: Grficas de funciones racionales ..............................................................................226Asntotas de funciones racionales ............................................................................................................229PRELIMINARES 5 5. ndice (continuacin)BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS ........................................ 239Secuencia Didctica 1: Funciones exponenciales.......................................................................................... 240Concepto de funcin exponencial ............................................................................................................ 241Variacin exponencial ............................................................................................................................... 245El nmero e ............................................................................................................................................... 249Secuencia Didctica 2: Funcin logartmica ................................................................................................... 254Propiedades de los logaritmos ................................................................................................................. 257Concepto de funcin logartmica .............................................................................................................. 258Grfica de la funcin logartmica .............................................................................................................. 258Ecuaciones exponenciales y logartmicas ................................................................................................ 262BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIDICAS ............................................................................. 269Secuencia Didctica 1: Funciones sinoidales ................................................................................................. 270Concepto de las funciones senoidales .................................................................................................... 272Caractersticas de las funciones seonidales ............................................................................................ 273Secuencia Didctica 2: Graficacin paramtrica de funciones senoidales ................................................... 283Graficacin mediante parmetros ............................................................................................................ 284Bibliografa ........................................................................................................................................................ 2966PRELIMINARES 6. PresentacinUna competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico.El enfoque en competencias considera que los conocimientos por s mismos no son lo ms importante, sino el usoque se hace de ellos en situaciones especficas de la vida personal, social y profesional. De este modo, lascompetencias requieren una base slida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para unmismo propsito en un determinado contexto.El presente Mdulo de Aprendizaje de la asignatura Matemticas 4, es una herramienta de suma importancia, quepropiciar tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, caractersticas que se establecen en losobjetivos de la Reforma Integral de Educacin Media Superior que actualmente se est implementando a nivelnacional.El Mdulo de aprendizaje es uno de los apoyos didcticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intencin deestar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas polticas educativas, adems de lo que demandan los escenarioslocal, nacional e internacional; el mdulo se encuentra organizado a travs de bloques de aprendizaje y secuenciasdidcticas. Una secuencia didctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo ycierre. En el inicio desarrollars actividades que te permitirn identificar y recuperar las experiencias, los saberes, laspreconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a travs de tu formacin, mismos que te ayudarn aabordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizars actividades que introducen nuevosconocimientos dndote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de quetu aprendizaje sea significativo.Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didctica, donde integrars todos los saberes querealizaste en las actividades de inicio y desarrollo.En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales yactitudinales. De acuerdo a las caractersticas y del propsito de las actividades, stas se desarrollan de formaindividual, binas o equipos.Para el desarrollo del trabajo debers utilizar diversos recursos, desde material bibliogrfico, videos, investigacin decampo, etc.La retroalimentacin de tus conocimientos es de suma importancia, de ah que se te invita a participar de forma activacuando el docente lo indique, de esta forma aclarars dudas o bien fortalecers lo aprendido; adems en estemomento, el docente podr tener una visin general del logro de los aprendizajes del grupo.Recuerda que la evaluacin en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias atravs de tu trabajo, donde se tomarn en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con elpropsito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluacin, esteejercicio permite que valores tu actuacin y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios paramejorar tu aprendizaje.As tambin, es recomendable la coevaluacin, proceso donde de manera conjunta valoran su actuacin, con lafinalidad de fomentar la participacin, reflexin y crtica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo lasactitudes de responsabilidad e integracin del grupo.Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, queles permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo laboral o en su preparacin profesional.Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visin y actitud en cuanto a tu rol, es decir, deser receptor de contenidos, ahora construirs tu propio conocimiento a travs de la problematizacin ycontextualizacin de los mismos, situacin que te permitir: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser yaprender a vivir juntos.PRELIMINARES 7 7. MATEMTICAS 4ContieneFUNCIONESCuyo anlisis particularizadoconduce al estudio de Funciones algebraicasFunciones trascendentesLas cuales seLas cuales seclasifican enclasifican en Su inversaIrracionalesPolinomiales RacionalesExponencialesLogartmicasSenoidales Compuestas por lasLimitadas a En especialfunciones Grado de 0 a 4Bases 10 y eSeno Coseno Con el fin deCon el fin de RESOLVERPROBLEMAS2 PRELIMINARES 8. Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.Competencias disciplinares bsicas: Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos,algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales,hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta conmodelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos ovariacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y lacomunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar oestimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y laspropiedades fsicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos algebraicos y grficos, aplicando relaciones funcionales entremagnitudes para representar situaciones y resolver problemas, tericos o prcticos, de su vida cotidianay escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales, en el contexto de lassituaciones reales o hipotticas que describen. Interpreta diagramas y textos que contienen smbolos propios de la notacin funcional.Atributos a desarrollar en el bloque:4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas.5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasoscontribuye al alcance de un objetivo.5.4 Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez.5.6 Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin.6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas deacuerdo a su relevancia y confiabilidad.7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos.8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso deaccin con pasos especficos.8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuentadentro de distintos equipos de trabajo.Tiempo asignado: 21 horas 9. Secuencia didctica 1. Relaciones y funciones.Inicio Actividad: 1Desarrolla lo que se pide.I. Lee con atencin el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores. Mnica organiz en su saln la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una persona para enviarle diariamente un presente; el ltimo da de clases, cada participante descubre quin era su amigo secreto. Cuando se hizo el sorteo, Juan se qued con dos papelitos y no aguant la tentacin de abrirlos, por supuesto, sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendi, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores amigos, por lo que decidi callar y regarle a ambos, ya que no poda decidirse por alguno. 1. Qu podra pasar en la actividad que organiz Mnica, con el proceder de Juan? Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podra quedar el reparto, si no descubren a Juan.Persona que regala Persona que recibe el regaloGustavoGustavoMaraMaraJuan JuanSoniaSoniaMnica MnicaClaudiaClaudiaSandra SandraCarlos CarlosEstebanEsteban 2. Qu condicin debe existir para que la actividad resulte? Relaciona con una flecha una forma en la que podra quedar el reparto de tal manera que funcione.Persona que regala Persona que recibe el regaloGustavoGustavoMaraMaraJuan JuanSoniaSoniaMnica MnicaClaudiaClaudiaSandra SandraCarlos CarlosEstebanEsteban10 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 10. Actividad: 1 (continuacin) 3. De acuerdo a lo anterior, cmo definiras una relacin entre dos conjuntos? 4. De igual forma, cmo definiras una relacin funcional entre dos conjuntos?II. Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la lnea la palabra relacin o relacinfuncional, dado el caso.Vegetales TiposFiguras geomtricasNmero de lados ChcharoCereal 0Avena Fruta 1 Toronja Verdura2 RbanoLeguminosa 3 Tomate Ctrico 4Tubrculo 567__________________________________ __________________________________ EvaluacinProducto: Cuestionario y ejerciciosActividad: 1Puntaje:de relacionar. SaberesConceptualProcedimentalActitudinal Comprende la diferencia entreIdentifica la diferencia entre unaMuestra disposicin al realizar la relaciones y funciones.relacin y una funcin. actividad.C MCNCCalificacin otorgada por elAutoevaluacin docente11BLOQUE 1 11. DesarrolloDiferencia entre relaciones y funciones.A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenmenos para poder comprender las situaciones, como porejemplo, cuando se reparten los temas de una exposicin en equipo, cuando asignan la posicin que tomarn losjugadores de futbol, la distancia que recorre un automvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae auna altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfn demagnitudes que varan, como: el tiempo, la posicin de la luna, el precio de un artculo, la poblacin, entre otras.A continuacin se definirn los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relacin yfuncin, y la diferencia que hay entre ellos.Un conjunto esRelaciones. una coleccinLa relacin entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer de personas,conjunto llamado dominio, con uno o ms elementos de un segundo conjunto llamadoanimales ucontradominio o codominio.objetos concaractersticasUna relacin se puede representar utilizando las siguientes formas: similares.Mediante un criterio de seleccin o regla de asociacin, el cual se puede presentar en forma deenunciado o una expresin analtica (frmula), que explicita la relacin entre los elementos de los dos conjuntos.Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas.Mediante un diagrama de rbol, el cual es una representacin grfica que muestra el desglose progresivo de larelacin que existe entre los elementos de dos conjuntos.Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primeracoordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Silos conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B.Mediante una tabla, la cual es la organizacin de los conjuntos en columnas, relacionando as los elementos de losmismos mediante las filas.Mediante una grfica, la cual es una representacin de elementos, generalmente numricos, mediante lneas,superficies o smbolos, para ver la relacin que guardan entre s.Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si laasociacin se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto paraestablecer entre ellos la relacin y describir los pares ordenados.A continuacin se mostrarn ejemplos de las diferentes formas de representar una relacin.Ejemplos de relacin mediante un criterio de seleccin o regla de asociacin.La relacin que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales.La relacin que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, con el nmero de horas a la semana en las que se imparten.La relacin entre los jugadores de la seleccin mexicana, con su posible posicin en el juego contra Sudfrica en el mundial del 2010.La relacin que existe entre los kilmetros que recorre un automvil con el tiempo que transcurre, si ste se mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregn a Hermosillo.La relacin que hay entre un nmero y su cuadrado aumentado en dos unidades.12RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 12. La relacin que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su segundo lanzamiento. La relacin que existe entre las variables de la ecuacin y 2x 3 Ejemplos de relacin mediante un diagrama sagital. Asignaturas Nm. de horas E. socio-econmica de Mxico (ESEM)Estados CapitalesMatemticas 4 (M4) Chihuahua SaltilloBiologa 2 (B2) 3SinaloaTepic Literatura 2 (L2)Coahuila Zacatecas Fsica 2 (F2) 4 Zacatecas ChihuahuaActividades paraescolares (A. P.) NayaritCuliacn Lengua adicional al espaol 4 (LAE 4) 5 Capacitacin para el trabajo A (CPT A) Capacitacin para el trabajo B (CPT B)(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacn),(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4),(Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas),(CPT A, 4), (CPT B, 3)(Nayarit, Tepic)JugadoresPosicionesPrimer Segundo lanzamiento lanzamiento Guillermo OchoaPaul Aguilar Portero Carlos SalcidoRicardo OsorioDefensaA A F. Javier RodrguezEfran JurezRafael MrquezMedio campistaS SGerardo TorradoGiovani dos Santos Delantero Carlos Vela Guille Franco (A, A), (A, S), (S, A), (S, S) (G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio),(C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodrguez, Defensa),(E. Jurez, Defensa), (E. Jurez, Medio), (R. Mrquez, Defensa),(R. Mrquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio),(GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero),(G. Franco, Delantero) 13 BLOQUE 1 13. Ejemplos de relacin mediante diagrama de rbol.Primer Segundo BlusasPantalones lanzamiento lanzamientoMezclillaAVestir BlancaCapriAS Mezclilla VestirS A NegraCapriMezclillaSNaranja Vestir Capri (A, A), (A, S), (S, A), (S, S) (Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri), (Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri), (Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)Ejemplos de relacin mediante un producto cartesiano. 1. Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.A:1er. lanzamientoB: 2do. lanzamientoProducto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)}.14 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 14. 2. Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.A: Primer dado.B: Segundo dado. 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 ,,, , , , 2,1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6 3,1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6 A xB 4,1, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4,6 5,1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6 6,1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6 Ejemplos de relacin mediante una tabla. ESTADOCAPITALx y 2x 3Chihuahua Chihuahua1 1SinaloaCuliacn 0 3 Coahuila Saltillo1 5Zacatecas Zacatecas 2 7Nayarit Tepic 3 9 (Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacn), (Coahuila,(-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9) Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)15BLOQUE 1 15. Ejemplos de relacin mediante una grfica.yyd (Km) x x t (hrs) Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antesmencionadas, como por ejemplo, la relacin que existe entre los jugadores y su posible posicin, no se puederepresentar mediante una ecuacin; tampoco tendra sentido intentar formar un diagrama de rbol o un productocartesiano, por lo que slo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital.Una tabla proporciona una relacin directa, donde cada elemento del primer conjunto est asociado con un elementodel segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representacin grfica proporciona una relacindirecta entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la grfica pueden carecer deinformacin suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresin analtica, por ello, larepresentacin analtica es la ms completa, de ella se puede derivar una tabla, un grfica, una expresin verbal y undiagrama sagital.El diagrama de rbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayora, para obtener espacios muestrales y eventosprobabilsticos, como los que abordaste en el ltimo bloque de la asignatura de Matemticas 2. Actividad: 2 Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relacin entre dos conjuntos. 1. Enunciado.16RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 16. Actividad: 2 (continuacin) 2. Representacin analtica. 3. Diagrama sagital. 4. Diagrama de rbol.17BLOQUE 1 17. Actividad: 2 (continuacin)5.Producto cartesiano. 6. Tabla. 7. Grfica.Evaluacin Actividad: 2 Producto: Diseo de ejemplos.Puntaje: SaberesConceptual ProcedimentalActitudinal Reconoce las diferentes formas Ejemplifica las diferentes formas de Aprecia la utilidad de las de representar la relacin entre representar la relacin entrediferentes formas de representar conjuntos. conjuntos. una relacin entre conjuntos.CMCNCCalificacin otorgada por el Autoevaluacin docente18RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 18. Funciones.Ahora se abordar el concepto de funcin, la cual es un tipo especial de relacin, su definicin es:Una funcin es una relacin en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y slo unelemento del segundo conjunto (contradominio).Actividad: 3Anota en la lnea la palabra RELACIN o la palabra FUNCIN segn corresponda yjustifica tu respuesta.Fam. ZrateAsignaturasy 12 MaraCarlos3 Francisco5 x Manuel 6 Lupita 7 Javier 89 ____________________________________________________________________________Justificacin: Justificacin:Estados Capitalesx y 2x 3 Chihuahua SaltilloSinaloaTepic -1 1Coahuila Zacatecas0 3 Zacatecas Chihuahua1 5 NayaritCuliacn2 73 9 ____________________________________________________________________________Justificacin: Justificacin:19BLOQUE 1 19. Actividad: 3 (continuacin) x 2 y 2 3x 4y 10 0 R 1 5, 5, 2, 4, 3, 1 4, 0, 5, 4, 6 ,, ______________________________________ ______________________________________ Justificacin: Justificacin:Jugadores Posicionesy Guillermo Ochoa Paul AguilarPorteroCarlos Salcido Ricardo Osorio F. Javier RodrguezDefensa Efran JurezxRafael MrquezMedio campista Gerardo Torrado Giovani dos SantosDelanteroCarlos VelaGuille Franco ______________________________________ ______________________________________Justificacin:Justificacin: EvaluacinProducto: Ejercicios de relacionar y Actividad: 3 Puntaje:respuesta breve. SaberesConceptual Procedimental Actitudinal Enuncia las caractersticas de Argumenta la diferencia entre una Expone sus ideas con claridad. una relacin y de una funcin. funcin y una relacin.CMC NCCalificacin otorgada por el Autoevaluacin docente20 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 20. Dominio y rango.En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para serutilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio,mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuacin.Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relacin.Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relacin, los elementos del dominio.Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relacin.Imgenes: Son los elementos del contradominio o codominio que estn asociados con algn argumento.Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imgenes o valores de la relacin.En el siguiente ejemplo visualizars estas definiciones.Equipo de danza Grupos Ana 101 M Yolanda 102 M Conchita103 MKarla104 MLaura105 MSofa106 MRANGOEquipo de danza Grupos (conjunto)Argumentos Ana 101 M(elementos)Yolanda 102 M Imgenes Conchita103 M(elementos)Karla104 MLaura105 MSofa106 MDOMINIO CONTRADOMINIO(conjunto) (conjunto)Los conjuntos se expresan de la siguiente forma:Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofa}Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M}Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}21BLOQUE 1 21. Actividad: 4 Marca con si los conjuntos corresponden a una funcin o relacin; determina el dominio, contradominio y rango de cada una de ellas. Categoras DocentesFrancisco Durn FuncinTitular AJavier Sandoval Titular B Relacin Marco RamosTitular CDom: Jos Luis GutierrezCB ISusana HerreraJess Leyva CB IIContradominio: Jos ArmentaCB IIIAntonio Ricardez CB IVCB V Rango:CB VFigurasgeomtricas Nm. de ladosFuncin0 Relacin Dom:123Contradominio:456Rango:7Empleado SueldoFuncin Antonio$5,000RelacinManuel$7,500 Dom: Yolanda$8,000 Conchita $10,500Jess $12,000Contradominio: Karla$14,100 Rango: EvaluacinActividad: 4 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:Saberes Conceptual ProcedimentalActitudinal Identifica el dominio,Escoge los elementos del dominio, Aprecia a las relaciones y contradominio y rango decontradominio y rango defunciones como parte de su vida relaciones y funciones. relaciones y funciones. cotidiana. C MCNCCalificacin otorgada por elAutoevaluacindocente22RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 22. Formas de representar una funcin.Una funcin f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma: f:XYSe lee: funcin f de X a Y.f XY 1A 2B 3C 4D 5F 5Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la funcin f, por lotanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma.f(1) = Af(2) = Bf(3) = Df(4) = Cf(5) = BEn general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotara de lasiguiente forma:f(x)=ySe lee: f de x es igual a y".Si se expresa la funcin como pares ordenados se obtiene:f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)}Tambin se puede representar la funcin en forma de tabla, como se observa a continuacin. xf(x) 1 A 2 B 3 D 4 C 5 BLa representacin analtica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociacin que describa lacorrespondencia entre los elementos.Es necesario aclarar que una funcin no slo se denota con la letra f, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto enmayscula o minscula, as como tambin con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situacin seacostumbra a utilizar la letra de la funcin que se est aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar alvolumen como funcin de x, la funcin se expresa como V(x). 23BLOQUE 1 23. Cuando una funcin est expresada en forma de enunciado se puede escribir su representacin analtica o viceversa,como en los siguientes ejemplos: 1. Si el enunciado es: El cubo de un nmero ms cinco, entonces su representacin analtica es: f( x ) x 3 5 . 2. Si el enunciado es: El triple del cuadrado de un nmero ms el doble del mismo, entonces surepresentacin analtica es: g( x ) 3x 2 2x .x 3. Si la representacin analtica es: T( x ) 7 , el enunciado correspondiente es: la cuarta parte de un4nmero disminuido en 7 unidades. 4. Si la representacin analtica es: V( x ) x 1 , el enunciado correspondiente es: la raz cuadrada de ladiferencia de un nmero con uno.A continuacin se mostrar algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar yrepresentar una funcin.Ejemplo 1.La edad de los hijos de Doa Luca de Valdez.EA BGabriel 12Sonia 1314Javier15 Humberto 161718Los conjuntos A y B se relacionan mediante la funcin E, la edad; sta es funcin dado que a los hijos de Doa Lucale corresponde slo un nmero, debido a que ninguna persona puede tener dos edades.La funcin se denota como: E: A BDe manera que si se aplica la funcin E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B.Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la funcin es:E(Gabriel) = 12E(Sonia) = 14E(Javier) = 14E(Humberto) = 18Lo ms enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relacin ofuncin es el anlisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientesdeducciones:Doa Luca pari en tres ocasiones.Sonia y Javier provienen de un embarazo mltiple.La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mnimo de 5 aos.24RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 24. Ejemplo 2.El tanque de gasolina de un automvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidadde gasolina contra la distancia, medida cada 24 km.Litros Distancia(l) (d) 224 448 672 89610120En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la funcin se representa de la siguiente forma. F: L DDonde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias.Debido a la descripcin del problema y la informacin que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analticade la funcin, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automvil avanza 24kilmetros. Como recordars, en Matemticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, lafuncin quedara: F(l)=12lUtilizando la tabla se puede trazar la representacin grfica de la funcin.d l De acuerdo a las caractersticas del problema, el dominio de la funcin no se puede describir de forma puntual, esdecir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, sta es una muestra de los posibles valores quepuede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarcael intervalo de 0 a 120 Kilmetros.Posteriormente se proporcionar una notacin ms apropiada, matemticamente hablando, de la forma de expresarel dominio y el rango de una funcin en intervalos. 25BLOQUE 1 25. Actividad: 5Resuelve lo que se pide.I. Considera la funcin g x x 3 2x 3 para contestar los siguientes incisos:a) Completa cada una de las imgenes de la funcin para los argumentos indicados, sigue elejemplo que se muestra a continuacin.g 2 2 2 2 3 13g 1 g 0 g 1 g 2 b) Forma los pares ordenados con las imgenes obtenidas en el problema anterior.g x {( 2, 1 ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} c) Expresa el enunciado que describe a la funcin anterior. II. Completa la siguiente tabla. fx x 3 22x12345 a) Expresa el enunciado que describe a la funcin anterior. b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla. c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.26RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 26. Actividad: 5 (continuacin)III. Realiza la representacin sagital de la regla de asociacin el doble de un nmero ms 4 unidades, usa los primeros cinco nmeros naturales.IV. Dados los pares ordenados Hx {( 2, 10 ), (1, 5 ), ( 0,0 ), (1,5 ), ( 2,10 ), ( 3,15)}a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados. b) Expresa la funcin que modele los pares ordenados. c) Expresa el dominio y el rango de la funcin.V. La renta de una habitacin en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial ms $300 por cada da transcurrido. a) Escribe la representacin analtica de la renta de una habitacin en funcin de los das transcurridos,R(t). b) Representa mediante una tabla, seis valores de la funcin anterior.tRt c) Determina el dominio y el rango de R(t).EvaluacinActividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinalUbica las diferentes formas de Construye las diferentesEs creativo y propositivo alrepresentar una funcin, as representaciones de una funcin,realizar la actividad.como el dominio y rango de laas como el dominio y rango de lamisma. misma. C MCNCCalificacin otorgada por elAutoevaluacindocente27BLOQUE 1 27. Actividad: 6En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamao carta. Para formarla caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesorles asignar a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm,etc.) que deben de recortar para formarla.xx 1. Calcula el rea de la caja y el volumen de la misma. 2. Los equipos mencionarn los resultados obtenidos y llenarn la siguiente tabla. x rea Volumen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. Graficar en un plano cartesiano el rea contra la longitud del lado del cuadrado recortado.28RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 28. Actividad: 6 (continuacin)4. Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado recortado.5. Escribir la forma analtica del rea y el volumen como una funcin que depende de la longitud del lado del cuadrado recortado.6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.7. Qu anlisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?EvaluacinActividad: 6 Producto: Prctica.Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinalIdentifica las diferentes formas Construye las diferentes formas de Presenta disposicin al trabajode expresar una funcin. expresar una funcin.colaborativo con suscompaeros.C MC NCCalificacin otorgada por elCoevaluacin docente29BLOQUE 1 29. CierreActividad: 7Dadas las siguientes funciones, realiza la representacin correspondiente.1. fx x 2 2. gx 3x3. h x 2x 1 4. T x x a) Mediante un diagrama sagital.fg XY XY hTX Y XY b) Mediante una tabla de valores.x fx x 2xgx 3xx h x 2x 1x T x x c) Mediante pares ordenados.f x {( ,), (,), (, ), (,), ( , ), (,)}g x {( ,), (, ), (,), ( , ), ( , ), ( ,)}h x {(, ), (, ), (,), ( , ), ( , ), ( ,)}T x {( ,), (, ), (, ), (, ), ( , ), ( ,)}30RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 30. Actividad: 7 (continuacin)d) Mediante una grfica. f (x) g (x) xx h (x) T (x) xx e) Mediante un enunciado. 1. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________EvaluacinActividad: 7 Producto: Representaciones.Puntaje: SaberesConceptual ProcedimentalActitudinalReconoce las diferentes formas Representa de diferentes formasAporta puntos de vistade representar a una funcin.una funcin. personales con apertura yconsidera los de otras personas. CMCNC Calificacin otorgada por elAutoevaluacin docente 31BLOQUE 1 31. Secuencia didctica 2. Clasificacin de funciones. Inicio Actividad: 1Contesta lo que se pide en cada seccin.I. Observa las siguientes grficas y escribe en la lnea la palabra Funcin o Relacin segn sea el caso; justifica tu respuesta. f (x) _________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ x __________________________________________________________ __________________________________________________________ f (x) _________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ x __________________________________________________________ __________________________________________________________ f (x) _________________________________________________________ Justificacin:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ x __________________________________________________________ __________________________________________________________32RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 32. Actividad: 1 (continuacin)II. Analiza la forma que tienen las siguientes grficas y de la clasificacin que se daposteriormente, escribe en la lnea las que pienses que cumplen cada una de ellas.Clasificacin: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua. f (x) f (x) x x ________________________________________ _________________________________________ _________________________________________________________________________________ f (x)f (x) x x _________________________________________________________________________________ ________________________________________ _________________________________________ f (x)f (x) x x _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________33BLOQUE 1 33. Actividad: 1 (continuacin) f (x) f (x) x x _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ f (x) f (x) x x _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ EvaluacinProducto: Reactivos de respuesta Actividad: 1 Puntaje:breve.SaberesConceptual Procedimental Actitudinal Describe el comportamiento deExplica el comportamiento de las Muestra inters al realizar la las funciones. funciones.actividad.CMCNC Calificacin otorgada por el Autoevaluacin docente34 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 34. DesarrolloEn asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una expresinalgebraica y que pueden ser representados con grficas para poder darles solucin, es por ello que el uso de lasfunciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia.Para hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades para distinguir sus caractersticas, as comotambin para lograr una mejor interpretacin.En virtud de lo anterior, en este tema se analizarn las caractersticas ms importantes de las funciones, las cualespermiten su clasificacin. A continuacin se presenta un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, paraque tener un panorama general de lo que se abordar en esta secuencia.Clasificacin de funciones SegnLa presentacin deLa forma deSu forma analticasu forma analtica Su grficacorrespondencia entre sus conjuntos Algebraicas ExplcitasPor su trazo InyectivaPolinomiales Implcitas Continuas SobreyectivaRacional Discontinuas BiyectivaIrracionalPor su variacinTrascendentesCrecientes Trigonomtricas Decrecientes ExponencialesLogartmicasA continuacin se mostrarn las caractersticas de cada una de las clasificaciones y en los bloques posteriores seestudiarn detalladamente.Se mostrarn tambin grficas de cada una de ellas para que te vayas familiarizando, asociando la representacinanaltica con la grfica, adems de su variacin, entre otras cosas.Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable x se le denomina variable independiente y a la variable y se leconoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable y depender del valor que seasigne a la variable x. Hay que recordar que la variable y est en funcin de x.Para facilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra funcin para referirse a y y la palabra variablepara referirse a x.35BLOQUE 1 35. Segn su forma analtica.Funciones Algebraicas.Son aquellas funciones que estn compuestas por trminos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta,multiplicacin, divisin, potenciacin y extraccin de races.Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuacin se definirn cada unade ellas.Funciones polinomiales.Estas funciones tienen como forma general la siguiente:fx a n x n a n1x n1 a n2 x n2 a n3 x n3 ... a 2 x 2 a 1x a 0Donde an, an.1,, a1, a0 son constantes y n es un nmero no negativo.El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la funcin y sta es verdadera, por lo tantoel dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los nmeros reales.Las funciones polinomiales que se tratarn en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarn laforma general de cada una de ellas y sus nombres. Funcincons tan te fx a Funcinlinealfx mx b con m 0Funciones polinomiales Funcincuadrticafx ax bx c 2con a 0 Funcincbica fx ax bx cx d 32con a 0 Funcincurticafx ax bx cx dx e 43 2con a 0Si te dars cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual forma seejemplificar cada una de ellas en esta secuencia y se retomarn en los bloques posteriores para abordarse conmayor profundidad.Funcin constante.Esta funcin tiene como imagen el mismo nmero; su dominio son todos los nmeros reales y a todos ellos se lesasocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarn algunos ejemplos.Ejemplo 1.Graficar la funcin fx 4 , determinar su dominio y rango.Se utilizar una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la funcin.xfx 4 24 Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable ms comunes como 2, 1. 0, 1, 2, y a todos ellos al sustituirlos en la funcin les asigna el 4. 14 04 1 4 2 4Como su nombre lo dice, la variable x es independiente, por lo que se puede elegir cualquier nmero pertenecientea los nmeros Reales y a todos ellos les asignar el mismo valor, 4; por lo que la grfica es una recta horizontal quecorta al eje Y en 4, como se muestra a continuacin en su grfica.36 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 36. f (x) x En la grfica es ms sencillo visualizar el dominio y el rango de la funcin. f (x) Rango= 4 xDom = , La notacin que se us tanto en el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al final de tu mdulo.Ejemplo 2. 9Expresa la funcin y traza la grfica si su dominio son los nmeros reales y el rango es . 29Sabiendo que todos los valores de la funcin es el nmero , se puede trazar la lnea horizontal a esa altura y2extenderse a los lados desde hasta , como lo determina el dominio, por lo tanto, la grfica queda: f (x)9 Como para cualquier valor de x el valor de la funcin es , por consiguiente2la funcin queda:9x fx 2 El dominio y el rango se expresan de la siguiente forma: Dom : , 9 Rango 2 37BLOQUE 1 37. Funcin lineal.La funcin lineal es una funcin algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos.Ejemplo 1.Graficar la funcin gx 3x 4 , as como determinar su dominio y su rango.Como recordars, esta funcin se abord tanto en Matemticas 1 como en Matemticas 3, en ellas aprendistediferentes formas de graficar una funcin lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la funcin con losejes coordenados, as como tambin a utilizar los parmetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen).Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene: xgx 3x 4gx 3x 42 10 g 2 3 2 4 1017g 1 3 1 4 7 04g0 30 4 4 11g1 31 4 1 2 2g2 32 4 2 3 5g3 33 4 5Graficando los puntos se obtiene: g (x) x Al tener la funcin, se puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales,por lo tanto se deben unir los puntos mediante una lnea recta. Con ello se comprueba que su dominio son losnmeros reales, como se observa a continuacin. g (x) x Rango= , Dom = , 38 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 38. Ejemplo 2.Graficar la funcin fx x , describir su dominio y rango.Se utilizar de nuevo una tabla para trazar su grfica.x fx x 3 3 2 2 1 1 00 11 22En ella se observa que tanto la variable como la funcin tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina funcinidentidad o idntica.Posteriormente te dars cuenta que la funcin identidad es muy importante para identificar la inversa de una funcin.Su grfica describe una recta con un ngulo de inclinacin de 45. f (x)x Al igual que todas las funciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los nmeros reales.Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas:Forma de intervalo Dom , Rango , Forma de conjunto.Dom Rango 39BLOQUE 1 39. Funcin cuadrtica.La funcin cuadrtica es de segundo grado y es de la forma fx ax 2 bx c con a 0 , su grfica describe unaparbola, como a continuacin se muestra en los siguientes ejemplos.Ejemplo 1.Graficar la funcin Tx x 2 4x 1 ; obtener el dominio y el rango.Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin. xTx x 2 4x 1T 4 4 4 4 1 1 241T 3 3 4 3 1 223 2T 2 2 4 2 1 322 3T 1 1 4 1 1 221 2T0 0 40 1 120 1T1 1 41 1 621 6Su grfica es:T(x)Rango= 3, x Dom = , Consulta el anexo A al final de tu mdulo, para que verifiques cmo se representa el Dominio y Rango en forma deintervalo.Ejemplo 2.Graficar la funcin Hx x 2 3 ; encontrar el dominio y el rango.Se sustituyen los valores en la funcin para encontrar los puntos.40RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 40. x Hx x 2 3 H 2 2 3 1 221 H 1 1 3 221 2 H0 0 3 3203 H1 1 3 2212 H2 2 3 122 1Su grfica es:H(x) x Rango= ,3 Dom = , Funcin cbica.La funcin cbica es una funcin polinomial de tercer grado, es de la forma fx ax 3 bx 2 cx d con a 0 .Para conocer su grfica se requiere ejemplificar.Ejemplo 1.Graficar la funcin D x x 3 6x 2 12 x 6 ; obtener el dominio y el rango.Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin. x D x x 3 6x 2 12 x 6 D0.5 0.5 60.5 120.5 6 1.375 3 20.5 1.375 D1 1 61 121 6 1 32 11 D1.5 1.5 61.5 121.5 6 1.875 321.5 1.875 D2 2 62 122 6 2 32 22 D2.5 2.5 62.5 122.5 6 2.125 3 22.5 2.125 D3 3 63 123 6 3 32 33 D3.5 3.5 63.5 123.5 6 5.375 3 23.5 5.37541BLOQUE 1 41. Su grfica es: D (x) Rango= ,x Dom = , Ejemplo 2. 1Graficar la funcin K x x 3 1 ; obtener el dominio y el rango. 3En este caso, la funcin no tiene el trmino cuadrtico y lineal, pero sigue siendo una funcin cbica.1xK x x3 131 K 3 33 1 8 3 8 315K 2 23 1 5 2 3 3 312 K 1 1 1 32 1 3331 3 K0 0 1 101 31 3 44K1 1 1 1 3 331 31111 K2 2 1 2 3 331 3 K3 3 1 103 10342RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 42. Su grfica es: K(x) x Rango= , Dom = , Funcin curtica.La funcin curtica es una funcin polinomial de cuarto grado, es de la forma: fx ax 4 bx 3 cx 2 dx e con a 0 .Cualquiera de los trminos b, c, d o e pueden valer cero, pero no as el coeficiente a, a continuacin se ejemplificarsu grfica.Ejemplo 1.Graficar la funcin f x 4x 4 6x 3 2x 2 2x 3 ; obtener el dominio y el rango.Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin. xf x 4x 4 6x 3 2x 2 2x 3111 f 1 4 14 6 13 2 12 2(1) 3 11 0.50.5f 0.5 4 0.54 6 0.53 2 0.52 2(0.5) 3 0.5 03 f 0 404 603 202 2(0) 3 30.5 4 f 0.5 40.54 60.53 20.52 2(0.5) 3 4 15 f 1 414 613 212 2(1) 3 51.51.5f 1.5 41.54 61.53 21.52 2(1.5) 3 1.543BLOQUE 1 43. Su grfica es: f (x) x Rango= 5, Dom = , Este tipo de funciones, como en las cuadrticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto ms bajo con el finde determinar con certeza el rango, como se muestra en la grfica; esto lo aprenders en el bloque correspondiente alas funciones de tercer y cuarto grado, as como tambin, en la asignatura de Clculo Diferencial e Integral I.Ejemplo 2. 121Graficar la funcin G x x4 x ; obtener el dominio y el rango. 44En este caso, se carece del trmino cbico y cuadrtico, pero sigue siendo una funcin curtica. 1 21x G x x4 x 4 4 3 1 2G 2 24 2 21 3 0.75 4 4 4 4 1 21G 1 1 1 4 14444 2110 4G0 04 0 21 21 5.25 4 4 4 12116G1 14 1 6 4 4 13121 132 G2 24 2 3.25 4 4 4 444 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 44. Su grfica es: G(x) x Rango= ,6 Dom = , Funciones racionales.Son las funciones que estn formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:Px fx donde Px y Q x son funciones polinomiales slo que Q x 0 .Qx En el caso de que Q x sea constante, se obtiene una funcin polinomial, como se muestra al simplificar la funcin4x 2 8x 1fx .2Para simplificarla es necesario realizar la divisin. f (x) 4x 2 8x 1fx 2 4 2 8 1fx x x 2221fx 2 x 2 4 x 2 xSe obtiene una funcin cuadrtica y su grfica es la siguiente: Su dominio y rango es:Dom : , 5 Rango , 2 45BLOQUE 1 45. En esta seccin se ejemplificar la forma que tienen las funciones racionales con denominador diferente a una funcinconstante y en el bloque 4 se abordar ms a fondo este tipo de funciones.Ejemplo 1. x2 4Graficar la funcin fx ; determinar su dominio y su rango. x2Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la funcin. x2 4 x fx x2 42 4 1246 f 4 6 4 2 2 32 4 535f 3 5 3 2 1 2 4 0 22 No est definido f 2 No est definido 2 2 0 12 4 313f 1 3 1 2 1 02 4 40 2 f0 20 2 212 4 31 1f1 1 1 2 3 22 4 020 f2 02 2 4Al graficar se obtiene:f(x)xComo se observa en la grfica, el comportamiento de los puntos parece ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de 2, el cociente tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder determinar el comportamiento alrededor de la indefinicin, se requiere tomar valores cercanos a x=2, como se observa en la siguiente tabla.46RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 46. x2 4 xfx x2 2.82 4 3.84 2.8 4.8 f 2.8 4.8 2.8 2 0.8 2.62 4 2.76 2.6 4.6f 2.6 4.6 2.6 2 0.6 2.42 4 1.76 2.4 4.4f 2.4 4.4 2.4 2 0.4 2.22 4 0.84 2.2 4.2f 2.2 4.2 2.2 2 0.2 22 4 02No est definido f 2 No est definido 2 2 0 1.82 4 0.76 1.8 3.8 f 1.8 3.8 1.8 2 0.2 1.62 4 1.44 1.6 1.6f 1.6 3.6 1.6 20.4 1.4 4 2.042 1.4 3.4f 1.4 3.4 1.4 20.6 1.22 4 2.56 1.2 3.2f 1.2 3.2 1.2 20.8 Al graficarse la tabla con los valores ms cercanos a 2, se observa lo f(x)siguiente: El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graficando valores de x ms cercanos a 2, para comprobar que efectivamente ese comportamiento. Por lo tanto, se dibuja la lnea pero con un punto hueco a la altura de 4.x f (x) x 4, El dominio y el rango se componen de una unin de dos intervalos, como se observa en la grfica. Dom ,2 2, Dom 2o bien Rango ,4 4, Rango 4 , 4 , 2 2,47BLOQUE 1 47. Ejemplo 2. xGraficar la funcin Lx ; determinar su dominio y su rango. x 1Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la funcin.xxLx x 1L 3 3 3 0.753 0.75 3 1 4 L 2 2 2 0.672 0.67 2 1 3 L 1 1 1 0.51 0.5 1 1 2 L0 0 0 000 0 1 1 L1 1 1 No est definido1No est definido1 1 0 L2 2 2 222 2 1 1 L3 3 3 1.531.5 3 1 2 L4 4 4 1.341.3 4 1 3Al graficar se obtiene: L(x) La grfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, as como tambin valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente x tabla. 48 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 48. x2 4 x fx x2 6 6L 6 0.8660.86 6 1 7 5 5L 5 0.8350.83 5 1 60.50.5L0.5 10.5 10.5 1 0.5L0.8 0.8 0.8 40.8 4 0.8 1 0.21 1 1No est definidoL1 No est definido1 1 01.2 1.21.26L1.2 6 1.2 1 0.2 1.5 1.51.53L1.5 3 1.5 1 0.5 5 5 51.25L5 1.25 5 1 4L6 6 6 1.2 6 1.2 6 1 5Segn los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente forma: L(x) Al seguirse graficando puntos ms cercanos al 1, se tiene que a suderecha tienden a irse a infinito ( ) y al acercarse por la izquierda del1, tienden a irse a menos infinito ( ).Al igual que en los extremos, entre ms grande el nmero, el valor de lafuncin se acerca al 1 por arriba, y entre ms pequeo es el nmero, elvalor de la funcin se acerca a 1 por abajo, por lo tanto, la grficax completa quedara as: L(x) 1, xLas lneas punteadas se llaman asntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar lafuncin, es por ello que su dominio y rango son: , 1Dom ,1 1, Dom 1o bienRango ,1 1, Rango 1 ,1 1, 49BLOQUE 1 49. As como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en sus grficas, encontrars que las funciones racionales sonmuy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones polinomiales que contengan en sunumerador y denominador.Funciones irracionales.Son las funciones que se identifican por poseer races que involucran a la variable, este tipo de funciones no sepueden expresar como funciones racionales.Algunos ejemplos de funciones irracionales son:fx 2x 5gx 2x 2 3 hx 3 x 2 4Se debe descartar aquellas funciones en las que se pueda extraer la variable de la raz, como por ejemplo.En la funcin fx 4 4x 8 , se puede extraer la raz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultadofx 4 4x 8 4 4x 2 , dejando ver que se trata de una funcin polinomial.La funcin fx 3x 2 5x 2 6 se puede expresar como fx 3x 2 5x 6 , que resulta ser una funcinpolinomial.Se ejemplificarn algunas funciones irracionales para observar su comportamiento.Ejemplo 1.Graficar la funcin fx x 2 , as como determinar su dominio y su rango.Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.x fx x 2 1No es nmero real f 1 1 2 3 No es nmero real 0 No es nmero real f0 0 2 2 No es nmero real 1 No es nmero real f1 1 2 1 No es nmero real 2 0 f2 2 2 0 0 3 1 f3 3 2 1 1 41.4f4 4 2 2 1.4 51.7f5 5 2 3 1.7 6 2f6 6 2 4 2Como se observ, los valores que se pueden sustituir en la funcin son aquellos en los cuales el radicando sea unnmero no negativo, puesto que la raz cuadrada de un nmero negativo pertenece al conjunto de nmerosimaginarios, no a los nmeros reales.50 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 50. Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene: f (x) x Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde existe la funcin son mayores o iguales a 2 ( x 2 ), porlo tanto, la lnea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la grfica de la siguienteforma: f (x) x El dominio y el rango son: f (x) Rango= 0, x Dom = 2, 51BLOQUE 1 51. Ejemplo 2.Graficar la funcin Lx 2 4 x 3 , as como determinar su dominio y su rango.Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.x Lx 2 4 x 3 21.9L 2 2 4 2 3 2 6 3 1.9 11.5L 1 2 4 1 3 2 5 3 1.5 01 L0 2 4 0 3 2 4 3 1 1 0.5L1 2 4 1 3 2 3 3 0.5 20.2L2 2 4 2 3 2 2 3 0.2 3 1 L3 2 4 3 3 2 1 3 1 4 3 L4 2 4 4 3 2 0 3 3 5 No es nmero real L5 2 4 5 3 2 1 3No es nmero realAl ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene: L(x)x De acuerdo al comportamiento de la funcin, los valores que hacen que sea verdadera son para x menores oiguales de 4 ( x 4 ), por lo tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la grfica de lafuncin como sigue: L(x) x Rango= ,3 Dom = , 4 52RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 52. Funciones Trascendentes.Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonomtricas, las cualesconociste en Matemticas 2; tambin se consideran trascendentes las funciones exponenciales y logartmicas.A continuacin se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas.Funciones trigonomtricas.En ellas se utilizan las relaciones trigonomtricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, ascomo tambin las trigonomtricas inversas.Hay que recordar que las funciones trigonomtricas surgen de la comparacin por divisin de las magnitudes de untringulo rectngulo. bc sen x csc x c bca c cos x sec x bc a b a tan x cot x xa baEn el bloque 6 conocers a detalle las funciones trigonomtricas, entretanto, se graficarn algunos ejemplos paravisualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como loaprendiste en matemticas 2.Ejemplo 1.Graficar la funcin f( x ) sen x , determinar su dominio y rango. xf( x ) sen x60.28 f 6 sen 6 0.2840.76 f 4 sen 4 0.762 0.91 f 2 sen 2 0.91 00f0 sen0 0 20.91 f2 sen2 0.91 4 0.76 f4 sen4 0.76 6 0.28 f6 sen6 0.28Al graficar los puntos se obtiene la grfica: f (x) x 53BLOQUE 1 53. En matemticas 2, aprendiste a graficar estas funciones utilizando los valores que provocan cambios importantes enellas, los cuales son los mltiplos de 90, stos se grafican en el plano cartesiano en radianes como mltiplos de ; a2continuacin se muestra se muestra la tabla en estos trminos. x f( x ) sen x2 0 f 2 sen 2 0 3 3 3 1 f sen 1 2 2 2 0 f sen 0 1 1 1 1f sen 1 2 2 2 00 f 0 sen 0 01 1 1 1 f sen 12 2 2 0 f sen 03 3 3 1f sen 12 2 2 20 f 2 sen 2 0Graficando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la grfica, el cual esperidico. f (x) x x Al graficar la funcin y ubicar solamente los mltiplos de queda: 2 f (x) xRango= 1,1 Dom = , 54RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 54. Ejemplo 2.Graficar la funcin T( x) 3 cos x 1 , determinar su dominio y rango.Tomando en cuenta que el comportamiento de las funciones trigonomtricas cambia en los mltiplos de , la tablaqueda:xT( x) 3 cos x 12 2 T 2 3 cos 2 1 23 3 3 1T 3 cos 1 12 2 2 4T 3 cos 1 41 1 1 1 2 T 3 cos 1 1 2 2 0 2 T 0 3 cos 0 2 11 1 1T 3 cps 1 1 22 2 4T 3 cos 1 4 33 3 1T 3 cos 1 1 22 2 2 2 T 2 3 cos 2 1 2Al ubicar los puntos y trazar la lnea se obtiene la grfica: T(x) x Rango= 4,2 Dom = , 55BLOQUE 1 55. Funciones exponenciales.Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:x 1 f x e2x 1f x 2 x 2 3f x 3En las funciones anterioresA continuacin se muestran ejemplos de grficas de funciones exponenciales para conocer a grandes rasgos sucomportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la funcin, se requiere utilizarcalculadora.Ejemplo 1.Graficar la funcin f x 3 x 2 , determinar su dominio y rango.Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. xf x 3 x 2 5 1.996f 5 3 5 2 1.996 4 1.988f 4 3 4 2 1.988 3 1.963f 3 3 3 2 1.963 2 1.889f 2 3 2 2 1.889 1 1.667f 1 3 1 2 1.6670 1f 0 3 0 2 11 1 f 1 3 1 2 12 7 f 2 3 2 2 73 25f 3 3 3 2 25Ubicando los puntos se obtiene la grfica: f (x) Se observa en la grfica, entre menor sea el valor de x, la funcin se acerca al valor de 2, de hecho, jams va a tomar el valor de 2, esto se puede visualizar analizando la funcin. Como la funcin es exponencial, el valor del exponente es el que vara. f x 3 x 2 Si la x es grande, el valor de 3 x crece muy rpido, si la x es cero, su valor es 3 0 1, si el valor es negativo significa que se puede 1 expresar como: 3 4 , se hace casi cero, pero jams ser cero 34 ni negativo. Por lo tanto, si 3 x no puede ser cero, 3 x 2 no podr tomar el valor de 2, ni tampoco nmeros menores que este valor. x Se podra decir que existe una recta asntota a la altura de y=2, que impide que la funcin toque ese valor.56RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 56. f (x) Rango= 2, x Dom = , Ejemplo 2. El nmero e es un nmeroGraficar la funcin P x e x 3 , determinar su dominio y rango. irracional famoso, y es unode los nmeros msUtilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientesimportantes enpuntos. matemticas.Las primeras cifras son:2.7182818284590452353Se le conoce tambin como el nmero de Euler por Leonhard Euler. x P x e x 3 5 2.993P 5 e 5 3 2.933 4 2.982P 4 e 4 3 2.982 3 2.95 P 3 e 3 3 2.95 2 2.865P 2 e 2 3 2.865 12.9 P 1 e 1 3 2.6320 2P 0 e 0 3 21 0.282P 1 e 1 3 0.28224.389P 2 e 2 3 4.389317.086 P 3 e 3 3 17.08657BLOQUE 1 57. P(x) x Al igual que el ejemplo anterior, esta funcin est delimitada por una asntota, la cual est ubicada a una altura dey=3. P(x)Por lo tanto, la grfica se visualiza de la siguiente forma: x Rango= ,3 Dom = , 58 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 58. Funciones logartmicas.stas son las funciones inversas a las funciones exponenciales, su definicin y propiedades se retomarn msadelante, mientras tanto, slo se ejemplificar su forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora cientfica.Las funciones logartmicas ms usadas son las que tienen base 10 o base e, y se escriben: Log log10 Ln logeAlgunos ejemplos de ellas son: fx Ln xf x 2 logx 1 f x 3 logx En las funciones anterioresA continuacin se muestran ejemplos de grficas de funciones logartmicas para conocer, a grandes rasgos, sucomportamiento y establecer su dominio y rango.Ejemplo 1.Graficar la funcin f x 2 Ln x , determinar su dominio y rango.Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. x f x 2 Ln x0.5 No existe f 0.5 2 Ln 0.5 No existe 0 No existe f 0 2 Ln 0 No existe0.1 4.61f 0.1 2 Ln 0.1 4.610.3 2.40f 0.3 2 Ln 0.3 2.400.5 1.39f 0.5 2 Ln 0.5 1.39 1 0 f 1 2 Ln 1 0 2 1.39f 2 2 Ln 2 1.39 3 2.20f 3 2 Ln 3 2.20 4 2.77f 4 2 Ln 4 2.77 5 3.22f 5 2 Ln 5 3.22Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no existe la funcin, estoes porque as como en la funcin exponencial, para cualquier valor que sustituyas en el exponente nunca ser cero ninegativa, la funcin logartmica al ser su inversa, no podrs sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedarmucho ms claro cuando veas ms detalladamente los temas de funciones inversas, funciones exponenciales ylogartmicas.Continuando con la grfica, se ubican los puntos y se obtiene: f (x) En esta ocasin, la asntota es vertical y se ubica exactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la funcinpara x negativa o cero. x 59BLOQUE 1 59. Por lo tanto, su grfica queda: f (x)x Rango= , Dom = 0,Ejemplo 2.Graficar la funcin S x Log x 1 2 , determinar su dominio y rango.Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos. x S x Log x 1 25 2.78 S 5 Log 5 1 2 2.784 2.70 S 4 Log 4 1 2 2.703 2.60 S 3 Log 3 1 2 2.602 2.48 S 2 Log 2 1 2 2.481 2.30 S 1 Log 1 1 2 2.30 0 2S 0 Log 0 1 2 20.51.70 S 0.5 Log 0.5 1 2 1.700.81.30 S 0.8 Log 0.8 1 2 1.300.91S 0.9 Log 0.9 1 2 1 1 No existeS 1 Log 1 1 2 No existe 2 No existeS 2 Log 2 1 2 No existeLos puntos quedan de la siguiente forma:S(x) En esta ocasin la asntota est ubicada en x=1, dado que en la funcin, cuando x=1, se tiene que obtener el valor de log(0) y ste no existe, as como tambin, valores de x mayores que 1 se tendra log( negativo), por lo tanto, no x existe. 60 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 60. Trazando la lnea se obtiene la siguiente grfica: S(x)Rango= , x Dom = ,1 Sitios Web recomendados:Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientosacerca de la clasificacin de funciones.http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20funcin%20senohttp://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html61BLOQUE 1 61. Actividad: 2 Clasifica las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos.FuncinClasificacinNombre Dominiox3 f x x rx x 2 2x 3 H x tanx N x 7 F x 4 x 2 k x x 4 6x 2 2x2 9 gx x3 q x 2 3x 1 t x 4 senx 1 s x Lnx 3 1 L x 5x 6 w x 4x 2 5 3 Evaluacin Producto: Complementacin de laActividad: 2Puntaje: tabla.Saberes ConceptualProcedimental ActitudinalReconoce la clasificacin de las Clasifica las funciones y calcula el Expresa sus dudas y corrige susfunciones, as como el dominio y dominio y rango de las mismas. errores.rango de ellas. C MC NCCalificacin otorgada por el Autoevaluacindocente62RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 62. Segn la presentacin de su forma analtica.De acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que una funcin es de la forma y fx , pero notodo el tiempo es expresada igual.En ella se observa claramente que x es la variable independiente (como se ha visto desde Matemticas 1), y y esla variable dependiente, porque est en funcin de x.Es por ello que es fcilmente identificable cuando se tiene una funcin de esta forma; sin embargo, cuando se poseeuna expresin en la que la variable dependiente no est despejada, no es tan sencillo visualizarla, es por ello que parahacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas de presentar una funcin se les conoce como funciones explcitas yfunciones implcitas; a continuacin una breve explicacin de cada una de ellas.Funciones explcitas.Son aquellas que se representan mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente despejada en unode sus miembros y en el otro una expresin en trminos de la variable independiente, como por ejemplo.1. y x 2 3x 22. y 2 x 113. fx 3 x 1En realidad, todas las funciones que se describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma explcita,debido a la sencillez que proporciona esta forma en la sustitucin de valores.Funciones implcitas.Son aquellas que se representan por medio de una ecuacin en donde la variable dependiente e independienteaparecen mezcladas en uno o ambos miembros de la igualdad, como se muestra a continuacin.1. 4x 3y 8 02. 23x 2y 6x 4y 83. x2 y2 14. x 2 2x 3 y 6 05. x 2 y 3x 06. y 2 2 x 4y 6 0Cuando se tiene una funcin implcita y se desea conocer algunos puntos que pertenezcan a la funcin, esrecomendable despejar la variable dependiente para transformarla en una funcin explcita y llevar a cabo de formams simple, la sustitucin de valores, aunque en algunas ocasiones se complica el despeje de la variabledependiente, como sera el caso de la funcin nmero 5, en la cual se tiene y 2 y y, se tendra que utilizar unmtodo de factorizacin para llevar a cabo el despeje.El saber despejar una variable ser fundamental para encontrar la funcin explcita, pero an ms, para expresar lainversa de una funcin, como se ver en el siguiente bloque.La notacin implcita se utiliza mucho en asignaturas posteriores, como en Clculo diferencial e integral I y II.A continuacin se transformarn las funciones implcitas anteriores en funciones explcitas, utilizando despeje simpleen algunas de ellas, hasta el mtodo de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el caso de la sexta funcin. 63BLOQUE 1 63. Funcin implcita Funcin explcita.Nombre 4x 3y 8 0 3y 4x 84x 3y 8 0 4x 8 yFuncin lineal 3 4 84 8 y x fx x 3 33 3 23x 2y 6 x 4y 8 6 x 4y 6 x 4y 8 23x 2y 6x 4y 8 4y 4y 6 x 6 x 8 Funcin constante 8y 8 y 1 f x 12 2 x y 1 y 2 x 2 1 y2 x2 1 y x2 1 x2 y2 1 Funcin irracional De sta se derivan dos funciones . y x2 1 fx x 2 1 y x2 1 fx x 2 1 x 2 2x 3y 6 0 3y x 2 2x 6x 2 2x 3 y 6 0 x 2 2x 6 Funcin cuadrtica y31212 yx2 x2f x x2 x23333 x 2 y 3x 2 x 2 y 3x 2 x 2 y 3x 0 Funcin racional3x 2 3x 2 y f x x2x2 y 2 2x 4y 6 0 y 2 4y 6 2x y 2 4y 4 6 2x 42 y 22 10 2xy 2 x 4y 6 0 Funcin irracional y 2 10 2x y 10 2x 2 y 10 2x 2 f x 10 2 x 2 y 10 2x 2 f x 10 2 x 264 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 64. Actividad: 3Convierte las siguientes funciones implcitas en explcitas.1. 4x 2y 9 02. x 2y 2 5 03. 3y 11 04. 3xy 2 12 xy 3x 1 05. x 2 y 4xy 4 4yEvaluacin Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes ConceptualProcedimentalActitudinalIdentifica la forma explcita e Obtiene la forma explcita de una Expresa la importancia delimplcita de una funcin. funcin, a partir de su forma manejo del lgebra en laimplcita.obtencin de funciones explcitas.CMCNC Calificacin otorgada por elAutoevaluacin docente 65BLOQUE 1 65. Segn su grfica.En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cmo el dominio y el rango vancambiando dependiendo de qu valores se puedan sustituir en la funcin y qu se obtiene de la misma; tambin sevieron funciones en las que para ciertos valores de x la funcin no existe o bien se acota mediante rectasimaginarias (asntotas), pues bien, ahora existe otra clasificacin y sta se refiere al comportamiento de su grfica yslo contempla dos tipos, aquellas que su grfica nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir,continuas o discontinuas. A continuacin se proporcionar una definicin intuitiva de estos dos conceptos.Funciones continuas.Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lpiz del papel, stas no sufren ninguna separacin, salto o hueco.Ejemplo de ellas, son todas las funciones polinomiales, la funcin seno y coseno, pertenecientes a las funcionestrigonomtricas, as como tambin las funciones logartmicas y exponenciales.A continuacin se mostrarn algunas grficas de funcione continuas. f (x) f (x)f (x) x x x Funciones discontinuas.Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa enlas siguientes grficas. f (x)f (x)f (x) x x x Cuando se tiene la representacin analtica de la funcin, la discontinuidad existe para aquellos valores de x endonde la funcin se indefine, como es el caso de las funciones racionales, las cuales se indefinen para aquellosvalores donde el denominador es cero.66RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 66. Actividad: 4 Desarrolla lo que se pide en cada seccin.I.Escribe en la lnea debajo de cada grfica, si la funcin es continua o discontinua, expresa su dominio y rango con intervalos. L(x) f (x) x x ____________________________________________________________________________ Dom: ___________________Dom: ____________________ Rango:__________________Rango: ___________________M(x) T(x) xx ____________________________________________________________________________ Dom: ___________________Dom: ____________________ Rango:__________________Rango: ___________________67BLOQUE 1 67. Actividad: 4 (continuacin)II. Dadas las siguientes funciones, determina si son continuas o discontinuas (justifica turespuesta), en el caso de ser discontinuas, determina para qu valores se da ladiscontinuidad.x3 1)f x x 2) rx x 2 2x 3 3) H x 4sen x 2 4) x 2 y 4xy 4 4y 5) N x 7 6) F x 4 x 268 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 68. Actividad: 4 (continuacin) x2 97. gx x38. q x 2 3x 19. s x Lnx 3 110. L x 5x 6 EvaluacinActividad: 4 Producto: Ejercicios.Puntaje:SaberesConceptualProcedimentalActitudinalReconoce la diferencia entre una Diferencia funciones continuas dePractica con entusiasmo losfuncin continua y discontinua.funciones discontinuas y establece ejercicios y se muestra interesado el dominio y rango de lasen las aportaciones del grupo en funciones. la retroalimentacin de laactividad.CMC NC Calificacin otorgada por elAutoevaluacin docente 69BLOQUE 1 69. Segn su variacin.Como se ha observado en las funciones antes vistas, existen funciones que aumentan su valor en la medida queaumenta la variable x, as como tambin hay funciones que disminuyen, a medida que la variable x aumenta, esto seconoce como funciones montonas, las cuales se dividen en funciones crecientes y decrecientes. Tambin hayfunciones que tienen los dos comportamientos por intervalos. A continuacin se enunciarn los conceptos defunciones crecientes y decrecientes.Funciones crecientes.Una funcin es creciente si al crecer los valores de su dominio, las imgenes correspondientes tambin crecen, estoes:Si al evaluarla en dos valores a y b de su dominio, tal que af(b)(f(a) es menor que f(b)).f (x)f (x)f (x)f a f a f bf a f b f b a b x a bxa bxA estas funciones, como anteriormente se mencion, se les conoce como montonas, debido a que en todo sudominio crecen o decrecen.Las funciones en que cambia su comportamiento, se puede establecer si crecen o decrecen por intervalos, como semuestra en los siguientes ejemplos:70RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 70. Ejemplo 1.2Determinar para qu intervalos de la funcin f x x 22 1 es creciente o decreciente.3 f (x) x f (x)La funcin tiene dos comportamientos:1. A medida que x se acerca a 2, la funcin va decreciendo.2. Cuando x es mayor que 2 la funcin va creciendo. Por lo tanto, su comportamiento se expresa as: La funcin es decreciente en el intervalo: , 2La funcin es creciente en el intervalo: 2, x Ejemplo 2. DecrecienteCrecienteDeterminar los intervalos donde la funcin f x 3 cosx 1cambia decomportamiento.Considerando que el dominio de la funcin son los nmeros reales y su grfica es peridica, es decir que se repiteinfinitamente un fragmento de ella, se obtienen una infinidad de intervalos en los cuales la grfica cambia decomportamiento. f (x) x Creciente DecrecienteCrecienteDecrecienteCreciente Decreciente 71BLOQUE 1 71. Primero se describirn los intervalos que se visualizan en la grfica, y posteriormente se encontrar la regla quedescribe a todos ellos.1. La funcin es decreciente en los intervalos: 2, , 0 , , 2, 3 2. La funcin es creciente en los intervalos: 3, 2 , , 0 , , 2Por la forma que tienen los intervalos anteriores, se puede establecer una regla para encontrar todos los intervalosdonde decrece o crece.Para n perteneciente a los nmeros Enteros ( n Z), los intervalos son: 1. La funcin decrece en los intervalos: 2n , 2n 1 2. La funcin crece en los intervalos: 2n 1 , 2n Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos sobre relaciones y funciones. http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.phpActividad: 5Escribe en la lnea debajo de cada grfica los intervalos donde la funcin es creciente ydonde es decreciente. f (x)M(x) x x Creciente:_________________________________Creciente:_________________________________Decreciente:_______________________________Decreciente:_______________________________72 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 72. Actividad: 5 (continuacin)M(x) T(x)xx Creciente:_________________________________ Creciente: _________________________________ Decreciente:_______________________________ Decreciente: _______________________________ Evaluacin Actividad: 5Producto: Ejercicios. Puntaje: SaberesConceptual ProcedimentalActitudinal Reconoce la diferencia entre unaDiferencia funciones crecientes dePractica con entusiasmo los funcin creciente y decreciente.funciones decrecientes y estableceejercicios y se muestra interesado los intervalos en los cuales cambia en las aportaciones del grupo en el comportamiento de una funcin. la retroalimentacin de la actividad. CMCNCCalificacin otorgada por el Autoevaluacindocente 73BLOQUE 1 73. Segn la forma de correspondencia entre sus conjuntos.Este tema se refiere a la propiedad o caracterstica de algunas funciones, sta se refiere a la relacin que existe entreel dominio y rango de la funcin y puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.Inyectiva (Uno a uno)Sea f una funcin que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la funcin f es inyectiva si y slo si, aelementos distintos del conjunto A, les hace corresponder imgenes distintas del conjunto B, es decir que ningnelemento de A tiene la misma imagen, a continuacin se ejemplificar esta definicin con un diagrama sagital.ABx1 y1x2 y2x3 y3x4 y4 y5Ejemplo 1.Se relaciona las candidatas a reina del primer semestre del Colegio de Bachilleres de Magdalena, con el grupo al cualpertenecen. Candidata a reina GruposAna101 MYolanda102 M 103 MSusana 104 M Karla 105 M Laura 106 MLa relacin funcional es inyectiva debido a que a cada alumna la asocia con su grupo y no existen dos candidatas quepertenezcan al mismo grupo.Ejemplo 2.A cada ciudadano mexicano le corresponde una clave nica de registro poblacional (CURP), sta es una funcininyectiva, porque para dos individuos distintos, les asocia claves diferentes.Ejemplo 3.Determinar si la grfica de la funcin f ( x ) 2x 1, es inyectiva. f (x)La funcin es lineal y su grfica es: x 74RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 74. La funcin es inyectiva, debido a que a cada x le asocia un valor diferente de la funcin.Una forma sencilla de visualizar si una funcin es inyectiva, mediante su grfica, es trazar rectas horizontales a lo largode la funcin, si esta corta una sola vez a la grfica, entonces la funcin es inyectiva; si la llega a cortar en ms de unaocasin, la funcin no es inyectiva. f (x) x Ejemplo 4. 1 2Determinar si la grfica de la funcin f ( x ) x 3 es inyectiva. 2Su grfica es una parbola, puesto que es una funcin cuadrtica.f (x)x Al trazarle lneas horizontales, se observa a excepcin de una recta (la que pasa por el vrtice), las dems cortan a lafuncin en dos puntos, por lo tanto no es inyectiva. Para dos valores de x le asocia un valor de y.f (x)x 75BLOQUE 1 75. Sobreyectiva (Sobre)Sea f una funcin que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la funcin f es sobreyectiva si y slo si, cadaelemento de B es imagen de por lo menos un elemento del conjunto A, es decir, no queda un solo elemento de B sinque est relacionado por lo menos con un elemento de A.A continuacin se ejemplificar esta definicin con un diagrama sagital. A B x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6Ejemplo 1.Se relaciona un grupo de jovencitas con el curso de danza que llevan en su escuela. Grupo Danza Abigail Isaura ContemporneaAbril Clsica Moderna KarenEspaola LitaLa relacin funcional de las jvenes con su clase de danza es sobreyectiva, dado que en todos los cursos que seofrecen de danza tiene al menos una alumna de ese conjunto de chicas.Ejemplo 2. 1 3 7Determinar si la funcin k( x ) x 3x es sobreyectiva. 3 3La grfica de la funcin es:K(x) La funcin es sobreyectiva, ya que todo valor de K(x) proviene de por lo menos una x.Esta funcin no es inyectiva puesto que existen tres valoresdiferentes de x que al sustituirlos en la funcin dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la funcin con el eje de las X, por mencionar un ejemplo de ello. x 76 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 76. Biyectiva.Una funcin es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, como se muestra en el siguiente diagrama. AB x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5Ejemplo 1.Un retiro matrimonial ofrece la oportunidad a los matrimonios de reforzar su unin y renovar sus votos.Grupo de Grupo deesposasesposos MarthaRigobertoMargaritaBenjamn Maria GuillermoSocorroJos LupitaGustavoLa relacin funcional que existe entre los conjuntos es biyectiva, puesto que a cada esposa la relaciona con suesposo y a su vez, no existe ningn esposo que haya asistido sin su esposa.Ejemplo 2.Determinar si la funcin f ( x ) 2x 1, es biyectiva. f (x) x Esta funcin se comprob con anterioridad que era inyectiva, puesto que a toda x le corresponde un valor de lafuncin, adems no existe valor de la funcin sin que provenga de una x correspondiente, por lo tanto es biyectiva.Como las funciones se definen en el conjunto de los nmeros reales, esto es, que va de , pocas de ellascumplen con las propiedades, si se restringe la relacin al dominio y rango de las funciones, algunas ms podrncumplir con alguna de ellas. 77BLOQUE 1 77. Actividad: 6 Responde cada uno de los siguientes cuestionamientos. 1. Es biyectiva la funcin y x 3 ?Justifica tus respuestas apoyndote en la grfica correspondiente. 2. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas segn sea elcaso: FuncinClasificacinJustificacin gx x 2 y 9 x2 1f( x ) x kx 2x 178 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 78. Actividad: 6 (continuacin)3. Considera la cantidad de alumnos y el nmero de escritorios disponibles en un saln de clases, describe brevemente bajo qu circunstancias se produce: a) Una correspondencia inyectiva o uno a uno. b) Una funcin sobreyectiva. c) Una funcin biyectiva.4. Entre los libros de una biblioteca y la correspondiente clave que se le asigna, Qu tipo de relacin se produce, inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Explica tu respuesta.EvaluacinProducto: Cuestionario yActividad: 6 Puntaje:complementacin de la tabla. SaberesConceptualProcedimentalActitudinal Distingue las caractersticas de Precisa la caracterstica queExpone sus puntos de vista con una funcin segn la cumplen las funciones para claridad y confianza. correspondencia entre losclasificarse en inyectivas, conjuntos. sobreyectivas o biyectivas.CMCNCCalificacin otorgada por elAutoevaluacin docente79BLOQUE 1 79. Cierre Actividad: 7 Observa cada una de las funciones que se muestran a continuacin y escribe al pie de ellas dentro de cada cuadro la letra que corresponda a la caracterstica que presentan, guate por las flechas para encontrar su comportamiento. Inyectiva (I), Sobreyectiva (S), Biyectiva (B), Continua (C), Creciente (Cr), Decreciente (D) y Creciente-Decreciente(CD).Evaluacin Actividad: 7Producto: Ejercicios.Puntaje:Saberes Conceptual Procedimental Actitudinal Anota la caracterstica que Analiza las funciones por intervalos Expresa sus ideas ante el anlisis tienen las funciones pory las clasifica. realizado a las funciones. intervalos. C MC NCCalificacin otorgada por elAutoevaluacindocente80RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES 80. Secuencia didctica 3. Operaciones de funciones.Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Evala las siguientes funciones con respecto a lo que se pide. 1) fx 2x 2 8x