FEC M2 Aa2 Lectura ecuaciones de tercer y...

FEC-03_L_Tercer_y_Cuarto_Grado Versión: Septiembre de 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

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1

Ecuaciones de tercer y cuarto grado

Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

Las ecuaciones polinomiales son aquellas que pueden representarse de la siguiente forma:

0....... 012

21

1 =++++ −−

−− axaxaxaxa n

nn

nn

n Donde

na Se le llama coeficiente principal.

0a Se le llama término independiente y cuando se grafican indica la intersección con el eje de las y.

En el término

nx , n representa el máximo exponente, el cual debe ser entero y representa el grado de la ecuación. Esta ecuación involucra las ecuaciones que has visto hasta el momento y las que vas a estudiar en esta actividad de aprendizaje.

Nombre Ecuación Ejemplo Primer grado o lineal

001 =+ axa

045 =+x

Donde

45

0

1

=

=

aa

Segundo grado o cuadrática

0012

2 =++ axaxa

0723 2 =+− xx

Donde

723

0

1

2

=

−=

=

aaa

Tercer grado o cúbicas

0254 3 =+− xx

Donde



2

0012

23

3 =+++ axaxaxa

2504

0

1

2

3

=

−=

=

=

aaaa

Cuarto grado

0012

23

34

4 =++++ axaxaxaxa

02523 234 =++− xxx

Donde

20523

0

1

2

3

4

=

=

=

−=

=

aaaaa

Tabla 1. Clasificación de ecuaciones de acuerdo al grado.

Cuando comenzaste a estudiar las ecuaciones, viste que la solución de una ecuación es el valor de la variable que hace verdadera la proposición. Cuando la ecuación está igualada a cero, lo que estás haciendo es el valor de 0=y , por lo que el valor encontrado representa en la gráfica las intersecciones con el eje de las ""x , así que a una solución, también se le llama ceros de la ecuación.

Por lo tanto, es común que las palabras solución, ceros o raíces se utilicen como sinónimos para nombrar las soluciones de una ecuación.

Así que te recomiendo que te familiarices con los tres términos ya que se utilizan en esta lectura indistintamente.

¿Recuerdas que para encontrar la solución de una ecuación lineal, sólo bastaba con realizar el despeje de la variable, aplicando las propiedades de la igualdad?



3

Ve un ejemplo

032 =−x

Para despejar, sólo pasas sumando el 3 y dividiendo el 2 del otro lado de la igualdad.

32 =x

23

=x

Por lo tanto, el número de soluciones, raíces o ceros que te proporciona una ecuación lineal o de primer grado siempre es una.

Una ecuación de segundo grado o cuadrática es aquella que contiene como máximo exponente el 2, por lo que para encontrar las soluciones, raíces o ceros de la ecuación, pueden usarse el despeje, factorización o fórmula, dependiendo si la ecuación está completa o no. Es importante recordar que la fórmula puede utilizarse en cualquier caso y nos proporciona dos soluciones reales o complejas.



4

Ve un ejemplo

01522 =−− xx En este caso la ecuación se puede factorizar como: ( )( ) 035 =+− xx Y utilizando la propiedad del factor nulo, igualas cada uno de los factores a cero y despejas.

505

=

=−

xx

303

−=

=+

xx

Por lo tanto, se tienen dos soluciones reales: 51 =x y 32 −=x Como puedes observar una ecuación de primer grado te proporciona una solución y una ecuación de segundo grado te proporciona dos soluciones. ¿Cuántas soluciones crees que puede proporcionar una ecuación de tercer grado? Y ¿una de cuarto grado? El Teorema fundamental del álgebra, el cual se aplica a polinomios con coeficientes reales o complejos, dice:

Teorema fundamental del álgebra Un polinomio f(x) de grado 0>n tiene exactamente n raíces, ceros o soluciones, donde estas raíces pueden ser reales o imaginarias y no necesariamente tienen que ser diferentes



5

Por lo tanto, de acuerdo al Teorema fundamental del álgebra, una ecuación de tercer grado tendrá 3 raíces, ceros o soluciones y una ecuación de cuarto grado tendrá 4 raíces, ceros o soluciones. El Teorema fundamental del álgebra dice que las raíces pueden ser reales o imaginarias y no necesariamente diferentes, lo que implica que las soluciones pueden ser iguales.

Ve un ejemplo Resuelve la ecuación 0442 =++ xx Si resuelves por fórmula, primero necesitas determinar los valores de las constantes: cyba, , y recuerda tomar el signo

44,1 === cyba Sustituye los valores en la fórmula:

aacbbx

242

1−+−

=

aacbbx

242

2−−−

=

( ) ( ) ( )( )( )12

41444 2

1−+−

=x

204

216164

1+−

=−+−

=x

224

204

1 −=−

=+−

=x

21 −=x

( ) ( ) ( )( )( )12

41444 2

2−−−

=x

204

216164

2−−

=−−−

=x

224

204

2 −=−

=−−

=x

22 −=x



6

Tabla 1. Solución al ejemplo planteado.

Las soluciones de las ecuaciones son: 21 −=x y 22 −=x

Observa que como es una ecuación de segundo grado, se tienen dos soluciones, pero éstas son iguales. En este caso se dice que la raíz de la ecuación es 2− y tiene multiplicidad igual a 2 .

La multiplicidad de una raíz es el número de veces que se repite una raíz. En el caso anterior como se repite dos veces entonces la multiplicidad es 2. Hasta el momento has aprendido cómo resolver ecuaciones de primer y de segundo grado, pero ¿cómo se podrán resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado? Antes de contestar esta pregunta, revisa algunos teoremas que se pueden aplicar a cualquier tipo de ecuación polinomial y que te ayudarán a encontrar las raíces de las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Teorema del residuo Si un polinomio

012

21

1 .......)( axaxaxaxaxf nn

nn

nn ++++= −

−−

−

, es dividido por un factor lineal ax − , el residuo es igual a )(af

Los diferenciadores sustentables de esto sólo son económicos (10 pts)

Teorema del factor

Un polinomio 012

21


nn

nn ++++= −

−−

− , tiene



7

un factor ax − , si, sólo si, al dividir el polinomio entre el factor el residuo es igual a cero.

Teorema de las raíces racionales

Un polinomio 012

21


nn

nn ++++= −

−−

− con

00 ≠a y coeficientes enteros, tendrá una raíz racional qp

. Donde

p son los factores de oa

q son los factores de na

Ve cómo obtener las raíces de una ecuación de tercer grado utilizando los teoremas anteriores.

Ejemplo 1 Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial.

022 23 =+−− xxx Solución Teorema Aplicación Ejemplo Teorema fundamental del álgebra

Este teorema ayuda a determinar el número de soluciones, raíces o ceros de la ecuación, sin embargo estas soluciones pueden ser reales o imaginarias.

022 23 =+−− xxx

Como la ecuación de tercer grado las raíces de la ecuación son 3.

Teorema de las raíces racionales

Este teorema permite encontrar las posibles raíces racionales que tenga la ecuación. Donde

022 23 =+−− xxx Como:

120 == naya Los factores de:



8

Una posible raíz es qp

p son los factores de oa q son los factores de na

2,1 ±±=p 1±=q

Las combinaciones son:

12,

12,

12,

12,

11,

11,

11,

11

−−

+−

−+

++

−−

+−

−+

++

=qp

Las posibles raíces son:

2,2,1,1 −+−+=qp

Teorema del factor

Este teorema dice que puedes tener un factor ax − si el residuo es cero, lo cual implica el teorema del residuo.

Con base en el Teorema del residuo puedes probar una de las posibles raíces: Comienza con 1+ Sustituye el valor de la posible raíz en la ecuación y el valor que se obtenga será el residuo de la división del polinomio entre el binomio 1−x

22)( 23 +−−= xxxxf ( ) ( ) ( ) 21121)1( 23 +−−=f

02121)1( =+−−=f Como el residuo es cero y basándote en el Teorema del factor, puedes concluir que el binomio 1−x es un factor del

polinomio 22)( 23 +−−= xxxxf

Teorema del residuo

El teorema del residuo, indica que si un polinomio es dividido entre un factor ax − , el residuo se puede encontrar si se sustituye el valor de la raíz en la función.

Tabla 2. Ejemplos y aplicaciones de diversos teoremas.



9

Hasta el momento de la ecuación 022 23 =+−− xxx sólo tienes un factor 1−x y por lo tanto una raíz

11 =x . Sin embargo, te hace falta encontrar las dos raíces faltantes y para hacerlo tienes dos opciones: La primera es utilizar otra vez el teorema del factor y del residuo y determinar las otras dos raíces. Observa cómo se tendría que hacer. Sustituyendo 1−=x en

22)( 23 +−−= xxxxf ( ) ( ) ( ) 21121)1( 23 +−−−−−=−f

02121)1( =++−−=−f Como el residuo es cero puedes decir que ya encontraste la segunda raíz 12 −=x y el factor será 1+x Sigue sustituyendo la siguiente posible raíz: 2=x en

22)( 23 +−−= xxxxf ( ) ( ) ( ) 22222)2( 23 +−−=f

02288)2( =+−−=f

Como el residuo es cero puedes decir que ya encontraste la tercera raíz 23 =x y el factor será 2−x Si sustituyes el siguiente valor te podrás dar cuenta que no es una raíz, ya que tienes las tres raíces.



10

Sustituyendo la siguiente posible raíz 2−=x en

22)( 23 +−−= xxxxf ( ) ( ) ( ) 22222)2( 23 +−−−−−=−f

142288)2( −=++−−=−f Como puedes observar el resultado que se obtuvo no es cero, lo que indica que el residuo de dividir

22 23 +−− xxx entre 2+x es igual a -14., y por lo tanto no es un factor. Al encontrar los tres factores puedes decir que la ecuación se puede factorizar totalmente como:

( )( )( )21122 23 −+−=+−− xxxxxx

Y utilizando la propiedad del factor nulo, puedes verificar las raíces encontradas igualando a cero cada uno de los factores encontrados.

01=−x

1=x

01=+x

1−=x

02 =−x

2=x

La segunda opción para encontrar las raíces faltantes a partir de que ya encontraste una de ellas es realizando la división de 22 23 +−− xxx entre 1−x y una de las formas es por medio de división sintética.



11

¿Recuerdas la división sintética?

Escribes los coeficientes de cada uno de los términos del dividendo y una vez que se ordenen en orden descendente, si no aparece algún término es conveniente rellenar su espacio con un cero: Observa cómo realizar la división de: 22 23 +−− xxx entre 1−x

22 23 +−− xxx Recuerda escribir el coeficiente con su signo correspondiente:

2121 −− Del divisor que es un polinomio de la forma ax − , igualas a cero y despeja x , de esta forma ax = . En este ejemplo 1=x , este número lo escribes a la derecha de los coeficientes en un pequeño cuadro.

2121 −−

1

Se baja el primer coeficiente de la izquierda como sigue:

1



12

1

2121 −−

Se multiplica el número que se bajó, que en este caso es el 1 y se multiplica por el número del cuadro, en este caso 1 y se le suma al segundo coeficiente.

11

12121

−

−−

1

Se repite el procediendo multiplicando el resultado por el número del cuadro y así sucesivamente…

0211

211

2121

−−

−−

−−

1

Los números que obtienes de hacer la operación son los coeficientes del polinomio resultante y el último número es el residuo de la división, en este caso el cero y es el valor que indica que el binomio 1−x es un factor.

El polinomio resultante siempre es de un grado menor al polinomio del dividendo, como el dividendo es de grado 3, el resultado será de grado 2, de tal forma que el resultado se escribe como sigue:

22 −− xx Y la ecuación de tercer grado en su forma factorizada hasta el momento será:

( )( )2122)( 223 −−−=+−−= xxxxxxxf Como el segundo factor es una ecuación cuadrática, se puede resolver por fórmula o por factorización, dependiendo que procedimiento sea más sencillo para ti. En este caso si se resuelve por factorización: 022 =−− xx



13

xxxx

xx

122

22

−−

−−

Recuerda que al multiplicarse en cruz la suma de los términos debe dar el término lineal incluyendo el signo y para este caso:

xxx −=+− 2

De tal forma que los factores de la ecuación cuadrática serán: ( )( )1222 +−=−− xxxx Y la forma totalmente factorizada de la ecuación de tercer grado será:

( )( ) ( )( )( )1212122)( 223 +−−=−−−=+−−= xxxxxxxxxxf Y utilizando la propiedad del factor nulo puedes verificar las raíces encontradas igualando a cero cada uno de los factores encontrados.

01=−x

1=x

02 =−x

2=x

01=+x

1−=x

Ve otro ejemplo



14

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial:

09944 23 =+−− xxx Solución

• De acuerdo al Teorema fundamental del álgebra, el polinomio tiene 3 raíces que pueden ser reales o complejas.

• De acuerdo al Teorema de la raíces racionales:

Como:


9,3,1 ±±±=p 4,2,1 ±±±=q


49,

49,

49,

49,

43,

43,

43,

43,

41,

41,

41,

41

29,

29,

29,

29,

23,

23,

23,

23,

21,

21,

21,

21

,19,

19,

19,

19,

13,

13,

13,

13,

11,

11,

11,

11

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+=

qp




15

31,

31,

91,

91,

29,

29,

23,

23,

21,

21,9,9,3,3,1,1 −−−−−

−+−+−+=qp

Como puedes observar las posibles raíces son 16 y sólo 3 de ellas pueden ser las raíces de la ecuación, por lo que sustituir todos los valores en la ecuación es un proceso largo, sin embargo es necesario comenzar a buscar al menos un factor utilizando el Teorema del residuo y el Teorema del factor. Comienza a probar con la posible raíz: 1=x Prueba con: 1=x

9944)( 23 +−−= xxxxf

( ) ( ) ( ) 9191414)1( 23 +−−=f

09944)1( =+−−=f

Según el Teorema del residuo al dividir 9944)( 23 +−−= xxxxf entre 1−x y probar 0)1( =f , el residuo es cero y por lo tanto, el binomio 1−x es un factor. Puedes dividir por medio de división sintética para disminuir el grado del polinomio:

0904

904

9944

−

−

−−

1

El polinomio resultante es 94 2 −x . Como el polinomio resultante es de segundo grado se puede factorizar y en este caso como una diferencia de cuadrados. La factorización será:

( )( )323294 2 +−=− xxx Así, la ecuación polinomial 09944 23 =+−− xxx , en su forma totalmente factorizada es:



16

( )( )( ) 0323219944 23 =+−−=+−− xxxxxx

Utilizando la propiedad del factor nulo igualas cada uno de los factores lineales a cero y despejas el valor de la

variable x

01=−x

Despejando:

1=x

032 =−x

Despejando:

5.123==x

032 =+x

Despejando

5.123

23

−=−=−

=x

Como puedes observar en este ejercicio fue más sencillo encontrar una de las raíces, para luego hacer la división y obtener una ecuación de segundo grado o cuadrática, la cual es más sencilla resolver por factorización o por fórmula. Si haces la gráfica de la ecuación puedes verificar que las intersecciones con el eje de las ""x corresponden a los valores encontrados.

¿Recuerdas que por ello a las soluciones de la ecuación también se les llama ceros de la ecuación?



17

Figura 1. Gráfica de la ecuación 09944 23 =+−− xxx , raíces de la ecuación x=-1.5, x=1 y x=1.5

Ejemplo 3


0910 24 =+− xx Solución



18



Como:


9,3,1 ±±±=p ,1±=q


,19,

19,

19,

19,

13,

13,

13,

13,

11,

11,

11,

11

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

+

+

+=

qp


9,9,3,3,1,1 −+−+−+=qp

En este caso las posibles raíces son 6, de las cuales 4 pueden ser las raíces de la ecuación. Comienza a buscar uno de los factores por Teorema del residuo y el Teorema del factor. Inicia con probar con la posible la raíz: 1=x Prueba con 1=x

910)( 24 +−= xxxf

( ) ( ) 91101)1( 24 +−=f

09101)1( =+−=f



19

Según el Teorema del residuo al dividir 910)( 24 +−= xxxf entre 1−x y probar 0)1( =f , el residuo es cero y por lo tanto, el binomio 1−x es un factor. Puedes dividir por medio de división sintética para disminuir el grado del polinomio, pero recuerda que debes rellenar con cero el lugar de

3x y el de x , ya que no aparece en el polinomio.

09911

9911

901001

−−

−−

−

1

El polinomio resultante es 9923 −−+ xxx . Como el polinomio resultante es de tercer grado, tienes que buscar otra raíz utilizando el Teorema del factor y el Teorema del residuo.

Puede comenzar a probar nuevamente con 1=x

99)( 23 −−+= xxxxf ( ) ( ) ( ) 91911)( 23 −−+=xf

169911)( −=−−+=xf Como el resultado es -16, esto te indica que )1( −x ya no es un factor. Nuevamente prueba con 1−=x

99)( 23 −−+= xxxxf ( ) ( ) ( ) 91911)( 23 −−−−+−=xf

09911)( =−++−=xf Como el resultado es 0, esto indica que )1( +x es un factor y se puede hacer la división otra vez de

99)( 23 −−+= xxxxf entre )1( +x para disminuir el grado a la ecuación.



20

0901

901

9911

−

−

−−

1−

Ahora el polinomio resultante es de segundo grado 92 −x , y como es una diferencia de cuadrados se puede factorizar como:

( )( )3392 −+=− xxx

Así, la ecuación polinomial 910)( 24 +−= xxxf , en su forma totalmente factorizada es

( )( )( )( )3311910 24 −+−+=+− xxxxxx Utilizando la propiedad del factor nulo igualas cada uno de los factores lineales a cero y despejas el valor de la variable x

01=+x

Despejando:

1−=x

01=−x

Despejando: 1=x

03 =+x

Despejando:

3−=x

03 =−x

Despejando

3=x

En este ejemplo fue necesario que primero encontraras dos de las raíces, a fin de obtener una ecuación de segundo grado o cuadrática, la cual es más sencilla resolver por factorización o por fórmula.

Si haces la gráfica de la ecuación puedes verificar que las intersecciones con el eje de las ""x corresponden a los valores encontrados.



21

Figura 2. Gráfica de la ecuación 0910 24 =+− xx , raíces reales de la ecuación x=-3, x=-1, x=1 y x=3

Ejemplo 4 Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial:

0623 =+−− xxx Solución


• En este caso Teorema de la raíces racionales no puede aplicarse ya que en esta ecuación el

valor de 00=a Observa que en este caso todos los términos tienen la variable x , por lo que se puede factorizar por factor común.



22

Factorizando: x− de 0623 =+−− xxx

0)6( 2 =−+− xxx Nota que ahora tienes el producto de dos factores, uno lineal y el otro cuadrático, donde el factor cuadrático se puede factorizar otra vez o resolver aplicando la fórmula para las cuadráticas. En este caso aplicas la fórmula para resolver: 062 =−+ xx Primero se determinan los valores de las constantes: cyba, y recuerda tomar el signo

61,1 −=== cyba Sustituyes los valores en la fórmula:

aacbbx

242

1−+−

=

aacbbx

242

2−−−

=

( ) ( ) ( )( )

( )1261411 2

1−−+−

=x

2251

22411

1+−

=++−

=x

224

251

1 ==+−

=x

21 =x

( ) ( ) ( )( )

( )1261411 2

2−−−−

=x

2251

22411

2−−

=+−−

=x

326

251

2 −=−

=−−

=x

32 −=x

Las soluciones de las ecuaciones son 21 =x y 32 −=x En este caso los factores serán para 21 =x es ( )2−x para 32 −=x es ( )3+x



23

Por lo tanto, la factorización de ( )( ) 03262 =+−=−+ xxxx

Así la ecuación polinomial xxxxf 6)( 23 +−−= , en su forma totalmente factorizada es:

( )( )32623 +−−=+−− xxxxxx

Utilizando la propiedad del factor nulo igualas cada uno de los factores lineales a cero y despejas el valor de la

variable x

0=− x

Despejando:

0=x

02 =−x

Despejando:

2=x

03 =+x

Despejando:

3−=x

En este ejemplo fue necesario que primero factorizaras por factor común y a partir de esta factorización, pudiste obtener una ecuación de segundo grado o cuadrática, la cual se resolvió por fórmula. Si haces la gráfica de la ecuación puedes verificar que las intersecciones con el eje de las ""x corresponden a los valores encontrados.



24

Figura 3. Gráfica de la ecuación 0623 =+−− xxx , raíces reales de la ecuación x=-3, x=0, y x=2

Ejemplo 5


0134 =+++ xxx Solución



Como:

110 == naya



25

Los factores de:

1±=p ,1±=q


,11,

11,

11,

11

−

−

+

−

−

+

+

+=

qp


1,1−+=qp

En este caso las posibles raíces racionales son 2 y la ecuación tiene 4, por lo que debes comenzar a buscar uno de los factores por Teorema del residuo y el Teorema del factor. Inicia por probar con: 1=x Prueba con: 1=x

1)( 34 +++= xxxxf

( ) ( ) ( ) 1111)1( 34 +++=f

41111)1( =+++=f Como el residuo es 4, 1=x no es una raíz y por lo tanto 1−x no es factor. Prueba con: 1−=x

1)( 34 +++= xxxxf

( ) ( ) ( ) 1111)1( 34 +−+−+−=−f

01111)1( =+−−=−f Como el residuo es 0, 1−=x es una raíz y por lo tanto 1+x es factor.



26

Puedes dividir 134 +++ xxx entre 1+x por medio de división sintética a fin de disminuir el grado del polinomio.

Recuerda que debes rellenar con cero el lugar de 2x , ya que

no aparece en el polinomio.

01001

1001

11011

−−

1−

El polinomio resultante es 13 +x . Como el polinomio resultante es de tercer grado, debes buscar otra raíz utilizando el Teorema del factor y el Teorema del residuo. Puedes comenzar a probar otra vez con 1=x

1)( 3 += xxf ( ) 11)( 3 +=xf

211)( =+=xf Como el resultado es 2, esto indica que )1( −x no es un factor. De nueva cuenta prueba con: 1−=x

1)( 3 += xxf ( ) 11)( 3 +−=xf

011)( =+−=xf



27

Como el resultado es 0, esto indica que )1( +x es un factor y se puede hacer la división nuevamente de 13 +x entre )1( +x para disminuir el grado a la ecuación.

0111

111

1001

−

−−

1−

Ahora el polinomio resultante es de segundo grado 12 +− xx , el cual resolverás por medio de formula. Primero determina los valores de las constantes: cyba, y recuerda tomar el signo:

11,1 =−== cyba Sustituye los valores en la fórmula:

aacbbx

242

1−+−

=

aacbbx

242

2−−−

=

( ) ( ) ( )( )

( )1211411 2

1−−+−−

=x

231

231

2411

1ix +−

=−+−

=−+−

=

231

1ix +−

=

( ) ( ) ( )( )( )12

11411 2

2−−−−−

=x

231

231

2411

2ix −−

=−−−

=−−−

=

231

2ix −−

=



28

Las soluciones de las ecuaciones son: 231

1ix +−

= y 2

312

ix −−=

En este caso los factores serán para 231

1ix +−

= es ( )ix 312 −+ para 2

312

ix −−=

es ( )ix 312 ++

Por lo tanto, la factorización de ( )( )ixixxx 31231212 ++−+=+−

Así la ecuación polinomial 1)( 34 +++= xxxxf , en su forma totalmente factorizada es:

( )( )( )( )ixixxxxxx 31231211134 ++−+++=+++ También puede expresarse como:

( ) ( )( )ixixxxxx 31231211 234 ++−++=+++

Utilizando la propiedad del factor nulo igualas cada uno de los factores lineales a cero y despejas el valor de la variable x.

01=+x

Despejando:

1−=x

01=+x

Despejando:

1−=x

0312 =−+ ix

Despejando:

231 ix +−

=

0312 =++ ix

Despejando:

231 ix −−

=



29

Se puede decir que la ecuación de cuarto grado 0134 =+++ xxx tiene 4 raíces, las cuales son:

1−=x con multiplicidad=2

231 ix +−

=

Recuerda que la multiplicidad indica cuántas veces se repite una raíz. En este caso se tienen 2 raíces reales y 2 complejas. La gráfica se ve como sigue:

231 ix −−

=

Figura 4. Gráfica de la ecuación 0134 =+++ xxx raíces reales de la ecuación x=-1 con multiplicidad 2 Como puedes observar en esta gráfica sólo hay un punto de intersección con el eje de las ""x , ya que la raíz 1−=x se repite en dos ocasiones y las otras dos raíces son complejas y no pueden graficarse en un sistema de ejes coordenados, ya que solamente se grafican los números reales.



30

Ejemplo 6

Encuentra las raíces de la siguiente ecuación polinomial: ( ) ( ) ( )( ) 031 43 =−++− ixixxx Solución Observa que en este caso la ecuación está totalmente factorizada y los exponentes en cada factor indican el número de veces que está repetido el factor. Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 0333311131 43 =−+++++−−−=−++− ixixxxxxxxxixixxx Y se pude concluir que: La ecuación tiene 9 raíces, las cuales son:

1=x con multiplicidad=3 3−=x con multiplicidad 4 ix = ix −=

De éstas, 7 raíces son reales y 2 complejas. Como puedes darte cuenta para encontrar las raíces de una ecuación de grado mayor a dos, es necesario utilizar tanto el Teorema del residuo, como el Teorema del factor, los cuales permiten determinar cuáles son raíces y por medio de la división ir factorizando la ecuación en su forma totalmente factorizada y con base en esto determinar las raíces de la ecuación. Te invito a que sigas practicando la aplicación de los teoremas, así como la solución de ecuaciones en la sección de ejercicios, para que después puedas contestar tu tarea.



31

Bibliografía

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Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra. México: McGraw-Hill

Bello, I. (2000). Álgebra elemental. México: International Thomson Editores.

Bosh, G. C., y Gómez, W. C. (1998). Álgebra. México: Santillana.

Martínez, M. Ál. (1996). Aritmética y álgebra. México: McGraw Hill.

Swokowski, E., y Cole, J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica (10ª. ed.). México: International Thomson Editores.

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