FEM Mecanica Medio Continuo 01

Teoría de los Elementos Finitos

Andrés Guzmán

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Universidad del Norte

[email protected]

Tel.: 3509236

mailto:[email protected]

Teoría de los Elementos Finitos

Introducción a la Mecánica del Medio

Continuo

Mecánica del Medio Continuo

CONTENIDO

• Introducción

• Preliminares de Matemática

• Cinemática

• El principio de los Esfuerzos

• Teoría Lineal de la Elasticidad

Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte

Introducción – Objetivo de la

Mecánica del Continuo• Objetivo:

El objetivo de la mecánica del medio continuo

clásica es la descripción matemática del

comportamiento de materiales sometidos a

cargas o deformaciones y el desarrollo de

teorías que permiten modelar este

comportamiento, para el tratamiento de

problemas de ingeniería.


Mecánica del Continuo

• La materia esta formada de moléculas, las

cuales a su vez están formadas por átomos y

partículas subatómicas. Por lo tanto, la

materia no es continua.


Izquierda: Molécula atisano. Derecha: átomo de Helio (1 Ångström=100.000 fm) (Tomado de: Wikipedia)


• Sin embargo, muchos aspectos de la experiencia

diaria relacionados con el comportamiento de los

materiales, tales como el L de una barra de acero

bajo la acción de fuerzas dadas, la Vdescarga de agua

en una tubería bajo una diferencia de P dada, la

Ffricción que experimenta un cuerpo moviéndose en

el aire, etc. pueden ser descritos y predichos con

teorías que no prestan ninguna atención a la

estructura molecular de los materiales.



• La teoría que describe relaciones entre los grandres

fenómenos, despreciando la estructura de los

materiales en pequeña escala, es conocida como la

teoría del continuo.

• La teoría del continuo considera la materia como

divisible indefinidamente. Por lo tanto, con esta

teoría se acepta la idea del volumen infinitesimal de

material, relacionado con una partícula en el

contínuo. En las vecindades de la partícula siempre

habrá muchas partículas.



• Que la teoría del continuo sea justificable

(aplicable) o no, depende de la situación

dada.

• Por ejemplo, la dimensión molecular del agua

es aproximadamente 1 Å (10-8 cm); si se trata

de un problema con agua, en el cual no se

tengan que considerar deformaciones

menores que p.e. 10-5 cm, es justificado y

seguro tratar el agua como un continuo.Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte


• El diámetro de los glóbulos rojos en nuestro cuerpo

es aproximadamente 8.5x10-4 cm; la sangre puede

considerarse como un continuo cuando se trata un

problema de flujo de sangre por arterias con

diámetros de 0.05 mm.


Esquema de Glóbulos rojos a través de un vaso sanguíneo (Tomado de: NYU, Langone Medical Center)


• El concepto de material continuo como

idealización matemática del mundo real es

aplicable a problemas en los cuales se pueda

ignorar la fina estructura de la materia.

• Cuando es importante considerar la

estructura de la materia, se deben usar

principios de física de partículas, mecánica

estadística o teorías de continuo micropolar o

continuo de Cosserat.Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte

Preliminares de Matemática

CONTENIDO

• Matrices

• Vectores

• Tensores

• Análisis Vectorial

• Análisis Tensorial


Matrices

• Definición: Una matriz pxq es un esquema

rectangular de números, conformado por p

filas y q columnas.


Matrices

• Matrices especiales– Matriz cuadrática: Matriz nxn

– Matriz de una fila: Matriz 1xn

– Matriz de una columna: Matriz nx1

– Matriz nula Õ: Todos los elementos de la matriz son 0.

– Matriz unitaria nxn : Todos los elementos de la diagonal

principal son 1.


1

Matrices

– Por ejemplo la matriz unitaria de 3x3:

• Adición: de la adición de dos matrices pxq se

obtiene de nuevo una matriz pxq (es decir,

solamente se pueden adicionar matrices del

mismo tipo).


Matrices


Matrices

• Regla de suma de Einstein:

– En un producto con notación indicial la suma se

realiza sobre los índices que aparezcan dobles.

– Consideremos la suma: . Ésta

puede ser escrita en forma compacta como:

– Aplicando la regla de la suma de Einstein, la

suma anterior puede expresarse como:


Matrices


– Los índices i, j, m (que aparecen dobles) son

índices mudos en el sentido que la suma es

independiente de la letra usada.

– Cuando los índices de una expresión aparezcan

entre < >, significa que no se debe aplicar la

regla de suma de Einstein.


Matrices


– De acuerdo con esta regla la multiplicación de

matrices se abrevia de la siguiente forma:

en donde k es el índice de la suma (sobre el cual

se suma) e i y j son índices de ecuación.


Matrices

• Ejemplo Regla de suma de Einstein:


2221

1211~

AA

AAA

2221

1211~

BB

BBB

2222211212221112

2221211112211111

2221

1211

2221

1211~~~

BABABABA

BABABABA

BB

BB

AA

AABAC

kjikij BAC

211211111111 BABABAC kk

Matrices

• Matriz cuadrática regular (no singular)

– Una matriz cuadrática se denomina regular (o

no singular) cuando el determinante de es

diferente de cero:

• Inversa de una matriz

– Como consecuencia de lo anterior, existe una

matriz denominada la inversa de y que

tiene la propiedad:

– Si y son regulares, entonces el producto

también es regular y:Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte

A~

A~

0~

det A

1~A A~

1~~~~~ 11 AAAA

A~

B~

BA~~

Matrices

• Transposición de matrices:

– La matriz transpuesta de la matriz p x q, es la

matriz q x p la cual se obtiene del intercambio

de filas por columnas de la matriz , es decir:

– Para matrices cuadradas la transposición

significa un reflejo de los elementos con respecto

a la diagonal principal.


A~

TA~

Matrices

• Transposición de matrices:

– Reglas de cálculo:


Matrices

• Matriz cuadrática ortogonal:

– Las matrices ortogonales son siempre regulares,

es decir:

• Matriz cuadrática simétrica:

• Matriz cuadrática antisimétrica:

– Los elementos en la diagonal principal son todos=0Prof. Andrés Guzmán - Universidad del Norte

ijji

T AAAA ~~

Matrices

• Teorema:

– Toda matriz cuadrática se puede descomponer

en la suma de una matriz simétrica y una matriz

antisimétrica :


M~

S~

A~

Matrices

• Traza de una matriz :

– Se cumple:


nnMM ~

Matrices

• Producto interno de matrices:

– No es lo mismo que multiplicación escalar.

– El producto interno de matrices asigna un escalar

a dos matrices reales de igual construcción.

– Reglas de cálculo:


Matrices

• Norma o magnitud de una matriz

• Determinante de una matriz (con símbolos de

permutación)

– Definición equivalente:


M~

Matrices

• Símbolo de permutación eijk con tres índices

– Cambio de signo por cambio de orden de

índices:


Matrices

• Determinantes – Reglas de cálculo


(Matriz Antisimétrica)

Preliminares de Matemática

CONTENIDO

• Matrices

• Vectores

• Tensores

• Análisis Vectorial

• Análisis Tensorial


Vectores

• Adición – Reglas de cálculo


Vectores

• Multiplicación escalar – Reglas de cálculo


Vectores

• Magnitud (longitud) de un vector – Vector

unitario

– Un vector con una longitud 1 se denomina vector

unitario o vector normalizado.

– Vector unitario en la dirección :


u

Vectores

• Producto interno – Reglas de cálculo:


Vectores

• Ángulo entre dos vectores:

• Relación ortogonal:

– Relación ortogonal: dos vectores son

perpendiculares entre sí cuando se cumple:


Vectores

• Representación de vectores en espacio

euclídeo tridimensional:


Vectores

• Notación indicial – Regla de la Suma de

Einstein

– Cuando los índices aparecen exactamente dos veces en

un término, esos índices tomarán los valores de 1, 2 y 3

sucesivamente, y los términos resultantes serán

sumados.

– Esto ayuda a simplificar la escritura de las ecuaciones en

mecánica del medio continuo.


Vectores

• Delta Kronecker

– Por convención de Einstein:


ij

Vectores

• Producto vectorial (producto cruz)


u v

Vectores

• Producto vectorial (producto cruz)– El producto vectorial de los vectores base

empleando el símbolo de permutación es definido como:


u v

ˆ 1,2,3ie i

Agradecimientos y Créditos

• Agradecimientos

– Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental,

Universidad de los Andes,

Bogotá, Colombia

El material usado en esta presentación es parte del

curso de Mecánica del Medio Continuo de la

Maestría en Ing. Civil (Prof. Lizcano).


FEM Mecanica Medio Continuo 01

Documents

Transcript of FEM Mecanica Medio Continuo 01